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Matemática financeira Aula 2-Juros, DESCONTOS e Capitalização Simples Objetivos da aula: Conhecer os conceitos básicos de capital e juros e suas relações; Apresentar os regimes de capitalização; Conhecer a operação “Hot Money”; Identificar as formas de calcular as taxas e juros simples de uma operação e de desconto. Revisão: matemática financeira Tem por objetivo estudar o valor do dinheiro no tempo, mas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. Operações Financeiras Intermediação de uma instituição financeira: Captação de recursos é feita a uma taxa menor que a de empréstimo; A diferença é a REMUNERAÇÃO da instituição. INSTRUMENTOS DE APLICAÇÃO PARA INVESTIDOR: Caderneta de Poupança CDB (Certificado de Depósito Bancário) Fundos de Previdência (PGBL e VGBL) títulos do Tesouro Direto LCI (Letra de Crédito Imobiliário) LCA (Letra de Crédito do Agronegócio) LFT (Letras Financeiras do Tesouro) O capital e o juro: CAPITAL= qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo. EMPRESTADOR X TOMADOR JURO CUSTO DO EMPRÉSTIMO REMUNERAÇÃO PELO USO DO CAPITAL Conceitos básicos: C : capital – é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV. M : montante – também conhecido como valor acumulado, é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo, é conhecido como Valor Futuro. Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. Conceitos básicos: J: juro – representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas. i: taxa (interest em inglês) – é a relação entre os juros pagos (ou recebidos) no final do período e o capital inicialmente tomado (ou aplicado). Taxa de juro 2 100 É o valor do juro numa certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Ex: Se um capital de R$ 50.000,00 for emprestado por um mês à taxa de juros de 2% a.m. (ao mês), o juro será igual a 2% de 50.000,00, que é igual a R$1.000,00. 2% = = 0,02 MONTANTE = CAPITAL + JURO M = 50.000,00 + 1000,00 M = 51.000,00 Relações básicas C : capital M : montante J : juro i : taxa (interest em inglês) i = M - 1 C J = C . i Juros no período da taxa M= C + J i é a taxa de juros no período do empréstimo Exemplo Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% a.a. (22% ao ano). Qual o juro? Qual o montante? Resposta 1 Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% a.a. (22% ao ano). a) Qual o juro? J = 8.000 (0,22) = 1.760 b) Qual o montante? M = 8.000 + 1.760 = 9.760 Exemplo Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante três meses, gerando um montante de R$12.540,00. Qual a taxa de juros do período? Resposta 2 2) Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante três meses, gerando um montante de R$12.540,00. Qual a taxa de juros do período? i = M - 1 C i = 12.540 - 1 12.000 R: 0,045 = 4,5% ao trimestre Exercícios 1) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições abaixo. Obtenha o juro e o montante em cada caso. TAXA PRAZO a) 50% a.a 1 ano b) 30% a.s. 1 semestre c) 12% a.t. 1 trimestre d) 5% a.b. 1 bimestre e) 1,7% a.m. 1 mês f) 0,03% a.d. 1 dia Resposta 1) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições abaixo. Obtenha o juro e o montante em cada caso. TAXA PRAZO JUROS MONTANTE a) 50% a.a 1 ano R$ 1.000,00 R$ 3.000,00 b) 30% a.s. 1 semestre R$ 600,00 R$ 2.600,00 c) 12% a.t. 1 trimestre R$ 240,00 R$ 2.240,00 d) 5% a.b. 1 bimestre R$ 100,00 R$ 2.100,00 e) 1,7% a.m. 1 mês R$ 34,00 R$ 2.034,00 f) 0,03 % a.d. 1 dia R$ 0,60 R$ 2.000,60 Exercícios 2) Qual a taxa de juros auferida no período por um investidor em cada uma das situações abaixo. MONTANTE CAPITAL PRAZO a) R$ 10.000,00 R$ 8.000,00 1 ano b) R$ 15.000,00 R$ 13.500,00 1 semestre c) R$ 7.200,00 R$ 6.800,00 1 trimestre d) R$ 3.300,00 R$ 3.200,00 1 bimestre e) R$ 2.420,00 R$ 2.400,00 1 mês f) R$ 4.002,00 R$ 4.000,00 1 dia Resposta 2) Qual a taxa de juros auferida no período por um investidor em cada uma das situações abaixo. MONTANTE CAPITAL PRAZO TAXA a) R$ 10.000,00 R$ 8.000,00 1 ano 2,5 % a.a b) R$ 15.000,00 R$ 13.500,00 1 semestre 11,11 % a.s. c) R$ 7.200,00 R$ 6.800,00 1 trimestre 5,88 % a.t. d) R$ 3.300,00 R$ 3.200,00 1 bimestre 3,13 % a.b. e) R$ 2.420,00 R$ 2.400,00 1 mês 0,83 % a.m. f) R$ 4.002,00 R$ 4.000,00 1 dia 0,05 % a.d. Exercícios 3) Qual a taxa de juros no período paga por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo? CAPITAL JURO PRAZO a) R$ 3.500,00 R$ 400,00 1 ano b) R$ 8.000,00 R$ 1.200,00 1 semestre c) R$ 4.300,00 R$ 210,00 1 trimestre d) R$ 5.400,00 R$ 220,00 1 bimestre e) R$ 9.000,00 R$ 150,00 1 mês f) R$ 6.700,00 R$ 2,50 1 dia Resposta 3) Qual a taxa de juros no período paga por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo? CAPITAL JURO PRAZO TAXA a) R$ 3.500,00 R$ 400,00 1 ano 11,43 % a.a b) R$ 8.000,00 R$ 1.200,00 1 semestre 15 % a.s. c) R$ 4.300,00 R$ 210,00 1 trimestre 4,88 % a.t. d) R$ 5.400,00 R$ 220,00 1 bimestre 4,07 % a.b. e) R$ 9.000,00 R$ 150,00 1 mês 1,67 % a.m. f) R$ 6.700,00 R$ 2,50 1 dia 0,04 % a.d. Exercícios 4) Qual o capital recebido por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo? TAXA PRAZO JURO a) 28 % a.a 1 ano R$ 14.000,00 b) 12 % a.s. 1 semestre R$ 24.000,00 c) 3,8 % a.t. 1 trimestre R$ 7.600,00 d) 4 % a.b. 1 bimestre R$ 10.800,00 e) 1,8 % a.m. 1 mês R$ 3.600,00 f) 0,06 % a.d. 1 dia R$ 6.000,00 Resposta 4) Qual o capital recebido por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo? TAXA PRAZO JURO CAPITAL a) 28 % a.a 1 ano R$ 14.000,00 R$ 50.000,00 b) 12 % a.s. 1 semestre R$ 24.000,00 R$ 200.000,00 c) 3,8 % a.t. 1 trimestre R$ 7.600,00 R$ 200.000,00 d) 4 % a.b. 1 bimestre R$ 10.800,00 R$ 270.000,00 e) 1,8 % a.m. 1 mês R$ 3.600,00 R$ 200.000,00 f) 0,06 % a.d. 1 dia R$ 6.000,00 R$ 10.000.000,00 Exercícios 5) Um banco anuncia o seguinte “ aplique hoje R$666,67 e receba R$1.000,00 daqui a um ano”. Qual a taxa anual paga pelo banco? 6) Um banco anuncia o seguinte “ aplique hoje R$10.000,00 e receba daqui a três anos R$20.000,00”. Qual a taxa paga pelo banco pelo triênio? 7) Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é R$ 50.000,00, foi adquirido por um fundo por R$48.850,00. Qual é a taxa de rendimento do papel no período? 8) Hoje o valor da cota de um fundo de investimento é R$ 17,24 e há 65 dias foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado? Resposta dos exercícios 5) Um banco anuncia o seguinte “ aplique hoje R$666,67 e receba R$1.000,00 daqui a um ano”. Qual a taxa anual paga pelo banco? R: 50% a.a. 6) Um banco anuncia o seguinte “ aplique hoje R$10.000,00 e receba daqui a três anos R$20.000,00”. Qual a taxa paga pelo banco pelo triênio? R: 100% ao triênio 7) Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é R$ 50.000,00, foi adquirido por um fundo por R$48.850,00. Qual é a taxa de rendimento do papel no período? R: 2,35% 8) Hoje o valor da cota de um fundo de investimento é R$ 17,24 e há 65 dias foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado? R: 2,99% Regime de capitalização simples Quando um capital é aplicado por vários períodos, a um certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções chamadas de REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Os juros são pagos apenas no final da operação. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO: os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “jurossobre juros” (PRÓXIMA AULA). Regime de capitalização simples Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros simples. Qual é o montante ao final? Resolução Durante o primeiro ano o juro gerado foi de 1.000 (0,10) = 100 Durante o segundo ano o juro gerado foi de 1.000 (0,10) = 100 Durante o terceiro ano o juro gerado foi de 1.000 (0,10) = 100 R: O MONTANTE APÓS TRÊS ANOS É DE R$ 1300.,00 Obs: SOMENTE O CAPITAL APLICADO É QUE RENDE JUROS !!! 0 1 2 3 (anos) 1.000 100 100 100 1.300 Exercícios 9) um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montante para o seguintes prazos: 2 meses 5 meses 10 meses 10) um investidor aplicou um capital e recebeu, um ano depois, um montante em cada uma das situações abaixo. Calcule a taxa de juros em cada caso. a) b) 1.000 1.100 5.000 5.700 Respostas 9) um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montante para o seguintes prazos: 2 meses (R$ 10.300,00) 5 meses (R$ 10.750,00) 10 meses (R$ 11.500,00) 10) um investidor aplicou um capital e recebeu, um ano depois, um montante em cada uma das situações abaixo. Calcule a taxa de juros em cada caso. a) b) 1.000 1.100 5.000 5.700 (10 % a.a.) (14 % a.a.) Taxas equivalentes Na fórmula de juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, devemos CONVERTER TAXAS DE UM PERÍODO PARA OUTRO... Taxas equivalentes: quando aplicadas num mesmo capital e durante o mesmo prazo, apresentam JUROS IGUAIS (usamos normalmente o prazo de um ano). Exemplo: Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m? Seja “i “ a taxa anual procurada, C o capital aplicado e 1 ano o prazo: C i 1 = C (0,01) 12 i = (0,01) 12 = 0,12 = 12 % a.a. PORTANTO , A TAXA ANUAL EQUIVALENTE A 1 % a.m. É 12 % a.a. NA CAPITALIZAÇÃO Prazo de dois anos C i 2 = C (0,01) 24 2 i = (0,01) 24 I = [(0,01) 24]/2 = 0,12 = 12 % a.a. 28 Taxas equivalentes e Fluxo de caixa Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital C durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final. Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação Exemplos de taxas equivalentes Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t.? Seja “i “ a taxa anual procurada, C o capital aplicado e 1 ano o prazo: C i 12 = C (0,09) 4 i = [(0,09) 4]/ 12 = 0,03 = 3 % a.m. Um ano comercial são 360 dias! 4 % a.b. é equivalente a 2% a.m. 6 % a.t. é equivalente a 2% a.m. 12 % a.s. é equivalente a 2% a.m. 24 % a.a. é equivalente a 2% a.m. i1 i2 n1 n2 = Prazo de dois anos C i 2 = C (0,01) 24 2 i = (0,01) 24 I = [(0,01) 24]/2 = 0,12 = 12 % a.a. 30 Juro exato e juro comercial Juro exato = Considerando o ano civil, que tem 365 dias e cada mês com o seu número real de dias; Juro comercial = Considera um ano com 360 dias e cada mês comercial com 30 dias. Exemplo: a) Obter o jUm capital de R$ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de juros simples. uros exatos b) Obter os juros comerciais J = 5.000 42 = 172,60 J = 5.000 42 = 175,00 0,30 365 0,30 360 Exercícios 11) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,5 % a.m. b) 2,5% a.b. c) 3,5 % a.t. d) 6,5 % a.s. 12) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.? 13) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses. 14) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a., pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e os juros comerciais para essa aplicação. 11. A)1,5 - 0,015*12= 0,18 – 18%a.a. 13. 4,4% a.b. equivale a 0,022 a.m então 6,6% equivale a taxa trimestral. 32 Respostas 11) Em juros simples, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,5 % a.m. b) 2,5% a.b. c) 3,5 % a.t. d) 6,5 % a.s. R: 18% a.a. 15 % a.a 14 % a.a. 13 % a.a. 12) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.? R: 6,6 % a.t. 13) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses. R: R$ 816,67 14) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a., pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e os juros comerciais para essa aplicação. R: exato R$ 1.376,71 e comercial R$1.395,83 Operações com Hot Money Crédito para giro rápido Utilizados por instituições financeiras (para correntistas) em operações de empréstimos de dinheiro em curto prazo, entre 1 a 29 dias (média: máx. 10 dias). em geral a liquidação é feita diretamente através de débito em conta bancária Empresas: capital de giro para cobrirem despesas imediatas sem ter que efetivar contratos de empréstimos burocráticos. A taxa de juros do HOT MONEY apresenta-se “linearizada”, pois é apresentada na forma de taxa mensal ao dia útil ou taxa de OVER, ou seja, a taxa efetiva de um dia útil multiplicada por 30 dias (convenção de mercado) “Hot Money é uma modalidade de Capital de Giro para empresas que estão precisando aumentar os recursos de caixa para mais alguns dias...” Operações com Hot Money cálculo da taxa de juros A formação de taxa para o hot money é definida pela taxa do CDI do dia da operação acrescido do custo do PIS (0,65%) e da COFINS (4%)* sobre o faturamento da operação. É um termo também usado nos mercados financeiros para se referir à deslocação de fundos ou capital de um país para outro por forma a conseguir ganhos rápidos devido a grandes diferenças nas taxas de juros e/ou à antecipação de diferenças cambiais. Hot Money: pode provocar instabilidade nos mercados pelo fluxo de capital! “A cobrança de CPMF tornará as renovações por mais um dia proibitivas, já que é cobrada duas vezes - uma vez quando o dinheiro creditado na conta do tomador de recursos for por ele utilizado e outra vez quando os recursos saírem de sua conta para quitar o débito da operação...” * Abril 2015 As alíquotas da Contribuição para os Programas de Integração Social e de Formação do Patrimônio do Servidor Público (PIS/Pasep) e Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social (Cofins) foram reestabelecidas para 0,65% e 4%, respectivamente. 35 Cálculo da taxa Hot Money e CPMF Uma empresa recebeu um empréstimo tipo hot Money no valor de R$ 500.000,00 à taxa de 6% a.m. pelo prazo de um dia. No dia seguinte, sem condições de pagar o montante, a empresa solicitou a renovação do empréstimo por mais um dia. Sabendo que a renovação foi feita à taxa de 7% a.m., obtenha: O montante no final de dois dias, A taxa efetiva de juros no período considerado. a: 1º dia- J= 500.000 1 = 1.000 M= 501.000 2º dia J= 501.000 1 = 1.169 M= 502.169 0,06 30 0,07 30 R: O montante pago no final foi de R$ 502.169,00 b: i = - 1 = 0,004338 Taxa efetiva R: i = 0,4338% a.p. (ao período) A CPMF (0,38%) DECORRENTE DO EMPRÉSTIMO É DADA POR: 0,0038 (501.000) + 0,0038(502.169) = R: R$ 3.812,04 502.169 500.000 Título e Valor nominal TÍTULO : É qualquer papel negociável, como ações, letras de câmbio, promissórias. Os títulos são circuláveis mediante endosso. Assim, uma nota promissória, por exemplo, é um título que compromete a pessoa que o assina a pagar uma certa importância a outra pessoa, numa determinada data. VALOR NOMINAL ou FUTURO O valor nominal de um título é o valor que esse título tem na data de seu vencimento. Esse valor será indicado por N. O valor nominal de um título vem impresso. Valor atual (ou presente) VALOR ATUAL ou PRESENTE O valor atual de um título é o valor que ele tem numa data anterior ao seu vencimento. Colocado a render juros a partir dessa data, esse valor atingirá um montante igual ao valornominal no vencimento do título. O valor atual também é denominado valor real, valor presente ou valor aplicado. Indicaremos o valor atual de um título por A. Adequação das Fórmulas Sob o ponto de vista prático, podemos dizer que: I. O valor atual é o capital C, isto é: A = C II. O valor nominal é o montante M, isto é: N = M A 0 N n Cálculo do Montante: N e A Substituindo os valores de A e N na fórmula do montante temos: M = C (1 + i t) N = A (1 + i t) Exemplo: Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 2.600,00 é resgatável daqui a um ano e meio. Sabendo que a taxa de mercado é de 20% a.a., por quanto devo oferecer a letra a uma pessoa interessada em adquiri-la? R: Devo oferecer a letra de câmbio para uma pessoa interessada por R$ 2.000,00. No problema, como nada foi dito, consideraremos os juros ordinários (simples e comerciais). Como o período é de 1 ano e meio, devemos obter a razão entre o número de meses do período e os 12 meses do ano comercial. N = 2.600 i = 20% aa. = 0,2 a.a. N = A (1 + i t) 2.600 = A (1 + 0,2 ) 2.600 = 1,3 A t = ano A = ? A = = 2.000 18 12 18 12 2600 1,3 1,5 ano Exercício Possuo um título que vale hoje R$ 20.000,00. Calcule o valor nominal desse título daqui a 1 mês e 6 dias, à taxa de 10% a.a. TAXA O,10 DIV POR 360 DIAS (ANO COMERCIAL) E MULTI. POR 36 DIAS ( MÊS COMERCIAL 30 DIAS + 6 DIAS) = 0,010 EM 1 MES E 6 DIAS. N = A (1 + i t) N = 20.000,00(1 + 0,010) N = 20.200,00 Exercício Possuo um título que vale hoje R$ 20.000,00. Calcule o valor nominal desse título daqui a 1 mês e 6 dias, à taxa de 10% a.a. R: O valor nominal do título será de R$ 20.200,00. No problema, como nada foi dito, consideraremos os juros ordinários. Como o período é de 1 mês e 6 dias, devemos obter a razão entre o número de dias do período e os 360 dias do ano comercial. N = ? A = R$ 20.000,00 i = 10% a.a = 0,10 a.a N = A (1 + i t) N = 20.000 (1 + 0,10 ) t = dias (ano) N = 1,01 . 20.000 N = 20.200 36 360 36 360 Exemplo N e A Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 11.000,00 a ser paga daqui a 5 meses. Se ela puder aplicar o dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% a.m., quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento? Valor da dívida no seu vencimento é o N (valor nominal) Valor aplicado a juros simples numa data anterior é o A (valor atual) i = taxa n = prazo de aplicação A + A i n = N A + A (0,02) 5 = 11.000 1,1 A = 11.000 A = =10.000 R: A pessoa deveria aplicar R$ 10.000,00 hoje para saldar o empréstimo mencionado em cinco meses. 11.000 1,1 Exemplo Juros e Preço de Venda Consideremos que um investidor tenha adquirido por R$ 17.000,00 um título de uma empresa, cujo valor nominal é de R$ 20.000,00, sendo o prazo de vencimento igual a doze meses. Essa operação dará o direito ao investidor de receber estes R$ 20.000,00 ao final de doze meses. Qual a taxa de juros desta aplicação, no período e ao mês, no regime de juros simples? Supondo que, seis meses antes do vencimento do título, o investidor, necessitando de dinheiro, decida vender o título para outro investidor. Além disso, consideremos que nesta data a taxa de juros para esse tipo de aplicação tenha caído para 1,3% a.m. Qual o preço de venda do título? a) i = - 1 = - 1 = 17,65% a.p. Portanto a taxa mensal é = 1,47% a.m. b) A + A i n = N A + A (0,13) 6 = 20.000 1,078 A = 20.000 A = 18.552,88 R: O valor que ele pagou pelo título é de R$ 18.552,88 20.000 17.000 N A 17,65 12 O investidor que adquiriu o título exigiu uma taxa de juros de 1,3 % a.m. Exercícios Uma empresa recebeu um empréstimo do tipo hot Money de R$ 4.000.000,00 por um dia à taxa de 5% a.m. Sabendo que esse empréstimo foi renovado por mais dois dias úteis às taxas de 5,4 % a.m. e 5,6% a.m., obtenha: O montante final A taxa efetiva de juros no período Uma divida de R$ 50.000,00 vence daqui a oito meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o seu valor: Hoje 3 meses antes do vencimento Daqui a dois meses Respostas Uma empresa recebeu um empréstimo do tipo hot Money de R$ 4.000.000,00 por um dia à taxa de 5% a.m. Sabendo que esse empréstimo foi renovado por mais dois dias úteis às taxas de 5,4 % a.m. e 5,6% a.m., obtenha: O montante final. R: R$ 4.021.371,24 A taxa efetiva de juros no período. R: 0,53 % Uma divida de R$ 50.000,00 vence daqui a oito meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o seu valor: Hoje. R: R$ 43.103,45 3 meses antes do vencimento. R$ 47.169,81 Daqui a dois meses. R$ 44.642,86 Desconto simples Abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Geralmente é um percentual aplicado sobre o preço (compras à vista) – benefício pelo não-parcelamento. Notações comuns na área de descontos: D = N - A Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título. Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro). D Desconto realizado sobre o título A Valor Atual de um título N Valor Nominal de um título i Taxa de desconto n ou t Número de períodos para o desconto Desconto Simples Comercial Também chamado de bancário. A taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado (desconto de duplicatas). É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: O valor atual no desconto por fora, é calculado por: A = N – D = N – N i t = N (1 – i t) A taxa de desconto é dada em porcentagem por período D = VF.d.n Onde d representa a taxa de desconto e n o prazo. E para se obter o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue: VP = FV – D Daí vem que: VP = VF – VF.d.n => VP = VF (1 – d . n) Exemplo Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada num banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5 % a.m. Obtenha o desconto, Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, Faça o Fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. Calcule também a taxa efetiva de juros da operação. R: D = 18.000 (0,025) 2 = 900 Vd = 18.000 – 900 = 17.100 O fluxo de caixa do banco é (adiantou 17.100 por uma duplicata de 18.000 17.100 18.000 0 2 18.000 17.100 i = - 1 = 0,0526 = 5,26 % a.b. ou 2,63% a.m. Exemplo Uma nota promissória de R$ 12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2 % a.m. Obtenha o desconto, Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, sabendo que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória, pago no dia que a empresa a descontou. Calcule também a taxa efetiva de juros da operação no período. R: a) D = 12.000 ( ) 42 = 336 b) Taxa de serviço: 0,005 (12.000) = 60 12.000 11.604 c) i = - 1 = 0,0341 = 3,41 % a.p. (ao período) 0,02 30 VALOR RECEBIDO PELA EMPRESA 12.000 – 336 – 60 = 11.604 Exercício Um banco cobra em suas operações de desconto de duplicatas uma taxa de desconto comercial de 3%. Qual a taxa efetiva de juros simples, se os prazos de vencimento, forem: Um mês, Dois meses, Faça o Fluxo de caixa da operação no período (ponto de vista do banco). Resposta Um banco cobra em suas operações de desconto de duplicatas uma taxa de desconto comercial de 3%. Qual a taxa efetiva de juros simples, se os prazos de vencimento, forem: Um mês, Dois meses, Faça o Fluxo de caixa da operação no período (ponto de vista do banco). R: Dica - sempre que o valor do título (duplicata) não for fornecido no problema, utilizar o padrão R$ 100,00 para fins de cálculo a) D = 100 ( 0,03) 1 = 3 Vd = 97 b) D = 100 ( 0,03) 2 = 6 Vd = 94 100 97 i = - 1 = 0,0309 = 3,09 % a.m. 97 100 0 1 i = - 1 = 0,0638 = 6,38 % a.b. 100 94 Exercício Ao descontaruma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 6% no período. Qual a taxa de desconto mensal ele deverá cobrar? Resposta Duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 6% no período. Qual a taxa de desconto mensal ele deverá cobrar? R: Dica - sempre que o valor do título (duplicata) não for fornecido no problema, utilizar o padrão R$ 100,00 para fins de cálculo D = 100 – 94,34 = 5,66 D = Ndn – queremos a taxa d em termos mensais 100 Vd - 1 = 0,06 Vd = = 94,34 5,66 = (100)d d = 0,0236 = 2,36 % a.m. 100 1,06 72 30 30 (5,66) 100 (72) Desconto Simples Racional O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título. O valor atual no desconto por dentro, é calculado por: A = DESCONTO POR FORA JUROS SIMPLES D = A i n J = C i n A = Valor Atual C = Capital i = taxa de desconto i = taxa de juros n = número de períodos n = número de períodos N (1 + i n) Dr = VF – VP Exemplo Um título que possui uma taxa de desconto de 4% ao mês durante 6 meses. Qual é a taxa real de juro simples? Dados: d = 4% a.m.; n= 6 meses Usando a fórmula acima temos: i = 0,04 / (1 - 0,04 . 6) i = 5,263% ao mês VF=VP.(1+i.n) e VP=VF (1 – d . n) Logo, VP/(1 – d . n) = VP(1 + i . n) e i = d/(1 – d . n) Relação entre Taxa de Desconto e Taxa de Juros Simples Supondo que a taxa de desconto “d” e a taxa de juros “i” estejam na mesma unidade de tempo e seja “n” o prazo de vencimento (expresso na mesma unidade de tempo também). o desconto, o Fluxo de caixa da operaçSendo N o valor nominal do título e D ão de desconto, do ponto de vista do banco é 0 N n N - D i = d 1 - d n Exemplo Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? d = 4% e n = 3 i = ? i = = 0,0455 = 4,55% a.m. Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada num banco, proporcionando uma taxa efetiva de juros simples igual a 3 % a.m. Qual a taxa de desconto utilizada? d 1 - d n 0,04 1 – (0,04)3 i = 3 % e n = 2 d = ? i = 0,03 = 0,03 (1- 2d) = d 0,03 – 0,06d= d d = = 0,0283 = 2,83% a.m. d 1 - d n d 1 - d 2 0,03 1,06 Referências HAZZAN, Samuel & POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 5ª edição. São Paulo: Saraiva, 2005. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ª edição. São Paulo: Atlas, 2012.
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