Matemática - Exercícios Resolvidos - Funções Exponenciais

Prévia do material em texto

Funções Exponenciais 
1. Gráficos das funções f1(x)=3x, f2(x)=5x, f3(x)=7x, f4(x)=1 e f5(x)=0, estão 
traçados na figura abaixo. Quais dos gráficos não são funções exponenciais? 
As funções f4(x)=1 e f5(x)=0 são constantes e não são funções 
exponenciais. 
 
2. Construir em um mesmo plano cartesiano, um gráfico com as seguintes 
funções: 
g1(x) = 3-x, g2(x) = 5-x e g3(x) = 7-x 
 
 
3. A partir dos gráficos das funções f(x)=2x, g(x)=2x+2 e h(x)=2-x, descreva o 
que ocorre com g=g(x) e h=h(x) em relação a f=f(x). 
 
O gráfico da função g(x)=2+2x é obtido de f(x)=2x transladado verticalmente 
(no eixo y) por 2 unidades. O gráfico da função h(x)=(1/2)x é uma linha 
simétrica em relação ao eixo dos y (como se estivesse espelhada) que 
corresponde à função a f. 
4. Observe o gráfico das funções f(x)=2x, f1(x)=2x+1, f2(x)=2x+2 e f3(x)=2x+3. O 
que ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em relação a f(x)=2x? 
 
As funções f1(x), f2(x) e f3(x) é a função f(x)=2x transladada verticalmente por 
1, 2 e 3 unidades, respectivamente. 
5. Dado o gráfico da função exponencial f(x)=9x. Pede-se os valores de f(1/2), 
f(2), f(3), f(4), e o que ocorre com os valores de y=f(x) quando x aumenta? 
 
 
a. f(1/2)=3, f(2)=81, f(3)=729, f(4)=6561. 
b. Os valores de y também aumentam, pois esta é uma função 
crescente. Geometricamente, uma função f é crescente se para 
valores crescentes de x, f também cresce. 
6. Considere a função exponencial f(x)=(1/4)x. (a) Calcular os valores de f(1/2), 
f(2), f(3), f(5) e; (b) Analisar o que ocorre com os valores de y=f(x) quando x 
aumenta? 
 
 
a. f(1/2)=1/2=0,5; f(2)=1/16=0,625; f(3)=1/64=0,015625; 
f(5)=1/1024=0,0009765625. 
b. Os valores de y diminuem, pois esta função é decrescente. 
Geometricamente, uma função f é decrescente se para valores 
crescentes de x, f decresce. 
7. Sejam as funções f(x)=2x e g(x)=(1/2)x ilustradas abaixo. 
 
 Em cada caso, escolha uma das opções apresentadas. 
(a) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito 
grandes, a função f(x)=2x admite valores: Muito próximos de zero ou 
Muito grandes. R: Muito Grandes 
(b) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes 
muito grandes, a função f(x)=2x admite valores: Muito próximos de 
zero ou Muito grandes. R: Muito próximos a zero. 
(c) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito 
grandes, a função g(x)=2-x admite valores: Muito próximos de zero ou 
Muito grandes. R: Muito próximos a zero. 
(d) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes 
muito grandes, a função g(x)=2-x admite valores: Muito próximos de 
zero ou Muito grandes. R: Muito Grandes. 
Observação: O símbolo (infinito) não é um número real mas representa 
um valor maior do que qualquer número real. Desse modo, quando dizemos 
que x se distancia da origem por valores positivos muito grandes, podemos 
escrever que x tende a + . Quando x se distancia da origem por valores 
negativos mas cujos módulos (valores absolutos) são muito grandes, 
escrevemos que x tende a - . Algo semelhante ocorre com valores muito 
próximos de zero, pois quando x é um número real muito pequeno, porém 
diferente de zero, dizemos que x tende a zero. Este fato ocorre se x é um 
valor positivo ou se é negativo. 
8. Construir os gráficos das funções exponenciais: 
f1(x) = 7x, f2(x) = 7-x e f3(x) = R[3]x 
O gráfico de f1(x) encontra-se no exercício 1, e o gráfico de f2(x) no 
exercício 2. 
 
9. Construir os gráficos das funções exponenciais: 
f4(x) = 5-x, f5(x) = (1,01)x e f6(x) = (3/4)x 
 
Gráfico de f4: Gráfico de f5: 
 
 
 
1. Gráfico de f6: 
 
10. Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função 
exponencial apresentada abaixo como crescente ou decrescente. 
f1(x)=7x, f2(x)=7-x + 2, f3(x)=5-x, f4(x)=(1,01)x + 2 e f5(x)=(3/4)x 
 
a. f1 é crescente pois se x<y então 
f1(x)=7x<7y=f1(y). 
b. f2 é decrescente pois se x<y então 
f2(x)=(1/7)y>(1/7)y=f2(y). 
c. f3 é decrescente. 
d. f4 é crescente. 
e. f5 é decrescente. 
11. Determinar os valores de x para os quais 2x=32. 
Como 32=25 então 2x=32=25, portanto x=5. 
12. Determinar os valores de x para os quais 2x=1. 
Como 1=20 então 2x=1=20, portanto x=0. 
13. Resolver a equação 27x = 243. 
Como 27=33 e 243=35 então 33x=(33)x=27x=243=35, portanto 3x=5 de onde 
segue que x=5/3 
14. Resolver a equação 625x = 25. 
Como 625=54 e 25=52 então 54x =(54)x=625x=25=52, portanto 4x=2 de onde 
segue que x=1/2. 
15. Determinar o valor de x para o qual (1/3)x=3. 
 (1/3)x=3-x=31 portanto -x=1 assim x=-1. 
 
16. Determinar o valor de x para o qual (4/9)x=81/16 
 
 Como 4/9=(2/3)2 e 81/16=(3/2)4 então 
 (2/3)2x=(4/9)x=81/16=(3/2)4=(2/3)-4, 
 sendo assim 2x=-4 de onde segue que x=-2. 
17. Qual é o conjunto solução da equação exponencial 5x+2=125x? 
Escrevendo 125x=(53)x=53x segue que 5x+2=125x = 53x e deste modo 
x+2=3x assim x=1, logo S={x em R: x=1} 
18. Determinar o conjunto solução de 2x=5x. 
Resposta 1: Dividindo ambos os membros da equação por 5x, 
obtemos: 
2x/5x = 5x/5x 
que é equivalente a (2/5)x=1=(2/5)o 
então x=0. O conjunto solução é dado por: S={x em R: x=0 } 
Resposta 2: Dividindo ambos os membros da equação por 2x, 
obtemos: 
(5/2)x=1=(5/2)o 
então x=0 e o conjunto solução é: S={x em R: x=0 } 
19. Qual é o conjunto solução de 73x-9-49=0? 
Passando 49 para o segundo membro, obtemos: 73x-9=49=72 
Assim 73x-9=72 logo 3x-9=2, portanto x=11/3 e temos que S={x em 
R: x=11/3} 
20. Determinar o conjunto solução da equação 4x+3(2x+1)=16. 
Como 2x+1=2.2x obtemos: (22)x + 6.2x = (2x)2 + 6.2x = 16 
Ao tomar a mudança de variável 2x=u, obtemos a equação do 
segundo grau: 
u2+6u-16=0 
Com a fórmula quadrática (Bhaskara), resolveremos esta equação 
para obter: 
 
As duas raízes reais, são u1=-8 e u2=2. 
Caso 1: Se u1=-8 então 2x=-8 e como 2x>0, não existe x real que é 
solução da equação dada. 
Caso 2: Se u2=2 então 2x=21. Portanto x=1. 
S = {x em R: x=1 } 
21. Determinar o conjunto solução da equação 22x-12(2x)=-32. 
Como 22x = (2x)2 obtemos: (2x)2-12 2x=-32 
Com a substituição 2x=y, obtemos a equação y2-12y+32=0 
Para determinar as raízes utilizamos a fórmula quadrática 
 
As duas raízes reais, são y1=8 e y2=4.Determinadas as duas raízes 
reais, temos dois casos a considerar. 
Caso 1: Se y1 = 8 então 2x=8=23 
Portanto um dos valores que x pode assumir é x=3 
Caso 2: Se y2=4 então 2x=4=22, de onde segue que x=2 
Desse modo temos dois valores para x que satisfazem a equação 
inicial. Logo S={x em R : x=2 ou x=3} 
22. Se R[3] é a raiz quadrada de 3, obter o conjunto solução da equação 
(R[3])x+1=243. 
Resposta: Pela definição de potência de expoentes racionais obtemos 
(31/2)x+1=3(x+1)/2=243=35 e desta maneira segue que (x+1)/2=5, logo x=9. Assim 
S={x em R : x=9} 
23. Determinar o conjunto solução da equação 3x7x=(441)1/4. 
Como 3x7x=21x e 4411/4=212/4=211/2, obtemos 21x=211/2. O conjunto solução é: S 
= {x em R : x = 1/2 } 
24. Determinar o conjunto solução da equação 3x-34-x=24. 
Como 34-x=34.3-x=81/3x, obtemos 3x-81/3x=24 
Com a mudança de variável 3x=y, obteremos y-81/y=24 
Multiplicando ambos os membros desta equação por y, obtemos a 
equação do segundo grau: y2-24y-81=0 
Usando a fórmula quadrática, obtemos duas raízes reais 
 
dadas por y1=27 e y2=-3 e como esta equação possui duas raizes 
reais, temos dois casos a considerar: 
Caso 1: Se y1=27 então 3x=27=33, portanto x=3. 
Caso 2: Se y2=-3 então 3x=-3. Como f(x)=3x é sempre positiva, esta 
função não pode assumir um valor negativo. Assim S={x em R: 
x=3} 
25. Determinar o conjunto solução do sistema com as duas equações 
exponenciais: 3x+y=81 e 3x-y=1 
Como 81=34 e1=3o obtemos: 
 
 
 
3x+y = 34 
3x-y = 3o 
 
Montando um sistema para os expoentes: 
 
 
 
x + y = 4 
x - y = 0 
 
Somando as duas equações, segue que x=2. Substituindo o valor de 
x na segunda equação, obtemos 2-y=0, logo y=2. 
S = { (2;2) } 
26. Determine o conjunto solução do sistema de equações: 
22x+y = 4 e 2x-y = 2-1/2 
Este sistema de equações pode ser escrito na forma: 



22x+y = 22 
2x-y = 2-1/2 
 
Montando um sistema para os expoentes, obtemos: 



2x + y = 2 
x - y = -1/2 
 
Somando membro a membro as duas equações, obtemos x = 1/2 e 
substituindo este valor na primeira equação, obtemos y=1. O 
conjunto solução é então dado por: 
S = {(1/2;1)} 
27. Resolver o sistema de equações: 8x/216y-1=1 e 5x/4-4y = 1/5 
Escrevendo os termos da primeira equação na base 2 e usando a definição de 
potência com expoente racional, obtemos: 
8x/2 = 23x/2 e 16y-1 = (24)y-1 = 24y-4 
Para a segunda equação na base 5, obtemos 
5x/4 
625y
 
= 5x/45-4y 
 O sistema pode ser reescrito na forma: 



23x/2 24y-4 = 1 
5x/4 5-4y = 5-1 
 
 
 
que pode ser reescrito, como: 
 
 
 
23x/2 + 4y-4 = 2o 
5x/4 -4y = 5-1 
 
Montando um sistema para os expoentes, seguirá: 



3x/2 + 4y = 4 
x/4 - 4y = -1 
 
Resolvendo este sistema de duas equações, obtemos x=12/7. 
Substituindo este valor na primeira equação obtemos y=5/14. O conjunto 
solução será: 
S = {(12/7, 5/14)} 
28. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 5x>625. 
Como 625 = 54 podemos escrever 5x >54 
Como 5 > 1 mantemos o sinal da desigualdade para os expoentes 
ficando x>4. 
S = {x em R : x>4} 
29. Obter o conjunto solução para a desigualdade (1/3)x<81. 
Para resolver esta desigualdade, escreveremos 3-x<34. Assim temos que -x<4 o 
que garante que o conjunto solução será dado por S={x em R : x>-4} 
30. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 25x-7>8. 
Como 8=23 temos 25x-7>23 
Como a base das potências é maior do que 1, então mantemos o 
sinal da desigualdade para os expoentes 5x-7>3, de onde segue que 
5x > 10. Portanto: x>2 S={x em R : x>2} 
31. Determinar as soluções para a desigualdade 91-x>243. 
Da mesma forma que já utilizamos antes, podemos mudar a base 
tanto do lado direito como do lado esquerdo. Temos então que 
(1/9)x-1=9-(x-1)=91-x=(32)1-x=32-2x 
e como 243=35, então 32-2x = 91-x > 243 = 35 
Como a base para estas potências é maior do que 1, mantemos o 
sinal da desigualdade para os expoentes, isto é 2-2x > 5 
Desse modo, obtemos -2x > 3 e assim obtemos: x<-3/2 
O conjunto solução é dado por S={x em R : x<-3/2} 
32. Determinar todas as soluções possíveis para a desigualdade 5u(u-3)>1/25. 
Como 1/25 = 5-2 então 5u(u-3)>5-2 
A base para as potências é maior do que 1, assim obtemos para os 
expoentes: u(u-3)>-2 de onde segue que u2-3u+2>0 
Devemos fatorar a desigualdade acima para obter: (u-2)(u-1)>0 
O produto é positivo e possui dois fatores. Ou ambos são negativos 
ou ambos são positivos. Temos dois casos a considerar: 
Caso 1: Se u-2>0 e u-1>0 obtemos: u>2 e u>1. O conjunto 
solução para a primeira desigualdade é S1={u em R : u>2} e o 
conjunto solução para a segunda desigualdade é S2={u em R : u>1} 
A solução do caso 1 é a interseção dos conjuntos S1 e S2, isto é S={u 
em R : u > 2} 
Caso 2: Se u-2<0 e u-1<0 obtemos: u<2 e u<1 
A solução do caso 2 é a interseção das duas desigualdades acima 
u<1 
Assim a solução da inequação inicial é a reunião das soluções dos 
casos 1 e 2: S={u em R : u<1 ou u>2} 
Podemos visualizar a solução pelo gráfico: 
 
33. Determinar todas as soluções possíveis para a desigualdade 
22x-32x+1<-8. 
Esta desigualdade pode ser escrita na forma (2x)2-32x 21<-8 
Tomando a mudança de variável 2x = u, obtemos u2-6u<-8 
Segue então que u2-6u+8<0 
Fatorando a expressão da esquerda, obtemos: (u-2)(u-4)<0 
O produto de dois fatores é negativo quando um dos fatores é 
positivo e o outro fator é negativo, então temos dois casos a 
considerar: 
Caso 1: Se u-2<0 e u-4>0, segue que u<2 e u>4, logo, a solução 
do caso 1 é o conjunto vazio. 
Caso 2: Se u-2>0 e u-4<0, segue que u>2 e u<4. Logo, a solução 
do caso 2 é a interseção das duas desigualdades acima, que também 
pode ser escrito na forma 2<u<4 
Assim, a solução da desigualdade, é a reunião das soluções dos 
casos 1 e 2: S={u em R: 2 <u<4} 
Podemos visualizar a solução através do gráfico: 
 
Retornando às variáveis originais temos que 2<2x<4 que também 
pode ser escrito na forma 21< 2x< 22 que é equivalente a 1<x<2 
S = {x em R: 1<x <2} 
34. Obter o conjunto solução para a desigualdade 2x+322-x-12 <0. 
Tomando a mudança de variável 2x=u, obtemos u+32/u-12<0 
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por u, segue que 
u2+32-12u<0 
Fatorando a expressão da esquerda, obtemos: (u-8)(u-4)<0 
Assim temos dois casos. 
Caso 1: Se u-8>0 e u-4<0, segue que u>8 e u<4. Logo, a solução 
do caso 1 é o conjunto vazio. 
Caso 2: Se u-8<0 e u-4>0, segue que u<8 e u>4. Neste caso, a 
interseção das duas desigualdades acima, pode ser escrita na forma 
4<u<8 
Assim, a solução da desigualdade, é a reunião das soluções dos 
casos 1 e 2: S={u em R: 4<u<8} 
Podemos visualizar a solução através do gráfico: 
 
Retornando às variáveis originais temos que 4<2x<8 
que também pode ser escrito na forma 22<2x <23 
Desta desigualdade, obtemos para os expoentes: 2<x<3 
ou seja, S={x em R : 2<x<3} 
35. Qual é a solução da equação exponencial 5x+2 - 95x = 2x+9 + 1132x? 
Como 5x+2=5x52 e 2x+9=2x29, então: 5x52-325x=2x29+113 2x 
Pondo em evidência 5x do lado esquerdo e 2x do lado direito 
5x(52 - 32) = 5x(25 - 9)=2x(512+113)=2x(29+113) 
De onde segue a equação 16 5x=625 2x 
Passando todos os termos com x para o primeiro membro, obtemos 
 
5x
2x
 
= 625/16
 
Finalmente, segue que (5/2)x=(5/2)4 e a solução é x=4. 
36. Resolver a equação exponencial 22x+1 - 2x+4 - 2x + 8 = 0 
Como 22x+1=22x21=2x221 e 2x+4=2x24 obtemos (2x)22-2x16-2x+8=0 
Com a substituição 2x=a, obtemos 2a2-16a-a+8=0 
De onde segue a equação do segundo grau 2a2-17a+8=0 
As raízes reais são a1=8 e a2=1/2. Retornando à variável original 
temos duas soluções 
Solução 1: 2x=a1=8=23 garantindo que x=3. 
Solução 2: 2x=a2=1/2=2-1 e dessa forma x=-1. 
37. Se R[2] e R[3] representam, respectivamente, as raiz quadradas de 2 e 3, 
resolver a equação exponencial 4 (R[3])x+1 = 9 (R[2])x+1 
Usando potências, escreveremos 223(x+1)/2=322(x+1)/2, logo 
3(x+1)/2 
2(x+1)/2 
 
=(3/2)2 
assim (3/2)(x+1)/2=(3/2)2 e obtemos (x+1)/2=2, ou seja x=3.