ELECTROMAGNETISMO-TOMO I EDMINISTER (SOLUCIONARIO) (1)

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ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh
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ELECTROMAGNETISMO 
 
SOLUCIONARIO 
 
TOMO I 
 
Capítulo N° 1 al Capítulo N° 7 
 
28/10/2015 
 
Contenido: 
Capítulo Nº 1 Análisis vectorial (Todos los problemas resueltos) 
Capítulo Nº 2 Fuerzas de Coulomb e Intensidad del campo eléctrico (17 problemas resueltos) 
Capítulo Nº 3 Flujo eléctrico y Ley de Gauss (15 problemas resueltos) 
Capítulo Nº 4 Divergencia y Teorema de divergencia (23 problemas resueltos) 
Capítulo Nº 5 Energía y Potencial eléctrico de los sistemas de carga (11 problemas resueltos) 
Capítulo Nº 6 Corriente, Densidad de corriente y Conductores (14 problemas resueltos) 
Capitulo Nº 7 Capacitancia y Materiales dieléctricos (17 problemas resueltos) 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
Capítulo 1 
Análisis vectorial 
Problemas suplementarios 
𝟏. 𝟏𝟖. Dados �⃗⃗� = 4𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 10𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ y �⃗⃗� = 2𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ , encuentre la proyección de �⃗⃗� sobre 
�⃗⃗� . 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔? 
�⃗⃗� = 4𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 10𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� = 2𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ 
𝑮𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂: 
 
𝑃𝑟𝑜𝑦. �⃗⃗� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 �⃗⃗� = �⃗⃗� . 𝐚𝐵⃗⃗ ⃗⃗ =
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
|�⃗⃗� |
 
𝑃𝑟𝑜𝑦. �⃗⃗� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 �⃗⃗� =
2(0) + 4(3) + 10(0)
√(2)2 + (3)2
=
𝟏𝟐
√𝟏𝟑
 
𝟏. 𝟏𝟗. Dados �⃗⃗� = (
10
√2
) (𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) y �⃗⃗� = 3(𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ), exprese la proyección de �⃗⃗� sobre 
�⃗⃗� como un vector en la dirección de �⃗⃗� . 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔? 
�⃗⃗� = (
10
√2
) (𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) 
�⃗⃗� = 3(𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) 
𝑃𝑟𝑜𝑦. �⃗⃗� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 �⃗⃗� = �⃗⃗� . 𝐚𝐴⃗⃗⃗⃗ =
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
|�⃗⃗� |
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
𝑃𝑟𝑜𝑦. �⃗⃗� 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 �⃗⃗� =
(0) (
10
√2
) + 3(0) + 3 (
10
√2
)
√(
10
√2
)
2
+ (
10
√2
)
2
=
𝟑√𝟐
𝟐
= 𝟐. 𝟏𝟐 
𝟏. 𝟐𝟎. Halle el ángulo entre �⃗⃗� = 10𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 2𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ y �⃗⃗� = −4𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 0.5𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ usando tanto el 
producto escalar como el producto vectorial. 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔? 
�⃗⃗� = 10𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 2𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� = −4𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 0.5𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
Producto escalar 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� 𝑥�⃗⃗� 𝑥 + �⃗⃗� 𝑦�⃗⃗� 𝑦 + �⃗⃗� 𝑧�⃗⃗� 𝒛 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = 10(−4) + 2(0.5) = −39 
cosθ =
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
|�⃗⃗� ||�⃗⃗� |
=
−39
(√(10)2 + (2)2) (√(−4)2 + (0.5)2)
= −0.9486832981 
𝜃 = 161.5° 
Producto vectorial 
�⃗⃗� x �⃗⃗� = |
�⃗� 𝑥 �⃗� 𝑦 �⃗� 𝑧
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
| 
�⃗⃗� x �⃗⃗� = |
�⃗� 𝑥 �⃗� 𝑦 �⃗� 𝑧
0 10 2
0 −4 0.5
| = 5𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 8𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ = 13𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ 
|�⃗⃗� x �⃗⃗� | = √(13)2 = 13 
Entonces, como |�⃗⃗� x �⃗⃗� | = |�⃗⃗� ||�⃗⃗� |senθ 
senθ =
|�⃗⃗� x �⃗⃗� |
|�⃗⃗� ||�⃗⃗� |
=
13
41.10960958
= 0.316227766 
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𝜃 = 18.43494882° 
Donde 180 − 18.43494882 = 161.5° 
𝟏. 𝟐𝟏. Halle el ángulo entre �⃗⃗� = 5.8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 1.55𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ y �⃗⃗� = −6.93𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 4𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ usando tanto el 
producto escalar como el producto vectorial. 
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔? 
�⃗⃗� = 5.8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 1.55𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� = −6.93𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 4𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
Producto escalar 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = �⃗⃗� 𝑥�⃗⃗� 𝑥 + �⃗⃗� 𝑦�⃗⃗� 𝑦 + �⃗⃗� 𝑧�⃗⃗� 𝒛 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = 5.8(−6.93) + 1.55(4) = −33.994 
cosθ =
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
|�⃗⃗� ||�⃗⃗� |
=
−33.994
(√(5.8)2 + (1.55)2) (√(−6.93)2 + (4)2)
= −0.7076530162 
𝜃 = 135° 
Producto vectorial 
�⃗⃗� x �⃗⃗� = |
�⃗� 𝑥 �⃗� 𝑦 �⃗� 𝑧
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
| 
�⃗⃗� x �⃗⃗� = |
�⃗� 𝑥 �⃗� 𝑦 �⃗� 𝑧
0 5.8 1.55
0 −6.93 4
| = 23.2𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 10.7415𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ = 33.9415𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ 
|�⃗⃗� x �⃗⃗� | = √(33.9415)2 = 33.9415 
Entonces, como |�⃗⃗� x �⃗⃗� | = |�⃗⃗� ||�⃗⃗� |senθ 
senθ =
|�⃗⃗� x �⃗⃗� |
|�⃗⃗� ||�⃗⃗� |
=
33.9415
48.03766708
= 0.7065601238 
𝜃 = 44.9557223° 
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Donde 180 − 44.9557223° = 135° 
𝟏. 𝟐𝟐. Dado el plano 4𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 12, halle el vector unidad normal a la superficie 
dirigida hacia afuera del origen. 
4𝐚𝑥 + 3𝐚𝑦 + 2𝐚𝑧
√(4)² + (3)² + (2)²
=
4𝐚𝑥 + 3𝐚𝑦 + 2𝐚𝑧
√29
 
𝟏. 𝟐𝟑. Demuestre que los campos vectoriales �⃗⃗� y �⃗⃗� son siempre perpendiculares si 
𝐀𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗𝐁𝑥⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐀𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗𝐁𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐀𝑧⃗⃗ ⃗⃗ 𝐁𝒛⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟎. 
Como el producto escalar contiene cos 𝜃, un producto escalar igual a cero, proveniente 
de dos vectores cualesquiera diferentes de cero, implica que 𝜃 = 90°. 
𝟏. 𝟐𝟒 Halle la relación que deben satisfacer las componentes cartesianas de �⃗⃗� y �⃗⃗� si los 
campos vectoriales son siempre paralelos. 
𝑅𝑒𝑠𝑝. 
𝐀𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝐁𝑥⃗⃗ ⃗⃗ 
=
𝐀𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝐁𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗
=
𝐀𝑧⃗⃗ ⃗⃗ 
𝐁𝑧⃗⃗ ⃗⃗ 
 
𝟏. 𝟐𝟓 Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde un punto arbitrario sobre 
la línea descrita por 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟑. 
�⃗� =
(𝟎 − 𝟎)𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ + (𝟎 − 𝟑)𝐚𝒚⃗⃗⃗⃗ + (𝟎 − 𝒛)𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ 
√(−𝟑)𝟐 + (−𝒛)²
 
𝑅𝑒𝑠𝑝. �⃗� =
−𝟑𝐚𝒚⃗⃗⃗⃗ − 𝒛𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ 
√𝟗 + 𝒛²
 
𝟏. 𝟐𝟔 Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) desde un punto 
arbitrario en el punto 𝒚 = −𝟓. 
𝑅𝑒𝑠𝑝. �⃗� =
(𝒙𝟏 − 𝒙)𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ + (𝒚𝟏 + 𝟓)𝐚𝒚⃗⃗⃗⃗ + (𝒛𝟏 − 𝒛)𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ 
√(𝒙𝟏 − 𝒙)𝟐 + (𝒚𝟏 + 𝟓)𝟐 + (𝒛𝟏 − 𝒛)²
 
1.27 Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (0, 0, ℎ) desde un punto arbitrario 
en el plano 𝑧 = −2. Explique el resultado cuando ℎ se aproxima a −2. 
�⃗� =
(𝟎 − 𝒙)𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ + (𝟎 − 𝒚)𝐚𝒚⃗⃗⃗⃗ + (𝒉 + 𝟐)𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ 
√(𝟎 − 𝒙)𝟐 + (𝟎 − 𝒚)𝟐 + (𝒉 + 𝟐)²
 
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𝑅𝑒𝑠𝑝. �⃗� =
−𝒙 𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ − 𝒚 𝐚𝒚⃗⃗⃗⃗ + (𝒉 + 𝟐)𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ 
√𝒙² + 𝒚𝟐 + (𝒉 + 𝟐)²
 
Si ℎ se aproxima a −2 el vector seria el siguiente: 
�⃗� =
−𝒙 𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ − 𝒚 𝐚𝒚⃗⃗⃗⃗ 
√𝒙² + 𝒚𝟐
 
1.28 Dados �⃗⃗� = 5𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ y �⃗⃗� = 4𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑦𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ halle un 𝑩𝒚 tal que el ángulo entre �⃗⃗� y �⃗⃗� sea 
45°. Si �⃗⃗� tiene también un término 𝐵𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ , ¿Qué relación debe existir entre 𝐵𝑦 y 𝐵𝑧? 
Datos: 
�⃗⃗� = 5𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� = 4𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑦𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ 
𝑩𝒚 = ? 
Producto vectorial 
�⃗⃗� x �⃗⃗� = |
�⃗� 𝑥 �⃗� 𝑦 �⃗� 𝑧
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
| 
�⃗⃗� x �⃗⃗� = |
�⃗� 𝑥 �⃗� 𝑦 �⃗� 𝑧
5 0 0
4 𝐵𝑦 0
| = 5𝐵𝑦�⃗� 𝑧 
Entonces, como |�⃗⃗� x �⃗⃗� | = |�⃗⃗� ||�⃗⃗� |senθ 
senθ =
|�⃗⃗� x �⃗⃗� |
|�⃗⃗� ||�⃗⃗� |
 
𝑠𝑒𝑛45 =
5𝐵𝑦�⃗� 𝒛
5 ∗ (√16 + 𝐵𝑦2)
 
√16 + 𝐵𝑦2 =
𝐵𝑦�⃗� 𝒛
𝑠𝑒𝑛45
 
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16 + 𝐵𝑦
2 =
𝐵𝑦
2
0.5
 
8 + 0.5𝐵𝑦
2 = 𝐵𝑦
2 
0.5𝐵𝑦
2 = 8 
𝐵𝑦
2 = 16 
𝑩𝒚 = ± 𝟒 
�⃗⃗� x �⃗⃗� = |
�⃗� 𝑥 �⃗� 𝑦 �⃗� 𝑧
5 0 0
4 4 𝐵𝑧
| = 20𝐚𝐳⃗⃗ ⃗ − 5𝐵𝑧𝐚𝐲⃗⃗⃗⃗ = 5(4𝐚𝐳⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝑧𝐚𝐲⃗⃗⃗⃗ ) 
𝑠𝑒𝑛45 =
5(4𝐚𝐳⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝑧𝐚𝐲⃗⃗⃗⃗ )
5 ∗ (√32 + 𝐵𝑧2)
 
√32 + 𝐵𝑧2 =
4𝐚𝐳⃗⃗ ⃗ − 𝐵𝑧𝐚𝐲⃗⃗⃗⃗ 
𝑠𝑒𝑛45
 
32 + 𝐵𝑧
2 =
16 + 𝐵𝑧
2
0.5
 
𝑩𝒛 = 𝟎 
𝑹𝒆𝒔𝒑.𝑩𝒚 = ± 𝟒, √(𝑩𝒚)𝟐 + (𝑩𝒛)𝟐 = 𝟒 
1.29 Demuestre que el valor absoluto de �⃗⃗� . �⃗⃗� x 𝐂 es el volumen del paralelepípedo con 
aristas �⃗⃗� , �⃗⃗� y 𝐂 . (Sugerencia: Primero demuestre que |�⃗⃗� . 𝐂 | es el área de la base.) 
 
Volumen del paralelepípedo = A⃗⃗ . B⃗⃗ x C⃗ 
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Volumen = Superficie de la base * Longitud de la altura 
Superficie de la base = longitud de la base * Altura 
𝑆𝑒𝑛𝛼 =
𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝
𝐻𝑖𝑝
 
𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝 = 𝐻𝑖𝑝 ∗ 𝑆𝑒𝑛𝛼 
Altura = 𝐶 𝑠𝑒𝑛𝛼 
Superficie de la base = 𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛𝛼 
Superficie de la base = |�⃗⃗� × 𝐂 | 
Longitud de la altura = 𝐏𝐫𝐨𝐲 �⃗⃗� 𝐬𝐨𝐛𝐫𝐞 �⃗⃗� × 𝐂 =
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ×𝐂 
|�⃗⃗� ×𝐂 |
 
Volumen = |�⃗⃗� × 𝐂 | ∗
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ×𝐂 
|�⃗⃗� ×𝐂 |
= �⃗⃗� . �⃗⃗� 𝐱 𝐂 
1.30 Dados �⃗⃗� = 2𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� = 3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ , y 𝐂 = −𝟐𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 6𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ − 4𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ , demuestre
que 𝐂 
es perpendicular a �⃗⃗� y a �⃗⃗� . 
Datos: 
�⃗⃗� = 2𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� = 3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ 
𝐂 = −𝟐𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 6𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ − 4𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
Como el producto escalar contiene cos 𝜃, un producto escalar igual a cero, proveniente 
de dos vectores cualesquiera diferentes de cero, implica que 𝜃 = 90°. 
�⃗⃗� ∙ 𝐂 = (𝟐)(−𝟐) + (𝟎)(𝟔) + (−𝟏)(−𝟒) = 𝟎 
�⃗⃗� ∙ 𝐂 = (𝟑)(−𝟐) + (𝟏)(𝟔) + (𝟎)(−𝟒) = 𝟎 
1.31 Dados �⃗⃗� = 𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� = 2𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ y 𝐂 = −𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ , halle �⃗⃗� . �⃗⃗� x 𝐂 . Examine otras 
variantes del triple producto escalar. 
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1.32 Con los vectores del problema 1.31, halle (�⃗⃗� x �⃗⃗� ) x 𝐂 . 
 
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1.33 Encuentre el vector unidad dirigido desde (2, −5,−2) hacia (14,−5, 3). 
�⃗⃗� = (14 − 2)𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + (−5 + 5)𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + (3 + 2)𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� = 12𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
|�⃗⃗� | = √(12)2 + (5)² 
|�⃗⃗� | = √144 + 25 
|�⃗⃗� | = 13 
�⃗� =
12𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
13
 
1.34 Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas 
cilíndricas para los puntos (𝐫𝟏, 𝚽𝟏, 𝐳𝟏) y (𝐫𝟐,𝚽𝟐, 𝐳𝟐). Hágase la misma pregunta 
respecto de las coordenadas esféricas. 
Si se dice que las coordenadas cilíndricas no se pueden utilizar para el problema 1.1 es 
porque el problema está planteado para un espacio libre sin ningún solido que tenga 
radio y ángulo entonces para las coordenadas esféricas que también no se podrá utilizar 
ya que también contiene radio y ángulo. 
1.35 Verifique que la distancia 𝑑 entre los dos puntos del problema 1.34 está dada por: 
𝐝² = 𝐫𝟏
𝟐 + 𝐫𝟐
𝟐 − 𝟐𝐫𝟏𝐫𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝚽𝟐 − 𝚽𝟏) + (𝐳𝟐 − 𝐳𝟏)² 
Atravez de esta fórmula se puede calcular la distancia entre dos puntos en coordenadas 
cilíndricas en tres dimensiones. 
1.36 Halle el vector dirigido desde (𝟏𝟎,
𝟑𝛑
𝟒
,
𝛑
𝟔
) hacia (𝟓,
𝛑
𝟒
, 𝛑), donde los puntos están 
dados en coordenadas esféricas. 
Datos: 
𝑷𝟏 = (𝟏𝟎,
𝟑𝛑
𝟒
,
𝛑
𝟔
) 
 𝑷𝟐 = (𝟓,
𝛑
𝟒
, 𝛑) 
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1.37 Halle la distancia entre (𝟐,
𝛑
𝟔
, 𝟎) y (𝟏, 𝛑, 𝟐). Los puntos están dados en 
coordenadas cilíndricas. 
 
𝑃1 = (𝑟𝑐𝑜𝑠𝛷, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛷, 𝑧) ; 𝑃2 = (𝑟𝑐𝑜𝑠𝛷, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛷, 𝑧) 
𝑃1 = (2𝑐𝑜𝑠30, 2𝑠𝑒𝑛30, 0) ; 𝑃2 = (𝑐𝑜𝑠180, 𝑠𝑒𝑛180, 2) 
𝑃1 = (1.732, 1, 0) ; 𝑃2 = (−1, 0, 2) 
𝑑 = √(1.732 + 1)2 + (1)2 + (−2)² 
𝑑 = √(2.732)2 + 1 + 4 
𝑑 = √12.463 
𝐝 = 𝟑. 𝟓𝟑 
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1.38 Halle la distancia entre (𝟏,
𝛑
𝟒
, 𝟎) y (𝟏,
𝟑𝛑
𝟒
, 𝛑). Los puntos están dados en 
coordenadas esféricas. 
 
 
 
𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛷 
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝛷 
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑃1 = (1 ∗ 𝑠𝑒𝑛45 ∗ 𝑐𝑜𝑠0, 1 ∗ 𝑠𝑒𝑛45 ∗ 𝑠𝑒𝑛0, 𝑐𝑜𝑠45) 
𝑃1 = (0.707, 0, 0.707) 
𝑃2 = (1 ∗ 𝑠𝑒𝑛135 ∗ 𝑐𝑜𝑠180, 1 ∗ 𝑠𝑒𝑛135 ∗ 𝑠𝑒𝑛180, 1 ∗ 𝑐𝑜𝑠135) 
𝑃2 = (−0.707, 0, −0.707) 
𝑑 = √(0.707 + 0.707)2 + (0)2 + (0.707 + 0.707)² 
𝑑 = √1.999 + 1999 
𝑑 = √4 
𝐝 = 𝟐 
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1.39 Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región 0 ≤ 𝛷 ≤ 𝛼 
sobre la concha esférica de radio 𝑎. ¿Cuál es el resultado cuando 𝛼 = 2𝜋? 
𝑑𝑆 = 𝑟² 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝛷 
∫𝑑𝑆 = ∫ ∫ 𝑟²𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝛷
𝛼
0
𝜋
0
 
𝑆 = 𝑟² ∗ |− cos 𝜃|0
𝜋 ∗ |𝛷|0
𝛼 
𝑆 = 𝑟² ∗ (−(cos 180 − cos 0)) ∗ (𝛼) 
𝐀 = 𝟐𝛂𝐚² 
𝐀 = 𝟒𝛑𝐚² 
1.40 Utilice coordenadas cilíndricas hallar el área de la superficie curva de un cilindro 
circular recto de radio 𝒂 y altura 𝒉. 
𝑑𝑆 = 𝑟𝑑𝛷𝑑𝑧 
∫𝑑𝑆 = ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝛷 𝑑𝑧
ℎ
0
2𝜋
0
 
𝐒 = 𝟐𝛑𝐚𝐡 
1.41 Utilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el volumen del cilindro 
circular recto del problema 1.40. 
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝛷𝑑𝑧 
∫𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑Φ𝑑𝑧
ℎ
0
𝑎
0
2𝜋
0
 
𝑣 = (2𝜋)(ℎ) |
𝑟²
2
|
0
𝑎
 
𝑣 = 𝜋ℎ(𝑎² − 0) 
𝒗 = 𝝅𝒂²𝒉 
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1.42 Utilice coordenadas esféricas para escribir las áreas diferenciales de superficie 𝑑𝑆1 
y 𝑑𝑆2 y luego integre para obtener las áreas de las superficies marcadas con 1 y 2 en la 
figura. 
 
𝑑𝑆1 = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 
𝑑𝑆1 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 
𝑆1 = ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝜋/2
0
𝑟
0
 
𝑆1 = |
𝑟²
2
|
0
𝑟
∗ |𝜃|0
𝜋/2
 
𝑆1 =
𝑟²
2
∗
𝜋
2
 
𝑆1 =
𝜋
4
𝑟² 
𝑆1 =
𝜋
4
 
𝑑𝑆2 = 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝛷 
𝑆2 = 𝑟²∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜋/6
0
𝜋/2
0
𝑑𝜃𝑑𝛷 
𝑆2 = 𝑟² ∗ |−𝑐𝑜𝑠𝜃|0
𝜋
2 ∗ |𝛷|0
𝜋/6
 
𝑆2 = 𝑟² ∗ (− (𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
− 𝑐𝑜𝑠0)) ∗ (
𝜋
6
) 
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𝑆2 = 𝑟²
𝜋
6
 
𝑆2 =
𝜋
6
 
1.43 Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de una concha hemisférica de 
radio interno 2 m y radio externo 2.02 m. 
Datos: 
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 2 𝑚 
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 2.02 𝑚 
𝑑𝑣 = 𝑟²𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷 
∫𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑Φ
2𝜋
0
𝜋/2
0
2.02
0
 
𝑣 = |
𝑟3
3
|
2
2.02
|− cos 𝜃|0
𝜋/2(2𝜋) 
𝑣 = (
(2.02)3
3
−
(2)3
3
)2𝜋 
𝑣 = 0.08(2𝜋) 
𝒗 = 𝟎. 𝟏𝟔𝝅 𝒎³ 
1.44 Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre 
para obtener el volumen definido por 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 𝑚, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2 y 0 ≤ 𝛷 ≤ 𝜋/2. 
𝑑𝑣 = 𝑟² 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷 
∫𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝑟² 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷
𝜋/2
0
𝜋/2
0
2
1
 
𝑣 = |
𝑟³
3
|
1
2
∗ |− cos 𝜃|0
𝜋
2 ∗ |𝛷|0
𝜋
2 
𝑣 = (
23
3
−
13
3
) ∗ (−(cos 90° − cos 0)) ∗
𝜋
2
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
𝑣 =
7
3
∗
𝜋
2
 𝑚³ 
𝑣 =
7𝜋
6
 𝑚³ 
1.45 Transforme el vector �⃗⃗� = 𝐴𝑥𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑦𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ a coordenadas cilíndricas. 
 
1.46 Transforme el vector �⃗⃗� = 𝐴𝑟𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝜃𝐚𝜃⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝛷𝐚𝛷⃗⃗⃗⃗ ⃗ a coordenadas cartesianas. 
 
1.47 Transforme el vector 𝐅 = 𝑟−1𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ que está expresado en coordenadas esféricas, a 
coordenadas cartesianas. 
𝐅 =
x𝐚𝐱⃗⃗⃗⃗ + y𝐚𝐲⃗⃗⃗⃗ + z𝐚𝐳⃗⃗ ⃗
x² + y² + z²
 
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1.48 En coordenadas cilíndricas 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 define un cilindro recto y 𝐅 = 𝐹𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
describe una fuerza que es normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la 
superficie y la fuerza en coordenadas cartesianas. 
𝑥² + 𝑦² = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 
𝐅 =
x𝐚𝐱⃗⃗⃗⃗ + y𝐚𝐲⃗⃗⃗⃗ 
√x² + y²
 
1.49 Transforme el campo vectorial 𝐅 = 2 cos 𝜃 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐚𝜃⃗⃗⃗⃗ a coordenadas 
cartesianas. 
𝐅 =
3xz𝐚𝐱⃗⃗⃗⃗ + 3yz𝐚𝐲⃗⃗⃗⃗ + (2z
2 − x2 − y2)𝐚𝐳⃗⃗ ⃗
x² + y² + z²
 
1.50 Dibuje el campo vectorial 𝐅 = 𝑦 𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝑥 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ . 
 
1.51 Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas 𝐅 = 2𝑟 cos𝛷 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝑟 𝐚𝛷⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
 
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1.52 Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 2 
Fuerzas de Coulomb e intensidad del campo eléctrico 
2.25 Dos cargas puntuales, 𝑄1 = 250 μC y 𝑄2 = −300 μC, están localizadas en 
(5, 0, 0) m y (0, 0, −5) m, respectivamente. Halle la fuerza sobre 𝑄2. 
 
𝐅2⃗⃗ ⃗ =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅12
2 𝐚12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0 − 5)𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + (−5 − 0)𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −5𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 5𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
|𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−5)2 + (−5)² 
|𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √50 
𝐚12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
−5𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 5𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√50
 
𝐅2⃗⃗ ⃗ =
(250 x 10−6 C) ∗ (−300 x 10−6 C)
4𝜋 ∗ (
10−9
36𝜋 ) ∗ (√50)
2
(
−5𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 5𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√50
) 
𝐅𝟐⃗⃗ ⃗ = 𝟏𝟑. 𝟓 (
𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ 
√𝟐
) 𝐍 
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2.26 Dos cargas puntuales, 𝑄1 = 30 μC y 𝑄2 = −100 μC, están localizadas en 
(2, 0, 5)m y (−1, 0, −2)m, respectivamente. Halle la fuerza sobre 𝑄1. 
 
𝐅1⃗⃗ ⃗ =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅21
2 𝐚21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
𝐑21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2 + 1)𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + (5 + 2)𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
𝐑21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 7𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
|𝐑21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = √(3)2 + (7)² 
|𝐑𝟐𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = √𝟓𝟖 
𝐚21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 7𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√58
 
𝐅1⃗⃗ ⃗ =
(30 x 10−6 C) ∗ (−100 x 10−6 C)
4𝜋
∗ (
10−9
36𝜋 ) ∗ (√58)
2
(
3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 7𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√58
) 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 𝟎. 𝟒𝟔𝟓(
−𝟑𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ − 𝟕𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ 
√𝟓𝟖
) 𝐍 
2.27 En el problema 2.26, halle la fuerza sobre 𝑄2. 
Datos 
𝑄1 = 30 μC en (2, 0, 5)m 
𝑄2 = −100 μC en (−1, 0, −2)m 
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𝐅1⃗⃗ ⃗ = 0.465 (
−3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 7𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√58
) N 
𝐅2⃗⃗ ⃗ =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅12
2 𝐚12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1 − 2)𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + (−2 − 5)𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 7𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
|𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−3)2 + (−7)² 
|𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √58 
𝐚12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
−3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 7𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√58
 
𝐅2⃗⃗ ⃗ =
(30 x 10−6 C) ∗ (−100 x 10−6 C)
4𝜋 ∗ (
10−9
36𝜋 ) ∗ (√58)
2
(
−3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 7𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√58
) 
𝐅2⃗⃗ ⃗ = 0.465 (
3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 7𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√58
) N 
𝐅2⃗⃗ ⃗ = − 𝐅1⃗⃗ ⃗ 
2.28 Cuatro cargas puntuales, cada una de 20 μC, están situadas en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y en el 
𝑒𝑗𝑒 𝑦 a ± 4 m. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 100 𝜇𝐶 situada en (0, 0, 3)m. 
 
Considere la fuerza debida a la carga en y = 4 
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(10−4)(20 𝑥 10−6)
4𝜋 (
10−9
36𝜋 )
(5)2
(
−4𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
5
) 
La componente y se anula por la carga en 𝑦 = − 4. En forma similar, las componentes 
x debidas a las otras dos cargas se anulan. Por consiguiente, 
𝐅 = 𝟒 ∗ (
𝟏𝟖
𝟐𝟓
) (
𝟑
𝟓
𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ ) = 𝟏. 𝟕𝟑𝐚𝒛⃗⃗⃗⃗ 𝐍 
2.29 Diez cargas idénticas, de 500 μC cada una, están espaciadas igualmente alrededor 
de un círculo de radio 2 m. 
Encuentre la fuerza sobre una carga de −20 μC localizada en el eje, a 2 m del plano del 
círculo. 
Resp. (𝟕𝟗. 𝟓)(−𝒂𝒏⃗⃗ ⃗⃗ )𝑵. 
Datos: 
Q1 = 500 μC en (2,0,0)m 
Q2 = −20 μC en (0,0,2)m 
ϵ0 =
10−9
36π
 (
F
m
) 
𝐅2⃗⃗ ⃗ =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0R12
2 𝐚12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0 − 2)𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + (2 − 0)𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −2𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 2𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
|𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(−2)2 + (2)² 
|𝐑12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √8 
𝐚12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
−2𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 2𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√8
 
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𝐅2⃗⃗ ⃗ =
(500 x 10−6 C) ∗ (−20 x 10−6 C)
4𝜋 ∗ (
10−9
36𝜋 ) ∗ (√8)
2
(
−2𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 2𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√8
) 
𝐅2⃗⃗ ⃗ =
−9 × 10−8
8 × 10−9
(
2(−𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ )
√8
) N 
𝐅2⃗⃗ ⃗ = −7.95(𝐚𝐧⃗⃗⃗⃗ ) N 
Por ser 10 cargas idénticas se lo debe multiplicar por las 10 cargas. 
𝐅2⃗⃗ ⃗ = −79.5(𝐚𝐧⃗⃗⃗⃗ ) N 
2.30 Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 μC situada en (0, 0, 5) debida a 
una carga puntual de 500𝜋 μC en el origen. Compare la repuesta con los problemas 2.4 
y 2.5, donde esta misma carga total es distribuida sobre un disco circular. 
 
𝐅1⃗⃗ ⃗ =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅21
2 𝐚21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
𝐅1⃗⃗ ⃗ =
(50 x 10−6 C) ∗ (500𝜋 x 10−6 C)
4𝜋 ∗ (
10−9
36𝜋 ) ∗
(5)2
𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
𝐅1⃗⃗ ⃗ = 28.3 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ N 
2.31 Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 𝟑𝟎 𝛍𝐂 situada en (𝟎, 𝟎, 𝟓) 𝐦 
debida a un cuadrado de 4 m en el plazo 𝐳 = 𝟎 entre 𝐱 = ±𝟐 𝐦 y 𝐲 = ±𝟐 𝐦 con una 
carga total de 𝟓𝟎𝟎 𝛍𝐂, distribuida uniformemente. 
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Datos: 
Q1 = 30 μC en (0,0,5) m 
Q2 = 500 μC 
 
La densidad de carga es: 
ρs =
Q
A
=
500 × 10−6 C
16 m²
= 31.25 × 10−6 
C
m2
 
dQ = ρsdS 
dQ = 31.25 × 10−6 (
C
m2
) dx dy 
�⃗⃗� 21 = −x𝐚x⃗⃗⃗⃗ − y𝐚y⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
|�⃗⃗� 21| = √(𝑥2 + 𝑦2 + 25) 
𝐚21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
−x𝐚x⃗⃗⃗⃗ − y𝐚y⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
√(𝑥2 + 𝑦2 + 25)
 
𝑑𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ =
(30 × 10−6)(31.25 × 10−6)𝑑𝑥 𝑑𝑦
4𝜋 (
10−9
36𝜋 )
(𝑥2 + 𝑦2 + 25)
(
−x𝐚x⃗⃗⃗⃗ − y𝐚y⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
√(𝑥2 + 𝑦2 + 25)
) 
𝑑𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ =
(30 × 10−6)(31.25 × 10−6)𝑑𝑥 𝑑𝑦
4𝜋 (
10−9
36𝜋 )
(𝑥2 + 𝑦2 + 25)
(
5𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
√(𝑥2 + 𝑦2 + 25)
) 
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∫𝑑𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ =
(9.375 × 10−10)
(
10−9
9 )
(5)∫ ∫
𝑑𝑥 𝑑𝑦
(𝑥2 + 𝑦2 + 25)3 2⁄
2
−2
2
−2
(𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 42.1875∫ ∫
𝑑𝑥 𝑑𝑦
(𝑥2 + 𝑦2 + 25)3 2⁄
2
−2
2
−2
(𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
Bueno hasta ahí se lo dejo plateado otra forma de realizar este ejercicio y que esta 
aproximado al resultado es la siguiente: 
La densidad de carga es: 
ρl =
Q
l
=
500 × 10−6 C
4 m
= 125 × 10−6 
C
m
 
dQ = ρldl 
dQ = 125 × 10−6 (
C
m
)dx 
�⃗⃗� 21 = −x𝐚x⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
|�⃗⃗� 21| = √(𝑥2 + 25) 
𝐚21⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
−x𝐚x⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
√(𝑥2 + 25)
 
𝑑𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ =
(30 × 10−6)(125 × 10−6)𝑑𝑥 
4𝜋 (
10−9
36𝜋 )
(𝑥2 + 25)
(
−x𝐚x⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
√(𝑥2 + 25)
) 
𝑑𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ =
(30 × 10−6)(125 × 10−6)𝑑𝑥 
4𝜋 (
10−9
36𝜋 )
(𝑥2 + 25)
(
5𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
√(𝑥2 + 25)
) 
∫𝑑𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ =
3.75 × 10−9
(
10−9
9 )
(5)∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 25)
3
2⁄
2
−2
(𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 168.75∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 25)
3
2⁄
2
−2
(𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
Resolviendo la integral por sustitución trigonométrica: 
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u² = x² 
u = x 
a² = 25 
a = 5 
u = atgθ 
x = 5tgθ 
dx = 5Sec²θ dθ 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 168.75∫
5Sec²θ dθ
(√25𝑡𝑔2𝜃 + 25 )
3
2
−2
(𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 168.75∫
5Sec²θ dθ
125Sec³θ
2
−2
(𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 168.75∫
 dθ
25Secθ
2
−2
(𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 6.75∫ 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
2
−2
(𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 6.75|𝑆𝑒𝑛𝜃|−2
2 (𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) 
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝑥
√𝑥² + 25
 
𝐅𝟏⃗⃗ ⃗ = 6.75 |
𝑥
√𝑥² + 25
|
−2
2
= 6.75 (
2
√29
+
2
√29
) (𝐚z⃗⃗⃗⃗ ) = 𝟓(𝐚𝐳⃗⃗ ⃗) 𝐍 
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
2.32 Demuestre la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de 
un anillo circular de densidad de carga uniforme es cero, siempre y cuando la carga 
puntual permanezca en el plano del anillo. 
2.33 Dos cargas puntuales idénticas de Q (C) cada una, están separadas por una 
distancia d(m). Exprese el campo eléctrico �⃗� para puntos a lo largo de la línea que une 
las dos cargas. 
2.34 Cargas idénticas de Q (C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de 
lado 1 m. Demuestre que la fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud 
(3.29
Q2
4πϵ0l2
) N. 
2.35 Demuestre que el campo eléctrico �⃗� fuera de una concha esférica de densidad de 
carga uniforme 𝜌𝑠 es el mismo que �⃗� debido a la carga total sobre la concha localizada 
en el centro. 
2.36 Desarrolle la expresión en coordenadas cartesianas para �⃗� debido a una 
configuración de carga recta infinitamente larga con densidad uniforme 𝜌𝑙. 
2.37 Una distribución de carga uniforme, infinita en extensión, se encuentra a lo largo 
del 𝑒𝑗𝑒 𝑧 con 𝜌𝑙 = 20
nC
m
. 
Halle el campo eléctrico �⃗� en (6, 8, 3) m, expresándolo tanto en sistema de coordenadas 
cartesianas como cilíndricas. 
�⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� =
20 x 10−9
2𝜋 (
10−9
36𝜋 ) 10
(
6𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ 
10
) 
�⃗� = 36 (
6𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ 
10
) 
�⃗� = 21.6𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 28.8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
�⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
�⃗� =
20 x 10−9
2𝜋 (
10−9
36𝜋 ) 10
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� = 36 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
2.38 Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de 𝜌𝑙 = 4
nC
m
, son paralelas al 𝑒𝑗𝑒 𝑧 en 
𝑥 = 0, 𝑦 = ±4 m. Determine el campo eléctrico �⃗� en (±4, 0, 𝑧) m. 
�⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� =
4 𝑥10−9
2𝜋 (
10−9
36𝜋 )
(4)
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� = ±18 𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
2.39 Dos cargas lineales idénticas y uniformes, 𝜌𝑙 = 5
nC
m
, son paralelas al 𝑒𝑗𝑒 𝑥, una en 
𝑧 = 0, 𝑦 = −2 𝑚 y la otra en 𝑧 = 0, 𝑦 = 4 𝑚. Halle �⃗� en (4, 1, 3) m. 
 
�⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� 1 =
5 𝑥 10−9
2𝜋 (
10−9
36𝜋 ) (3√2)
(
3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
3√2
) 
�⃗� 1 = 5(3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
�⃗� 1 = 15𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 15𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
�⃗� 2 =
5 𝑥 10−9
2𝜋 (
10−9
36𝜋 ) (3√2)
(
−3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
3√2
) 
�⃗� 2 = 5(−3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) 
�⃗� 2 = −15𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 15𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
�⃗� = �⃗� 1 + �⃗� 2 
�⃗� = 30𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
2.40 Determinar �⃗� en el origen debido a una carga lineal distribuida uniformemente, 
con 𝜌𝑙 = 3.30
nC
m
, localizada en 𝑥 = 3 m, 𝑦 = 4 m. 
�⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� =
3.3 𝑥 10−9
2𝜋 (
10−9
36𝜋 )
(5)
(
−3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 4𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ 
5
) 
�⃗� = 2.376(−3𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 4𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ ) 
�⃗� = −7.128𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 9.5𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
2.41 Refiriéndose al problema 2.40, ¿en qué
puntos será igual el valor de �⃗� ? 
�⃗� en (0, 0, 𝑧) 
2.42 A dos metros del eje z, se sabe él 𝐸 debido a una carga lineal uniforme a lo largo 
del eje z es 1.80 x 104
V
m
. 
Encuentre la densidad de carga uniforme 𝜌𝑙 . 
𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 
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𝐸 = 1.80 x 104
V
m
 
𝑟 = 2 m 
𝜌𝑙 = ? 
�⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
𝐸 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
 
𝜌𝑙 = 2𝜋𝜖0𝑟𝐸 
𝜌𝑙 = 2𝜋
10−9
36𝜋
∗ (2) ∗ (1.8 x 104) 
𝜌𝑙 = 2 x 10
−6 𝐶/𝑚 
𝜌𝑙 = 2 𝜇𝐶/𝑚 
2.43 El plano −𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 = 6 m contiene una distribución de carga 𝜌𝑠 = 0.53
nC
m2
. 
Encuentre �⃗� en el lado que contiene el origen. 
�⃗� =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝐚𝑛⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� =
0.53 𝑥 10−9
2 (
10−9
36𝜋 )
𝐚𝑛⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� = 29.97 𝐚𝑛⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
Los vectores unidad normales a un plano 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷 son: 
𝐚𝑛⃗⃗⃗⃗ = ±
𝐴𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√𝐴² + 𝐵² + 𝐶²
 
Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son: 
𝐚𝑛⃗⃗⃗⃗ = ±
−𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ − 6𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√46
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
Se desprende que el vector unidad sobre el lado del plano que contiene el origen se 
produce por el signo negativo. El campo eléctrico en el origen es: 
�⃗� = 29.97 (
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 3𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 6𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√46
)(
V
m
) 
2.44 Dos láminas de densidad de carga uniforme 𝜌𝑠 = (
10−9
6𝜋
)𝐶/𝑚² están localizadas en 
𝑧 = −5 y 𝑦 = −5 𝑚. Determine la densidad de la carga lineal uniforme 𝜌𝑙 , necesaria 
para producir el mismo valor de �⃗� en (4, 2, 2) 𝑚, si la carga lineal está localizada en 
𝑧 = 0, 𝑦 = 0. 
2.45 Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uniforme siguiente: una carga 
lineal uniforme, de densidad 𝜌𝑠 = −50 𝑛𝐶/𝑚² en 𝑦 = 2 𝑚 y una carga lineal uniforme 
de 𝜌𝑙 = 0.2 𝜇𝐶/𝑚 en 𝑧 = 2 𝑚, 𝑦 = −1 𝑚. ¿En qué puntos de la región será �⃗� igual 
cero? 
2.46 Una carga laminar uniforme de 𝜌𝑠 = (−
1
3𝜋
) nC/m² está localizada en 𝑧 = 5 m y 
una carga lineal uniforme de 𝜌𝑙 = (−
25
9
) nC/m está localizada en 𝑧 = −3 m, 𝑦 = 3 m. 
Encuentre el campo eléctrico �⃗� en (0, −1, 0) m. 
 
�⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� =
(−
25
9 ) x 10
−9
2𝜋 (
10−9
36𝜋 ) ∗ 5
(
−4𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 3𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
5
) 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
�⃗� = −10(−0.8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 0.6𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) 
�⃗� = (8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ − 6𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) V/m 
�⃗� =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝐚𝑛⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� =
(−
1
3𝜋) x 10
−9
2 (
10−9
36𝜋 )
(−𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) 
�⃗� = 6𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ V/m 
�⃗� = �⃗� 𝑙 + �⃗� 𝑠 
�⃗� = 8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ − 6𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ + 6𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� = 8𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ V/m 
2.47 Una carga lineal uniforme de 𝜌𝑙 = (√2 ×
10−8
6
) C/m se encuentra a lo largo del 
𝑒𝑗𝑒 𝑥 y una carga laminar uniforme está localizada en 𝑦 = 5 m. A lo largo de la línea 
𝑦 = 3 m, 𝑧 = 3 m el campo eléctrico �⃗� tiene solo una componente 𝑧. ¿Cuál será 𝜌𝑠 de 
la carga laminar? 
Resultado: 𝟏𝟐𝟓 𝐩𝐂/𝐦² 
2.48 Una carga lineal uniforme de 𝜌𝑙 = 3.3 nC/m está localizada en 𝑥 = 3 m, y 
𝑦 = 4 m. Una carga puntual 𝑄 está a 2 m del origen. Halle la carga 𝑄 y su localización, 
de tal manera que el campo eléctrico sea cero en el origen. 
Datos 
𝜌𝑙 = 3.3 nC/m 
𝑥 = 3 m, y 𝑦 = 4 m 
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𝐄1⃗⃗⃗⃗ − 𝐄2⃗⃗⃗⃗ = 0 
�⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟²
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟²
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
𝑄 =
4 ∗ 2 ∗ 3.3 𝑥 10−9
5
 
𝑄 = 5.28 𝑥 10−9 C 
𝑄 = 5.28 nC en (−1.2 ; −1.6) m 
2.49 Un anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano z = 0, con centro en el 
origen. Si la densidad de carga puntual 𝑄, en el origen, que produciría el mismo campo 
eléctrico �⃗� en (0, 0, 5)𝑚. 
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�⃗� = ∫
𝜌𝑙𝐚𝑅⃗⃗ ⃗⃗ 
4𝜋𝜖0𝐑²
⃗⃗⃗⃗ 
𝑑𝑙
𝐿
 
�⃗� =
𝜌𝑙
𝜖0𝐑2⃗⃗ ⃗⃗ 
𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
𝐑2⃗⃗ ⃗⃗ = 25 + 4 
𝐑2⃗⃗ ⃗⃗ = √29 
�⃗� =
10 x 10−9
10−9
36𝜋 ∗ (√29)²
𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
�⃗� = 38.999 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
𝑄 → �⃗� =
𝑄
4𝜋𝜖0𝐑²
⃗⃗⃗⃗ 
𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
𝑄 = E(4𝜋𝜖0R
2) 
𝑄 = 38.999 ∗ (4𝜋 ∗
10−9
36𝜋
∗ 25) 
𝑄 = 108.3 nC 
2.50 El disco circular 𝑟 ≤ 2 m en plano 𝑧 = 0 tiene una densidad de carga 𝜌𝑠 =
108
𝑟
 (
C
m2
). Determine el campo eléctrico �⃗� para el punto (0, 𝛷, ℎ). 
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2.51 Examine el resultado del problema 2.50 cuando ℎ es mucho mayor que 2 m y 
compárelo con el campo en ℎ que resulta cuando la carga total del disco está 
concentrada en el origen. 
2.52 Una carga laminar finita de densidad 𝜌𝑠 = 2𝑥(𝑥
2 + 𝑦2 + 4)
3
2⁄ (
C
m2
), yace en el 
𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 0 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 m y 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 m. Determine �⃗� en (0, 0, 2) m. 
2.53 Determine el campo eléctrico �⃗� en (8, 0, 0) m debido a una carga de 10 nC 
distribuida uniformemente a lo largo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 entre 𝑥 = −5 m y 𝑥 = 5 m. Repita el 
ejercicio para la misma carga total, distribuida entre 𝑥 = −1 m y 𝑥 = 1 m. 
2.54 El disco circular 𝑟 ≤ 1 𝑚, 𝑧 = 0 tiene una densidad de carga 𝜌𝑠 = 2(𝑟
2 +
25)3/2𝑒−10𝑟 (
𝐶
𝑚²
). Encuentre �⃗� en (0, 0, 5) 𝑚. 
2.55 Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una 
concha esférica uniformemente cargada. 
2.56 Hay una carga distribuida con densidad constante 𝜌 a través de un volumen 
esférico de radio 𝑎. Usando los resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que 
 
Donde 𝑟 es la distancia desde el centro de la esfera. 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 3 
Flujo eléctrico y ley de Gauss 
Problemas suplementarios 
3.22 Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y 
centrado en el origen, si la densidad de carga es: 
𝜌 = 50𝑥2 cos (
𝜋
2
𝑦) (
𝜇𝐶
𝑚3
) 
 
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑣 
𝑑𝑄 = 50𝑥2𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
∫𝑑𝑄 = 50∫ ∫ ∫ 𝑥2𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
𝑦)
1
−1
1
−1
1
−1
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
𝑄 = 50 ∗ |
𝑥3
3
|
−1
1
∗ (
2
𝜋
) ∗ |𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
𝑦)|
−1
1
∗ |𝑧|−1
1 
𝑄 = 50 ∗ (
13
3
−
(−1)3
3
) ∗ (
2
𝜋
) ∗ (𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
(1)) − 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
(−1))) ∗ (1 − (−1)) 
𝑄 = 50 ∗ (
1
3
+
1
3
) ∗ (
2
𝜋
) ∗ (1 − (−1)) ∗ (1 + 1) 
𝑄 = 50 ∗ (
2
3
) ∗ (
2
𝜋
) ∗ 2 ∗ 2 
𝑄 = 84.88263632 𝜇𝐶 
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3.23 Halle la carga encerrada en el volumen 𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝟑𝒎, 𝟎 ≤ 𝜱 ≤
𝝅
𝟑
, 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐𝒎 
dada la densidad de carga 𝝆 = 𝟐𝒛 𝒔𝒆𝒏²𝜱 (
𝑪
𝒎𝟑
). 
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑣 
𝑑𝑄 = 2𝑧 𝑠𝑒𝑛²𝛷 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝛷 𝑑𝑧 
∫𝑑𝑄 = 2∫ ∫ ∫ 𝑟 (
1
2
−
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝛷) 𝑧 
2
0
𝜋/3
0
3
1
𝑑𝑟 𝑑𝛷 𝑑𝑧 
𝑄 = 2 ∗ |
𝑟2
2
|
1
3
∗ (
1
2
|𝛷|0
𝜋
3 −
1
4
|𝑠𝑒𝑛2𝛷|0
𝜋
3) ∗ |
𝑧²
2
|
0
2
 
𝑄 = 2 ∗ (
32
2
−
12
2
) ∗ (
1
2
(
𝜋
3
− 0) −
1
4
(𝑠𝑒𝑛2 (
𝜋
3
) − 𝑠𝑒𝑛2(0))) ∗ (
22
2
−
02
2
) 
𝑄 = 2 ∗ (
9
2
−
1
2
) ∗ (
1
2
(
𝜋
3
) −
1
4
(0.8660254038)) ∗ 2 
𝑄 = 2 ∗ (
8
2
) ∗ (0.5235987756 − 0.216506351) ∗ 2 
𝑄 = 4.913478794 𝐶 
3.24 Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas, 
𝜌 =
𝜌0
(
𝑟
𝑟2
)
𝑒−𝑟/𝑟0𝑐𝑜𝑠²𝛷 
Halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por 𝑟 = 𝑟0, 𝑟 = 5𝑟0 
y 𝑟 = ∞. 
𝑑𝑣 = 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷 
𝜌 =
𝜌0
(
𝑟
𝑟2
)
𝑒−𝑟/𝑟0𝑐𝑜𝑠²𝛷 
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑣 
𝑑𝑄 =
𝜌0
(
𝑟
𝑟2
)
𝑒−𝑟/𝑟0𝑐𝑜𝑠²𝛷𝑑𝑣 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
𝑑𝑄 =
𝜌0
(
𝑟
𝑟2
)
𝑒−𝑟/𝑟0𝑐𝑜𝑠²𝛷 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷 
∫𝑑𝑄 = 𝜌0𝑟0
2 ∫ ∫ ∫ 𝑒
−(
𝑟
𝑟0
)
∗ (𝑠𝑒𝑛𝜃) ∗
2𝜋
0
𝜋
0
𝑟
0
(
1
2
+
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝛷) 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷 
𝑄 = 𝜌0𝑟0
2 ∗ (−𝑟0) ∗ |𝑒
−(
𝑟
𝑟0
)
|
0
𝑟
∗ |−𝑐𝑜𝑠𝜃|0
𝜋 ∗ (
1
2
∗ |𝛷|0
2𝜋 +
1
4
∗ |𝑠𝑒𝑛2𝛷|0
2𝜋) 
𝑄 = 𝜌0𝑟0
2 ∗ (𝑟0) ∗ (𝑒
−(
𝑟
𝑟0
)
− 𝑒0) ∗ (𝑐𝑜𝑠180 − 𝑐𝑜𝑠0) ∗ (𝜋 + 0) 
𝑄 = 𝜌0𝑟0
3 ∗ (𝑒
−(
𝑟
𝑟0
)
− 1) ∗ (−2) ∗ (𝜋) 
Cuando 𝑟 = 𝑟0 
𝑄 = 𝜌0𝑟0
3 ∗ (𝑒
−(
𝑟0
𝑟0
)
− 1) ∗ (−2) ∗ (𝜋) 
𝑄 = 3.97𝜌0𝑟0
3 
Cuando 𝑟 = 5𝑟0 
𝑄 = 𝜌0𝑟0
3 ∗ (𝑒
−(
5𝑟0
𝑟0
)
− 1) ∗ (−2) ∗ (𝜋) 
𝑄 = 6.24𝜌0𝑟0
3 
Cuando 𝑟 = ∞. 
𝑄 = 𝜌0𝑟0
3 ∗ (𝑒
−(
∞
𝑟0
)
− 1) ∗ (−2) ∗ (𝜋) 
𝑄 = 6.28𝜌0𝑟0
3 
3.25 Una superficie 𝑆 contiene una distribución uniforme finita de carga, 𝟎 ≤ 𝒍 ≤ 𝝅 𝒎, 
con densidad de carga 
𝝆𝒍 = −𝝆𝟎𝒔𝒆𝒏
𝒍
𝟐
 (
𝑪
𝒎
) 
¿Qué flujo neto cruza la superficie 𝑆? 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
𝛹 = 𝑄 
𝑑𝑄 = 𝜌𝑙𝑑𝑙 
∫𝑑𝑄 = ∫ −𝜌0𝑠𝑒𝑛
𝑙
2
𝜋
0
𝑑𝑙 
𝑄 = 2𝜌0 |𝑐𝑜𝑠
𝑙
2
|
0
𝜋
 
𝑄 = 2𝜌0 (𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
− 𝑐𝑜𝑠
0
2
) 
𝑄 = −2𝜌0 (𝑪) 
3.26 Hay una carga distribuida en una región esférica 𝑟 ≤ 2 𝑚 con densidad 
𝜌 =
−200
𝑟²
 (
𝝁𝑪
𝒎𝟑
) 
¿Qué flujo neto cruza las superficie 𝑟 = 1 𝑚, 𝑟 = 4 𝑚, y 𝑟 = 500 𝑚? 
𝛹 = 𝑄 
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑣 
∫𝑑𝑄 = −200∫ ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃
2𝜋
0
𝜋
0
2
1
𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝛷 
𝑄 = 200 ∗ |𝑟|1
2 ∗ |𝑐𝑜𝑠𝜃|0
𝜋 ∗ |𝛷|0
2𝜋 
𝑄 = 200 ∗ (2 − 1) ∗ (𝑐𝑜𝑠180° − 𝑐𝑜𝑠0°) ∗ (2𝜋 − 0) 
𝑄 = 200 ∗ (1) ∗ (−2) ∗ (2𝜋) 
𝑄 = −800𝜋 (𝝁𝑪) 
𝑟 = 2 𝑚 
𝛹 = 𝑄 
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑣 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
∫𝑑𝑄 = −200∫ ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃
2𝜋
0
𝜋
0
2
0
𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝛷 
𝑄 = 200 ∗ |𝑟|0
2 ∗ |𝑐𝑜𝑠𝜃|0
𝜋 ∗ |𝛷|0
2𝜋 
𝑄 = 200 ∗ (2 − 0) ∗ (𝑐𝑜𝑠180° − 𝑐𝑜𝑠0°) ∗ (2𝜋 − 0) 
𝑄 = 200 ∗ (2) ∗ (−2) ∗ (2𝜋) 
𝑄 = −1600𝜋 (𝝁𝑪) 
Ψ = −1600𝜋 (𝝁𝑪) 
𝑟 = 4 ∶ 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝜳 = −1600𝜋 (𝝁𝑪) 
𝑟 = 500 𝑚 ∶ 𝛹 = −1600𝜋 (𝝁𝑪) 
3.27 Una carga puntual 𝑄 se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una 
distribución de concha esférica en 𝑟 = 𝑎 tiene una carga total de 𝑄′ − 𝑄 uniformemente 
distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie 𝑟 = 𝑘 para 𝑘 < 𝑎 y 𝐾 > 𝑎? 
3.28 Una carga lineal uniforme con 𝜌𝑙 = 3 μC/m yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo 
cruza una superficie esférica centrada en el origen con 𝑟 = 3 m? 
Datos. 
𝜌𝑙 = 3 μC/m 
𝑟 = 3 m 
Ψ = ? 
𝑑𝑆 = 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝛷 
𝑆 = 𝑟²∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃
2𝜋
0
𝜋
0
𝑑𝜃 𝑑𝛷 
𝑆 = 𝑟² ∗ |−𝑐𝑜𝑠𝜃|0
𝜋 ∗ |𝛷|0
2𝜋 
𝑆 = 𝑟² ∗ (−𝑐𝑜𝑠180 + 𝑐𝑜𝑠0) ∗ (2𝜋) 
𝑆 = 4𝜋𝑟² 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
Ψ =
𝜌𝑙
2𝜋𝑟
𝐴 
Ψ =
3
2𝜋𝑟
(4𝜋𝑟2) 
Ψ =
3
2
(4𝑟) 
Ψ = 18 μC 
3.29 Una carga puntual 𝑄 se encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo 
que cruza la porción de una esfera, centrada en el origen, descrita por 𝛼 ≤ 𝛷 ≤ 𝛽. 
𝐴 = ∫ ∫ 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃
𝛽
𝛼
𝜋
0
𝑑𝜃 𝑑𝛷 
𝐴 = 𝑟² ∗ |−𝑐𝑜𝑠𝜃|0
𝜋 ∗ |𝛷|𝛼
𝛽
 
𝐴 = 𝑟² ∗ (−(𝑐𝑜𝑠180 − 𝑐𝑜𝑠0)) ∗ (𝛽 − 𝛼) 
𝐴 = 𝑟² ∗ (−(−1 − 1)) ∗ (𝛽 − 𝛼) 
𝐴 = 2𝑟2(𝛽 − 𝛼) 
Ψneto =
𝐴
4𝜋𝑟²
𝑄 
Ψneto =
2𝑟2(𝛽 − 𝛼)
4𝜋𝑟²
𝑄 
Ψneto =
(𝛽 − 𝛼)
2𝜋
𝑄 
3.30 Una carga puntual de 𝑄 (C) está en el centro de un sistema coordenado esférico. 
Halle el flujo Ψ que cruza un área de 4𝜋 𝑚² sobre una concha esférica concéntrica de 
radio 3 𝑚. 
El flujo total Ψ = Q cruza una concha esférica completa de área 4𝜋𝑟² . 
Entonces el flujo es: 
Ψneto =
𝐴
4𝜋𝑟²
𝑄 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
Ψneto =
4𝜋
4𝜋𝑟²
𝑄 =
𝑄
𝑟²
 
Ψneto =
𝑄
9
 (C) 
3.31 Un área de 𝟒𝟎. 𝟐 𝐦² sobre la superficie de una concha esférica de radio 𝟒 𝐦 está 
cruzada por 𝟏𝟎 𝛍𝐂 de flujo en dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en 
el origen? 
Datos: 
A = 40.2 m² 
r = 4 m 
Ψ = 10 μC = 10 × 10−6 C 
Q = ? 
El área de la superficie concha esférica 
𝐀 = 𝟒𝛑𝐫² 
A = 4π(4 m)² 
𝐀 = 𝟔𝟒𝛑 𝐦² 
40.2 m² → 10 × 10−6 C
64π m² → Q
 
Q(40.2 m2) = (64π m2)(10 × 10−6 C) 
Q =
(64π m2)(10 × 10−6 C)
40.2 m2
 
Q = 50.015 × 10−6 C 
𝐐 = 𝟓𝟎 𝛍𝐂 
3.32 Una carga lineal uniforme con ρ𝑙 yace a lo largo del eje x. ¿Qué porcentaje de flujo 
de la línea cruza la franja del plano 𝑦 = 6 que contiene −1 ≤ 𝑧 ≤ 1? 
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3.33 Una carga puntual, 𝑄 = 3 𝑛𝐶, está localizada en el origen de sistema de 
coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo Ψ cruza la posición del plazo 𝑧 = 2 𝑚 para el que 
−4 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑚 y −4 ≤ 𝑦 ≤ 4 𝑚? 
𝑆 = 2 ∗ 8 ∗ 8 + 4 ∗ 4 ∗ 8 
𝑆 = 256 𝑚² 
𝑠′ = 8 ∗ 8 = 64 𝑚² 
La relación: 
𝑆
𝑆′
=
64
256
= 0.25 
Ψ = 0.25 ∗ 3 𝑛𝐶 
Ψ = 0.75 𝑛𝐶 
3.34 Una carga lineal uniforme con 𝜌𝑙 = 5 𝜇𝐶/𝑚 yace a lo largo del eje x. Halla �⃗⃗� en 
(3, 2, 1) m. 
La distancia desde el punto de observación hasta cualquier de las cargas lineales es 
√5 𝑚. Considerándose primero la carga lineal sobre el eje x. 
�⃗⃗� =
𝜌𝑙
2𝜋𝑟
𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
�⃗⃗� =
5
2𝜋 ∗ (√5)
∗ (
2𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√5
) 
�⃗⃗� = 0.356 ∗ (
2𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
√5
) 𝜇𝐶/𝑚² 
3.35 Una carga puntual de +𝑄 se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas 
esféricas, rodeado por una distribución concéntrica uniforme de carga sobre una concha 
esférica en 𝑟 = 𝑎 para la carga total es −𝑄. 
Halle el flujo Ψ que cruza las superficie esféricas en 𝑟 < 𝑎 y 𝑟 > 𝑎. Obtenga 𝐷en todas 
las regiones. 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
3.36 Dado que �⃗⃗� = 500𝑒−0.1 𝑥𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ (
𝜇𝐶
𝑚2
), halle el flujo Ψ que cruza una superficie de 
área 1 𝑚² normal al eje 𝑥 y localizado en 𝑥 = 1 𝑚, 𝑥 = 5 𝑚, y 𝑥 = 10 𝑚. 
Como �⃗⃗� es constante en toda el área y es perpendicular a ella, 
𝑥 = 1 𝑚 
Ψ = 𝐷𝐴 = (500𝑒−0.1∗(1)
𝜇𝐶
𝑚2
) ∗ (1 𝑚2) = 452.418709 𝜇𝐶 
𝑥 = 5 𝑚 
Ψ = 𝐷𝐴 = (500𝑒−0.1∗(5)
𝜇𝐶
𝑚2
) ∗ (1 𝑚2) = 303.2653299 𝜇𝐶 
𝑥 = 10 𝑚 
Ψ = 𝐷𝐴 = (500𝑒−0.1∗(10)
𝜇𝐶
𝑚2
) ∗ (1 𝑚2) = 183.9397206 𝜇𝐶 
3.37 Dado que �⃗⃗� = 5𝑥²𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 10𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
𝐶
𝑚2
), halle el flujo neto saliente que cruza la 
superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son 
paralelas a los ejes. 
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
Ψ = ∮ �⃗⃗� . 𝑑𝐒⃗⃗⃗⃗ = ∫ (5(1)²
𝑥=1
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 10𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) . (𝑑𝑆 𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ ) + ∫ (5(−1)²
𝑥=−1
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ 
+ 10𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) . (−𝑑𝑆 𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ ) + ∫ (5𝑥²
𝑦=1
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 10𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) . (𝑑𝑆 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ ) + ∫ (5𝑥²
𝑦=−1
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ 
+ 10𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) . (−𝑑𝑆 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ ) + ∫ (5𝑥²
𝑧=1
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 10(1)𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) . (𝑑𝑆 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ )
+ ∫ (5𝑥²
𝑧=−1
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 10(−1)𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) . (−𝑑𝑆 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ ) 
Ψ = 5∫ 𝑑𝑆
𝑥=1
− 5∫ 𝑑𝑆
𝑥=−1
+ 10∫ 𝑑𝑆
𝑧=1
+ 10∫ 𝑑𝑆
𝑧=−1
 
Ψ = (5 − 5 + 10 + 10) ∗ (22) 
Ψ = 80 C 
3.38 Dado que 
�⃗⃗� = 30𝑒−𝑟/𝑏𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ − 2
𝑧
𝑏
𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
C
m2
) 
En coordenadas cilíndricas, halle el flujo saliente que cruza el cilindro circular recto 
descrito por 𝑟 = 2𝑏, 𝑧 = 0, y 𝑧 = 5𝑏 (m). 
3.39 Dado que 
�⃗⃗� = 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝛷𝐚𝛷⃗⃗⃗⃗ ⃗ −
𝑠𝑒𝑛𝛷
3𝑟
𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
En coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plazo 𝑧 = 0 defrinido 
por 𝑟 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝛷 ≤ 𝜋/2. 
Repita el ejercicio para 
3𝜋
2
≤ 𝛷 ≤ 2𝜋. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección 
de 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ . 
3.40 En coordenadas cilíndricas, el disco 𝑟 ≤ 𝑎, 𝑧 = 0 contiene carga con densidad no 
uniforme 𝜌𝑠(𝑟, 𝛷). Utilice superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar 
valores aproximados de 𝐷 sobre el eje 𝑧, (𝑎) muy cerca al disco (0 < 𝑧 ≪ 𝑎), (𝑏) muy 
lejos del disco (𝑧 ≫ 𝑎). 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
3.41 Una carga puntual 𝑄 = 2000 pC, está en el origen de coordenadas esféricas. Una 
distribución esférica concéntrica de carga en 𝑟 = 1 m tiene una densidad de carga 
𝜌𝑠 = 40𝜋
pC
m2
. ¿ Qué densidad superficial de carga sobre una concha concéntrica en 
𝑟 = 2 𝑚 produciría �⃗⃗� = 0 para 𝑟 > 2? 
Datos: 
𝑄1 = 2000 pC 
𝜌𝑠 = 40𝜋
pC
m2
 
𝑑𝑆 = 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝛷 
𝑟 = 1 
𝑑𝑄 = 𝜌𝑠𝑑𝑆 
𝑄2 = 160𝜋² pC 
𝑄𝑇 = 𝑄1 + 𝑄2 
𝑄𝑇 = 2000 pC + 160π² pC 
𝑄𝑇 = 3579.136704 pC 
𝐷 =
𝑄
4𝜋𝑟²
 
𝐷 =
3579.136704 pC
4𝜋(2)²
= 𝟕𝟏. 𝟐𝟎𝟒𝟔𝟔𝟐𝟑𝟏
𝐩𝐂
𝐦𝟐
 
3.42 Dada una distribución de carga con densidad 𝜌 = 5𝑟 (
C
m3
) en coordenadas 
esféricas, utilice la ley de Gauss para hallar �⃗⃗� . 
𝑄𝑒𝑛𝑐 = ∮ �⃗⃗� . 𝐝𝐒⃗⃗ ⃗⃗ = ∮𝐷 𝑑𝑆 = 𝐷 ∮𝑑𝑆 
𝑄𝑒𝑛𝑐 = ∫𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝛷 
𝑄𝑒𝑛𝑐 = 𝐷4𝜋𝑟² 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
𝜌𝑣𝑒𝑠𝑓 = 𝐷4𝜋𝑟² 
(5𝑟) ∗ (
4
3
𝜋𝑟3) = 𝐷4𝜋𝑟² 
𝐷 =
5
3
𝑟² (
C
m2
) 
�⃗⃗� =
𝟓
𝟑
𝒓² 𝐚𝒓⃗⃗⃗⃗ (
𝐂
𝐦𝟐
) 
3.43 Hay una densidad de carga de 2 C/m² en el volumen 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 m (coordenadas 
cartesianas). Utilice la ley de Gauss para hallar �⃗⃗� en todas
las regiones. 
3.44 Utilice la ley de Gauss para hallar �⃗⃗� y �⃗� en la región que está comprendida entre 
los conductores concéntricos de un condensador cilíndrico. El cilindro interior es de 
radio 𝑎. Deprecie el efecto de bordes. 
3.45 Un conductor de espesor determinado tiene una densidad superficial de carga 𝜌𝑠 . 
Suponiendo que 𝛹 = 0 dentro del conductor, demuestre que 𝐷 = ±𝜌𝑠 apenas fuera del 
conductor, construyendo una superficie gausiana especial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 4 
Divergencia y teorema de divergencia 
Problemas suplementarios 
4.25 Desarrolle la divergencia en coordenadas esféricas. Utilice un volumen delta con 
aristas ∆r, r∆θ y rsenθ∆Φ. 
4.26 Muestre que 𝛁 . �⃗� es cero para el campo producido por una carga laminar uniforme. 
𝛁 . �⃗� =
𝟏
𝒓
𝝏
𝝏𝒓
(𝒓𝐸𝑟) +
𝟏
𝒓
𝝏
𝝏𝜱
(𝐸𝛷) +
𝝏
𝝏𝒛
(𝐸𝑧) 
�⃗� =
𝜌𝑠
2𝜖0
𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
𝛁 . �⃗� =
𝝏
𝝏𝒛
(
𝜌𝑠
2𝜖0
) 
𝛁 . �⃗� = 𝟎 
4.27 El campo de un dipolo eléctrico con cargas en ± 𝑑/2 sobre el eje z es 
�⃗� =
𝑸𝒅
𝟒𝝅𝝐𝟎𝒓𝟑
(𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽 �⃗� 𝒓 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 �⃗� 𝜽) 
Demuestre que la divergencia de este campo es cero 
4.28 Dado �⃗⃗� = 𝑒5𝑥 �⃗� 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑦 �⃗� 𝑦 + 2𝑠𝑒𝑛𝑧 �⃗� 𝑧 , halle ∇. �⃗⃗� en el origen. 
 
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4.29 Dado �⃗⃗� = (3𝑥 + 𝑦2)𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ + (𝑥 − 𝑦
2)𝐚𝒚⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� . 
 
4.30 Dado �⃗⃗� = 2𝑥𝑦𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑧²𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� en (2, −1,3). 
 
4.31 Dado �⃗⃗� = 4𝑥𝑦𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ − 𝑥𝑦
2𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 5𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� en (2,2,0). 
 
 
 
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4.32 Dado �⃗⃗� = 2𝑟 𝑐𝑜𝑠² 𝛷 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 3𝑟²𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝐚𝛷⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 4𝑧𝑠𝑒𝑛² 𝛷 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� . 
 
4.33 Dado �⃗⃗� = (
10
𝑟2
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 5𝑒
−2𝑥𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� en (2, 𝛷, 1). 
 
4.34 Dado �⃗⃗� = 5𝑐𝑜𝑠𝑟 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + (
3𝑧𝑒−2𝑟
𝑟
) 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� en (𝜋, 𝛷, 𝑧). 
 
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4.35 Dado �⃗⃗� = 10 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 5𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐚𝜃⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� . 
 
4.36 Dado �⃗⃗� = 𝑟 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ − 𝑟
2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝐚𝜃⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� . 
∇. �⃗⃗� =
1
𝑟²
𝜕(𝑟2(𝑟))
𝜕𝑟
−
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕((𝑟2𝑐𝑜𝑡𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
 
∇. �⃗⃗� =
1
𝑟²
3𝑟² −
𝑟²
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕(𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝜕𝜃
 
∇. �⃗⃗� = 3 + 𝑟 
4.37 Dado �⃗⃗� = [
(10𝑠𝑒𝑛2𝜃)
𝑟
] 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ , halle ∇. �⃗⃗� en (2,
𝜋
4
, 𝛷). 
 
4.38 Dado �⃗⃗� = 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 13𝛷𝐚𝜃⃗⃗⃗⃗ + 2𝑟𝐚𝛷⃗⃗⃗⃗ ⃗, halle ∇. �⃗⃗� . 
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4.39 Demuestre que la divergencia de �⃗� es cero si �⃗� = (
100
𝑟
) 𝐚𝛷⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 40𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ . 
 
4.40 En la región 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 (coordenadas cilíndricas). 
 
 
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4.41 En la región 0 < 𝑟 ≤ 2 (coordenadas cilíndricas) �⃗⃗� = (4𝑟−1 + 2𝑒−0.5𝑟 +
4𝑟−1𝑒−0.5𝑟)𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ , y para 𝑟 > 2. �⃗⃗� = (
2057
𝑟
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ . Halle 𝜌 en ambas regiones. 
 
4.42 En la región 0 ≤ 2 (coordenadas cilíndricas) �⃗⃗� = [10𝑟 + (
𝑟2
3
)] 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ y para 𝑟 > 2 
�⃗⃗� = [
3
128𝑟
] 𝐚𝑟⃗⃗ ⃗. Halle 𝜌 en ambas regiones. 
 
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4.43 Sea �⃗⃗� = 10 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐚𝜃⃗⃗ ⃗⃗ . Halle la densidad de carga. 
 
 
4.44 Sea 
�⃗⃗� =
3𝑟
𝑟² + 1
 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
En coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. 
 
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4.45 Sea 
�⃗⃗� =
10
𝑟²
[1 − 𝑒−2𝑟(1 + 2𝑟 + 2𝑟2)] 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
En coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. 
 
4.46 En la región 𝑟 ≤ 1 (coordenadas esféricas). 
�⃗⃗� = (
4𝑟
3
−
𝑟3
5
)𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
𝑦 para 𝑟 > 1. �⃗⃗� = [
5
63𝑟2
] 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ . Halle la densidad de carga en ambas regiones. 
 
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4.47 La región 𝑟 ≤ 2 m (coordenadas esféricas) tiene un campo �⃗� = (5𝑟 × 10−5/𝜖0)𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ (
𝑉
𝑚
). 
Halle la carga neta encerrada por la concha 𝑟 = 2 𝑚. 
 
4.48 Sea �⃗⃗� = (
5𝑟2
4
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de 
divergencia para el volumen encerrado por 𝑟 = 1 𝑦 𝑟 = 2. 
 
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4.49 Sea �⃗⃗� = (
10𝑟³
4
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de 
divergencia para el volumen encerrado por 𝑟 = 2, 𝑧 = 0 𝑦 𝑧 = 10. 
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4.50 Sea �⃗⃗� = 10𝑠𝑒𝑛𝜃𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝐚𝜃⃗⃗⃗⃗ . Evalúe ambos lados del teorema de divergencia 
para el volumen encerrado por la concha 𝑟 = 2. 
 
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Capítulo 5 
Energía y potencial eléctrico de los sistemas de carga 
Problemas suplementarios 
5.22 Halle el trabajo realizado al mover una carga 𝑄 = −20 μC desde el origen hasta 
(4, 2, 0)m en el campo. 
�⃗� = 2(𝑥 + 4𝑦)𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 8𝑥𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
A lo largo de la trayectoria 𝑥² = 8𝑦. 
 
 
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5.23 Repita el problema 5.4 utilizando una trayectoria de dirección radial. 
Datos: 
Q = 5 μC 
�⃗� = 5e−r/4𝐚r⃗⃗ ⃗ +
10
r senθ
𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
V
m
) 
d𝐥 = dr𝐚r⃗⃗ ⃗ + rdθ𝐚θ⃗⃗⃗⃗ + rsenθdΦ𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
5.24 Repita el problema 5.4 utilizando la trayectoria mostrada en la figura 5.15. 
 
Datos: 
Q = 5 μC 
�⃗� = 5e−r/4𝐚r⃗⃗ ⃗ +
10
r senθ
𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
V
m
) 
d𝐥 = dr𝐚r⃗⃗ ⃗ + rdθ𝐚θ⃗⃗⃗⃗ + rsenθdΦ𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
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Escoja la trayectoria que se muestra en la figura 5.15, a lo largo del segmento 𝑑𝜃 =
𝑑𝛷 = 0. 𝑦 
𝑑𝑊 = −𝑄�⃗� . 𝑑𝐥 = (−5 × 10−6) (5e−
r
4𝑑𝑟) 
A lo largo del segmento II, 𝑑𝑟 = 𝑑𝛷 = 0. 𝑦 
𝑑𝑊 = −𝑄�⃗� . 𝑑𝐥 = 0 
A lo largo del segmento III, 𝑑𝑟 = 𝑑𝜃 = 0, 𝑦 
𝑑𝑊 = −𝑄�⃗� . 𝑑𝐥 = (−5 × 10−6)(10𝑑𝛷) 
Por consiguiente, 
𝑊 = (−25 × 10−6)∫ e−
r
4dr
2
0
+ (−50 × 10−6)∫ dΦ
π
2
0
= −117.9 μ J 
5.25 Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual 𝑄 = 3 𝜇𝐶 desde (4 𝑚, 𝜋, 0) 
hasta (2 𝑚,
𝜋
2
, 2 𝑚), coordenadas cilíndricas, en el campo �⃗� = (
105
𝑟
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 10
5𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
𝑉
𝑚
). 
Datos. 
𝑄 = 3 𝜇𝐶 
�⃗� = (
105
𝑟
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ + 10
5𝑧𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
𝑉
𝑚
) 
d𝐥 = dr𝐚r⃗⃗ ⃗ + rdΦ𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ + dz𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
𝑑𝑊 = −𝑄�⃗� . 𝑑𝐥 
𝑊 = (−3 × 10−1)∫ (
𝑑𝑟
𝑟
)
2
4
+ (−3 × 10−1)∫ 𝑧 𝑑𝑧
2
0
 
𝑊 = (−3 × 10−1)(𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛4) + (−3 × 10−1)(2) 
𝑊 = 0.2079441542 − 0.6 
𝑊 = −0.3920558458 𝐽 
5.26 Halle la diferencia entre las cantidades de trabajo requeridas para traer una carga 
puntual 𝑄 = 2 𝑛𝐶 desde el infinito hasta 𝑟 = 2 𝑚 y desde el infinito hasta 𝑟 = 4 𝑚, en 
el campo �⃗� = (
105
𝑟
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ (
𝑉
𝑚
). 
𝑑𝑊 = −𝑄�⃗� . 𝑑𝐥 
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𝑑𝑊 = (−2 × 10−9) (
105
𝑟
) 𝑑𝑟 
𝑊 = (−2 × 10−4)∫
𝑑𝑟
𝑟
2
∞
+ (2 × 10−4)∫
𝑑𝑟
𝑟
4
∞
 
𝑊 = (−2 × 10−4)|𝑙𝑛𝑟|∞
2 + (2 × 10−4)|𝑙𝑛𝑟|∞
4 
𝑊 = (−2 × 10−4)(𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛∞) + (2 × 10−4)(𝑙𝑛4 − 𝑙𝑛∞) 
𝑊 = −1.386294361 × 10−4 + 2.772588722 × 10−4 
𝑊 = 1.386294361 × 10−4 𝐽 
5.27 Una carga total de (
40
3
) 𝑛𝐶 está distribuida en forma de un disco circular de radio 
2 𝑚. Halle el potencial producido por esta carga en un punto situado sobre el eje, a 2 𝑚 
del disco. Compare este potencial con el que se obtiene si toda la carga está en el centro 
del disco. 
𝑉𝐴𝐵 =
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
𝑟𝐴
−
1
𝑟𝐵
) 
𝑉𝐴𝐵 =
(
40
3 )
(
1
9)
(1 −
1
2
) = 120 (
1
2
) = 60 𝑉 
5.28 Una carga lineal uniforme de densidad 𝜌𝑙 = 1 𝑛𝐶/𝑚 está arreglada en forma de un 
cuadrado de 6 𝑚 de lado, como se muestra en la figura 5.16. Halle el potencial en 
(0, 0, 5) 𝑚. 
 
 
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5.29 Desarrolle una expresión para el potencial en un punto situado a 𝑑 metros medidos 
radialmente hacia afuera desde el punto medio de una carga lineal finita con 𝐿 metros de 
longitud y densidad uniforme
𝜌𝑙 (
𝐶
𝑚
). Aplique este resultado, como prueba, al 
problema 5.28. 
𝑅𝑒𝑠𝑝. 
𝝆𝒍
𝟐𝝅𝝐𝟎
𝒍𝒏
𝑳
𝟐
+√𝒅²+
𝑳𝟐
𝟒
𝒅
 (𝑉) 
5.30 Demuestre que el potencial en el origen producido por una densidad superficial 
uniforme de carga 𝜌𝑠 sobre el anillo 𝑧 = 0, 𝑅 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 + 1 es independiente de 𝑅. 
5.31 Una carga total de 160 𝑛𝐶 está inicialmente separada en cuatro cargas puntuales 
iguales espaciadas a 90° de intervalo alrededor de un círculo de 3 𝑚 de radio. Halle el 
potencial en un punto situado sobre el eje, a 5 𝑚 del plano del círculo. Separe la carga 
total en 8 partes iguales y repita el ejercicio con las cargas espaciadas a 45° de 
intervalo. ¿Cuál sería la respuesta en el límite 𝜌𝑙 = (
160
6𝜋
) 
𝑛𝐶
𝑚
? 
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5.32 En coordenadas esféricas, el punto A está en un radio 2 m y el punto B está en 4 m. 
Dado el campo �⃗� = (−
16
𝑟2
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ (
𝑉
𝑚
), halle el potencial del punto A, con referencia cero 
en el infinito. Repita el ejercicio para el punto B. Ahora exprese la diferencia de 
potencial 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 y compare el resultado con el problema 5.8. 
5.33 Si el potencial de referencia cero está en 𝑟 = 10 𝑚 y una carga puntual 𝑄 =
0.5 𝑛𝐶 está en el origen, halle los potenciales en 𝑟 = 5 𝑚 y 𝑟 = 15 𝑚. ¿A qué distancia 
radial el potencial es igual en magnitud al potencial en 𝑟 = 5 𝑚, pero opuesto en signo? 
5.34 Una carga puntual 𝑄 = 0.4 nC está localizada en (2,3,3)m en coordenadas 
cartesianas. Halle la diferencia de potencial 𝑉𝐴𝐵, donde el punto A es (2,2,3)m y B es 
(−2,3,3)m. 
 
5.35 Halle el potencial en coordenadas esféricas producido por dos cargas puntuales 
iguales, pero opuestas sobre el eje 𝑦 = ±
𝑑
2
. Suponga 𝑟 ≫ 𝑑. 
5.36 Repita el problema 5.35 con las cargas sobre el eje z. 
5.37 Halle las densidades de cargas sobre los conductores del problema 5.17. 
5.38 Una carga lineal uniforme con 𝜌𝑙 = 2
𝑛𝐶
𝑚
 yace en el plano 𝑧 = 0 paralelo al eje x en 
𝑦 = 3 𝑚. Halle la diferencia de potencial 𝑉𝐴𝐵para los puntos 𝐴(2 𝑚, 0, 4 𝑚) y 𝐵(0,0,0). 
5.39 Una carga laminar uniforme, con 𝜌𝑠 =
(
1
6𝜋
)𝑛𝐶
𝑚2
, está en 𝑥 = 0 y una segunda carga 
laminar, con 𝜌𝑠 = (−
1
6𝜋
)
𝑛𝐶
𝑚2
, está en 𝑥 = 10 𝑚. Halle 𝑉𝐴𝐵, 𝑉𝐵𝐶𝑦 𝑉𝐴𝐶 para 
𝐴(10𝑚, 0, 0)𝑦 𝐶(0,0,0). 
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5.40 Dados los campos eléctricos en coordenadas cilíndricas �⃗� = (
5
𝑟
) 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ (
𝑉
𝑚
) para 
0 < 𝑟 ≤ 2 𝑚 y �⃗� = 2.5 𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ 
𝑉
𝑚
 para 𝑟 > 2 𝑚, halle la diferencia de potencial 𝑉𝐴𝐵para 
𝐴(1𝑚, 0,0) 𝑦 𝐵(4 𝑚, 0,0). 
5.41 Un condensador de placas paralelas de 0.5 m por 1 m, tiene una distancia de 
separación de 2 cm y una diferencia de voltaje de 10 V. Halle la energía almacenada, 
suponiendo que 𝜖 = 𝜖0. 
5.42 El condensador descrito en el problema 5.41 tiene un voltaje aplicado de 200 V. 
a) Halle la energía almacenada. 
b) Mantenga 𝑑1(𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 5 − 17) en 2 cm y la diferencia de voltaje en 200 V, mientras 
se aumenta 𝑑2 a 2.2 cm. Halle la energía final almacenada. (𝑠𝑢𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: ∆𝑊𝐸 =
1
2
(∆𝐶)𝑉2). 
 
5.43 Halle la energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales iguales, 
𝑄 = 2 𝑛𝐶, dispuestas en línea con 0.5 m de separación entre ellas. 
 
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5.44 Repita el problema 5.43 si la carga en el centro es −2 𝑛𝐶. 
 
5.45 Cuatro cargas puntuales iguales, 𝑄 = 2 𝑛𝐶, deben ser colocadas en las esquinas de 
un cuadrado de (1/3) m de lado, una por una. Halle la energía en el sistema después que 
cada carga ha sido colocada. 
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Si colocamos una carga no habrá energía en el sistema por lo tanto es 0. 
Si colocamos 2 cargas: 
2𝑊𝐸 = 𝑄1𝑉1 + 𝑄2𝑉2 = 2𝑄1𝑉1 
𝑉1 =
𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅1 2
=
2 × 10−9
4𝜋
10−9
36𝜋
(3) = 54 𝑉 
𝑊𝐸 = 𝑄1𝑉1 = (2 × 10
−9) ∗ (54) = 1.08 × 10−7 𝐽 
𝑊𝐸 = 108 × 10
−9 𝐽 
𝐖𝐄 = 𝟏𝟎𝟖 𝐧𝐉 
Si colocamos 3 cargas: 
2𝑊𝐸 = 𝑄1𝑉1 + 𝑄2𝑉2 + 𝑄3𝑉3 = 3𝑄1𝑉1 
𝑉1 =
𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅1 2
+
𝑄3
4𝜋𝜖0𝑅1 3
 
𝑉1 =
2 × 10−9
4𝜋
10−9
36𝜋
(3 +
3
√2
) = 18 ∗ 5.121320344 = 92.18376618 𝑉 
𝑊𝐸 =
3
2
𝑄1𝑉1 
𝑊𝐸 =
3
2
(2 × 10−9) ∗ (92.18376618) = 2.765512985 × 10−7 𝐽 
𝑊𝐸 = 276.5512985 × 10
−9 𝐽 
𝐖𝐄 = 𝟐𝟕𝟔. 𝟓𝟓𝟏𝟐𝟗𝟖𝟓 𝐧𝐉 
Si colocamos las 4 cargas tenemos lo siguiente: 
 
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5.46 Dado el campo eléctrico �⃗� = −5𝑒−
𝑟
𝑎𝐚𝑟⃗⃗⃗⃗ , coordenadas cilíndricas. Halle la energía 
almacenada en el volumen descrito por 𝑟 ≤ 2𝑎 y 0 ≤ 𝑧 ≤ 5𝑎. 
5.47 Dado un potencial 𝑉 = 3𝑥² + 4𝑦² (𝑉). Halle la energía almacenada en el volumen 
descrito por 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑚 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝑚 y 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 𝑚. 
 
 
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Capítulo 6 
Corriente, densidad de corriente y conductores 
Problemas suplementarios 
6.25 Halle la movilidad de los electrones de conducción en el aluminio, dada una 
conductividad 38.2 MS/m y una densidad de electrones de conducción de 1.7 ×
1029m−3. 
Datos: 
𝜇 =? 
𝜎 = 38.2
MS
m
= 38.2 × 106 S/m 
 N𝑒 = 1.7 × 10
29m−3 
𝝆 = 𝑵𝒆𝒆 
𝜌 = 1.7 × 1029m−3 ∗ 1.6 × 10−19C = 2.72 × 1010 C/m³ 
𝝁 =
𝝈
𝝆
 
𝜇 =
38.2 × 106 S/m
2.72 × 1010 C/m³
= 𝟏. 𝟒𝟎𝟒𝟒𝟏𝟏𝟕𝟔𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑
𝐦𝟐
𝐕. 𝐬
 
6.26 Repite el problema 6.25 (𝑎) para el cobre, donde 𝜎 = 58 MS/m y 𝑁𝑒 = 1.13 ×
1029 m−3; (𝑏) para la plata, donde 𝜎 = 61.7 MS/m y 𝑁𝑒 = 7.44 × 10
28 m−3. 
Datos: 
a) Para el cobre 
𝜎 = 58 MS/m 
𝑁𝑒 = 1.13 × 10
29 m−3 
b) Para la plata 
𝜎 = 61.7 MS/m 
𝑁𝑒 = 7.44 × 10
28 m−3 
a) Para el cobre 
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𝝆 = 𝑵𝒆𝒆 
𝜌 = 1.13 × 1029 m−3 ∗ 1.6 × 10−19C = 1.808 × 1010 C/m³ 
𝝁 =
𝝈
𝝆
 
𝜇 =
58 × 106 S/m
1.808 × 1010 C/m³
= 𝟑. 𝟐𝟎𝟕𝟗𝟔𝟒𝟔𝟎𝟐 × 𝟏𝟎−𝟑
𝐦𝟐
𝐕. 𝐬
 
b) Para la plata 
𝝆 = 𝑵𝒆𝒆 
𝜌 = 7.44 × 1028 m−3 ∗ 1.6 × 10−19C = 1.1904 × 1010 C/m³ 
𝝁 =
𝝈
𝝆
 
𝜇 =
61.7 × 106 S/m
1.1904 × 1010 C/m³
= 𝟓. 𝟏𝟖𝟑𝟏𝟑𝟏𝟕𝟐 × 𝟏𝟎−𝟑
𝐦𝟐
𝐕. 𝐬
 
6.27 Halle la concentración de huecos, 𝑁ℎ, en germanio tipo p, donde 𝜎 = 10
4 S/m y la 
movilidad de los huecos es 𝜇ℎ = 0.18
m2
V.s
. 
Datos: 
𝑁ℎ =? 
𝜎 = 104 S/m 
𝜇ℎ = 0.18
m2
V.s
 
𝝆 =
𝝈
𝝁
 
𝜌 =
104 S/m
0.18 
m2
V. s
= 55555.55556 C/m³ 
𝑵𝒉 =
𝝆
𝒆
 
𝑁ℎ =
55555.55556 C/m³
1.6 × 10−19 C
= 𝟑. 𝟒𝟕𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 × 𝟏𝟎𝟐𝟑 𝐦−𝟑 
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6.28 Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones 𝑁𝑒 , si 
la concentración intrínseca es 𝑛𝑖 = 2.5 × 10
19 m−3. 
Datos: 
𝑁ℎ = 3.472222222 × 10
23 m−3 
𝜎 = 104 S/m 
𝜇ℎ = 0.18
m2
V.s
 
𝜌 = 55555.55556 C/m³ 
𝑛𝑖 = 2.5 × 10
19 m−3 
𝑵𝒆 =
𝒏𝒊
𝟐
𝑵𝒉
 
𝑁𝑒 =
(2.5 × 1019 m−3)2
3.472222222 × 1023 m−3
= 𝟏. 𝟖 × 𝟏𝟎𝟏𝟓 𝐦−𝟑 
6.29 Halle la concentración de electrones y huecos en silicio tipo 𝑛 para el que 𝜎 =
10
S
m
, 𝜇𝑒 = 0.13
m2
V.s
 y 𝑛𝑖 = 1.5 × 10
16 m−3. 
Datos: 
𝜎 = 10
S
m
 
𝜇𝑒 = 0.13
m2
V.s
 
𝑛𝑖 = 1.5 × 10
16 m−3 
𝝆 =
𝝈
𝝁
 
𝜌 =
10 S/m
0.13 
m2
V. s
= 76.92307692 C/m³ 
𝑵𝒆 =
𝝆
𝒆
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
𝑁𝑒 =
76.92307692 C/m³
1.6 × 10−19 C
= 𝟒. 𝟖𝟎𝟕𝟔𝟗𝟐𝟑𝟎𝟖 × 𝟏𝟎𝟐𝟎 𝐦−𝟑 
𝑵𝒉 =
𝒏𝒊
𝟐
𝑵𝒆
 
𝑁ℎ =
(1.5 × 1016 m−3)2
4.807692308 × 1020 m−3
= 𝟒. 𝟔𝟖 × 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝐦−𝟑 
6.30 Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de 
tungsteno, cuya densidad es 18.8 × 103 kg/m³ y cuyo peso atómico es 184. Suponga 
dos electrones de conducción por átomo. 
Datos: 
𝜌 = 18.8 × 103 kg/m³ 
6.31 Halle el número de electrones de conducción en un metro cúbico de cobre si 
𝜎 = 58 MS/m y 𝜇 = 3.2 × 10−3
m2
V.s
. En promedio, ¿cuántos electrones por átomo hay? 
El peso atómico es 63.54 y la densidad es 8.96 × 103
kg
m3
. 
6.32 Una barra de cobre de sección transversal rectangular 0.02 × 0.08 m y longitud 
2.0 m tiene una caída de voltaje de 50 mV. Encuentre la resistencia, corriente, densidad 
de corriente, intensidad de campo
eléctrico y velocidad de corrimiento de los electrones 
de conducción. 
Datos: 
𝜎 = 58 × 106
S
m
 
𝜇 = 3.2 × 10−3
m2
V. s
 
A = 1.6 × 10−3 m² 
1S−1 = 1Ω 
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6.33 Una barra de aluminio de 0.01 × 0.07 m de sección transversal y 3 m de longitud 
conduce una corriente de 300 A. 
Halle la intensidad de campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento 
de los electrones de conducción. 
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6.34 Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 Ω/km para el alambre de cobre 
AWG #20 a 20℃. ¿Qué conductividad (en S/m) implica esto para el cobre? El diámetro 
de AWG #20 es 32 mils. 
6.35 Una reja de alambres de una resistencia de 1.21 × 10−3𝛺/𝑐𝑚 para el alambre 
AWG # 18 de platino. ¿Qué conductividad (en S/m) implica esto para el platino? El 
diámetro del AWG # 18 es 40 mils. 
Datos: 
R = 1.21 × 10−3Ω 
𝑙 = 1 𝑐𝑚 ∗
1 𝑚
1000 𝑐𝑚
= 0.01 𝑚 
D = 40 mils 
σ =? 
Solución: 
Como un mil es 
1
1000
 de pulgada, el área de la sección transversal es. 
𝐴 = 𝜋 [(
0.04 𝑝𝑢𝑙
2
) (
2.54 × 10−2 𝑚
1 𝑝𝑢𝑙
)]
2
= 8.1073 × 10−7 𝑚² 
R =
𝑙
𝜎𝐴
 
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𝜎 =
𝑙
𝑅𝐴
 
σ =
0.01 𝑚
1.21 × 10−3 𝛺 ∗ 8.173 × 10−7 𝑚²
= 10111908.49
𝑆
𝑚
 
𝛔 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟏𝟏 × 𝟏𝟎𝟕
𝐒
𝐦
 
6.40 Determinar la resistencia de un conductor de cobre de 2 m de largo con una 
sección transversal circular y un radio de 1 mm en un extremo que crece linealmente 
hasta un radio de 5 mm en el otro extremo. 𝑹𝒆𝒔𝒑. 𝟐. 𝟐𝟎 𝐦Ω 
𝐑 =
𝐥
𝛔 𝐀
 
𝐀 = √𝐀𝟏 ∗ 𝐀𝟐 
𝐀 = √𝛑𝐫𝟏
𝟐 ∗ 𝛑𝐫𝟐
𝟐 = 𝛑𝐫𝟏𝐫𝟐 = π ∗ (0.001) ∗ (0.005) 
R =
2
(5.8 × 107) ∗ π ∗ (0.001) ∗ (0.005)
 
𝐑 = 𝟐. 𝟐𝟎 𝐦Ω 
6.41 Determine la resistencia de un conductor de cobre de 1 m de largo con una sección 
transversal cuadrada de 1 mm de lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta 
3 mm en el otro extremo. 
 
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6.42 Desarrolle una expresión para la resistencia de un conductor de longitud 𝑙 si la 
sección transversal retiene la misma forma y el área aumenta linealmente desde 𝐴 hasta 
𝑘𝐴 sobre 𝑙. 
𝑹𝒆𝒔𝒑.
𝒍
𝝈𝑨
(
𝐥𝐧𝒌
𝒌 − 𝟏
) 
6.43 Halle la densidad de corriente de un conductor AWG # 12 cuando conduce 
corriente de 30 A. Un alambre # 12 tiene un diámetro de 81 mils. 
 
6.44 Halle la corriente total en un conductor circular de 2 mm de radio si la densidad de 
corriente varía con r de acuerdo a 𝐽 =
103
𝑟
 (
A
m2
). 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
 
6.45 En coordenadas cilíndricas, 𝐉 = 10𝑒−100𝑟𝐚𝛷⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
A
m2
) para la región 0.01 ≤ r ≤
0.02 m, 0 < z ≤ 1 m. Halle la corriente total que cruza la intersección de esta región 
con el plano Φ = constante. 
6.46 Dada la densidad de corriente 
𝐉 = (
103
𝑟2
cos 𝜃) 𝐚𝜃⃗⃗⃗⃗ (
A
m2
) 
En coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la franja cónica 𝜃 =
𝜋
4
, 0.001 ≤
r ≤ 0.080 m. 
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6.47 Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el 
origen y aristas paralelas a los ejes coordenadas si 𝐉 = 2x²𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ + 2xy³𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ + 2xy𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ (
A
m2
). 
 
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PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
 
 
 
 
 
 
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
Capítulo 7 
Capacitancia y materiales dieléctricos 
Problemas suplementarios 
7.23 Halle la magnitud de �⃗⃗� en un material dieléctrico para el cual 𝑋𝑒 = 1.6 y 𝑃 =
3.05 × 10−7
C
m2
. 
 
7.24 Halle las magnitudes de �⃗⃗� , �⃗⃗� y 𝜖𝑟 para un material dieléctrico en el cual 𝐸 =
0.15
MV
m
 y 𝑋𝑒 = 4.25. 
 
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7.32 Un condensador de placas paralelas de 8 𝐧𝐅 tiene un área de 1.51 𝐦𝟐 y una 
separación de 10 𝐦𝐦. ¿Qué separación se requeriría para obtener la misma capacitancia 
con espacio vacío entre las placas? 
C =
ϵ0 ∗ ϵr ∗ A
d
 
d =
ϵ0 ∗ ϵr ∗ A
C
 
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d =
(
10−9
36 𝜋
 (
F
m
)) ∗ 1 ∗ (1.51 m2)
8 × 10−9 F
= 1.6689 × 10−3 m 
𝐝 = 𝟏. 𝟔𝟕 𝐦𝐦 
 
 
 
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7.35 Duplique el diámetro del conductor del problema 7.34 y halle la capacitancia por 
unidad de longitud. 
Resp. 10.1 pF/m 
Datos: 
Φ = 5.5 pulgadas 
ℎ = 336 pulgadas 
𝑎 =
Φ
2
=
5.5 pulgadas 
2
= 2.75 pulgadas 
C
L
=
2πϵ0
ln (
2h
a )
 
C
L
=
2π(
10−9
36 𝜋 (
F
m))
ln (
2 ∗ (336)
2.75 
)
 
𝐂
𝐋
= 𝟏𝟎. 𝟏𝟎𝟑𝟒𝟕𝟔𝟒 𝐩𝐅/𝐦 
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7.39 Halle la capacitancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con el radio 
externo de 4 mm y radio interno de 0.5 mm si el dieléctrico tiene 𝜖𝑟 = 5.2. 
Resp. 139 pF/m 
Datos: 
a = 0.5 mm 
b = 4 mm 
ϵr = 5.2 
C = ? 
Del problema 7.9 tenemos que 𝐂 =
𝐐
𝐕
=
𝟐𝛑𝛜𝟎𝛜𝐫𝐋
𝐥𝐧(
𝐛
𝐚
)
, entonces por unidad de longitud 
nosotros tenemos que: 
𝐂
𝐋
=
𝟐𝛑𝛜𝟎𝛜𝐫
𝐥𝐧 (
𝐛
𝐚)
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
C
L
=
2π (
10−9
36 𝜋
 (
F
m
)) (5.2)
ln (
4 mm
0.5 mm
)
 
C
L
= 1.389261891 × 10−10
F
m
 
𝐂
𝐋
= 𝟏𝟑𝟖. 𝟗𝟐𝟔𝟏𝟖𝟗𝟏
𝐩𝐅
𝐦
 
7.40 Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cable con un conductor interno 
de radio de 0.75 cm y un blindaje cilíndrico de 2.25 cm de radio si el dieléctrico tiene 
𝜖𝑟 = 2.7. 
Resp. 137 pF/m 
Datos: 
a = 0.75 cm 
b = 2.25 cm 
ϵr = 2.7 
C = ? 
Del problema 7.9 tenemos que 𝐂 =
𝐐
𝐕
=
𝟐𝛑𝛜𝟎𝛜𝐫𝐋
𝐥𝐧(
𝐛
𝐚
)
, entonces por unidad de longitud 
nosotros tenemos que: 
𝐂
𝐋
=
𝟐𝛑𝛜𝟎𝛜𝐫
𝐥𝐧 (
𝐛
𝐚)
 
C
L
=
2π (
10−9
36 𝜋 (
F
m))
(2.7)
ln (
2.25 cm
0.75 cm
)
 
C
L
= 1.36535884 × 10−10
F
m
 
𝐂
𝐋
= 𝟏𝟑𝟔. 𝟓𝟑𝟓𝟖𝟖𝟒
𝐩𝐅
𝐦
 
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7.42 Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se carga 
conectándolo momentáneamente a una fuente constante de 200 V. Después de 
removerlo de la fuente se inserta un dieléctrico de 𝝐𝒓 = 𝟐 llenando totalmente el 
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espacio. Compare los valores de 𝑊𝐸 , 𝐷, 𝐸, 𝜌𝑠 , 𝑄, 𝑉 𝑦 𝐶 antes y después de la inserción 
del dieléctrico. 
 
D =
ϵ0V
d
 
 
D1 =
ϵ0ϵrV
d
 
 
D2 =
ϵ0ϵrV
d
 
 
 
D =
Q
A
 
 
Q1 = Q2 
 
D1 = D2 
 
WE =
1
2
CV² 
 
C =
Q
V
 
 
 
D = ρs 
 
D = ϵ0 ϵr E 
 
 
ϵ0ϵ𝑟1V1
d
=
ϵ0ϵ𝑟2V2
d
 
 
ϵ0 ∗ 1 ∗ V1
d
=
ϵ0 ∗ 2 ∗ V2
d
 
 
V1 = 2V2 
 
𝐕𝟐 =
𝐕𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
 𝐕𝟏 
 
 
C1 =
Q
2V2
 
 
C2 =
Q
V2
 
 
C1
C2
=
Q
2V2
Q
V2
 
 
C1
C2
=
1
2
 
 
C2 = 2C1 
 
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
 
Q2 = Q1 
 
D2 = D1 
 
ρ2 = ρ1 
 
E =
D
ϵ0 ∗ ϵr
 
 
E1 =
D1
ϵ0 ∗ 1
 
 
E2 =
D2
ϵ0 ∗ 2
 
 
E1
E2
=
D1
ϵ0 ∗ 1
D2
ϵ0 ∗ 2
 
 
E2 =
1
2
E1 
 
 
WE1 =
1
2
C1V1
2 
 
WE2 =
1
2
C2V2
2 
 
WE1
WE2
=
1
2 C1V1
2
1
2
(2C1) (
𝟏
𝟐 𝐕𝟏)
2 
 
WE1
WE2
=
1
2C1V1
2
1
22C1 (
1
4) V1
2
 
 
WE1
WE2
= 2 
 
WE2 =
1
2
WE1 
 
PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO 
 
 
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