prova 2 calculo III - IFBA
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DISCIPLINA: Ca\u301lculo Diferencial e Integral III - MAT225
NOME:
TUTORES:
POLO:
SEMESTRE: 5o
PROFESSOR: Fellipe Leite
CURSO:
NOTA:
1a Prova Eletro\u302nica - Semana 6 - Modelo 2
1. (VALOR: 1,5) Seja (Tn)n\u2208N\u2217 uma seque\u302ncia de tria\u302ngulos de modo que
\u2022 T1 e\u301 um tria\u302ngulo equila\u301tero de lado 4
\u2022 Se n \u2265 2 o Tria\u302ngulo Tn e\u301 constru\u301\u131do de modo que seus ve\u301rtices sa\u303o os pontos me\u301dios do tria\u302ngulo
Tn\u22121
Com base nessas informac\u327o\u303es:
(a) Determine a seque\u302ncia (An) das a\u301reas dos tria\u302ngulos Tn. (VALOR: 0,6)
(b) Analise o comportamento da se\u301rie
\u221e
\u2211
n=1
An e, se poss\u301\u131vel, determine a sua soma. (VALOR: 0,9)
2. (VALOR: 3,0) Utilize os conhecimentos adquiridos para examinar se as se\u301ries a seguir sa\u303o absolu-
tamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes: (VALOR: 0,5 CADA)
(a)
\u221e
\u2211
n=1
1 + cos(n)
10n
(b)
\u221e
\u2211
n=1
(\u22121)n
n · (ln(n))3
(c)
\u221e
\u2211
n=1
(\u22121)n
3
\u221a
n2
(d)
\u221e
\u2211
n=1
5n2 \u2212 n
2n2 + 1
(e)
\u221e
\u2211
n=2
(\u22121)n · n5
5n
(f)
\u221e
\u2211
n=2
(\u22121)n ·
(3n+ 1
7n\u2212 1
)n
3. (VALOR: 2,0) Responda:
(a) Prove que cos(2x) =
\u2211
0
(\u22121)n · 22n · x2n
(2n)!
. (VALOR: 1,0)
(b) Usando apenas a representac\u327a\u303o em se\u301ries de pote\u302ncias da func\u327a\u303o f(x) = sen (3x) e os conheci-
mentos de Polino\u302mio de Taylor, determine as derivadas f (2k)(0) e f (2k+1)(0). (VALOR: 1,0)
4. (VALOR: 1,5) Considere a seque\u302ncia
( n!
nn
)
n\u2208N\u2217
.
(a) Usando apenas os conhecimentos de seque\u302ncia, prove que essa seque\u302ncia converge. (VALOR: 0,5)
(b) Use os conhecimentos de se\u301ries para provar que lim
n\u2192\u221e
( n!
nn
)
= 0. (VALOR: 0,5)
(c) Utilize esse exemplo para discutir a diferenc\u327a entre o problema de decidir se uma seque\u302ncia converge
e o problema de calcular o limite de uma seque\u302ncia. (VALOR: 0,5)
5.(VALOR: 2,0) Dada a se\u301rie de pote\u302ncias
\u221e
\u2211
n=0
(n+ 2)xn determine:
(a) A regia\u303o de converge\u302ncia. (VALOR: 0,7)
(b) Obtenha a soma dessa se\u301rie de pote\u302ncias, aplicando a diferenciac\u327a\u303o ou integrac\u327a\u303o termo a termo.
(VALOR: 0,8)
(c) Utilize os itens anteriores para calcular a soma da se\u301rie
\u2211
1
(n+ 2)
2n
(VALOR: 0,5)
Bom Trabalho!