02 Ondas Eletromagéticas (Aula 02)

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ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 
NOTA: Nos problemas abaixo, considere o índice de refração do ar 𝑛 = 1. A velocidade da luz no espaço 
livre 𝑐0 = 3 × 10
8 m/s e a permissividade 𝜀0 = 8.85 × 10
−12 F/m. 
1. Um laser de diodo emite luz de comprimento de onda 635 nm no espaço livre (vácuo). Ache 
o valor numérico do número de onda na água (𝑛 = 1.33). 
(R.: 𝑘 = 13.2 μm−1) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 De acordo com a definição de índice de refração: 
𝑛 =
𝑐0
𝑐
 
como a velocidade da luz é dada por: 
𝑐 = 𝜆𝜈 = (
𝜆
2𝜋
) 2𝜋𝜈 =
2𝜋𝜈
𝑘
 
⇒ 𝑛 =
2𝜋𝜈/𝑘0
2𝜋𝜈/𝑘
=
𝑘
𝑘0
 
⇒ 𝑘 = 𝑛𝑘0 
⇒ 𝑘 = 𝑛
2𝜋
𝜆0
 
ou, começando por isolar 𝑘: 
𝑐 = 𝜆𝜈 = (
𝜆
2𝜋
) 2𝜋𝜈 =
𝜔
𝑘
 
⇒ 𝑘 =
𝜔
𝑐
=
2𝜋𝜈
𝑐
 
⇒ 𝑘 =
2𝜋(𝑐0/𝜆0)
𝑐
 
⇒ 𝑘 = 𝑛
2𝜋
𝜆0
 
 Logo: 
𝑘 = 1,33 ·
2𝜋
635 × 10−9 m
 
⇒ 𝑘 ≈ 13,2 × 106 m−1 
⇒ 𝑘 ≈ 13,2 · (1/ 10−6) m−1 
⇒ 𝑘 ≈ 13,2 μm−1 
 
 
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2. Duas ondas têm comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes, 
respectivamente 𝜈 e 𝜈 + Δ𝜈, 𝜆 e 𝜆 + Δ𝜆. Mostre que as razões |Δ𝜈/𝜈| e |Δ𝜆/𝜆| são 
aproximadamente iguais. Considere que as ondas propagam-se em meio não dispersivo. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 De acordo com a relação: 
𝑐 = 𝜆𝜈 
⇒ 𝜈 =
𝑐
𝜆
 
para um meio não dispersão, podemos assumir que 𝑐 + Δ𝑐 ≈ 𝑐0, logo: 
⇒
𝑐0
𝑐 + Δ𝑐
=
𝜆𝜈
(𝜆 + Δ𝜆)(𝜈 + Δ𝜈)
≈ 1 
⇒ 𝜆𝜈 ≈ 𝜆𝜈 + Δ𝜆𝜈 + 𝜆Δ𝜈 + Δ𝜆Δ𝜈 
 Como Δ𝜆 ≪ 1 e Δ𝜈 ≪ 1, podemos utilizar a aproximação: 
Δ𝜆Δ𝜈 ≈ 0 
 Assim: 
⇒ 𝜆Δ𝜈 ≈ −Δ𝜆𝜈 
⇒ |
Δ𝜈
𝜈
| ≈ |
Δ𝜆
𝜆
| 
∎ 
 
 
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3. Mostre que: 
𝐄 = ℜ𝑒{𝐸0[�̂� + �̂�𝑏 exp(𝑖𝜙)] exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡)} = 𝐸0[𝑥 cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡) + �̂�𝑏 cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙)]. 
Considere 𝐸0 e 𝑏 reais. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Reorganizando a equação, temos: 
𝐄 = ℜ𝑒{𝐸0[𝑥 + �̂�𝑏 exp(𝑖𝜙)] exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡)} 
⇒ 𝐄 = ℜ𝑒{𝐸0[�̂� exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡) + �̂�𝑏 exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙)]} 
⇒ 𝐄 = 𝐸0[𝑥ℜ𝑒{exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡)} + �̂�𝑏ℜ𝑒{exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙)}] 
 De acordo com a fórmula de Euler, temos: 
exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡) = 𝑒𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡) = cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡) + 𝑖 sen(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡) 
⇒ ℜ𝑒{exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡)} = cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡) 
e: 
exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝑒𝑖(𝑘𝑧−𝜔𝑡+𝜙) = cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙) + 𝑖 sen(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 
⇒ ℜ𝑒{exp 𝑖(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙)} = cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙) 
Assim, resultamos com: 
𝐄 = 𝐸0[𝑥 cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡) + �̂�𝑏 cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝜙)] 
 
 
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4. Uma onda harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro. O campo elétrico está 
orientado na direção 𝑧 e seu módulo é dado por 𝐸𝑧 = 𝐸0 cos 𝜋10
15[(𝑥/0.65𝑐0) − 𝑡]. 
Considere as dimensões no SI. Determine: 
 
(a) A frequência angular da luz; 
 
(b) O comprimento de onda; 
 
(c) O índice de refração do vidro; 
 
(d) Qual a direção e sentido de propagação da onda? 
 
(R.: a) 𝜔 = 𝜋 × 1015 rad/s ; b) 𝜆 = 390 nm ; c) 𝑛 = 1.54 ; d) +𝑥) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 De acordo com a equação padrão de uma onda plana: 
𝐸𝑧 = 𝐸0 cos(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜑) 
⇒ 𝐸𝑧 = 𝐸0 cos 𝜔 (
𝑘
𝜔
𝑥 + 𝑡 +
𝜑
𝜔
) 
⇒ 𝐸𝑧 = 𝐸0 cos 𝜔 (
𝑥
𝑐
+ 𝑡 +
𝜑
𝜔
) 
(a) Comparando ambas as equações, temos que a frequência angular da luz é: 
𝜔 = 𝜋1015 rad/s 
(b) e seu comprimento de onda é: 
𝜆 =
2𝜋
𝑘
 
onde: 
𝑘
𝜔
=
1
0,65𝑐0
 ⇒ 𝑘 =
𝜔
0,65𝑐0
 
⇒ 𝜆 =
1,3𝜋𝑐0
𝜔
=
1,3𝜋 · 3 × 108
𝜋1015
 
⇒ 𝜆 = 390 nm 
(c) Dessa mesma equação, podemos encontrar o índice de refração do vidro através de: 
𝑥
𝑐
=
𝑥
0.65𝑐0
 
⇒ 𝑛 =
𝑐0
𝑐
=
1
0,65
≈ 1,54 
(d) A direção de propagação da onda é dada pela mesma equação, onde podemos 
perceber que é +𝑥 , uma vez que o sinal é positivo na equação dada. 
 
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5. Considere uma onda com uma velocidade de fase 3 × 108 m/s e uma frequência de 
6 × 1014 Hz. 
 
(a) Qual é a menor distância ao longo da onda entre dois pontos defasados de 30°? 
 
(b) Qual a diferença de fase (em graus) num dado ponto em 10−6 s? 
 
(c) Quantas ondas passaram nesse tempo? 
 
(R.: a) 𝑑 = 41.7 nm ; b) Δ𝜑 = 2.16 × 1011 graus ; c) 𝑁 = 6.0 × 108 ondas) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) A menor distância 𝑑 dada pela defasagem angular 𝜃 = 30°, sabendo que 2𝜋 = 360°, 
é: 
𝑑 =
30°
𝜔
· 𝑐0 =
30°
360° 𝜈
· 𝑐0 
⇒ 𝑑 =
30°
360° · (6 × 1014 s−1)
· (3 × 108 m/s) 
⇒ 𝑑 ≈ 41,7 nm 
(b) Analogamente, a diferença (em graus Δ𝜑) para Δ𝑡 = 10−6 s é: 
Δ𝜑 = 𝜔 · Δ𝑡 = 360° 𝜈 · Δ𝑡 
⇒ Δ𝜑 = 360° · (6 × 1014 s−1) · (10−6 s) 
⇒ Δ𝜑 ≈ 2,16 × 1011 graus 
(c) com um número de ondas 𝑁 que passaram nesse tempo de: 
𝑁 = 𝜈 · Δ𝑡 
⇒ 𝑁 = (6 × 1014 s−1) · (10−6 s) 
⇒ 𝑁 = 6 × 108 ondas 
 
 
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6. Duas ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo 
elétrico nesse ponto são 𝐸1 = 𝐸0 cos 𝜔𝑡 e 𝐸2 = 𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 50°). Escreva a expressão do 
campo resultante (amplitude e fase). 
(R.: 𝐸 = 1.81 𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 25°)) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Utilizando outra notação para representar tais ondas: 
𝐸1 = 𝐸0 cos 𝜔𝑡 = 𝐸0 ∠0° 
𝐸2 = 𝐸0 cos 𝜔𝑡 = 𝐸0 ∠50° 
podemos encontrar a superposição delas através da soma vetorial: 
𝐸1 + 𝐸2 = 𝐸0 ∠0° + 𝐸0 ∠50° 
⇒ 𝐸1 + 𝐸2 = 𝐸0 ∠0° + ((𝐸0 cos 50°) ∠0° + (𝐸0 sen 50°) ∠90°) 
⇒ 𝐸1 + 𝐸2 = 𝐸0(1 + cos 50°) ∠0° + 𝐸0 sen 50° ∠90° 
⇒ 𝐸1 + 𝐸2 = 𝐸0√(1 + cos 50°)
2 + sen2 50° ∠ tg−1 (
sen 50°
1 + cos 50°
) ° 
⇒ 𝐸1 + 𝐸2 ≈ 1,81 𝐸0 ∠25° 
⇒ 𝐸1 + 𝐸2 ≈ 1,81 𝐸0 cos(𝜔𝑡 + 25°) 
 
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7. Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, tem o vetor campo elétrico descrito 
por 𝐄 = 10�̂� cos(2 × 107𝑧 + 4 × 1015𝑡 + 𝜋) V/m. Considere as dimensões no SI. 
Determine: 
 
a) O número de onda; 
 
b) A fase inicial; 
 
c) A direção de polarização; 
 
d) A direção do vetor campo magnético 𝐻; 
 
e) A direção e o sentido do vetor de Poynting 𝑆; 
 
f ) O índice de refração do meio. 
 
(R.: a) 𝑘 = 2 × 107 m−1; b) 𝜑(𝑧 = 0, 𝑡 = 0) = 𝜋 ; c) 𝑥; d) 𝑦; e) −𝑧; f) 𝑛 = 1.5) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 De acordo com a equação padrão de uma onda plana: 
𝐄 = 𝐸0𝑥 cos(𝑘𝑧 + 𝜔𝑡 + 𝜑) 
(a) Comparando ambas as equações, temos que o número de onda da luz é: 
𝑘 = 2 × 107 m−1 
(b) a fase inicial, para quando 𝑧 = 0 m e 𝑡 = 0 s, é: 
𝜑 = 𝜋 
(c) a direção de polarização é no eixo: 
|�̂�| = 𝑥 
(d) Os campos elétrico e magnético e a direção de propagação são ortogonais, logo: 
�̂� = �̂� × �̂� = (−�̂�) × 𝑥 = −�̂� ∵ +𝜔𝑡 
⇒ |�̂�| = 𝑦 
(e) Por definição, temos que o vetor Poynting 𝑆 possui direção e sentido dados por: 
�̂� = �̂� × �̂� = 𝑥 × (−�̂�) = −�̂� 
(f) O índice de refração 𝑛 é dado por: 
𝑛 =
𝑐0
𝑐
=
𝑐0
𝜔/𝑘
=
3 × 108m/s
(4 × 1015 rad/s) / (2 × 107 m)
 
⇒ 𝑛 = 1,5 
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8. Uma onda harmônica plana se propaga no espaço livre e tem as componentes do campo 
elétrico nas direções 𝑥, �̂� e �̂� dadas por 𝐸𝑥 = 10 cos{8𝜋 × 10
14[(𝑧/𝑐0) + 𝑡]} V/m e 𝐸𝑦 =
𝐸𝑧 = 0. Considere as dimensões no SI. Determine: 
 
a) A amplitude do campo elétrico da onda; 
 
b) A direção e sentido do fluxo de energia; 
 
c) A frequência em Hz; 
 
d) O comprimento de onda; 
 
e) Escreva a expressão para o campo magnético 𝐇. 
 
(R.: a) 𝐸0 = 10 V/m ; b) −𝑧 ; c) 𝜈 = 4 × 10
14 Hz ; d) 𝜆 = 750 nm) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 De acordo com a equação padrão de uma onda plana: 
𝐸𝑥 = 𝐸0 cos(𝑘𝑧 + 𝜔𝑡 + 𝜑) 
⇒ 𝐸𝑥 = 𝐸0 cos{𝜔(𝑧/𝑐0 + 𝑡 + 𝜑/𝜔)} 
(a) Comparando ambas as equações, temos que do campo elétrico é: 
𝐸0 = 10 V/m 
(b) a direção e sentido do fluxo de energia (vetor Poynting 𝑆), por definição, são: 
�̂� = �̂� = −�̂� ∵ +𝜔𝑡 
(c) a frequência é: 
𝜈 =
𝜔
2𝜋
=
8𝜋 × 1014 rad/s
2𝜋
 
⇒ 𝜈 = 4 × 1014 Hz 
(d) o comprimento de onda é: 
𝜆 =
𝑐0
𝜈
=
3 × 108
4 × 1014 Hz
 
⇒ 𝜆 = 750 nm 
(e) Como o campo magnético 𝐇 é ortogonal a 𝐄 e a 𝐒, sua amplitude é dada por: 
𝐻0 = 𝜀0𝑐0𝐸0 = (8,85 × 10
−12 F/m)(3 × 108 m/s)(10 V/m) 
⇒ 𝐻0 = 26,55 × 10
−3 A/m 
e sua equação por: 
𝐇 = 26,55 × 10−3�̂� cos{8𝜋 × 1014[(𝑧/𝑐0) + 𝑡]} 
 
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9. Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, se propaga em um pedaço de vidro. O 
vetor campo elétrico dessa onda é dado por: 
𝐄 = 10�̂� cos [
2𝜋
5 × 10−7
(𝑥 +
𝑡
5 × 10−9
)] V/m 
Considere as unidades no SI e 𝑥, �̂� e �̂� os versores nas coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧, 
respectivamente. Determine: 
 
a) A direção de polarização; 
 
b) A direção do vetor campo magnético 𝐇; 
 
c) A direção e o sentido do vetor de Poynting 𝐒; 
 
d) O número de onda no vácuo. 
 
(R.: a) 𝑦 ; b) 𝑧 ; c) −𝑥 ; d) 𝑘0 = 8.38 μm
−1) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 De acordo com a equação padrão de uma onda plana: 
𝐄 = 𝐸0�̂� cos(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜑) 
⇒ 𝐄 = 𝐸0�̂� cos[𝑘(𝑥 + 𝜔𝑡/𝑘 + 𝜑/𝑘)] 
(a) Comparando ambas as equações, temos que a direção da polarização é: 
�̂� = �̂� 
(g) Os campos elétrico e magnético e a direção de propagação são ortogonais, logo: 
�̂� = �̂� × �̂� = (−𝑥) × �̂� = −�̂� ∵ +𝜔𝑡 
⇒ |�̂�| = 𝑧 
(b) do campo elétrico é: 
𝐸0 = 10 V/m 
(f) a direção e sentido do fluxo de energia (vetor Poynting 𝑆), por definição, são: 
�̂� = �̂� = −�̂� ∵ +𝜔𝑡 
(c) o número de onda no vácuo é: 
𝑘0 =
𝜔
𝑐0
=
𝑘
5 × 10−9 𝑐0
 
onde: 
𝜔
𝑘
=
1
5 × 10−9
 ⇒ 𝜔 =
𝑘
5 × 10−9
=
2𝜋/(5 × 10−7)
5 × 10−9
 
⇒ 𝑘0 =
2𝜋/(5 × 10−7)
(5 × 10−9)(3 × 108 m/s)
≈ 8,38 μm−1 
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POTÊNCIA E IRRADIÂNCIA 
1. Um transmissor de ondas de rádio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW. 
Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena. 
(R.: 𝑁𝑝ℎ = 2.16 × 10
30 fótons por segundo) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 A frequência da onda determina o pacote de energia (fóton) através da fórmula de 
Einstein: 
𝐸𝑝ℎ = ℎ𝜈 
⇒ 𝐸𝑝ℎ = 6,626 × 10
−34 kg m2 s−1 · 700 × 103 s−1 
⇒ 𝐸𝑝ℎ = 4.638,2 × 10
−31 J 
 Assim, para atingir a potência de 1 kW, precisamos de: 
𝑁𝑝ℎ =
1 kJ s−1
𝐸𝑝ℎ
 
⇒ 𝑁𝑝ℎ =
1 × 103 J s−1
4.638,2 × 10−31 J
 
⇒ 𝑁𝑝ℎ ≈ 2,16 × 10
30 fótons / s 
 
 
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2. Um laser emite um feixe de luz com potência óptica de 5 mW. Se o feixe é focalizado em 
uma área circular de 10 μm de diâmetro, encontre a irradiância e a amplitude do campo 
elétrico da luz no plano focal. Considere a iluminação uniforme, a velocidade 
𝑐0 = 3 × 10
8 m/s e a permissividade 𝜀0 = 8.85 × 10
−12 F/m. Expresse os resultados em 
unidades SI. 
(R.: 𝐸0 = 2.2 × 10
5 V/m) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 A irradiância é dada por: 
𝐼 =
𝑃
𝐴
 
onde 𝑃 é a potência radiada e 𝐴 é a área de radiação. Assim, temos que: 
𝐼 =
5 × 10−3 W
𝜋 (10 × 10−6/2)2 m2
 
⇒ 𝐼 ≈ 63,66 MW/m2 
 Por outro lado, por definição, temos que a irradiância é a norma do valor médio do 
vetor Poynting: 
𝐼 = 〈‖𝐒‖〉 = 〈‖𝐄 × 𝐇‖〉 =
1
2
𝐸0𝐻0 
 Como a amplitude do campo magnético pode ser expressa como função da amplitude 
do campo elétrico através das condições de contorno das equações de Maxwell para a luz 
(ondas planas) por meio de: 
𝑘𝐸0 = 𝜇𝜔𝐻0 
⇒ 𝐻0 =
𝑘
𝜇𝜔
𝐸0 
⇒ 𝐻0 = 𝜀0𝑐0𝐸0 
temos que: 
𝐼 =
1
2
𝜀0𝑐0𝐸0
2 
⇒ 𝐸0 = √
2𝐼
𝜀0𝑐0
 
⇒ 𝐸0 = √
2 · 63,66 × 106 J/m2s
8,85 × 10−12 F/m · 3 × 108 m/s
 
⇒ 𝐸0 ≈ 2,2 × 10
5 V/m 
 
 
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3. Uma aeronave voando a uma distância de 10 km de um transmissor de ondas de rádio 
recebe um sinal de irradiância 10 μW/m2. 
 
a) Qual é a amplitude do campo elétrico da onda? 
 
b) Qual é a amplitude do campo magnético da onda? 
 
c) Se o transmissor radia uniformemente sobre um hemisfério, qual a potência da onda 
transmitida? 
 
(R.: a) 𝐸0 = 87 mV/m; b) 230 μA/m; c) 6.28 kW) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
a) De acordo com o exercício 6, a amplitude do campo elétrico é dado por: 
𝐸0 = √
2𝐼
𝜀0𝑐0
 
⇒ 𝐸0 = √
2 · 10 × 10−6 W/m2
8,85 × 10−12 F/m · 3 × 108 m/s
 
⇒ 𝐸0 ≈ 87 mV 
b) Pelas mesmas conclusões do exercício 6, temos que o a amplitude do campo 
magnético é dada por: 
𝐻0 = 𝜀0𝑐0𝐸0 
⇒ 𝐻0 = 8,85 × 10
−12 F/m · 3 × 108 m/s · 87 × 10−3 V 
⇒ 𝐻0 = 230 μA/m 
c) A potência da onda transmitida é dada por: 
𝑃 = 𝐼𝐴 
onde 𝐴 é a área do hemisfério (semiesfera) dada por: 
𝐴 = 2𝜋𝑟2 
onde 𝑟 é o raio da Terra e ℎ é a altitude 
Assim: 
𝑃 = 10 × 10−6 W/m2 · 2𝜋 (10 × 103 m)2 
⇒ 𝑃 ≈ 6,28 kW 
 
 
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4. Um laser 𝐻𝑒-𝑁𝑒 radia luz com comprimento de onda 632.8 nm e potência de 3.0 mW. O 
feixe diverge com um ângulo 𝜃 = 0.17 m rad, como ilustrado na figura abaixo. 
 
a) Qual a irradiância do feixe a uma distância 𝑑 = 40 m do laser? 
 
b) Considere que o laser é substituído por uma fonte de luz pontual que emite luz de 
maneira uniforme em todas as direções. Qual potência deveria ter essa fonte para prover a 
mesma irradiância a 40 m? 
 
(R.: a) 82.6 W/m2 ; b) 1.7 MW) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
a) Como a área é muito pequena, podemos aproximar o cálculo da semiesfera pelo 
cálculo da circunferência. Logo, a irradiância do feixe é de: 
𝐼 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝜋𝑟2
≈
𝑃
𝜋(𝑑 · 𝜃/2)2
 
⇒ 𝐼 =
3,0 × 10−3 W
𝜋((40 m)(0,17 × 10−3 rad)/2)
2 
⇒ 𝐼 ≈ 82,6 W/m2 
b) A irradiância de uma fonte de luz pontual que emite luz de maneira uniforme que 
radia na mesma área do item anterior é dada por: 
𝐼 =
𝑃∗
𝐴∗
=
𝑃
𝐴
 
onde: 
𝐴∗ = 4𝜋𝑑2 
Assim: 
𝑃∗ = 𝑃 
𝐴∗
𝐴
 
⇒ 𝑃∗ = 𝑃 
4𝜋𝑑2
𝜋(𝑑 · 𝜃/2)2
 
⇒ 𝑃∗ = 16 
𝑃
𝜃2
 
⇒ 𝑃 ≈ 1,7 MW 
 
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	ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
	1. Um laser de diodo emite luz de comprimento de onda 635 nm no espaço livre(vácuo). Ache o valor numérico do número de onda na água (𝑛=1.33). (R.: 𝑘=13.2 μ,m-−1.)
	2. Duas ondas têm comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes, respectivamente 𝜈 e 𝜈+Δ𝜈, 𝜆 e 𝜆+Δ𝜆. Mostre que as razões ,Δ𝜈/𝜈. e ,Δ𝜆/𝜆. são aproximadamente iguais. Considere que as ondas propagam-se em meio não dispersivo.
	3. Mostre que:
	4. Uma onda harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro. O campo elétrico está orientado na direção 𝑧 e seu módulo é dado por ,𝐸-𝑧.=,𝐸-0.,cos-𝜋,10-15.,,𝑥/0.65,𝑐-0..−𝑡... Considere as dimensões no SI. Determine: (a) A frequência angular ...
	5. Considere uma onda com uma velocidade de fase 3×,10-8. m/s e uma frequência de 6×,10-14. Hz. (a) Qual é a menor distância ao longo da onda entre dois pontos defasados de 30 ? (b) Qual a diferença de fase (em graus) num dado ponto em ,10-−6. s?...
	6. Duas ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo elétrico nesse ponto são ,𝐸-1.=,𝐸-0.,cos-𝜔𝑡. e ,𝐸-2.=,𝐸-0.,cos-,𝜔𝑡+50 ... Escreva a expressão do campo resultante (amplitude e fase). (R.: 𝐸=1.81 ,𝐸-0.,cos-...
	7. Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, tem o vetor campo elétrico descrito por 𝐄=10,𝑥.,cos-,2×,10-7.𝑧+4×,10-15.𝑡+𝜋..V/m. Considere as dimensões no SI. Determine: a) O número de onda; b) A fase inicial; c) A direção de polariz...
	8. Uma onda harmônica plana se propaga no espaço livre e tem as componentes do campo elétrico nas direções ,𝑥., ,𝑦. e ,𝑧. dadas por ,𝐸-𝑥.=10,cos-,8𝜋×,10-14.,,𝑧/,𝑐-0..+𝑡... V/m e ,𝐸-𝑦.=,𝐸-𝑧.=0. Considere as dimensões no SI. Determine: a)...
	9. Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, se propaga em um pedaço de vidro. O vetor campo elétrico dessa onda é dado por:
	POTÊNCIA E IRRADIÂNCIA
	1. Um transmissor de ondas de rádio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW. Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena. (R.: ,𝑁-𝑝ℎ.=2.16×,10-30. fótons por segundo)
	2. Um laser emite um feixe de luz com potência óptica de 5 mW. Se o feixe é focalizado em uma área circular de 10 μm de diâmetro, encontre a irradiância e a amplitude do campo elétrico da luz no plano focal. Considere a iluminação uniforme, a velocida...
	3. Uma aeronave voando a uma distância de 10 km de um transmissor de ondas de rádio recebe um sinal de irradiância 10 μW/,m-2.. a) Qual é a amplitude do campo elétrico da onda? b) Qual é a amplitude do campo magnético da onda? c) Se o transmiss...
	4. Um laser 𝐻𝑒-𝑁𝑒 radia luz com comprimento de onda 632.8 nm e potência de 3.0 mW. O feixe diverge com um ângulo 𝜃=0.17 m rad, como ilustrado na figura abaixo.