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Revisão de Matemática Financeira - taxas equivalência - juros comercial - métodos hamburguês - sistema price - VPL - TIR - desconto

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REVISÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA
A matemática financeira necessita uma leitura atenta dos problemas e a compreensão clara das operações financeiras, bem como a familiaridade com cálculo. As calculadoras podem ser científicas ou financeiras e também cada vez mais existe o uso de programação (ex: Excel) para facilitar os cálculos.
 (
entradas
saí
das
M
C
)As operações comerciais envolvem estimativas de recebimentos e pagamentos ao longo do tempo e, por isso, definem as escolhas de pessoas e organizações visando a “saúde financeira”.
Fluxo de Caixa
								(n = unidade de tempo)
Capital (inicial) = Valor Presente -> PV			J = juros (interest)
Montante = Valor Futuro => FV				
i = J/PV (taxa de juros)					FV = PV + J
1. Taxas equivalentes e proporcionais:
a) Proporcionais:
Definição: duas taxas de juros i1 e i2 relativas aos períodos n1 e n2 são proporcionais quando observarem a relação de proporcionalidade mostrada abaixo:
Devendo os tempos n1 e n2 estarem expressos na mesma unidade de tempo.
Caso não estejam:ik= in * 
b) Equivalentes:
Duas taxas são equivalentes se, ao serem aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo tempo, gerarem o mesmo montante
Fazer o cálculo para cada uma M = C*(1+i*n)
OBS: Em regime de juros simples as taxas proporcionais são também equivalentes.
2. Juros Comercial- ano de 360 dias e mês de 30 dias
a) Juros simples: 
i= ap	sendoap = ao período (de tempo)
J= C *i		ou 	J = (C * i) * n
M = C + J	ou	C = 		ou	n = 
OBS: Regime de juros simples: a base de cálculo do juro (C) não se altera ao longo do tempo.
i) Método Hamburguês
Também chamada de conta garantida é uma forma de crédito rotativo no qual é definido um limite máximo de recursos que poderá ser sacado. Representa, em outras palavras, uma conta de saldo devedor, em que o cliente saca a descoberto e os juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado.
· Esse tipo de conta é uma forma de crédito rotativo no qual é definido um limite máximo de recursos que poderá ser sacado. Cheque especial= “conta garantida”
A determinação dos encargos financeiros sobre os valores devedores é geralmente processada por capitalização simples por meio do denominado “método hamburguês”.
Ex:
Admita uma conta garantida com limite de R$ 500.000,00, contratada por 2 meses e aberta no dia 15/01. Os encargos financeiros fixados para a operação são juros nominais de 3,9% a.m., debitados ao final de cada mês, e uma taxa de abertura de crédito (TAC) de 2% cobrada no ato e incidente sobre o limite.
Sabe-se que no período da operação foram realizadas as seguintes movimentações na conta garantida:
MÊS 1
Dia 15 – saque de $ 250.000,00
Dia 20 – saque de $ 100.000,00
MÊS 2
Dia 01 – saque de $ 50.000,00
Dia 10 – depósito de $ 40.000,00
Dia 18 – saque de $ 35.000,00
Dia 22 – saque de $ 50.000,00
· Construir um quadro com as várias movimentações realizadas nesta conta garantida.
	Data 
	Histórico 
	Débito (D) Crédito (C)
	Saldo Devedor
(SD)
	Número de dias
	Valor do número de dias com saldo devedor
	15 mar
	TAC
	10.000,00 (D)
	10.000
	-------------
	---------------
	15 mar
	saque
	250.000,00 (D)
	260.000
	5
	1.300.000,00
	20 mar
	saque
	100.000,00 (D)
	360.000,00
	11
	3.960.000,00
	31mar
	juros
	6.838,00 (D)
	366.838,00
	
	
	31 mar
	Total do mês 1
	5.260.000,00
	01 abr
	saque
	50.000,00 (D)
	416.838,00
	9
	3.751.542,00
	10 abr
	depósito
	40.000,00 (C)
	376.838,00
	8
	3.014.704,00
	18 abr
	saque
	35.000,00 (D)
	411.838,00
	4
	1.647.352,00
	22 abr
	saque
	50.000,00 (D)
	461.838,00
	8
	3.694.704,00
	30 abr
	Total do mês 2
	29
	12.108.302,00
	30 abr
	Total do bimestre
	45
	17.368.302,00
· Calcular os juros pelo método hamburguês.
O cálculo dos juros pelo “método hamburguês” envolve o produto da taxa proporcional diária (3,9/30 %a.d.= 0,13% ou 0,0013) pelo valor (SD x Nº dias). Assim
Juros no bimestre = 0,0013 x (17.368.302,00)=22.578,792
ou
Juros 1 = 0,0013 x (260.000 x 5 + 360.000 x 11) = 0,0013 x 5.260.000 = 6.838.000
Juros 2 = 0,0013 x (3.751.542 + 3.014.704 + 1.647.352 + 3.694.704) = 0,0013 x 12.108.302 = 15.740,80
Total dos juros (mês 1 + mês 2) = 6.838 + 15.740,80 = 22.578,80
- Cálculo do IOF (imposto sobre operações financeiras)
Receita federal=> Imposto sobre operações de crédito, câmbio e seguro, ou relativo a títulos mobiliários- taxa de 0,0041%
O cálculo do IOF referente a esse tipo de operação de crédito (saldo a descoberto do exemplo acima) pode ser realizado da mesma forma que o cálculo dos juros, apenas substituindo a taxa de juros (0,0013) pela alíquota diária do imposto (0,0041% ou 0,000041)
IOF 1 = 0,000041x 5.260.000 = 215,66
IOF 2 = 0,000041x 12.108.302 = 496,44
Total de IOF (mês 1 + mês 2) = 215,66 + 496,44 = 712,10
TIR= O conceito de taxa interna de retorno também é muito importante em análise de investimentos. A taxa interna de retorno (TIR ou IRR) é definida como sendo a taxa de juros que torna nulo o valor presente de um fluxo de caixa. Esse conceito será retomado no final desta revisão. 
ii) Cálculo do Custo Efetivo do Uso de Cheque Especial
Na operação de cheque especial, é geralmente cobrada uma taxa de juros, definida em bases mensais, e também umataxa de abertura de crédito(TAC). Esta taxa de crédito, cobrada no momento da liberação dos recursos, eleva o percentual de juros cobrado.
O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida (cheque especial) pode ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal:
Limite da conta
		(- TAC)
		1	2	3			n (meses)
	jurosjurosjurosjuros + limite da conta
O custo efetivo final será, a taxa interna de retorno deste fluxo de caixa.
Ex 1:
Uma conta garantida cobra juros de 2,6% a.m., debitados mensalmente, e uma TAC de 1,5%. Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratada por:
a) 30 dias	b) 60 dias	c) 90 dias
Solução:
a.Para um prazo de 30 dias, tem-se o seguinte custo
Limite da conta: 100,00
TAC : desconto de -1,50, logo ->Crédito Liberado: 98,50		1 (mês)
Juros 100 x 2,6% = 2,60
Limite:100,00
Total: 102,60
Custo Efetivo: i == 0,0416 ou 4,16% a.m.
OBS:-A comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias de 2,6% para 4,16%
b.Para um prazo de 60 dias, tem-se:
Limite da conta: 100,00
TAC: desconto de -1,50, logo ->Crédito Liberado: 98,50			2 (meses)
Juros 100 x 2,6% = 2,60
Limite:100,00X 2,60
Total: 102,60
Custo efetivo: 98,50 =  +
Resolvendo, temos i = 3,39% a.m.
c.Para um prazo de 90 dias, tem-se
Limite da conta: 100,00
TAC: desconto de -1,50, logo ->Crédito Liberado: 98,50			3 (meses)
Juros 100 x 2,6% = 2,60
Limite:100,00X 2,60
Total: 102,60
Custo efetivo: 98,50 =+ +
Resolvendo-se:     i = 3,13% a.m.
Por que diminuiu?
Conclusão:  O custo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida. Este comportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada, uma única vez, no ato de liberação do crédito, pelos meses de operação.
b) Juros compostos -> SD: saldo devedor
i= 		ou J = SD * i ou M = C * (1 + ip)n
ou	
OBS 1: Regime de juros compostos: a base de cálculo do juro (SD*i) se altera período a período pela capitalização do juro do período anterior.
OBS 2: As taxas de juros de 3% am com capitalização mensal e de36% aa com capitalização anual, apesar de serem proporcionais,não são equivalentes, pois geram montantes diferentes emtempos iguais em regime de juros compostos.
Em consequência,o primeiro passo para se trabalhar em regime de juroscompostos é compatibilizar taxas de juros e períodos decapitalização.
3. Taxas de Juros Efetiva e Nominal (87)
Necessidade de calcular a taxa efetiva caso o tempo de capitalização seja diferente do período da taxa no caso de juros compostos.
Taxa nominal:Unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
- Exemplos
(I) 12% a.a capitalizados mensalmente
 (II) 24% a.a capitalizados trimestralmente
Taxa efetiva:Unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
- Exemplos
3% a.m. (capitalizados mensalmente); 
12% a.a. (capitalizados anualmente).
OBS 3: O