Tudo sobre Algebra Linear em um unico pdf

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Equações Lineares
Prof. Fabiano José dos Santos
Equação Linear
• Uma equação linear nas variáveis x1, x2, x3, . . . , xn tem a 
forma
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b.
• a1, a2, a3, . . . , an são os coeficientes da equação.
• b é chamado termo independente.
• Uma solução de uma equação linear é qualquer n-upla 
ordenada de números que a satisfaça.
Equação Linear - Exemplo
• A equação 2x + y − 5z = 3, nas variáveis x, y e z, é linear.
• Os nomes atribuídos às variáveis não importam
2x + y − 5z = 3 é mesmo que 2x1 + x2 - 5x3 = 3.
• Os coeficientes da equação são 2, 1 e −5 e o termo independente é 3.
• A tripla ordenada (1, 6, 1) é solução desta equação, pois 2*1 + 6 − 5*1 = 3.
• Tal equação admite infinitas soluções: podemos escolher valores para duas 
variáveis e determinarmos o valor da terceira. Por exemplo, tomando-se x = 1 
e y = 1, obtemos 2*1 + 1 − 5z = 3 ∴ -5z = 0 ∴ z = 0
• Logo a tripla ordenada (1, 1, 0) é solução da equação.
Equação Linear – Contra Exemplos
• A equação 2x − y2 + 4z = 2, nas variáveis x, y e z, é não 
linear, uma vez que a variável y é quadrática.
• A equação x - 4xy + 7y = 4, nas variáveis x e y, é não 
linear, devido ao produto xy que ocorre entre variáveis.
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
Sistemas Lineares
Prof. Fabiano José dos Santos
Sistema Linear
• Um sistema de equações lineares, ou simplesmente sistema linear, com m 
equações e n variáveis x1, x2, x3, . . . , xn tem a forma geral
• a11 , a12 , a13 , . . . , amn são os coeficientes das equações.
• b1 , b2 , . . . , bm são chamados termos independentes.
• Uma solução de um sistema linear é qualquer n-upla ordenada que satisfaz 
simultaneamente todas as suas equações.







=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa




332211
22323222121
11313212111
Sistema Linear - Discussão
▪ Conforme detalharemos adiante, dado um sistema linear, há 3 possibilidades:
▪ Admitir solução única (isto é, há uma única n-upla ordenada que satisfaz 
simultaneamente todas as suas equações). Neste caso dizemos que o sistema é 
possível (admite solução) e determinado (solução é única)
▪ Admitir infinitas soluções (isto é, há infinitas n-uplas ordenadas que satisfazem 
simultaneamente todas as suas equações). Neste caso dizemos que o sistema é 
possível (admite solução) e indeterminado (são infinitas soluções).
▪ Não admitir solução (isto é, nenhuma n-upla ordenada satisfaz simultaneamente 
todas as suas equações). Neste caso dizemos que o sistema é impossível (não 
admite solução)
Sistema Linear – Solução Única
• Considere o sistema linear com três equações nas variáveis x,y e z
• A tripla ordenada (x, y, z) = (1, 4, 3) é solução do sistema, pois
• A tripla ordenada (x, y, z) = (2,-1, 0) não é solução do sistema, pois
• Adiante mostraremos que tripla ordenada (x, y, z) = (1, 4, 3) é a única solução do sistema, isto
é, (1, 4, 3) é a única tripla ordenada que satisfaz simultaneamente suas três equações.





−=+−
=−+
=+−
122
2
32
zyx
zyx
zyx





−=+−
=−+
=+−
13*24*21
2341
33*241





−+−−
+−
=+−−
10*2)1(22
2012
30*2)1(2
Sistema Linear – Infinitas Soluções
• Considere o sistema linear com três equações nas variáveis x,y e z
• A tripla ordenada (x, y, z) = (1, 4, 3) é solução do sistema, pois
• As triplas ordenadas (x, y, z) = (2,1, 1) e (x, y, z) = (3,-2,-1) também são soluções do 
sistema (verifique).
• Adiante mostraremos que o sistema admite infinitas soluções, isto é, há infinitas
triplas ordenadas que satisfazem simultaneamente suas três equações.





=+−
=−+
=+−
833
2
32
zyx
zyx
zyx





=+−
=−+
=+−
83*341*3
2341
33*241
Sistema Linear – Sem solução
• Considere o sistema linear com três equações nas variáveis x,y e z
• O sistema não admite solução. Este fato pode ser facilmente verificado observando
que é impossível satisfazer simultaneamente a primeira e a segunda equações do 
sistema (se a soma de três números vale 3, não há como essa mesma soma valer 4).
• Adiante mostraremos que o sistema não admite solução, isto é, nenhuma tripla
ordenada satisfaz, simultaneamente, suas três equações.





=+−
=++
=++
833
4
3
zyx
zyx
zyx
Sistema Linear Homogêneo
• Se os termos independentes de todas as equações são nulos, isto é se
b1 = b2 = . . . = bm = 0,
dizemos que o sistema linear é homogêneo:
• Se pelo menos um dos termos independentes é não nulo dizemos que o 
sistema é não-homogêneo.
• Todo sistema homogêneo sempre admite, pelo menos, a solução trivial 
(solução nula)







=++++
=++++
=++++
0
0
0
332211
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa




)0,,0,0,0(),,,,( 321  =nxxxx
Sistema Linear Homogêneo – Exemplos
1) Considere o sistema linear homogêneo com três equações nas variáveis x,y e z
• Adiante mostraremos que tripla ordenada (x, y, z) = (0,0,0) é a única solução do sistema, isto
é, mostraremos que este sistema homogêneo admite somente a solução trivial.
2) Considere o sistema linear homogêneo com três equações nas variáveis x,y e z
• As triplas ordenadas (x, y, z) = (-1,3,2) e (x, y, z) = (2,-6,-4) são soluções deste sistema 
(verifique). Adiante mostraremos que este sistema homogêneo admite, além da solução 
trivial (x, y, z) = (0,0,0), infinitas soluções não triviais.





=+−
=−+
=+−
022
0
02
zyx
zyx
zyx





=+−
=−+
=+−
033
0
02
zyx
zyx
zyx
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
Matriz Escalonada
Prof. Fabiano José dos Santos
Matriz Escalonada - Definição
▪ Dizemos que uma matriz está na forma escalonada por linhas se:
(i) o primeiro coeficiente não nulo de cada linha, chamado pivô ou líder, está 
em uma coluna à direita das colunas dos pivôs das linhas anteriores;
(ii) as linhas nulas (linhas cujos coeficientes são todos nulos), se existirem, estão 
abaixo das linhas não nulas (linhas nas quais pelo menos um coeficiente é não 
nulo).
Matriz Escalonada - Exemplos
▪ Na matriz A os pivôs são 1 (na primeira linha), -4 (na segunda linha, à direita de 1) e 2 (na 
terceira linha, à direita de 1 e de -4). Não há linhas nulas.
▪ Na matriz B os pivôs são 5 (na primeira linha) e 2 (na segunda linha, à direita de 5). Há uma única 
linha nula (abaixo das linhas não nulas).
▪ Na matriz C os pivôs são 2 (na primeira linha), 1 (na segunda linha, à direita de 2) e 3 (na terceira 
linha, à direita de 2 e de 1). Há uma única linha nula (abaixo das linhas não nulas).
Em uma matriz na forma escalonada por linhas, todos os coeficientes abaixo do pivô (na coluna 
do pivô) são nulos.










−=
8200
4140
6231
A










=
0000
4120
6235
B












=
00000
30000
51000
41132
C
Operações Elementares
ESCALONAMENTO: uma forma escalonada (por linhas) de uma matriz é obtida pela aplicação 
de um número finito de operações elementares sobre suas linhas, dos seguintes tipos:
(i) Trocar a posição relativa entre duas linhas da matriz. A notação a seguir indica a troca das 
posições relativas da i-ésima com a j-ésima linhas.
(ii) Multiplicar uma linha da matriz por uma constante não nula. A notação a seguir indica a 
multiplicação da i-ésima linha por uma constante (não nula) k.
(iii) Substituir uma linha da matriz por um múltiplo de outra linha mais a própria linha a ser 
substituída. A notação a seguir indica a substituição da i-ésima linha pela soma de k vezes 
a j-ésima linha mais a i-ésima linha. 
ji LL 
ii kLL =
iji LkLL +=
Escalonamento - Exemplo
•Obter uma forma escalonada (por linhas) da matriz
• Na primeira coluna, anulamos os coeficientes abaixo do pivô pela aplicação das operações elementares:
•A seguir trocamos as posições relativas das segunda e terceira linhas para obtermosuma forma 
escalonada da matriz dada










−
−
1172
5193
4131










−
−
−

+−=
+−=










−
−
9310
7400
4131
2
3
1172
5193
4131
313
212
LLL
LLL










−
−
−











−
−
−
7400
9310
4131
9310
7400
4131
22 LL
Escalonamento - Exemplo
ATENÇÃO: A FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ NÃO É ÚNICA.
Escalonamento 1:
Escalonamento 2:












−
−
−

+=












−−
−
−
−














−−
−
−
−

+−=
+=
+−=












−−−
−
−
6000
3100
8410
4121
2410
3100
8410
4121
2410
8410
3100
4121
3
2
2
10153
0232
5142
4121
424
32
414
313
212
LLL
LL
LLL
LLL
LLL












−
−−
−














−
−−
−

+=












−
−
−−
−














−−
−
−
−

+−=
+=
+−=












−−−
−
−
6000
3100
2410
4121
3100
6000
2410
4121
3100
8410
2410
4121
2410
8410
3100
4121
3
2
2
10153
0232
5142
4121
43
323
42
414
313
212
LL
LLL
LL
LLL
LLL
LLL
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
Método de Gauss
Prof. Fabiano José dos Santos
Matriz Aumentada
▪ Todo sistema linear pode ser representado por sua matriz aumentada:
▪ Exemplo: 




















=++++
=++++
=++++
mmnmmm
n
n
mnmnmmm
nn
nn
baaaa
baaaa
baaaa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa








321
22232221
11131211
332211
22323222121
11313212111










−−
−
−






−=+−
=−+
=+−
1221
2111
3211
122
2
32
zyx
zyx
zyx
Sistemas Equivalentes
▪ Dois sistemas lineares são ditos equivalentes se admitem a(s) mesma(s) solução(ões).
▪ Exemplo: os sistemas lineares abaixo são equivalentes, pois ambos admitem a solução (x, y, z) = 
(1, 4, 3) (Verifique).
▪ No caso do sistema linear em (b) é fácil verificar que tal solução é única por meio de uma 
substituição retroativa, pois da terceira equação temos que z = 3; que substituído na segunda 
equação nos dá y = 4, que substituídos na primeira equação nos dá x = 1.
▪ Adiante veremos que a tripla ordenada (x, y, z) = (1, 4, 3) também é a única solução do sistema 
linear em (a).





−=+−
=−+
=+−
122
2
32
)(
zyx
zyx
zyx
a





=
−=−
=+−
93
132
32
)(
z
zy
zyx
b
Método de Gauss
• O Método de Gauss (ou método do Escalonamento, ou método da Pivotação) é utilizado para a discussão de 
Sistemas Lineares e consiste do seguinte algoritmo:
Sistema Linear → Matriz Aumentada → Forma Escalonada → Sistema Equivalente
• No Método de Gauss, a aplicação das operações elementares para se obter uma forma escalonada da matriz 
aumentada do sistema, e assim possibilitar uma substituição retroativa, não altera sua(s) solução(ões).
• O sistema escalonado, equivalente ao sistema dado, será:
➢ Possível Determinado (solução única): se a forma escalonada apresenta número de equações (todas válidas) 
igual ao número de variáveis.
➢Impossível (sem solução): a forma escalonada apresenta pelo menos uma equação inválida
➢Possível Indeterminado (infinitas soluções): se a forma escalonada apresenta número de equações (todas 
válidas) menor que o número de variáveis.
0,0000 321 =++++ bbxxxx n
Método de Gauss – Solução única
• Considere o sistema linear e sua respectiva matriz aumentada:
• Inicialmente obtemos a forma escalonada da matriz aumentada:
•A seguir escrevemos o sistema equivalente escalonado (como o número de equações é igual ao número de 
variáveis, temos uma solução única):
• E finalmente a substituição retroativa: da terceira equação temos que z = 3; que substituído na segunda 
equação nos dá y = 4, que substituídos na primeira equação nos dá x = 1. Assim a tripla ordenada (1, 4, 3) é 
a única solução do sistema equivalente bem como a única solução do sistema dado (verifique).





−=+−
=−+
=+−
122
2
32
zyx
zyx
zyx










−−
−
−
1221
2111
3211










−−
−

−=











−−
−−
−

+=









−−
−−
−

+−=
+−=










−−
−
−
9300
1320
3211
2
2
9
2
3
00
1320
3211
2
14010
1320
3211
1221
2111
3211
33
323
313
212
LLLLLLLL
LLL





=
−=−
=+−





=++
−=−+
=+−
93
132
32
9300
1320
32
z
zy
zyx
ou
zyx
zyx
zyx
Método de Gauss – Sem Solução
• Considere o sistema linear e sua respectiva matriz aumentada:
• Inicialmente obtemos a forma escalonada da matriz aumentada:
•A seguir escrevemos o sistema equivalente escalonado
• Como a terceira equação é inválida , pois é impossível satisfazer a igualdade 0x+0y+0z=1 , o sistema não 
admite solução.





=+−
=++
=++
833
4
3
zyx
zyx
zyx










− 8313
4111
3111










−−










−−

+−=
+−=










− 1000
1040
3111
1040
1000
3111
38313
4111
3111
32313
212
LLLLL
LLL





=
−=−
=++





=++
−=+−
=++
10
14
3
1000
1040
3
y
zyx
ou
zyx
zyx
zyx
Método de Gauss – Infinitas Soluções
• Considere o sistema linear e sua respectiva matriz aumentada:
• Inicialmente obtemos a forma escalonada da matriz aumentada:
•A seguir escrevemos o sistema equivalente escalonado
• Como no sistema escalonado o número de equações é menor que o número de variáveis, temos infinitas 
soluções. Neste caso específico, como a forma escalonada possui duas equações a três variáveis, há uma (3-
2=1) variável livre. Podemos atribuir um valor para z e determinar os valores de y e x (por meio de 
substituições). De modo análogo podemos atribuir um valor a y e determinar os valores de z e x (por meio 
de substituições). Ou ainda, atribuir um valor a x e determinar os valores de y e z (pela soluçao de um novo 
sistema linear).





=+−
=−+
=+−
833
2
32
zyx
zyx
zyx










−
−
−
8313
2111
3211










−−
−

+−=









−−
−−
−

+−=
+−=










−
−
−
0000
1320
3211
1320
1320
3211
38313
2111
3211
323313
212
LLLLLL
LLL



−=−
=+−





=++
−=−+
=+−
132
32
0000
1320
32
zy
zyx
ou
zyx
zyx
zyx
Método de Gauss – Infinitas Soluções
• Podemos determinar uma forma paramétrica das infinitas soluções do sistema linear da seguinte forma:
• Inicialmente elegemos uma variável livre, digamos z, e escrevemos (em que t, denominado parâmetro, é 
qualquer valor numérico).
• Substituindo na segunda equação obtemos .
• Substituindo os valores encontrados de y e z na primeira equação obtemos .
• Assim, uma forma paramétrica das infinitas soluções do sistema dado é 
• Digamos, se t=1, a tripla ordenada (x,y,z) = (2,1,1) é uma solução do sistema linear dado (verifique).
• Se t=-1, a tripla ordenada (x,y,z) = (3,-2,-1) é uma solução do sistema linear dado (verifique).
•Para cada valor numérico do parâmetro t, a forma paramétrica fornece uma das infinitas soluções do sistema 
linear dado.



−=−
=+−





=++
−=−+
=+−
132
32
0000
1320
32
zy
zyx
ou
zyx
zyx
zyx
( ) 




 −−
= t
tt
zyx ,
2
13
,
2
5
,,
tz =
tz =
2
13
132
−
=−=−
t
yty
2
5
32
2
13 t
xt
t
x
−
==+
−
−
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
Método de Gauss-Jordan
Prof. Fabiano José dos Santos
Matriz Escalonada Reduzida - Definição
▪ Dizemos que uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas se:
(i) o primeiro coeficiente não nulo de cadalinha, chamado pivô ou líder, está em 
uma coluna à direita das colunas dos pivôs das linhas anteriores;
(ii) as linhas nulas (linhas cujos coeficientes são todos nulos), se existirem, estão 
abaixo das linhas não nulas (linhas nas quais pelo menos um coeficiente é não 
nulo);
(iii) o pivô é o único coeficiente não nulo de sua coluna; e
(iv) todo pivô vale 1.
Matriz Escalonada Reduzida
▪ Exemplos de matrizes na forma escalonada reduzida
▪ Obter a forma escalonada reduzida da matriz dada:
▪ Observação: a forma escalonada reduzida de uma matriz é única.










=
8100
4010
6001
A










=
0000
4210
6201
B












=
00000
10000
01000
00531
C










−
−−
−

+=
+=










−−
−

+−=
+−=









 −
2600
3310
25012
1310
3310
4121
2
5231
5132
4121
323
121
313
212
LLL
LLL
LLL
LLL










−
−
+=
+−=










−
−
−

=
−=










−
−−
−
3
1
3
1
232
131
3
1
36
1
3
22
100
2010
001
3
5
100
3310
2501
2600
3310
2501
LLL
LLL
LL
LL
Método de Gauss-Jordan
• O Método de Gauss-Jordan é utilizado para a discussão de Sistemas Lineares e consiste do seguinte algoritmo:
Sistema Linear → Matriz Aumentada → Forma Escalonada Reduzida → Sistema Equivalente
• No Método de Gauss-Jordan, a aplicação das operações elementares para se obter a forma escalonada reduzida da 
matriz aumentada do sistema, e assim possibilitar uma substituição retroativa, não altera sua(s) solução(ões).
• O sistema escalonado reduzido, equivalente ao sistema dado, será:
➢ Possível Determinado (solução única): se a forma escalonada apresenta número de equações (todas válidas) 
igual ao número de variáveis.
➢Impossível (sem solução): a forma escalonada apresenta pelo menos uma equação inválida
➢Possível Indeterminado (infinitas soluções): se a forma escalonada apresenta número de equações (todas 
válidas) menor que o número de variáveis.
0,0000 321 =++++ bbxxxx n
Método de Gauss-Jordan – Solução única
• Considere o sistema linear e sua respectiva matriz aumentada:
• Inicialmente obtemos a forma escalonada reduzida da matriz aumentada:
• Neste caso (matriz escalonada reduzida com número de equações igual ao número de variáveis) a solução única 
do sistema é lida diretamente da coluna de termos independentes da matriz aumentada.





−=+−
=−+
=+−
122
2
32
zyx
zyx
zyx










−−
−
−
1221
2111
3211










−−
−−
+=
+−=










−−
−−
−











−−
−−
−

+−=
+−=










−−
−
−
9300
4010
7201
21320
4010
3211
4010
1320
3211
1221
2111
3211
323
121
23
313
212
LLL
LLL
LL
LLL
LLL





=
=
=
3
4
1
z
y
x











+−=











−=
−=










−−
−−
3100
4010
10012
3100
4010
7201
9300
4010
7201 131
33
1
3
22
LLL
LL
LL
Método de Gauss-Jordan – Infinitas Soluções
• Considere o sistema linear e sua respectiva matriz aumentada:
• Inicialmente obtemos a forma escalonada da matriz aumentada:
•A seguir escrevemos o sistema equivalente escalonado reduzido
• Como no sistema escalonado reduzido o número de equações é menor que o número de variáveis, temos 
infinitas soluções. Com z = t (variável livre) obtemos a forma paramétrica das infinitas soluções:





=+−
=−+
=+−
833
2
32
zyx
zyx
zyx










−
−
−
8313
2111
3211










−−=










−−
+−=
+=










−−
−−
−

+−=
+−=










−
−
−
0000
10
01
0000
1320
01
1320
1320
3211
38313
2111
3211
2
1
2
3
2
5
2
1
22
1
2
2
5
2
1
323
122
1
1
313
212 LL
LLL
LLL
LLL
LLL



−=−
=++
2
1
2
3
2
5
2
10
zy
zyx
( ) 




 −−
= t
tt
zyx ,
2
13
,
2
5
,,
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
Sistemas Lineares
Aplicações Simples
Prof. Fabiano José dos Santos
Interpolação Polinomial
▪ Por um conjunto com n+1 pontos com 
podemos interpolar um polinômio de grau <= n da forma
▪ Para determinarmos os coeficientes do polinômio interpolador fazemos:
▪ A solução deste sistema linear, com n+1 equações e n+1 variáveis, nos fornece os coeficientes do 
polinômio interpolador. Solução será única desde que 
( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx ,,,,,,,, 221100 
( )
( )
( )
( )








=++++=
=++++=
=++++=
=++++=
nnn
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
yaxaxaxayxp
yaxaxaxayxp
yaxaxaxayxp
yaxaxaxayxp
01
2
2
2021
2
22222
1011
2
12111
0001
2
02000





nxxxx  210
01
2
2)( axaxaxaxp
n
n ++++= 
nxxxx  210
Interpolação Polinomial - Exemplo
▪ Determine o polinômio de grau <= 3 que passa pelos pontos (-1,2) ; (1,0) ; (2,-1) e (3,14).
▪ Obtemos o seguinte sistema linear:
▪ A solução deste sistema linear é (verifique)
▪ Assim o polinômio interpolador procurado é 
▪ Trata-se de um problema com solução única (uma vez que as abscissas dos pontos são distintas)
( )
( )
( )
( )






=+++=+++=
−=+++−=+++−=
=+++=+++=
=+−+−=+−+−+−=−
14392714)3()3()3(143
12481)2()2()2(12
00)1()1()1(01
22)1()1()1(21
012301
2
2
3
3
012301
2
2
3
3
012301
2
2
3
3
012301
2
2
3
3
aaaaaaaap
aaaaaaaap
aaaaaaaap
aaaaaaaap
)5,3,4,2(),,,( 0123 −−=aaaa
01
2
2
3
3)( axaxaxaxp +++=
5342)( 23 +−−= xxxxp
Balanço de Massa
▪ Uma indústria metalúrgica deseja fabricar uma liga de bronze com a seguinte composição química: 
(percentual em massa)
▪ A liga será obtida por refusão das ligas A, B, C, D, cujas composições são mostradas na tabela a 
seguir (percentuais em massa)
▪ Qual a massa necessária de cada liga A, B, C, D para se produzir exatamente 1000 Kg (1 ton) da liga 
desejada?
Cu (cobre) Sn (estanho) Pb (chumbo) Zn (zinco) Outros
85 4,2 3,8 2,8 4,2
Liga Cu (cobre) Sn (estanho) Pb (chumbo) Zn (zinco) Outros
A 81 8 7 2 2
B 87 1 3 2 7
C 89 7 3 0 1
D 82 1 3 7 7
Balanço de Massa
▪ Devemos assim fazer um balanço de massa de cada componente das ligas.
▪ Sejam A, B, C, D as massas (em Kg) necessárias de cada liga. Temos:
▪ Massa total de 1000 Kg: 
▪ Balanço de Cu:
▪ Balanço de Sn:
▪ Balanço de Pb:
▪ Balanço de Zn:
▪ Balanço de Outros:
1000=+++ DCBA
85082,089,087,081,0 =+++ DCBA
4201,007,001,008,0 =+++ DCBA
3803,003,003,007,0 =+++ DCBA
2807,000,002,002,0 =+++ DCBA
4207,001,007,002,0 =+++ DCBA
Balanço de Massa
▪ Obtemos então o sistema linear com 6 equações e 4 variáveis
▪ Cuja solução única é (verifique) 




















−−
−
































=+++
=+++
=+++
=+++
=+++
=+++
00000
00000
2801000
8005200
22005150
10001111
4207,001,007,002,0
2807,000,002,002,0
3803,003,003,007,0
4201,007,001,008,0
85082,089,087,081,0
10001111
4207,001,007,002,0
2807,000,002,002,0
3803,003,003,007,0
4201,007,001,008,0
85082,089,087,081,0
1000
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
( ) ( )KgDCBA 280,300,220,200,,, =
Circuitos Elétricos
▪ A aplicação da LKC nos nós A e B resulta: 
▪ Nó A: 
▪ Nó B: 
▪ A aplicação da LKT nas malhas esquerda e direita resulta
▪ Malha esquerda:
▪ Malha direita: 
▪ Obtemos assim o seguinte sistema linear (como as equações de ambos os nós são idênticas, 
escrevemos o sistema com apenas uma delas):
▪ Cuja solução única é (verifique): 
231 iii =+
312 iii +=
8102 21 =+ ii
10510 32 =+ ii









 −










 −






=+
=+
=+−
1200
2120
0111
105100
80102
0111
10510
8102
0
32
21
321
ii
ii
iii
( ) ( ) Aiii )50.0,75.0,25.0(21,43,41,,321 ==
Circuitos Elétricos
▪ Considere o circuito elétrico mostrado na figura (duas malhas fechadas, apenas elementos do tipo 
resistor, tensões contínuas). 
▪ Podemos determinar as correntes pela aplicação das Leis de Kirchoff:
▪ LKT (Lei de Kirchoff das Tensões): em cada malha fechada a soma das tensões aplicadas é igual à 
soma das quedas de tensão nos elementos.
▪LKC (Lei de Kirchoff das Correntes): em cada nó a soma das correntes que entram é igual à soma das 
correntes que saem.
321 ,, iii
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
Matrizes
Professor: Pedro Belchior
Aula 1
Definição e Exemplos
Introdução
Coleções retangulares de números reais 
aparecem em muitos contextos, veja:
Introdução
Suprimindo os títulos, ficamos com a seguinte coleção 
retangular de números com três linhas e sete colunas
Matriz
DEFINIÇÃO 1:
Uma matriz é um agrupamento retangular de 
números. 
Dizemos que os números nesse agrupamento são 
as entradas da matriz.
Matriz
Os elementos de uma matriz podem ser:
▪ Números reais
▪ Números complexos
▪ Funções
▪ Ou até mesmo outra matriz
Matriz
Igualdade de Matrizes
DEFINIÇÃO 2: 
Duas matrizes são definidas como sendo iguais se: 
▪ Tiverem o mesmo tamanho 
▪ Suas entradas correspondentes forem iguais.
Tipos de Matriz
Tipos de Matriz
OBS:
Tipos de Matriz
Tipos de Matriz
Tipos de Matriz
Tipos de Matriz
Tipos de Matriz
Tipos de Matriz
Álgebra Linear
Professor: Pedro Belchior
Matrizes: Aula 2
Operações Com Matrizes
Soma de Matrizes
DEFINIÇÃO 3: Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, 
a soma 𝑨 + 𝑩
▪ é a matriz obtida somando as entradas de B às entradas correspondentes de 
A, 
a diferença 𝑨 − 𝑩
▪ é a matriz obtida subtraindo as entradas de B das entradas correspondentes 
de A.
▪ Obs: Matrizes de tamanhos distintos não podem ser somadas ou subtraídas.
Soma de Matrizes
Exemplo
Multiplicação Por Escalar
DEFINIÇÃO 4: 
Se A for uma matriz e c um escalar
▪ é a matriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A 
por c. 
▪ Dizemos que a matriz cA é um múltiplo escalar de A.
Multiplicação Por Escalar
Exemplo
Produto Entre Matrizes
DEFINIÇÃO 5 
▪ Se A for uma matriz m x r e B uma matriz r x n, então o produto 
AB é
▪ a matriz m x n cujas entradas são determinadas como segue. 
▪ Para obter a entrada na linha i e coluna j de AB, 
▪ destacamos a linha i de A e a coluna j de B. 
▪ Multiplicamos as entradas correspondentes da linha e da coluna e 
então somamos os produtos resultantes.
Produto Entre Matrizes
Exemplo
2 x 4 
Fazendo as Contas
Aplicação Em Sistemas Lineares
Matriz Aumentada
Matriz Aumentada
Exemplos
Transposta
DEFINIÇÃO: 
▪ A matriz transposta de A
▪ denotada por 𝐴𝑇
▪ matriz que resulta da troca das linhas com as colunas de A
Traço de Uma Matriz
DEFINIÇÃO:
▪ traço de A, denotado por tr(A),
▪ É definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. 
▪ O traço de A não é definido se A não for uma matriz quadrada.
Matrizes inversas
Professor Vitor Luiz de Almeida
A terceira coluna 
de B.A é dada por 
B vezes a terceira 
coluna de A!
Relembre que I é o 
elemento neutro do 
produto de matrizes!
Lembre-se que k(AB) = (kA)B = A(kB) 
Recorde que o produto de 
matrizes é associativo!
Recorde que 
(AB)T = B TAT
Matrizes inversas
Professor Vitor Luiz de Almeida
Matrizes elementares
Matrizes inversas
Professor Vitor Luiz de Almeida
Um processo prático para inverter 
matrizes
Matrizes inversas
Professor Vitor Luiz de Almeida
Matrizes invertíveis versus sistemas 
lineares
Determinantes
Prof. Dr. Pedro Belchior
Aula 1
Permutação e Inversões
Permutações
Exemplo
Os números 1,2,3 possuem 6 ordenações:
▪ (123)
▪ (132)
▪ (213)
▪ (231)
▪ (312)
▪ (321)
Permutações
Permutações
Inversões
Exemplo
Determinantes
Prof. Dr. Pedro Belchior
Aula 3
Propriedades de Determinantes
Nesta Aula...
Propriedades
Esboço
Propriedades
Esboço
Propriedades
Esboço Constante
Propriedades
▪ A razão disto é imediata. 
▪ O que acontece ao se trocar duas linhas de uma matriz ?
▪ Observe que alteramos a paridade do número Inversões dos 
índices 
▪ Portanto trocamos o sinal dos termos.
Propriedades
Propriedades
𝐵 = 𝐴
Propriedades
Esboço Constante
𝐤𝐧
Propriedades
Esboço
Observação
𝐴
2 𝑋 3 3 𝑋 22 𝑋 2
𝐵𝐴𝐵
As matrizes A e B precisam ser quadradas
Propriedades
Retas no Espaço
Prof. Fabiano José dos Santos
Retas no Espaço
▪ Seja Q(xo,yo,zo) um ponto qualquer e v=(a,b,c) um vetor qualquer (não nulo) do espaço. Há uma 
única reta que passa por Q na direção do vetor v.
▪ Seja P(x,y,z) um ponto qualquer do espaço. Se P está sobre a reta, então os vetores QP e v têm 
mesma direção. Logo são múltiplos escalares entre si, e existe uma constante t tal que
QP=tv
Retas no Espaço
▪ Em termos das componentes dos vetores QP e v a equação anterior fica 
denominada equação vetorial da reta.
▪ Igualando componente a componente podemos escrever as equações
denominada equações paramétricas da reta.
▪ Para cada valor do parâmetro t, as equações paramétricas nos dá as coordenadas (x,y,z) de um 
ponto da reta. Reciprocamente, a cada ponto da reta corresponde um único valor do parâmetro t.
Reta no espaço - Exemplo
▪ Determine a equação da reta que passa pelo ponto Q(1,-3,2) na direção do vetor v=(-4,3,2).
▪ Substituindo as coordenadas do ponto Q e as componentes do vetor v nas fórmulas das equações 
paramétricas da reta obtemos
▪ Se t=1 temos que (x,y,z)=(-3,0,4) é um ponto da reta.
▪ Por outro lado, o ponto (x,y,z)=(9,-9,0) não pertence à reta, pois não há um único valor para o 
parâmetro t que substituído nas equações paramétricas nos forneça estas coordenadas. 
Retas no Espaço - Exemplo
▪ Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1,2,2) e B(4,3,3).
▪ Neste caso, o vetor AB=(3,1,1) está na direção da reta. Utilizando as coordenadas do ponto A e as 
componentes do vetor AB obtemos
▪ Por outro, utilizando as coordenadas do ponto B e as componentes do vetor AB obtemos
▪ Além disto, utilizando as coordenadas do ponto A e as componentes do vetor BA=-AB obtemos
▪ CUIDADO: AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA RETA NÃO SÃO ÚNICAS, ISTO É, UMA MESMA 
RETA PODE SER DESCRITA POR INFINITAS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DISTINTAS.
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
Posições Relativas de 
Retas no Espaço
Prof. Fabiano José dos Santos
Retas no Espaço
▪ Seja 𝑟 a reta que passa pelo ponto 𝑄(𝑥0, 𝑦0,𝑧0) na direção do vetor 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). 
Conforme vimos anteriormente, as equações paramétricas desta reta são dadas 
por
ቐ
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
, −∞ < 𝑡 < ∞
Retas no Espaço – Equações Simétricas
Equações Paramétricas e Simétricas -
Exemplo
▪ A reta que passa pelo ponto 𝑄(1,3,−5)na direção do vetor 𝑣 = 4,−3,2 tem 
equações paramétricas
ቐ
𝑥 = 1 + 4𝑡
𝑦 = 3 − 3𝑡
𝑧 = −5 + 2𝑡
, −∞ < 𝑡 < ∞
e equações simétricas 𝑡 =
𝑥−1
4
=
𝑦−3
−3
=
𝑧+5
2
, −∞ < 𝑡 < ∞
Retas no espaço - Interseção
▪ Determine, se existir, o ponto de interseção das retas 𝑟1: ቐ
𝑥 = 1 + 4𝑡
𝑦 = 3 − 3𝑡
𝑧 = −5 + 2𝑡
e 𝑟2: ቐ
𝑥 = 1 + 2𝑠
𝑦 = 6 − 3𝑠
𝑧 = 1 − 2𝑠
▪ Devemos igualar as abscissas, ordenadas e cotas de ambas as retas: 
1 + 4𝑡 = 1 + 2𝑠
3 − 3𝑡 = 6 − 3𝑠
−5 + 2𝑡 = 1 − 2𝑠
▪ Que nos leva ao sistema linear nas variáveis 𝑡 e 𝑠:
ቐ
4𝑡 − 2𝑠 = 0
−3𝑡 + 3𝑠 = 3 ∴
2𝑡 + 2𝑠 = 6
4 −2 0
−3 3 3
2 2 6
∴
1 1 3
−1 1 1
4 −2 0
∴
1 1 3
0 2 4
0 −6 −12
∴
1 1 3
0 2 4
0 0 0
▪ Cuja solução (única) é 𝑠 = 2 e 𝑡 = 1. Substituindo 𝑡 = 1 nas equações paramétricas da reta 
𝑟1 (ou 𝑠 = 2nasequações paramétricas da reta 𝑟2) obtemos o ponto de interseção 𝑥, 𝑦, 𝑧
= (5,0,−3)
Retas no espaço - Interseção
▪ Determine, se existir, o ponto de interseção das retas 𝑟1: ቐ
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 2 + 2𝑡
𝑧 = −5 + 𝑡
e 𝑟2: ቐ
𝑥 = 1 + 𝑠
𝑦 = 4 − 𝑠
𝑧 = 1 + 𝑠
▪ Devemos igualar as abscissas, ordenadas e cotas de ambas as retas: 
1 + 𝑡 = 1 + 𝑠
2 + 2𝑡 = 4 − 𝑠
−5 + 𝑡 = 1 + 𝑠
▪ Que nos leva ao sistema linear nas variáveis 𝑡 e 𝑠:
ቐ
𝑡 − 𝑠 = 0
2𝑡 + 𝑠 = 2 ∴
𝑡 − 𝑠 = 6
1 −1 0
2 1 2
1 −1 6
∴
1 −1 0
0 3 2
0 0 6
▪ Como o sistema é impossível (a última equação 0𝑡 + 0𝑠 = 6 é impossível), as retas não 
possuem ponto de interseção.
Retas no Espaço – Posições Relativas
▪ No espaço tridimensional temos as seguintes possibilidades para a posição relativa 
de duas retas:
i. Paralelas: vetores diretores possuem mesma direção (são múltiplos escalares 
entre si) e não há ponto de interseção.
ii. Concorrentes: vetores diretores com direções distintas e há ponto de interseção.
iii. Reversas: vetores diretores com direções distintas e não há ponto de interseção.
▪ Caso os vetores diretores possuam a mesma direção (paralelismo de retas) e haja 
interseção, temos retas coincidentes.
Posições Relativas - Exemplo
▪ Consideremos as retas e 
▪ Os vetores diretores são, respectivamente, e . 
▪ Como os vetores diretores são múltiplos escalares entre si: têm mesma direção. Logo as retas 
possuem mesma direção (são paralelas ou coincidentes).
▪ Vamos verificar se há interseção. Igualando as abscissas, as coordenadas e as cotas de ambas as 
retas temos o seguinte sistema linear
▪ Como o sistema não admite solução, não há interseção. Logo as retas são paralelas. 
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
Distância de Ponto a Reta
Prof. Fabiano José dos Santos
Introdução
▪ Inicialmente vamos relembrar uma importante propriedade do Produto Vetorial: a área
do paralelogramo determinado pelos vetores u e v (não nulos e com direções distintas)
é dada pelo módulo do produto vetorial dos vetores.
▪ Logo, como |u| é a medida da base deste paralelogramo, sua altura h é dada por
u
v
A=| u x v |h
Distância Ponto a reta
▪ Consideremos agora a reta que passa pelo ponto de P coordenadas (x0,y0,z0) na direção do 
vetor v de componentes v=(a,b,c)
▪ A distância D do ponto Q de coordenadas (x1,y1,z1) à reta r é dada por:
𝐷 =
| 𝑃𝑄 × Ԧ𝑣 |
| Ԧ𝑣|
Distância Ponto a reta - Exemplo
▪ Determine a distância do ponto Q(1,2,1) à reta 
.
▪ Inicialmente observamos que a reta dada passa pelo ponto P(1,0,3), na direção do vetor v(1,2,-1). 
Logo:
𝑃𝑄 × Ԧ𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
0 2 −2
1 2 −1
= 2,−2,−2 ∴ 𝑃𝑄 × Ԧ𝑣 = 12 = 2 3
▪ Assim, como |𝑣| = 6, a distância procurada é:
𝐷 =
2 3
6
= 2
𝑟: ቐ
𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 3 − 𝑡
ESTUDAR...
Agora é estudar no livro texto e praticar com os 
exercícios propostos em nosso planejamento de 
aulas
O estudo do plano
Professor Vitor Luiz de Almeida
Formas da equação
u
v
P
p
Q
n
p
v
u
n
p
P
Q
P
O estudo do plano
Professor Vitor Luiz de Almeida
Problemas envolvendo planos
O estudo do plano
Professor Vitor Luiz de Almeida
Problemas envolvendo planos
O estudo do plano
Professor Vitor Luiz de Almeida
Problemas envolvendo planos
O estudo do plano
Professor Vitor Luiz de Almeida
Problemas envolvendo planos
O estudo do plano
Professor Vitor Luiz de Almeida
Problemas envolvendo planos
q
y
q
q
q
O estudo do plano
Professor Vitor Luiz de Almeida
Problemas envolvendo distâncias
d
P
Q
v
P
u
v
P
Q
P
Q