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prova 2 calculo III - IFBA

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral III - MAT225
NOME:
TUTORES:
POLO:
SEMESTRE: 5o
PROFESSOR: Fellipe Leite
CURSO:
NOTA:
1a Prova Eletrônica - Semana 6 - Modelo 2
1. (VALOR: 1,5) Seja (Tn)n∈N∗ uma sequência de triângulos de modo que
• T1 é um triângulo equilátero de lado 4
• Se n ≥ 2 o Triângulo Tn é constrúıdo de modo que seus vértices são os pontos médios do triângulo
Tn−1
Com base nessas informações:
(a) Determine a sequência (An) das áreas dos triângulos Tn. (VALOR: 0,6)
(b) Analise o comportamento da série
∞
∑
n=1
An e, se posśıvel, determine a sua soma. (VALOR: 0,9)
2. (VALOR: 3,0) Utilize os conhecimentos adquiridos para examinar se as séries a seguir são absolu-
tamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes: (VALOR: 0,5 CADA)
(a)
∞
∑
n=1
1 + cos(n)
10n
(b)
∞
∑
n=1
(−1)n
n · (ln(n))3
(c)
∞
∑
n=1
(−1)n
3
√
n2
(d)
∞
∑
n=1
5n2 − n
2n2 + 1
(e)
∞
∑
n=2
(−1)n · n5
5n
(f)
∞
∑
n=2
(−1)n ·
(3n+ 1
7n− 1
)n
3. (VALOR: 2,0) Responda:
(a) Prove que cos(2x) =
∑
0
(−1)n · 22n · x2n
(2n)!
. (VALOR: 1,0)
(b) Usando apenas a representação em séries de potências da função f(x) = sen (3x) e os conheci-
mentos de Polinômio de Taylor, determine as derivadas f (2k)(0) e f (2k+1)(0). (VALOR: 1,0)
4. (VALOR: 1,5) Considere a sequência
( n!
nn
)
n∈N∗
.
(a) Usando apenas os conhecimentos de sequência, prove que essa sequência converge. (VALOR: 0,5)
(b) Use os conhecimentos de séries para provar que lim
n→∞
( n!
nn
)
= 0. (VALOR: 0,5)
(c) Utilize esse exemplo para discutir a diferença entre o problema de decidir se uma sequência converge
e o problema de calcular o limite de uma sequência. (VALOR: 0,5)
5.(VALOR: 2,0) Dada a série de potências
∞
∑
n=0
(n+ 2)xn determine:
(a) A região de convergência. (VALOR: 0,7)
(b) Obtenha a soma dessa série de potências, aplicando a diferenciação ou integração termo a termo.
(VALOR: 0,8)
(c) Utilize os itens anteriores para calcular a soma da série
∑
1
(n+ 2)
2n
(VALOR: 0,5)
Bom Trabalho!

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