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APOSTILA GAAL-C1

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1 
 
 
 
GEOMETRIA 
ANALÍTICA PLANA 
 
INTRODUÇÃO 
A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar 
do seu brilhantismo faltava operacionabilidade. Isto só foi conseguido mediante a 
Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em 
álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente 
aparelhada para uma fusão criativa com a geometria. 
Foi com René descartes que surgiu a Geometria Analítica. O interesse de 
Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais 
alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Aos 
vinte e um anos de idade, depois de frequentar rodas matemáticas em Paris (além 
de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das 
armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, 
oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em 
vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É 
que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no 
campo da ciência e da filosofia. 
Fixando as bases de seu trabalho em dois eixos, que se interceptam em um 
ponto, Descartes escreveu, em 1637, o pequeno texto chamado “La Géometrie”, na 
qual intrudus a noção de coordenadas. 
Considerando duas grandezas relacionadas entre si, representou uma delas 
sobre um dos eixos e a outra sobre o outro eixo; construindo, por meio de 
paralelas, os outros dois lados, completou a figura de um paralelogramo, definindo 
e caracterizando um ponto do plano. Mostrou, a seguir, que a relação entre as 
grandezas pode ser representada por uma curva bem definida, ao mesmo tempo 
que demonstrava que a cada curva correspondia uma equação e que a equação de 
um curva permitia o estudos das propriedades dessa curva. 
Capítulo 
11 
2 
 
 
Todo seu trabalho consistia, então, em partir de um problema geométrico, 
traduzí-lo para uma linguagem de equação algébrica e, simplificando o máximo 
essa equação, resolvê-la geometricamente. Sua obra “La Géometrie” se 
caracteriza, então, por uma completa aplicação da Álgebra à Geometria e da 
Geometria à Álgebra. 
 
1.1 – PLANO CARTESIANO 
 
 
Sejam os conjuntos finitos de número reais A = 3, 4 e B = 1, 2, podemos, 
com o auxílio da reta real, representar graficamente os seus elementos. 
A 
0 3 4 
 
B 
0 1 2 
 
É conhecida uma operação entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a 
qual produz como resultado um outro conjunto, em que os novos elementos são 
entidades matemáticas, formadas por duas partes, uma oriunda do conjunto A e 
outra do conjunto B . Essa entidade matemática é denominada par ordenado. 
Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos A e B. 
A B ={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}. Veja que nos elementos de A B , o primeiro 
número no par ordenado é advindo do conjunto A enquanto que o segundo veio do 
conjunto B. Vamos definir uma maneira de representar o conjunto 
utilizaremos também retas reais, porém numa disposição diferente. 
A B e para isso 
 
B 
 
 
 
2 
 
1 
A 
0 3 4 
Utilizando-se de retas reais, 
dispostas uma perpendicular a outra, 
podemos representar esse resultado do 
conjunto A B . A essas retas, nessa 
disposição, chamamos eixos coordenados. 
Na reta que está na posição horizontal, 
representaremos os elementos advindos 
do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos do conjunto B. Como 
podemos perceber, os quatro elementos do conjunto A B foram representados 
 
3 
 
 
fazendo-se o cruzamento de um número advindo do conjunto A com o seu 
respectivo no conjunto B. 
Suponha agora que o conjunto A seja do tipo: A = x  R / 3  x  4 e que o 
conjunto B seja expresso da forma B = x  R /1  x  2. Fazendo agora a operação 
A B , chega-se em uma nova figura mostrada a seguir: 
 
 
B 
 
 
 
2 
 
1 
 
0 3 4 
 
 
 
 
 
 
 
A 
O resultado dessa operação foi uma 
região, um contorno geométrico fechado e 
seu interior. Agora imagina o que acontece 
se definirmos o conjunto A como sendo os 
reais e o conjunto B também. Como é de se 
esperar, se fizermos o produto cartesiano 
dos reais com o próprio conjunto dos reais, 
teremos o que chamamos de plano cartesiano ou ainda de A2 . 
 
 
 
 
1.2 – PONTO 
 
Podemos definir o ponto com sendo o resultado do produto cartesiano entre 
dois conjuntos unitários, ou ainda como sendo um elemento de produto cartesiano 
entre dois conjuntos não vazios. 
y 
 
yP P(xP , yP ) 
 
x 
0 xP 
O ponto pode ser entendido como 
o “endereço” de certa posição num dado 
plano. Como se podem representar pontos 
com pares de números reais, é possível 
definir operações algébricas com esses 
pontos.m 
P é um ponto qualquer, do plano xÔy e para cada P está associado um par 
ordenado, par esse que é representado da seguinte forma: (xP , yP ) onde xP é a 
posição relativa ao eixo x e yP é a posição relativa ao eixo y . 
O ponto é representado no eixo cartesiano por uma coordenada x , 
denominada de abscissa e uma coordenada y , chamada ordenada. 
4 
 
 
 
 
1.2.1 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO 
Sejam A(xA , yA ) e B(xB , yB ) dois pontos do plano. A distância entre esses 
dois pontos é exatamente o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC 
mostrado abaixo. Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, vêm: 
 
y 
B 
yB 
A 
yA C 
 
x 
0 xA xB 
 
Aplicando-se o Teorema de 
Pitágoras, vêm: 
 
d(A, B) = (xB − xA ) + (yB − yA ) 2 2 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
01. Um móvel está sobre uma mesa e o ponto inicial que ele se encontra é o ponto 
P (2, 3). Ele se desloca em linha reta e para no ponto Q (− 6, − 3). Calcular a 
distância que o móvel percorreu. 
d (P, Q) = 
d(P, Q) = 
d (P, Q) = 
d(P, Q) = 
d(P, Q) = 
64 + 36 
= 10 
02. Duas circunferências são tangentes externamente. O centro de uma 
circunferência está no ponto C1 (3, 5) e o centro da outra está no ponto C2 (0, 1). 
Calcule a soma dos raios dessas circunferências. 
d (C1 , C2 ) = 
d(C1 , C2 ) = 
d (C1 , C2 ) = 
d(C1 , C2 ) = 
d(C1 , C2 ) = 
9 +16 
= 5 
 
 
 
 
PRATICANDO: 
 
1. Calcule a distância entre os pontos abaixo: 
a) A(0, 0) e B (3, 4) 
(x − x ) + (y 2 
P Q P Q − y )
2 
+ (3 − (− 3))2 (2 − (− 6))2 
(8)2 + (6)2 
100 
(x − x )2 + (y − y 
C1 C2 C1 C2 
)2 
(3 − 0)2 + (5 −1)2 
(3)2 + (4)2 
25 
5 
 
 
3 
b) M (1, 13) e N (6, 1) 
c) P (7, 0) e Q (1, 8) 
d) R (− 6, 13) e S (−1, 1) 
 
2. Dado um triângulo ABC, com vértices 
seu perímetro. 
A(0, 0), B (12, 5) e C (3, 4) . Calcule o 
3. Seja um hexágono, tal que, A(10, 0), B (5, 5 3), C (− 5, 5 3), D (−10, 0), 
E (− 5, − 5 3) e F (5, − 5 3), são seus vértices. Determine os valores das diagonais 
AC, BD, CE, DF, EA e FB. O que pode se concluir sobre esse hexágono? 
 
4. Determine os valores de x e y que tornam A e B o mesmo ponto: 
a) A(1+ x, y − 2x + 2) e B (− 3, −1+ 3y). 
b) A(2x + y, y − 5) e B (x2 − 4, 2y − 9). 
c) A(x − y − 3, x + y − 3) e B (2x, 3y). 
 
5. A distância do ponto P (a, 1) ao ponto A(0, 2) é igual a 3 . Calcule o número a . 
 
6. Sabe-se que as coordenadas do baricentro de um triângulo qualquer são dadas 
por: 
xG = 
xA + xB + xC 
e
 
3 
yG = 
yA + yB + yC 
 
3 
Calcule as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, com vértices A(− 6, 0), 
B (6, 0) e C (0, 6 3). 
Mostre que GA = GB = GB = 4 . 
 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. a)5 b)13 c)10 d)13 
2. p = 18 + 82 
3. AC = BD = CE = DF = EA = FB = 10 3 . Esse hexágono é regular. 
4. a)x = - 4; y = 5,5; b)x = 4 ou x = -2; y = 4; c)x = - 1; y = -2; 
5. a = 2 2 
6. G = (0, 2 3) 
 
 
 
1.2.2 – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 
 
Em muitos problemas, precisamos determinaras coordenadas do ponto 
médio de um segmento AB em função das coordenadas das extremidades A e B 
do segmento. O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente 
um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. 
6 
 
 
 
y 
yB B 
yM M 
yA A 
 
x 
0 xA xM xB 
Podemos definir o ponto médio 
como o ponto que divide o segmento de 
reta AB exatamente no meio tendo dois 
novos segmentos iguais AM = MB , logo: 
x = 
xA + xB M
 
2
 
y = 
yA + yB M
 
2
 
 
Assim, o ponto médio têm coordenadas: 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
M (xM , yM ) 
01. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB. Dados: A(0, 8), 
B (2, 2). 
x 
 
= 
xA + xB = 
0 + 2 
= 
2 
= 1
 
 
M 2 2 2 
y = 
yA + yB = 
8 + 2 
= 
10 
= 5
 
 
M 2 2 2 
Logo, M (1, 5) 
02. Seja o triângulo ABC. 
média relativa ao lado AB. 
A(0, 0), B (4, 2) e C (6, 4). Determine o valor da base 
 
 
 
x = 
xA + xC = 
0 + 6 
= 
6 
= 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
M (5, 3) 
N 2 2 2 
y = 
yA + yC = 
0 + 4 
= 
4 
= 2
 
 
N 2 2 2 
Assim, N (3, 2) 
A(0, 0) 
C (6, 4) 
 
M 
N 
B (4, 2) 
 
Solução: N é o ponto médio de AC e M 
o ponto médio de BC. A base média é o e 
segmento NM . 
x = 
xB + xC = 
4 + 6 
= 
10 
= 5
 
M 2 2 2 
y + y 2 + 4 6 
yM = 
B C = = = 3 
2 2 2 
 
7 
 
 
 
2 
 
O comprimento de MN é dado pela distância de M à N. 
d(M , N ) = 
d (M , N ) = 
d (M , N ) = 
d(M , N ) = 
 
 
PRATICANDO: 
 
1. Obtenha, em cada caso, as coordenadas do ponto médio do segmento AB . 
a) A (1, 7) e B (11, 3) 
b) A(− 2, 5) e B (− 4, −1) 
c) A(0, 3) e B (0, − 3) 
d) A(− 6, 9) e B (− 2, − 5) 
 
2. Sabe-se que M (a, b) é o ponto médio do segmento AB . Se A(11, − 7) e 
B (− 9, 0), calcule as coordenadas do ponto M . 
 
3. Uma das extremidades de um segmento é o ponto cujas coordenadas são 
(− 2, − 2). O ponto médio desse segmento tem coordenadas (3, − 2). Determine as 
coordenadas x e y da outra extremidade do segmento. 
 
4. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(13, 19). Sendo M (− 9, 30) 
o ponto médio do segmento, calcular as coordenadas do ponto B , que é a outra 
extremidade do segmento. 
 
5. O quadrilátero ABCD está definido pelos pontos A(−1, −1), B (1, 1), C (3, 1) e 
D(−1, − 3). Calcule o perímetro desse quadrilátero. 
 
6. Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 4), B (2, − 6) e C (− 4, 2). 
Calcular o comprimento das medianas do triângulo. 
 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. a) M(6, 5) b) M(-3, 2) c) M(0, 0) d) M(-4, 2) 
2. M 

1, 
 
− 
7  
 
3. (8, -2) 
4. B(-31, 41) 
5. p = 4 + 6 2 
6. 37, 97, 34 
(x − x ) + (y 2 − y ) 2 M N M N 
(5 − 3)2 + (4 − 2)2 
(2)2 + (1)2 
5 
8 
 
 
 
 
1.2.3 – CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS 
A figura a seguir nos mostra três pontos A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) e C (x3 , y3 ) 
que estão alinhados, ou seja, são pontos de uma mesma reta. 
 
y 
y3 C 
y2 B 
 
y1 A 
 
x 
0 x1 x2 x3 
Assim, dados três pontos 
A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) e C (x3 , y3 ), dizemos 
que os pontos estão alinhados se e 
somente se: 
x1 y1 1 
x2 y2 1 = 0 
x3 y3 1 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
01. Determine o valor de m para que os pontos 
sejam colineares. 
 
A(m, 
 
3), 
 
B (− 2, 
 
− 5) e 
 
C (−1, 
 
− 3) 
 
m 3 1 
− 2 − 5 1 = 0  
−1 − 3 1 
 
− 5m − 3 + 6 − 5 + 6 + 3m = 0 
− 2m + 4 = 0 
− 2m = −4 
m = 2 
 
 
PRATICANDO: 
 
1. Verifique se os pontos abaixo estão alinhados: 
a) A(0, 2), B (− 3, 1) e C (4, 5) 
b) A(− 2, 6), B (4, 8) e C (1, 7) 
c) A(−1, 3), B (2, 4) e C (− 4, 10) 
 
2. Dados os pontos A(0, 0) e B (5, 5). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado 
com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s . 
 
3. Dados os pontos A(0, 2) e B (2, 0). Seja um ponto Q(r, s) 
 
que está alinhado 
com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s . 
 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. a) não b) sim c) não 
2. s = r 
3. s = – r + 2 
9 
 
 
 
 
 
1.3 – RETA 
 
Podemos definir uma reta como sendo uma sucessão de infinitos pontos, 
distintos, alinhados. O fato de estarem alinhados confere a existência de uma 
direção constante. Assim sendo pode-se afirmar que para existir uma reta é 
necessário da existência de dois pontos distintos, ou ainda um ponto e uma direção. 
A reta não tem fim e divide o plano que a contém em duas partes. 
 
1.3.1 – EQUAÇÕES DA RETA 
 
A partir do enunciado acima podemos determinar a equação de uma reta se 
soubermos dois pontos pelos quais ela passa. Sendo dados esses dois pontos, ou 
seja, conhecemos as suas coordenadas integralmente, já sabemos que por eles vai 
passar uma reta única. 
y 
yB B 
 
yA  D 
A 
 
x 
0 xA xB 
No segmento formado por A e B 
todos os pontos estão alinhados, assim, 
podemos achar a equação de uma reta 
relacionando as coordenadas genéricas x 
e y de tal forma que, aplicadas na 
condição de alinhamento, a ordenada tem 
como resultado a abcissa ou vice versa. 
 
x y 
xA yA 
xB yB 
1 
1 = 0  
1 
 
x  yA + y  xB + xA  yB − xB  yA − x  yB − y  xA = 0 
 (yA − yB )x + (xB − xA )y + (xA  yB − xB  yA ) = 0 

a 
 

b 

c 
 
(Equação Geral da Reta) 
 
Vamos agora partir da equação encontrada acima e isolar o termo “ y ”, ou 
seja, vamos escrever o y como uma função de “ x ”: 
 yB − yA   xB  yA − xA  yB  
 
y =  x − x x 
+  
x − x  
B A 
m 
B A  
n 
 
(Equação Reduzida da Reta) y = mx + n 
ax + by + c = 0 
10 
 
 
Da figura acima, pode-se ver que foi construído um triângulo retângulo 
ABD com o prolongamento dos segmentos que formam os pontos A e B. O ângulo 
 que aparece como ângulo interno do triângulo ABD é exatamente o ângulo que a 
reta AB forma com a horizontal, pois se tem a situação de duas retas paralelas 
cortadas por uma mesma transversal que forma ângulos correspondentes. O cateto 
oposto a  , BD, tem valor yB − yA e o cateto adjacente AD tem valor xB − xA . 
Podemos então achar o valor da tangente de  da seguinte maneira: 
 
tan =
 cateto aposto a  
=
 
cateto adjacente a  
yB − yA = m 
xB − xA 
 
Veja, o valor do coeficiente que multiplica o “ x ” na equação reduzida é 
numericamente igual à tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal. Devido a 
esse fato, esse coeficiente recebeu um nome de COEFICIENTE ANGULAR. 
Trata-se da parte da reta que dá a sua direção. O outro coeficiente da equação 
reduzida “ n ” é chamado de COEFICIENTE LINEAR e ele tem um significado. 
Se substituirmos “ x = 0 ” na equação reduzida, resulta-se em “ y = n ”, ou seja, esse 
“ n ” é o ponto em que a reta corta o eixo Oy . Assim, conhecendo-se o coeficiente 
angular e um ponto P (x1 , y1 ) em que uma reta passa é possível encontrar sua 
equação da seguinte maneira: 
(Equação da reta) 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os pontos (C, N ) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura. 
Determine a relação entre N e C (100  C  700). 
y − y1 = m(x − x1 ) 
 
N 
115 
 
97 
 
C 
0 100 700 
01. Um grande poluente produzido pela 
queima de combustíveis fósseis é o SO2 
(dióxido de enxofre). Uma pesquisa 
realizada na Noruega e publicada na revista 
"Science" em 1972 conclui que o número 
(N ) de mortes por semana, causadas pela 
inalação de SO2 , estava relacionado com a 
concentração média (C ) em g m3 , do 
SO2 conforme o gráfico ao lado. 
 
11 
 
 
x 
100 
700 
y 
97 
115 
1 
1 = 0  
1 
 
97x + 700 y + 11500 −100 y −115x − 67900 = 0 
 
−18x + 600 y − 56400 = 0 
− 3x + 100 y − 9400 = 0 
100 y = 3x + 9400 
y = − 
3x 
100+ 
9400 
100 
y = −0,03x + 94 
 
x 
C(R$) 
 
31º 
20 
 
x 
0 unidades 
02. Na produção de peças, uma indústria 
tem um custo fixo de R$20,00 mais um 
custo variável por unidade produzida, 
segundo o gráfico. Sendo x o número de 
unidades produzidas, quantas devem ser 
produzidas para que o custo total seja 
R$260,00 . 
Dado : tg 31o = 0,6 
y − y1 = m(x − x1 ) 
y − 20 = 0,6(x − 0) 
y = 0,6x + 20 
260 = 0,6x + 20 
240 = 0,6x 
x = 
240 
0,6 
x = 400 peças 
 
PRATICANDO: 
 
1. Determine as equações das retas que passam pelos pontos indicados abaixo: 
a) A(0, 0), B (2, 4) 
b) A(−1, 1), B (5, 5) 
c) A(0, 
d) A(2, 
e) A(8, 
f) A(0, 
3), 
7), 
3), 
0), 
B (− 2, 
B (− 2, 
B (− 6, 
B (− 3, 
1) 
−13) 
− 4) 
0) 
 
2. Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A(0, 6) e B (6, 0). 
 
3. Dados dos pontos, A(0, 2) e B (− 3, −1), determinar a equação reduzida da reta 
que contém o segmento AB. 
 
12 
 
 
4. Sejam os pontos A(0, 0), B (0, 4), C (4, 4) e D(4, 0) os vértices de um 
quadrilátero. Determine: 
a) A reta suporte que contem a diagonal AC; 
b) A reta suporte que contem a diagonal BD; 
c) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto A e o ponto médio 
do lado CD; 
d) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto médio do lado BC 
e o ponto médio do lado CD. 
 
5. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(2, − 3) e tem coeficiente 
angular 
1 
. 
2 
6. Ache a equação da reta r em cada caso: 
y 
 
1 
 
 
30º 
0 3 x 
y 
 4 
 
 
135º 
x 
– 4 0 
 
7. Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular m = 2 e que cruza 
o eixo y no ponto (0, − 3). 
 
8. Os pontos A(2, 0), B (0, 4) e C (4, 2) são os vértices de um triângulo ABC. 
Determine as equações das retas suportes dos lados desse triângulo. 
 
I intensidade da corrente (A) 
 
12 
 
 
 
U 
0 200 tensão (V) 
09. A intensidade da corrente elétrica I 
que percorre uma resistência depende da 
tensão aplicada V. Determine a equação 
da função que relaciona a intensidade da 
corrente elétrica com a tensão aplicada 
representada no gráfico ao lado e calcule a 
intensidade da corrente elétrica para uma 
tensão de 120V. 
 
10. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. 
Sabendo-se que hoje ela vale R$ 10.000,00 e daqui a 5 anos valerá R$ 1.000,00. 
a) Definir a função depreciação em relação ao tempo. 
b) Calcule o valor da máquina daqui a 3 anos. 
c) Qual o sinal do coeficiente angular da função obtida. 
d) Esboce o gráfico e faça uma análise do item (c). 
 
13 
 
 
Respostas............................................................................................................................................. 
 
1. a) y – 2x = 0 b)2x – 3y + 5 = 0 c) y – x – 3 = 0 d) y – 5x + 3 = 0 e) 2y – x + 2 = 0 f)y = 0 
2. x + y – 6 = 0 
3. y = x + 2 
4. a) y = x b) y = – x + 4 c) y = x/2 d) y = – x + 6 
5. x – 2y – 8 = 0 
6. a) 3 x − y + 1 − 3 b) x + y = 0 
 
3 
7. y = 2x – 3 
8. – 2x – y + 4 = 0 ; – x + y + 2 = 0 ; x + 2y – 8 = 0 
9. 7,2ª 
10. b) 4600 
 
 
 
1.3.2 – CONDIÇÕES DE PARALELISMO ENTRE RETAS 
Sejam as retas r1= m1x + n1 e r 2= m2 x + n2 , contidas no plano, de inclinações 
 1 e  2 , respectivamente. Pode ocorrer: 
 
1º caso: 1= 2 
Neste caso, 
seguintes: 
r1 e r2 são paralelas, conforme podemos observar nas figuras 
y 
r1 r2 
 
 
 
 
 1  2 
0 x 
 
y 
r1 r2 
 
 
 
 1  2 
 
0 x 
 
2º caso: 1= 2 = 90o 
Neste caso particular r1 e r2 são retas verticais. 
 
 
x 0 
 2  1 
r2 r1 
y 
14 
 
 
3º caso: 1 2 
Neste caso, 
 
r1 e 
 
r2 são concorrentes: 
 
y 
r2 r1 
 
 
 2 
 1 
0 x 
 
y 
r2 r1 
 
 
 
 2 
1 
0 x 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
01. Determinar a equação da reta r , que é paralela à reta s de equação 
 
 
y − 3x + 5 = 0 
e que passa pelo ponto P (2, 3). 
y − 3x + 5 = 0  y = 3x − 5 = 0  m = 3 
y − y1 = m (x − x1 ) 
y − 3 = 3(x − 2) 
y − 3 = 3 x − 6 
− 3x + y + 3 = 0 
3x − y − 3 = 0 
 
 
 
 
PRATICANDO: 
1. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto 
de equação 8x − 2y +1 = 0 . 
 
A(3, 
 
− 5) 
 
e é paralela à reta 
 
2. A figura ABCD é um quadrado. 
Determinar a equação da reta suporte do 
lado AB. 
y D (4, 8) 
C (8, 6) 
A 
 
B (6, 2) 
0 x 
15 
 
 
3. As retas r e s são dadas na forma de determinantes. Para que valores de a as 
retas são paralelas? 
x y 1 
1 2 1 = 0 e 
a 0 1 
x y 
1 1 
− 1 a 
1 
1 = 0 
1 
 
4. Ache a equação da reta r que é paralela à reta 3x − 2y +1 = 0 e que passa pelo 
ponto A(− 2, 5). 
 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. 4x – y – 17 = 0 
2. x + 2y – 10 = 0 
3. a = – 1 ou a = 3 
4. 3x – 2y +16 = 0 
 
 
1.3.3 – INTERSECÇÃO DE RETAS 
 
Sabemos que duas retas não paralelas e nem coincidentes se interceptam 
uma única vez. Assim, dadas duas retas, achar a sua intersecção é determinar o x e o 
y, que satisfazem ao mesmo tempo as duas equações. 
y 
r1 
 
 
P (x, y) 
r2 
 
0 x 
Para obtermos as coordenadas 
(x, y) do ponto, resolvendo uns sistema de 
primeiro grau formado pelas equações das 
duas retas. 
r  r = 
a1x + b1 y + c1 = 0 
1 2  
a2 x + b2 y + c2 = 0 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
01. As retas r e s , de equações x + y − 4 = 0 e 2x − y +1 = 0 , respectivamente, se 
interceptam num ponto P (x, y). Determine as coordenadas do ponto P . 
 
x + y − 4 = 0 
 
x + y = 4 
 
2x − y + 1 = 0 2 x − y = −1 
3x = 3 
x = 1 
→ x + y = 4 
1 + y = 4 
y = 4 − 1 
y = 3 
P (1, 3) 
16 
 
 
 
7
 
7 
  
4
 0 
 
5
 
2 8 
 
 
 
PRATICANDO: 
 
1. Ache as intersecções entre os pares de retas abaixo: 
a) 2x + y −1 = 0 e 3x + 2y − 4 = 0 
b) y = 3x − 4 e y − x + 6 = 0 
c) y + 8x − 4 = 0 e y + x + 7 = 0 
d) y − 4x + 5 = 0 e o eixo Ox 
e) y − 5x + 2 = 0 e o eixo Oy 
 
2. Uma reta r é determinada pelos pontos A(2, 0) e B (0, 4), e uma reta s é 
determinada pelos pontos C (− 4, 0) e D(0, 2). Seja P (a, b) o ponto de intersecção 
das retas r e s . Determine as coordenadas do ponto P . 
 
3. As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são: x + 6y −11 = 0 , 
3x − 2y + 7 = 0 e x − 6y − 5 = 0 . Determinar as coordenadas dos vértices do triângulo. 
 
4. Mostre que as retas de equação 
concorrem no mesmo ponto. 
2x + 3y −1 = 0 , x + y = 0 e 3x + 4y −1 = 0 
 
Respostas............................................................................................................................................. 
 
1. a) (-2, 5) b) (-1, -7) c) 11 ,
 
 
− 
60  
 
d)  5 , 
 
  
 
e) (0, -2) 
2. P 
 4 
, 
 
12  
 
 
3. A(−1, 2), B8, 1  , 
 
 
C 

− 
13 
, 
 
 
− 
11 
 
 
 
4. P(-1, 1) 
    
   4  
 
 
 
 
 
1.3.4 – RETAS PERPENDICULARES 
 
Como vimos antes, a parte da equação de uma reta que está vinculada com 
a sua direção é o coeficiente angular, assim sendo, esse resultado que estamos 
querendo sai em função desses coeficientes, que são de antemão conhecidos. 
 
y 
r1 
 
r2 
P 
 2 
 1 
0 x 
 
Duas retas r1 e r2 , concorrentes, 
de coeficientes m1 e m2 , respectivamente, 
são perpendiculares se, e somente se: 
m = − 
1
 
1 
m
 
2 
5 
17 
 
 
  
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
01. Determinar o valor de k para que a reta r de equação 
 
kx − 9y −1 = 0 , seja 
perpendicular à reta s , de equação 2x + 6y − 3 = 0 . 
 
Sejam 
m1, o coeficient e angular de r; 
 
m2 , o coeficient e angular de s; 
Calculo de m1 : 
kx− 9y −1 = 0  − 9y = −kx+1 
9 y = kx −1 
y = 
k 
x − 
1 
 
 
m = 
k
 
 
Calculo de 
 
m2 : 
9 9 1 9 
2x + 6y − 3 = 0  6y = −2x + 3 
y = − 
1 
x = 
1 
 m = − 
1
 
 
3 2 2 3 
Aplicando a condição de perpendicularidade: 
 
r ⊥ s  m1 
= − 
1
 
m2 
 
k 
= − 
1
 
9 
− 
1 
3 
 − 
1 
k = −9  
3 
 
k = 27 
 
 
PRATICANDO:1. Dada a reta r de equação 2x − y + 5 = 0 e o ponto P (3, 5), determinar a equação 
da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r . 
 
2. Dados os pontos 
segmento. 
A(1, 3) e B(− 3, − 5), determinar a equação da mediatriz desse 
 
3. As retas de equação 
Determine a . 
x + 2y − a = 0 e 4x + ay − 7 = 0 , são perpendiculares. 
4. Determine a equação da reta que passa pelo ponto 
reta de equação 3x + 4y = 4 . 
A(− 3, 2) e é perpendicular à 
 
5. Escreva a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A(5, 0) e é 
perpendicular à reta de equação x − 5 = 
y + 3 
.
 
3 2 
 y −1 x 4 
6. A equação de uma reta r é dada por  1 1 1 = 0 . Determine a equação da 
 2 1 0 
reta que passa pelo ponto (4, 7) e é perpendicular a r . 
 
7. Determine a área da região do plano limitada pelas retas y = 3x , x + y = 4 e y = 0 . 
18 
 
 
9 +1 
C 
( ) 
Respostas............................................................................................................................................. 
1. x + 2y – 13 = 0 
2. x+ 2y + 3 = 0 
3. a = −2 
4. 4x – 3y + 18 = 0 
5. y = − 
3 
x + 
15
 
2 2 
6. x +2y – 18 = 0 
7. b 
 
 
1.4 – CIRCUNFERÊNCIA 
 
Denomina-se CIRCUNFERÊNCIA o conjunto de todos os pontos de um 
plano equidistantes de um ponto fixo 
RAIO. Veja sua equação: 
P (x, y). Essa distância fixa é chamada 
 
d(P, C) = r  = r  elevando − se os membros ao quadrado 
 
(equação reduzida da circunferência) 
 
Desenvolvendo a equação reduzida, encontramos a equação geral da 
circunferência. 
(equação geral da circunferência) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
01. Determinar a equação reduzida da circunferência com o centro no ponto C (4, 7) 
e raio 
(x − xC 
r = 2 . 
)2 + (y − y )2 = r 2 
(x − 4)2 + (y − 7)2 = 22 
(x − 4)2 + (y − 7)2 = 4 
02. Determinar a equação geral da circunferência com centro no ponto 
 
 
C (2, 
 
 
3) e 
passa pelo ponto P (−1, 2). 
r = d(P, C)  r = (−1− 2)2 + (2 − 3)2  r =  r = 
x2 + y2 − 2x x − 2y y + (x 
C C 
2 + y 
2 
− r 2 )= 0 
x2 + y2 − 2  2  x − 2  3 y +  22 + 32 − 
 
x2 + y2 − 4x − 6y + (4 + 9 −10) = 0 
x2 + y2 − 4x − 6y + 3 = 0 
10 
2  = 0 
 
(x − x ) + (y − y ) 2 2 
C C 
10 
C C 
2 2 2 (x − x ) + (y − y ) = r 
C C 
2 2 y − r )= 0 
C 
2 
x + C 
2 2 x + y − 2x x − 2y y + ( 
C 
C 
 
19 
 
 
22 + 42 −19 
03. Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação 
x2 + y2 − 4x − 8y +19 = 0 . 
Solução: Primeiro vamos olhar para o coeficiente do termo em x . Basta dividi-lo por − 2 e 
obtemos o xC . Fazemos o mesmo com o coeficiente do termo em y . Assim: 
x = 
− 4 
= 2 
C − 2 
y = 
− 8 
= 4 , logo, C (2, 4) 
C − 2 
Para achar o raio basta calcular: 
r =  r =  r =  r = 1 
 
 
PRATICANDO: 
 
1. Dadas as equações de circunferências abaixo, identificar o raio e as coordenadas 
do centro: 
a) x2 + y2 − 8x − 6y +10 = 0 b) x2 + y2 − 5x +11y +1 = 0 
 
2. Determine a equação da circunferência com centro no ponto C e que passa pelo 
ponto P, nos seguintes casos. 
a) C (−1, 2) e P (2, 0) b) C (0, 1) e P (1, 2) c) C (1, 2) e P (− 2, 6) 
 
3. Achar a equação reduzida da circunferência cujas extremidades de um diâmetro 
são os pontos A(0, − 8) e B (6, 0). 
 
4. Determinar a forma geral da equação da circunferência com centro no ponto 
Q (−1, 2) e raio r = 2 . 
 
5. Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0, 1) e B (1, 4) e 
tem centro sobre a reta de equação x = 2 . 
Respostas............................................................................................................................................. 
 1. a) C(4, 3) r = 15 b) C 
 5 
, − 
11 
r = 
 
 
2. a) (x +1)2 + (y − 2)2 = 13 
3. (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 
 
 2 
b) x2 + (y −1)2 = 2 
 
2  
c) (x −1)2 + (y − 2)2 = 25 
4. x 2 + y 2 + 2x − 4y − 4 = 0 
5. (x − 2)2 + (y − 2)2 = 5 
4 +16 −19 1 
71 
2 
	INTRODUÇÃO
	1.1 – PLANO CARTESIANO
	1.2 – PONTO
	1.2.1 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO
	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
	PRATICANDO:
	1.2.2 – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
	PRATICANDO:
	1.2.3 – CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
	EXERCÍCIO RESOLVIDO:
	PRATICANDO:
	1.3 – RETA
	1.3.1 – EQUAÇÕES DA RETA
	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
	0,6
	PRATICANDO:
	1.3.2 – CONDIÇÕES DE PARALELISMO ENTRE RETAS
	EXERCÍCIO RESOLVIDO:
	PRATICANDO:
	1.3.3 – INTERSECÇÃO DE RETAS
	EXERCÍCIO RESOLVIDO:
	PRATICANDO:
	1.3.4 – RETAS PERPENDICULARES
	EXERCÍCIO RESOLVIDO:
	PRATICANDO:
	1.4 – CIRCUNFERÊNCIA
	EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
	PRATICANDO:

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