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1 GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA INTRODUÇÃO A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade. Isto só foi conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria. Foi com René descartes que surgiu a Geometria Analítica. O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Aos vinte e um anos de idade, depois de frequentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia. Fixando as bases de seu trabalho em dois eixos, que se interceptam em um ponto, Descartes escreveu, em 1637, o pequeno texto chamado “La Géometrie”, na qual intrudus a noção de coordenadas. Considerando duas grandezas relacionadas entre si, representou uma delas sobre um dos eixos e a outra sobre o outro eixo; construindo, por meio de paralelas, os outros dois lados, completou a figura de um paralelogramo, definindo e caracterizando um ponto do plano. Mostrou, a seguir, que a relação entre as grandezas pode ser representada por uma curva bem definida, ao mesmo tempo que demonstrava que a cada curva correspondia uma equação e que a equação de um curva permitia o estudos das propriedades dessa curva. Capítulo 11 2 Todo seu trabalho consistia, então, em partir de um problema geométrico, traduzí-lo para uma linguagem de equação algébrica e, simplificando o máximo essa equação, resolvê-la geometricamente. Sua obra “La Géometrie” se caracteriza, então, por uma completa aplicação da Álgebra à Geometria e da Geometria à Álgebra. 1.1 – PLANO CARTESIANO Sejam os conjuntos finitos de número reais A = 3, 4 e B = 1, 2, podemos, com o auxílio da reta real, representar graficamente os seus elementos. A 0 3 4 B 0 1 2 É conhecida uma operação entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a qual produz como resultado um outro conjunto, em que os novos elementos são entidades matemáticas, formadas por duas partes, uma oriunda do conjunto A e outra do conjunto B . Essa entidade matemática é denominada par ordenado. Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos A e B. A B ={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}. Veja que nos elementos de A B , o primeiro número no par ordenado é advindo do conjunto A enquanto que o segundo veio do conjunto B. Vamos definir uma maneira de representar o conjunto utilizaremos também retas reais, porém numa disposição diferente. A B e para isso B 2 1 A 0 3 4 Utilizando-se de retas reais, dispostas uma perpendicular a outra, podemos representar esse resultado do conjunto A B . A essas retas, nessa disposição, chamamos eixos coordenados. Na reta que está na posição horizontal, representaremos os elementos advindos do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos do conjunto B. Como podemos perceber, os quatro elementos do conjunto A B foram representados 3 fazendo-se o cruzamento de um número advindo do conjunto A com o seu respectivo no conjunto B. Suponha agora que o conjunto A seja do tipo: A = x R / 3 x 4 e que o conjunto B seja expresso da forma B = x R /1 x 2. Fazendo agora a operação A B , chega-se em uma nova figura mostrada a seguir: B 2 1 0 3 4 A O resultado dessa operação foi uma região, um contorno geométrico fechado e seu interior. Agora imagina o que acontece se definirmos o conjunto A como sendo os reais e o conjunto B também. Como é de se esperar, se fizermos o produto cartesiano dos reais com o próprio conjunto dos reais, teremos o que chamamos de plano cartesiano ou ainda de A2 . 1.2 – PONTO Podemos definir o ponto com sendo o resultado do produto cartesiano entre dois conjuntos unitários, ou ainda como sendo um elemento de produto cartesiano entre dois conjuntos não vazios. y yP P(xP , yP ) x 0 xP O ponto pode ser entendido como o “endereço” de certa posição num dado plano. Como se podem representar pontos com pares de números reais, é possível definir operações algébricas com esses pontos.m P é um ponto qualquer, do plano xÔy e para cada P está associado um par ordenado, par esse que é representado da seguinte forma: (xP , yP ) onde xP é a posição relativa ao eixo x e yP é a posição relativa ao eixo y . O ponto é representado no eixo cartesiano por uma coordenada x , denominada de abscissa e uma coordenada y , chamada ordenada. 4 1.2.1 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO Sejam A(xA , yA ) e B(xB , yB ) dois pontos do plano. A distância entre esses dois pontos é exatamente o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC mostrado abaixo. Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, vêm: y B yB A yA C x 0 xA xB Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, vêm: d(A, B) = (xB − xA ) + (yB − yA ) 2 2 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 01. Um móvel está sobre uma mesa e o ponto inicial que ele se encontra é o ponto P (2, 3). Ele se desloca em linha reta e para no ponto Q (− 6, − 3). Calcular a distância que o móvel percorreu. d (P, Q) = d(P, Q) = d (P, Q) = d(P, Q) = d(P, Q) = 64 + 36 = 10 02. Duas circunferências são tangentes externamente. O centro de uma circunferência está no ponto C1 (3, 5) e o centro da outra está no ponto C2 (0, 1). Calcule a soma dos raios dessas circunferências. d (C1 , C2 ) = d(C1 , C2 ) = d (C1 , C2 ) = d(C1 , C2 ) = d(C1 , C2 ) = 9 +16 = 5 PRATICANDO: 1. Calcule a distância entre os pontos abaixo: a) A(0, 0) e B (3, 4) (x − x ) + (y 2 P Q P Q − y ) 2 + (3 − (− 3))2 (2 − (− 6))2 (8)2 + (6)2 100 (x − x )2 + (y − y C1 C2 C1 C2 )2 (3 − 0)2 + (5 −1)2 (3)2 + (4)2 25 5 3 b) M (1, 13) e N (6, 1) c) P (7, 0) e Q (1, 8) d) R (− 6, 13) e S (−1, 1) 2. Dado um triângulo ABC, com vértices seu perímetro. A(0, 0), B (12, 5) e C (3, 4) . Calcule o 3. Seja um hexágono, tal que, A(10, 0), B (5, 5 3), C (− 5, 5 3), D (−10, 0), E (− 5, − 5 3) e F (5, − 5 3), são seus vértices. Determine os valores das diagonais AC, BD, CE, DF, EA e FB. O que pode se concluir sobre esse hexágono? 4. Determine os valores de x e y que tornam A e B o mesmo ponto: a) A(1+ x, y − 2x + 2) e B (− 3, −1+ 3y). b) A(2x + y, y − 5) e B (x2 − 4, 2y − 9). c) A(x − y − 3, x + y − 3) e B (2x, 3y). 5. A distância do ponto P (a, 1) ao ponto A(0, 2) é igual a 3 . Calcule o número a . 6. Sabe-se que as coordenadas do baricentro de um triângulo qualquer são dadas por: xG = xA + xB + xC e 3 yG = yA + yB + yC 3 Calcule as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, com vértices A(− 6, 0), B (6, 0) e C (0, 6 3). Mostre que GA = GB = GB = 4 . Respostas............................................................................................................................................. 1. a)5 b)13 c)10 d)13 2. p = 18 + 82 3. AC = BD = CE = DF = EA = FB = 10 3 . Esse hexágono é regular. 4. a)x = - 4; y = 5,5; b)x = 4 ou x = -2; y = 4; c)x = - 1; y = -2; 5. a = 2 2 6. G = (0, 2 3) 1.2.2 – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Em muitos problemas, precisamos determinaras coordenadas do ponto médio de um segmento AB em função das coordenadas das extremidades A e B do segmento. O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. 6 y yB B yM M yA A x 0 xA xM xB Podemos definir o ponto médio como o ponto que divide o segmento de reta AB exatamente no meio tendo dois novos segmentos iguais AM = MB , logo: x = xA + xB M 2 y = yA + yB M 2 Assim, o ponto médio têm coordenadas: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: M (xM , yM ) 01. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB. Dados: A(0, 8), B (2, 2). x = xA + xB = 0 + 2 = 2 = 1 M 2 2 2 y = yA + yB = 8 + 2 = 10 = 5 M 2 2 2 Logo, M (1, 5) 02. Seja o triângulo ABC. média relativa ao lado AB. A(0, 0), B (4, 2) e C (6, 4). Determine o valor da base x = xA + xC = 0 + 6 = 6 = 3 Assim, M (5, 3) N 2 2 2 y = yA + yC = 0 + 4 = 4 = 2 N 2 2 2 Assim, N (3, 2) A(0, 0) C (6, 4) M N B (4, 2) Solução: N é o ponto médio de AC e M o ponto médio de BC. A base média é o e segmento NM . x = xB + xC = 4 + 6 = 10 = 5 M 2 2 2 y + y 2 + 4 6 yM = B C = = = 3 2 2 2 7 2 O comprimento de MN é dado pela distância de M à N. d(M , N ) = d (M , N ) = d (M , N ) = d(M , N ) = PRATICANDO: 1. Obtenha, em cada caso, as coordenadas do ponto médio do segmento AB . a) A (1, 7) e B (11, 3) b) A(− 2, 5) e B (− 4, −1) c) A(0, 3) e B (0, − 3) d) A(− 6, 9) e B (− 2, − 5) 2. Sabe-se que M (a, b) é o ponto médio do segmento AB . Se A(11, − 7) e B (− 9, 0), calcule as coordenadas do ponto M . 3. Uma das extremidades de um segmento é o ponto cujas coordenadas são (− 2, − 2). O ponto médio desse segmento tem coordenadas (3, − 2). Determine as coordenadas x e y da outra extremidade do segmento. 4. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(13, 19). Sendo M (− 9, 30) o ponto médio do segmento, calcular as coordenadas do ponto B , que é a outra extremidade do segmento. 5. O quadrilátero ABCD está definido pelos pontos A(−1, −1), B (1, 1), C (3, 1) e D(−1, − 3). Calcule o perímetro desse quadrilátero. 6. Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 4), B (2, − 6) e C (− 4, 2). Calcular o comprimento das medianas do triângulo. Respostas............................................................................................................................................. 1. a) M(6, 5) b) M(-3, 2) c) M(0, 0) d) M(-4, 2) 2. M 1, − 7 3. (8, -2) 4. B(-31, 41) 5. p = 4 + 6 2 6. 37, 97, 34 (x − x ) + (y 2 − y ) 2 M N M N (5 − 3)2 + (4 − 2)2 (2)2 + (1)2 5 8 1.2.3 – CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS A figura a seguir nos mostra três pontos A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) e C (x3 , y3 ) que estão alinhados, ou seja, são pontos de uma mesma reta. y y3 C y2 B y1 A x 0 x1 x2 x3 Assim, dados três pontos A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) e C (x3 , y3 ), dizemos que os pontos estão alinhados se e somente se: x1 y1 1 x2 y2 1 = 0 x3 y3 1 EXERCÍCIO RESOLVIDO: 01. Determine o valor de m para que os pontos sejam colineares. A(m, 3), B (− 2, − 5) e C (−1, − 3) m 3 1 − 2 − 5 1 = 0 −1 − 3 1 − 5m − 3 + 6 − 5 + 6 + 3m = 0 − 2m + 4 = 0 − 2m = −4 m = 2 PRATICANDO: 1. Verifique se os pontos abaixo estão alinhados: a) A(0, 2), B (− 3, 1) e C (4, 5) b) A(− 2, 6), B (4, 8) e C (1, 7) c) A(−1, 3), B (2, 4) e C (− 4, 10) 2. Dados os pontos A(0, 0) e B (5, 5). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s . 3. Dados os pontos A(0, 2) e B (2, 0). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s . Respostas............................................................................................................................................. 1. a) não b) sim c) não 2. s = r 3. s = – r + 2 9 1.3 – RETA Podemos definir uma reta como sendo uma sucessão de infinitos pontos, distintos, alinhados. O fato de estarem alinhados confere a existência de uma direção constante. Assim sendo pode-se afirmar que para existir uma reta é necessário da existência de dois pontos distintos, ou ainda um ponto e uma direção. A reta não tem fim e divide o plano que a contém em duas partes. 1.3.1 – EQUAÇÕES DA RETA A partir do enunciado acima podemos determinar a equação de uma reta se soubermos dois pontos pelos quais ela passa. Sendo dados esses dois pontos, ou seja, conhecemos as suas coordenadas integralmente, já sabemos que por eles vai passar uma reta única. y yB B yA D A x 0 xA xB No segmento formado por A e B todos os pontos estão alinhados, assim, podemos achar a equação de uma reta relacionando as coordenadas genéricas x e y de tal forma que, aplicadas na condição de alinhamento, a ordenada tem como resultado a abcissa ou vice versa. x y xA yA xB yB 1 1 = 0 1 x yA + y xB + xA yB − xB yA − x yB − y xA = 0 (yA − yB )x + (xB − xA )y + (xA yB − xB yA ) = 0 a b c (Equação Geral da Reta) Vamos agora partir da equação encontrada acima e isolar o termo “ y ”, ou seja, vamos escrever o y como uma função de “ x ”: yB − yA xB yA − xA yB y = x − x x + x − x B A m B A n (Equação Reduzida da Reta) y = mx + n ax + by + c = 0 10 Da figura acima, pode-se ver que foi construído um triângulo retângulo ABD com o prolongamento dos segmentos que formam os pontos A e B. O ângulo que aparece como ângulo interno do triângulo ABD é exatamente o ângulo que a reta AB forma com a horizontal, pois se tem a situação de duas retas paralelas cortadas por uma mesma transversal que forma ângulos correspondentes. O cateto oposto a , BD, tem valor yB − yA e o cateto adjacente AD tem valor xB − xA . Podemos então achar o valor da tangente de da seguinte maneira: tan = cateto aposto a = cateto adjacente a yB − yA = m xB − xA Veja, o valor do coeficiente que multiplica o “ x ” na equação reduzida é numericamente igual à tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal. Devido a esse fato, esse coeficiente recebeu um nome de COEFICIENTE ANGULAR. Trata-se da parte da reta que dá a sua direção. O outro coeficiente da equação reduzida “ n ” é chamado de COEFICIENTE LINEAR e ele tem um significado. Se substituirmos “ x = 0 ” na equação reduzida, resulta-se em “ y = n ”, ou seja, esse “ n ” é o ponto em que a reta corta o eixo Oy . Assim, conhecendo-se o coeficiente angular e um ponto P (x1 , y1 ) em que uma reta passa é possível encontrar sua equação da seguinte maneira: (Equação da reta) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: Os pontos (C, N ) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura. Determine a relação entre N e C (100 C 700). y − y1 = m(x − x1 ) N 115 97 C 0 100 700 01. Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista "Science" em 1972 conclui que o número (N ) de mortes por semana, causadas pela inalação de SO2 , estava relacionado com a concentração média (C ) em g m3 , do SO2 conforme o gráfico ao lado. 11 x 100 700 y 97 115 1 1 = 0 1 97x + 700 y + 11500 −100 y −115x − 67900 = 0 −18x + 600 y − 56400 = 0 − 3x + 100 y − 9400 = 0 100 y = 3x + 9400 y = − 3x 100+ 9400 100 y = −0,03x + 94 x C(R$) 31º 20 x 0 unidades 02. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$20,00 mais um custo variável por unidade produzida, segundo o gráfico. Sendo x o número de unidades produzidas, quantas devem ser produzidas para que o custo total seja R$260,00 . Dado : tg 31o = 0,6 y − y1 = m(x − x1 ) y − 20 = 0,6(x − 0) y = 0,6x + 20 260 = 0,6x + 20 240 = 0,6x x = 240 0,6 x = 400 peças PRATICANDO: 1. Determine as equações das retas que passam pelos pontos indicados abaixo: a) A(0, 0), B (2, 4) b) A(−1, 1), B (5, 5) c) A(0, d) A(2, e) A(8, f) A(0, 3), 7), 3), 0), B (− 2, B (− 2, B (− 6, B (− 3, 1) −13) − 4) 0) 2. Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A(0, 6) e B (6, 0). 3. Dados dos pontos, A(0, 2) e B (− 3, −1), determinar a equação reduzida da reta que contém o segmento AB. 12 4. Sejam os pontos A(0, 0), B (0, 4), C (4, 4) e D(4, 0) os vértices de um quadrilátero. Determine: a) A reta suporte que contem a diagonal AC; b) A reta suporte que contem a diagonal BD; c) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto A e o ponto médio do lado CD; d) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto médio do lado BC e o ponto médio do lado CD. 5. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(2, − 3) e tem coeficiente angular 1 . 2 6. Ache a equação da reta r em cada caso: y 1 30º 0 3 x y 4 135º x – 4 0 7. Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular m = 2 e que cruza o eixo y no ponto (0, − 3). 8. Os pontos A(2, 0), B (0, 4) e C (4, 2) são os vértices de um triângulo ABC. Determine as equações das retas suportes dos lados desse triângulo. I intensidade da corrente (A) 12 U 0 200 tensão (V) 09. A intensidade da corrente elétrica I que percorre uma resistência depende da tensão aplicada V. Determine a equação da função que relaciona a intensidade da corrente elétrica com a tensão aplicada representada no gráfico ao lado e calcule a intensidade da corrente elétrica para uma tensão de 120V. 10. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$ 10.000,00 e daqui a 5 anos valerá R$ 1.000,00. a) Definir a função depreciação em relação ao tempo. b) Calcule o valor da máquina daqui a 3 anos. c) Qual o sinal do coeficiente angular da função obtida. d) Esboce o gráfico e faça uma análise do item (c). 13 Respostas............................................................................................................................................. 1. a) y – 2x = 0 b)2x – 3y + 5 = 0 c) y – x – 3 = 0 d) y – 5x + 3 = 0 e) 2y – x + 2 = 0 f)y = 0 2. x + y – 6 = 0 3. y = x + 2 4. a) y = x b) y = – x + 4 c) y = x/2 d) y = – x + 6 5. x – 2y – 8 = 0 6. a) 3 x − y + 1 − 3 b) x + y = 0 3 7. y = 2x – 3 8. – 2x – y + 4 = 0 ; – x + y + 2 = 0 ; x + 2y – 8 = 0 9. 7,2ª 10. b) 4600 1.3.2 – CONDIÇÕES DE PARALELISMO ENTRE RETAS Sejam as retas r1= m1x + n1 e r 2= m2 x + n2 , contidas no plano, de inclinações 1 e 2 , respectivamente. Pode ocorrer: 1º caso: 1= 2 Neste caso, seguintes: r1 e r2 são paralelas, conforme podemos observar nas figuras y r1 r2 1 2 0 x y r1 r2 1 2 0 x 2º caso: 1= 2 = 90o Neste caso particular r1 e r2 são retas verticais. x 0 2 1 r2 r1 y 14 3º caso: 1 2 Neste caso, r1 e r2 são concorrentes: y r2 r1 2 1 0 x y r2 r1 2 1 0 x EXERCÍCIO RESOLVIDO: 01. Determinar a equação da reta r , que é paralela à reta s de equação y − 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P (2, 3). y − 3x + 5 = 0 y = 3x − 5 = 0 m = 3 y − y1 = m (x − x1 ) y − 3 = 3(x − 2) y − 3 = 3 x − 6 − 3x + y + 3 = 0 3x − y − 3 = 0 PRATICANDO: 1. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto de equação 8x − 2y +1 = 0 . A(3, − 5) e é paralela à reta 2. A figura ABCD é um quadrado. Determinar a equação da reta suporte do lado AB. y D (4, 8) C (8, 6) A B (6, 2) 0 x 15 3. As retas r e s são dadas na forma de determinantes. Para que valores de a as retas são paralelas? x y 1 1 2 1 = 0 e a 0 1 x y 1 1 − 1 a 1 1 = 0 1 4. Ache a equação da reta r que é paralela à reta 3x − 2y +1 = 0 e que passa pelo ponto A(− 2, 5). Respostas............................................................................................................................................. 1. 4x – y – 17 = 0 2. x + 2y – 10 = 0 3. a = – 1 ou a = 3 4. 3x – 2y +16 = 0 1.3.3 – INTERSECÇÃO DE RETAS Sabemos que duas retas não paralelas e nem coincidentes se interceptam uma única vez. Assim, dadas duas retas, achar a sua intersecção é determinar o x e o y, que satisfazem ao mesmo tempo as duas equações. y r1 P (x, y) r2 0 x Para obtermos as coordenadas (x, y) do ponto, resolvendo uns sistema de primeiro grau formado pelas equações das duas retas. r r = a1x + b1 y + c1 = 0 1 2 a2 x + b2 y + c2 = 0 EXERCÍCIO RESOLVIDO: 01. As retas r e s , de equações x + y − 4 = 0 e 2x − y +1 = 0 , respectivamente, se interceptam num ponto P (x, y). Determine as coordenadas do ponto P . x + y − 4 = 0 x + y = 4 2x − y + 1 = 0 2 x − y = −1 3x = 3 x = 1 → x + y = 4 1 + y = 4 y = 4 − 1 y = 3 P (1, 3) 16 7 7 4 0 5 2 8 PRATICANDO: 1. Ache as intersecções entre os pares de retas abaixo: a) 2x + y −1 = 0 e 3x + 2y − 4 = 0 b) y = 3x − 4 e y − x + 6 = 0 c) y + 8x − 4 = 0 e y + x + 7 = 0 d) y − 4x + 5 = 0 e o eixo Ox e) y − 5x + 2 = 0 e o eixo Oy 2. Uma reta r é determinada pelos pontos A(2, 0) e B (0, 4), e uma reta s é determinada pelos pontos C (− 4, 0) e D(0, 2). Seja P (a, b) o ponto de intersecção das retas r e s . Determine as coordenadas do ponto P . 3. As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são: x + 6y −11 = 0 , 3x − 2y + 7 = 0 e x − 6y − 5 = 0 . Determinar as coordenadas dos vértices do triângulo. 4. Mostre que as retas de equação concorrem no mesmo ponto. 2x + 3y −1 = 0 , x + y = 0 e 3x + 4y −1 = 0 Respostas............................................................................................................................................. 1. a) (-2, 5) b) (-1, -7) c) 11 , − 60 d) 5 , e) (0, -2) 2. P 4 , 12 3. A(−1, 2), B8, 1 , C − 13 , − 11 4. P(-1, 1) 4 1.3.4 – RETAS PERPENDICULARES Como vimos antes, a parte da equação de uma reta que está vinculada com a sua direção é o coeficiente angular, assim sendo, esse resultado que estamos querendo sai em função desses coeficientes, que são de antemão conhecidos. y r1 r2 P 2 1 0 x Duas retas r1 e r2 , concorrentes, de coeficientes m1 e m2 , respectivamente, são perpendiculares se, e somente se: m = − 1 1 m 2 5 17 EXERCÍCIO RESOLVIDO: 01. Determinar o valor de k para que a reta r de equação kx − 9y −1 = 0 , seja perpendicular à reta s , de equação 2x + 6y − 3 = 0 . Sejam m1, o coeficient e angular de r; m2 , o coeficient e angular de s; Calculo de m1 : kx− 9y −1 = 0 − 9y = −kx+1 9 y = kx −1 y = k x − 1 m = k Calculo de m2 : 9 9 1 9 2x + 6y − 3 = 0 6y = −2x + 3 y = − 1 x = 1 m = − 1 3 2 2 3 Aplicando a condição de perpendicularidade: r ⊥ s m1 = − 1 m2 k = − 1 9 − 1 3 − 1 k = −9 3 k = 27 PRATICANDO:1. Dada a reta r de equação 2x − y + 5 = 0 e o ponto P (3, 5), determinar a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r . 2. Dados os pontos segmento. A(1, 3) e B(− 3, − 5), determinar a equação da mediatriz desse 3. As retas de equação Determine a . x + 2y − a = 0 e 4x + ay − 7 = 0 , são perpendiculares. 4. Determine a equação da reta que passa pelo ponto reta de equação 3x + 4y = 4 . A(− 3, 2) e é perpendicular à 5. Escreva a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A(5, 0) e é perpendicular à reta de equação x − 5 = y + 3 . 3 2 y −1 x 4 6. A equação de uma reta r é dada por 1 1 1 = 0 . Determine a equação da 2 1 0 reta que passa pelo ponto (4, 7) e é perpendicular a r . 7. Determine a área da região do plano limitada pelas retas y = 3x , x + y = 4 e y = 0 . 18 9 +1 C ( ) Respostas............................................................................................................................................. 1. x + 2y – 13 = 0 2. x+ 2y + 3 = 0 3. a = −2 4. 4x – 3y + 18 = 0 5. y = − 3 x + 15 2 2 6. x +2y – 18 = 0 7. b 1.4 – CIRCUNFERÊNCIA Denomina-se CIRCUNFERÊNCIA o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo RAIO. Veja sua equação: P (x, y). Essa distância fixa é chamada d(P, C) = r = r elevando − se os membros ao quadrado (equação reduzida da circunferência) Desenvolvendo a equação reduzida, encontramos a equação geral da circunferência. (equação geral da circunferência) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 01. Determinar a equação reduzida da circunferência com o centro no ponto C (4, 7) e raio (x − xC r = 2 . )2 + (y − y )2 = r 2 (x − 4)2 + (y − 7)2 = 22 (x − 4)2 + (y − 7)2 = 4 02. Determinar a equação geral da circunferência com centro no ponto C (2, 3) e passa pelo ponto P (−1, 2). r = d(P, C) r = (−1− 2)2 + (2 − 3)2 r = r = x2 + y2 − 2x x − 2y y + (x C C 2 + y 2 − r 2 )= 0 x2 + y2 − 2 2 x − 2 3 y + 22 + 32 − x2 + y2 − 4x − 6y + (4 + 9 −10) = 0 x2 + y2 − 4x − 6y + 3 = 0 10 2 = 0 (x − x ) + (y − y ) 2 2 C C 10 C C 2 2 2 (x − x ) + (y − y ) = r C C 2 2 y − r )= 0 C 2 x + C 2 2 x + y − 2x x − 2y y + ( C C 19 22 + 42 −19 03. Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 − 4x − 8y +19 = 0 . Solução: Primeiro vamos olhar para o coeficiente do termo em x . Basta dividi-lo por − 2 e obtemos o xC . Fazemos o mesmo com o coeficiente do termo em y . Assim: x = − 4 = 2 C − 2 y = − 8 = 4 , logo, C (2, 4) C − 2 Para achar o raio basta calcular: r = r = r = r = 1 PRATICANDO: 1. Dadas as equações de circunferências abaixo, identificar o raio e as coordenadas do centro: a) x2 + y2 − 8x − 6y +10 = 0 b) x2 + y2 − 5x +11y +1 = 0 2. Determine a equação da circunferência com centro no ponto C e que passa pelo ponto P, nos seguintes casos. a) C (−1, 2) e P (2, 0) b) C (0, 1) e P (1, 2) c) C (1, 2) e P (− 2, 6) 3. Achar a equação reduzida da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos A(0, − 8) e B (6, 0). 4. Determinar a forma geral da equação da circunferência com centro no ponto Q (−1, 2) e raio r = 2 . 5. Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0, 1) e B (1, 4) e tem centro sobre a reta de equação x = 2 . Respostas............................................................................................................................................. 1. a) C(4, 3) r = 15 b) C 5 , − 11 r = 2. a) (x +1)2 + (y − 2)2 = 13 3. (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 2 b) x2 + (y −1)2 = 2 2 c) (x −1)2 + (y − 2)2 = 25 4. x 2 + y 2 + 2x − 4y − 4 = 0 5. (x − 2)2 + (y − 2)2 = 5 4 +16 −19 1 71 2 INTRODUÇÃO 1.1 – PLANO CARTESIANO 1.2 – PONTO 1.2.1 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: PRATICANDO: 1.2.2 – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: PRATICANDO: 1.2.3 – CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS EXERCÍCIO RESOLVIDO: PRATICANDO: 1.3 – RETA 1.3.1 – EQUAÇÕES DA RETA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 0,6 PRATICANDO: 1.3.2 – CONDIÇÕES DE PARALELISMO ENTRE RETAS EXERCÍCIO RESOLVIDO: PRATICANDO: 1.3.3 – INTERSECÇÃO DE RETAS EXERCÍCIO RESOLVIDO: PRATICANDO: 1.3.4 – RETAS PERPENDICULARES EXERCÍCIO RESOLVIDO: PRATICANDO: 1.4 – CIRCUNFERÊNCIA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: PRATICANDO:
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