ANÁLISE COMBINATÓRIA - Princípio Fundamental da Contágem - PFC

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Prof. Daniel Duarte 
 
 
Princípio Fundamental da Contagem (PFC) 
 
Usamos o “PFC” quando queremos calcular a quantidade de combinações possíveis de 
itens distintos. 
 
DEFINIÇÃO: 
 
Se um evento tem m possibilidades, outro tem n possibilidades, a quantidade total de 
possibilidades será: 
 
𝒒𝒒 = 𝒎𝒎 .𝒏𝒏 
 
Simplesmente multiplicamos a quantidade de possibilidades de cada item ou etapa. 
 
 
 Exemplo 01: Laís tem três blusas, duas calças e 5 pares de tênis. De quantas 
formas diferentes ela pode se vestir? 
 
Temos três itens: 
 
quantidade de blusas: 3 possibilidades 
quantidade de calças: 2 possibilidades 
quantidade de pares de tênis: 5 possibilidades 
 
Assim, a quantidade total de combinações dos três itens será: 3 x 2 x 5 = 30 
 
Portanto, Laís poderá se vestir de 30 formas diferentes 
 
 Exemplo 02: Quantos números de 4 algarismos podemos formar? 
 
Obs.: Nos casos de quantidades de números, temos que prestar atenção em algumas 
coisas como: 
 
- Existe número que começa com zero? 
- Posso repetir o mesmo algarismo em casas diferentes? 
 
Chamamos isso de restrições e, geralmente, começamos por elas. 
 
Aqui os itens ou etapas serão as casas decimais. Como os números deve ter 4 algarismos, 
ele possui 4 casas decimais. 
 
UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 
 
Então temos que encontrar a quantidade de possibilidades de cada casa decimal: 
 
Lembre-se que temos 10 algarismos disponíveis para serem usados: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
e 9. 
Desses 10 algarismos, na casa das unidades de milhar não podemos usar o zero, pois não 
existe número começado por zero. Assim, das 10 possibilidades, teremos apenas 9. 
 
UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 
9 possibilidades 
 
Para a casa das centenas, pensamos nas 10 possibilidades porque podemos usar o zero 
aqui. Assim, teremos 10 possibilidades para a casa das centenas. O mesmo acontece para 
as casas das dezenas e unidades, pois não há nenhuma restrição. 
 
UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 
9 possibilidades 10 possibilidades 10 possibilidades 10 possibilidades 
 
Assim, a quantidade total de números de 4 algarismos será dada pela multiplicação da 
quantidade de possibilidades de cada casa decimal: 
 
9 x 10 x 10 x 10 = 9000 possibilidades 
 
 Exemplo 03: Quantos números de 4 algarismos DISTINTOS podemos formar 
usando os números 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? 
 
Agora veja que o exemplo forneceu a palavra DISTINTOS. Isso significa que, por exemplo, 
o número 7552 não pode existir, pois o 5 aparece em duas casas decimais ao mesmo 
tempo. Então SEMPRE QUE APARECER A PALAVRA “DISTINTO”, NÃO PODE HAVER 
REPETIÇÃO DE ELEMENTOS EM ITENS, CASAS OU ETAPAS DIFERENTES. 
 
Veja também que o exemplo forneceu apenas sete algarismos: 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8. 
 
A forma de se pensar é bem parecida com o exemplo 02: 
 
UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 
 
Temos 7 algarismos disponíveis para serem usados. Desses 7 algarismos, na casa das 
unidades de milhar podemos usar qualquer um. Assim, há 7 possibilidades para a casa das 
unidades de milhar. 
 
UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 
7 possibilidades 
 
Para a casa das Centenas, pensamos nas 7 possibilidades. Mas observe que não pode 
haver repetição, ou seja, o número que estiver na casa das unidades de milhar não pode 
mais ser usado nas outras casas decimais. Assim, nos restam 6 possibilidades para a casa 
das centenas. 
 
UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 
7 possibilidades 6 possibilidades 
 
Para a casa das dezenas, haverá 5 possibilidades pois o número que estiver na casa das 
unidades de milhar e na casa das centenas não pode mais ser usado em outras casas 
decimais. 
 
 
UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 
7 possibilidades 6 possibilidades 5 possibilidades 
 
Para a casa das unidades, haverá 4 possibilidades pois o número que estiver na casa das 
unidades de milhar, na casa das centenas e na casa das dezenas não pode mais ser usado 
em outras casas decimais. 
 
UNIDADE DE MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 
7 possibilidades 6 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades 
 
Assim, a quantidade total de números de 4 algarismos distintos, usando os algarismos 2, 
3, 4, 5, 6, 7 e 8, será: 
 
7 x 6 x 5 x 4 = 840 possibilidades. 
 
Exemplo 04: Quantos números ímpares de 3 algarismos DISTINTOS podemos formar 
usando os números 1, 2, 3, 4, 5, e 6? 
 
Há restrições? Sim! Veja que os algarismos devem ser distintos e os números devem ser 
ímpares. 
 
Vamos começar pela restrição sobre o número ser ímpar. Sabemos que, para que algum 
número seja ímpar, basta seu último algarismo (das unidades) ser ímpar. Assim, todo 
número terminado em 1, 3, 5, 7 ou 9 será ímpar. 
 
Sabendo disso, temos 6 algarismos disponíveis para serem usados dos quais são ímpares 
os números 1, 3 e 5, ou seja, na casa das unidades só pode haver três possibilidades: 
 
CENTENA DEZENA UNIDADE 
 3 possibilidades 
 
Para a casa das centenas, pensamos nas 6 possibilidades. Mas observe que não pode 
haver repetição, ou seja, o número que estiver na casa das unidades não pode mais ser 
usado nas outras casas decimais. Assim, nos restam 5 possibilidades para a casa das 
centenas. 
 
CENTENA DEZENA UNIDADE 
5 possibilidades 3 possibilidades 
 
Para a casa das dezenas, haverá 4 possibilidades pois o número que estiver na casa das 
unidades e na casa das centenas não pode mais ser usado em outras casas decimais. 
 
CENTENA DEZENA UNIDADE 
5 possibilidades 4 possibilidades 3 possibilidades 
 
Assim, a quantidade total de números de 3 algarismos distintos, usando os algarismos 1, 
2, 3, 4, 5 e 6, será: 
 
5 x 4 x 3 = 60 possibilidades. 
 
Obs.: Note que depois que fizemos a restrição na casa das unidades, fomos para a casa 
das centenas e depois dezenas, mas nada impede de, após analisar a restrição ir para a 
casa das unidades. O que importa é iniciar pela restrição, as outras casas podem ser 
escolhidas de forma aleatória. 
 
 Exemplo 05: Duas moedas foram lançadas. Quantos e quais são os possíveis 
resultados? 
 
A primeira moeda pode resultar em cara ou coroa, portanto, 2 possibilidades. 
 
A segunda moeda também. Assim, a quantidade total de possibilidades será: 
 
2 x 2 = 4 
 
Para escrever os resultados, podemos usar a Árvore das possibilidades: 
 
Assim, os possíveis resultados são: (cara. cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, 
coroa). 
 
 Veja a árvore das possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por Daniel Duarte 
 
Formado em Matemática pela Universidade Presbiteriana Mackenzie. 
Professor de Matemática da rede Estadual de São Paulo e na rede Municipal de São Paulo.