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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral III - MAT225 NOME: TUTORES: POLO: SEMESTRE: 5o PROFESSOR: Fellipe Leite CURSO: NOTA: 1a Prova Eletrônica - Semana 6 - Modelo 2 1. (VALOR: 1,5) Seja (Tn)n∈N∗ uma sequência de triângulos de modo que • T1 é um triângulo equilátero de lado 4 • Se n ≥ 2 o Triângulo Tn é constrúıdo de modo que seus vértices são os pontos médios do triângulo Tn−1 Com base nessas informações: (a) Determine a sequência (An) das áreas dos triângulos Tn. (VALOR: 0,6) (b) Analise o comportamento da série ∞ ∑ n=1 An e, se posśıvel, determine a sua soma. (VALOR: 0,9) 2. (VALOR: 3,0) Utilize os conhecimentos adquiridos para examinar se as séries a seguir são absolu- tamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes: (VALOR: 0,5 CADA) (a) ∞ ∑ n=1 1 + cos(n) 10n (b) ∞ ∑ n=1 (−1)n n · (ln(n))3 (c) ∞ ∑ n=1 (−1)n 3 √ n2 (d) ∞ ∑ n=1 5n2 − n 2n2 + 1 (e) ∞ ∑ n=2 (−1)n · n5 5n (f) ∞ ∑ n=2 (−1)n · (3n+ 1 7n− 1 )n 3. (VALOR: 2,0) Responda: (a) Prove que cos(2x) = ∑ 0 (−1)n · 22n · x2n (2n)! . (VALOR: 1,0) (b) Usando apenas a representação em séries de potências da função f(x) = sen (3x) e os conheci- mentos de Polinômio de Taylor, determine as derivadas f (2k)(0) e f (2k+1)(0). (VALOR: 1,0) 4. (VALOR: 1,5) Considere a sequência ( n! nn ) n∈N∗ . (a) Usando apenas os conhecimentos de sequência, prove que essa sequência converge. (VALOR: 0,5) (b) Use os conhecimentos de séries para provar que lim n→∞ ( n! nn ) = 0. (VALOR: 0,5) (c) Utilize esse exemplo para discutir a diferença entre o problema de decidir se uma sequência converge e o problema de calcular o limite de uma sequência. (VALOR: 0,5) 5.(VALOR: 2,0) Dada a série de potências ∞ ∑ n=0 (n+ 2)xn determine: (a) A região de convergência. (VALOR: 0,7) (b) Obtenha a soma dessa série de potências, aplicando a diferenciação ou integração termo a termo. (VALOR: 0,8) (c) Utilize os itens anteriores para calcular a soma da série ∑ 1 (n+ 2) 2n (VALOR: 0,5) Bom Trabalho!
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