Matemática Financeira - Aula 2-Juros, DESCONTOS e Capitalização Simples

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Matemática financeira
Aula 2-Juros, DESCONTOS e Capitalização Simples 
Objetivos da aula:
Conhecer os conceitos básicos de capital e juros e suas relações;
Apresentar os regimes de capitalização; 
Conhecer a operação “Hot Money”;
Identificar as formas de calcular as taxas e juros simples de uma operação e de desconto.
Revisão: matemática financeira
Tem por objetivo estudar o valor do dinheiro no tempo, mas aplicações e nos pagamentos de empréstimos.
Operações Financeiras
Intermediação de uma instituição financeira:
Captação de recursos é feita a uma taxa menor que a de empréstimo;
A diferença é a REMUNERAÇÃO da instituição.
INSTRUMENTOS DE APLICAÇÃO PARA INVESTIDOR:
Caderneta de Poupança
CDB (Certificado de Depósito Bancário)
Fundos de Previdência (PGBL e VGBL)
títulos do Tesouro Direto
LCI (Letra de Crédito Imobiliário)
LCA (Letra de Crédito do Agronegócio)
LFT (Letras Financeiras do Tesouro)
O capital e o juro:
CAPITAL= qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo.
EMPRESTADOR X TOMADOR
JURO
CUSTO DO EMPRÉSTIMO
REMUNERAÇÃO PELO USO DO CAPITAL
Conceitos básicos:
C : capital – é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.
M : montante – também conhecido como valor acumulado, é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo, é conhecido como Valor Futuro. Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. 
Conceitos básicos:
J: juro – representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas.
i: taxa (interest em inglês) – é a relação entre os juros pagos (ou recebidos) no final do período e o capital inicialmente tomado (ou aplicado).
Taxa de juro
	2
	100
É o valor do juro numa certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital.
Ex: Se um capital de R$ 50.000,00 for emprestado por um mês à taxa de juros de 2% a.m. (ao mês), o juro será igual a 2% de 50.000,00, que é igual a R$1.000,00.
2% =				= 0,02
MONTANTE = CAPITAL + JURO
M = 50.000,00 + 1000,00
M = 51.000,00
Relações básicas
C : capital
M : montante
J : juro
i : taxa (interest em inglês)
	i	=	M	-	1
			C		
J = C . i
Juros no período da taxa
M= C + J
i é a taxa de juros no período do empréstimo
Exemplo
Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% a.a. (22% ao ano).
Qual o juro?
Qual o montante?
Resposta 1
Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% a.a. (22% ao ano).
a) Qual o juro?
					J = 8.000 (0,22) = 1.760
b) Qual o montante?
					 M = 8.000 + 1.760 = 9.760
Exemplo
Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante três meses, gerando um montante de R$12.540,00. Qual a taxa de juros do período?
Resposta 2
2) Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante três meses, gerando um montante de R$12.540,00. Qual a taxa de juros do período?
	i	=	M	-	1
			C		
	i	=	12.540	-	1
			12.000		
R: 0,045 = 4,5% ao trimestre
Exercícios 
1) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições abaixo. Obtenha o juro e o montante em cada caso.
		TAXA	PRAZO
	a)	50% a.a	1 ano
	b)	30% a.s.	1 semestre
	c)	12% a.t.	1 trimestre
	d)	5% a.b.	1 bimestre
	e)	1,7% a.m.	1 mês
	f)	0,03% a.d.	1 dia
Resposta 
1) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições abaixo. Obtenha o juro e o montante em cada caso.
		TAXA	PRAZO	JUROS	MONTANTE
	a)	50% a.a	1 ano	R$ 1.000,00	R$ 3.000,00
	b)	30% a.s.	1 semestre	R$ 600,00	R$ 2.600,00
	c)	12% a.t.	1 trimestre	R$ 240,00	R$ 2.240,00
	d)	5% a.b.	1 bimestre	R$ 100,00	R$ 2.100,00
	e)	1,7% a.m.	1 mês	R$ 34,00	R$ 2.034,00
	f)	0,03 % a.d.	1 dia	R$ 0,60	R$ 2.000,60
Exercícios 
2) Qual a taxa de juros auferida no período por um investidor em cada uma das situações abaixo.
		MONTANTE	CAPITAL	PRAZO
	a)	R$ 10.000,00	R$ 8.000,00	1 ano
	b)	R$ 15.000,00	R$ 13.500,00	1 semestre
	c)	R$ 7.200,00	R$ 6.800,00	1 trimestre
	d)	R$ 3.300,00	R$ 3.200,00	1 bimestre
	e)	R$ 2.420,00	R$ 2.400,00	1 mês
	f)	R$ 4.002,00	R$ 4.000,00	1 dia
Resposta 
2) Qual a taxa de juros auferida no período por um investidor em cada uma das situações abaixo.
		MONTANTE	CAPITAL	PRAZO	TAXA
	a)	R$ 10.000,00	R$ 8.000,00	1 ano	2,5 % a.a
	b)	R$ 15.000,00	R$ 13.500,00	1 semestre	11,11 % a.s.
	c)	R$ 7.200,00	R$ 6.800,00	1 trimestre	5,88 % a.t.
	d)	R$ 3.300,00	R$ 3.200,00	1 bimestre	3,13 % a.b.
	e)	R$ 2.420,00	R$ 2.400,00	1 mês	0,83 % a.m.
	f)	R$ 4.002,00	R$ 4.000,00	1 dia	0,05 % a.d.
Exercícios 
3) Qual a taxa de juros no período paga por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo?
		CAPITAL	JURO	PRAZO
	a)	R$ 3.500,00	R$ 400,00	1 ano
	b)	R$ 8.000,00	R$ 1.200,00	1 semestre
	c)	R$ 4.300,00	R$ 210,00	1 trimestre
	d)	R$ 5.400,00	R$ 220,00	1 bimestre
	e)	R$ 9.000,00	R$ 150,00	1 mês
	f)	R$ 6.700,00	R$ 2,50	1 dia
Resposta 
3) Qual a taxa de juros no período paga por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo?
		CAPITAL	JURO	PRAZO	TAXA
	a)	R$ 3.500,00	R$ 400,00	1 ano	11,43 % a.a
	b)	R$ 8.000,00	R$ 1.200,00	1 semestre	15 % a.s.
	c)	R$ 4.300,00	R$ 210,00	1 trimestre	4,88 % a.t.
	d)	R$ 5.400,00	R$ 220,00	1 bimestre	4,07 % a.b.
	e)	R$ 9.000,00	R$ 150,00	1 mês	1,67 % a.m.
	f)	R$ 6.700,00	R$ 2,50	1 dia	0,04 % a.d.
Exercícios 
4) Qual o capital recebido por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo?
		TAXA	PRAZO	JURO
	a)	28 % a.a	1 ano	R$ 14.000,00
	b)	12 % a.s.	1 semestre	R$ 24.000,00
	c)	3,8 % a.t.	1 trimestre	R$ 7.600,00
	d)	4 % a.b.	1 bimestre	R$ 10.800,00
	e)	1,8 % a.m.	1 mês	R$ 3.600,00
	f)	0,06 % a.d.	1 dia	R$ 6.000,00
Resposta 
4) Qual o capital recebido por um tomador de empréstimo em cada uma das situações abaixo?
		TAXA	PRAZO	JURO	CAPITAL
	a)	28 % a.a	1 ano	R$ 14.000,00	R$ 50.000,00
	b)	12 % a.s.	1 semestre	R$ 24.000,00	R$ 200.000,00
	c)	3,8 % a.t.	1 trimestre	R$ 7.600,00	R$ 200.000,00
	d)	4 % a.b.	1 bimestre	R$ 10.800,00	R$ 270.000,00
	e)	1,8 % a.m.	1 mês	R$ 3.600,00	R$ 200.000,00
	f)	0,06 % a.d.	1 dia	R$ 6.000,00	R$ 10.000.000,00
Exercícios
5) Um banco anuncia o seguinte “ aplique hoje R$666,67 e receba R$1.000,00 daqui a um ano”. Qual a taxa anual paga pelo banco?
6) Um banco anuncia o seguinte “ aplique hoje R$10.000,00 e receba daqui a três anos R$20.000,00”. Qual a taxa paga pelo banco pelo triênio?
7) Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é R$ 50.000,00, foi adquirido por um fundo por R$48.850,00. Qual é a taxa de rendimento do papel no período?
8) Hoje o valor da cota de um fundo de investimento é R$ 17,24 e há 65 dias foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado?
Resposta dos exercícios
5) Um banco anuncia o seguinte “ aplique hoje R$666,67 e receba R$1.000,00 daqui a um ano”. Qual a taxa anual paga pelo banco?
R: 50% a.a.
6) Um banco anuncia o seguinte “ aplique hoje R$10.000,00 e receba daqui a três anos R$20.000,00”. Qual a taxa paga pelo banco pelo triênio?
R: 100% ao triênio
7) Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é R$ 50.000,00, foi adquirido por um fundo por R$48.850,00. Qual é a taxa de rendimento do papel no período?
R: 2,35%
8) Hoje o valor da cota de um fundo de investimento é R$ 17,24 e há 65 dias foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado?
R: 2,99%
Regime de capitalização simples
Quando um capital é aplicado por vários períodos, a um certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções chamadas de REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Os juros são pagos apenas no final da operação.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO: os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “jurossobre juros” (PRÓXIMA AULA). 
Regime de capitalização simples
Exemplo: 
	Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros simples. Qual é o montante ao final?
Resolução 
Durante o primeiro ano o juro gerado foi de 1.000 (0,10) = 100
Durante o segundo ano o juro gerado foi de 1.000 (0,10) = 100
Durante o terceiro ano o juro gerado foi de 1.000 (0,10) = 100
R: O MONTANTE APÓS TRÊS ANOS É DE R$ 1300.,00
Obs: SOMENTE O CAPITAL APLICADO É QUE RENDE JUROS !!!
0				1				2				3 (anos) 
1.000		100				100				100			1.300
Exercícios 
9) um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montante para o seguintes prazos:
2 meses
5 meses
10 meses
10) um investidor aplicou um capital e recebeu, um ano depois, um montante em cada uma das situações abaixo. Calcule a taxa de juros em cada caso.
a) 										b) 
1.000
1.100
5.000
5.700
Respostas 
9) um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montante para o seguintes prazos:
2 meses (R$ 10.300,00)
5 meses (R$ 10.750,00)
10 meses (R$ 11.500,00)
10) um investidor aplicou um capital e recebeu, um ano depois, um montante em cada uma das situações abaixo. Calcule a taxa de juros em cada caso.
a) 										b) 
1.000
1.100
5.000
5.700
(10 % a.a.)
(14 % a.a.)
Taxas equivalentes
Na fórmula de juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, devemos CONVERTER TAXAS DE UM PERÍODO PARA OUTRO...
Taxas equivalentes: quando aplicadas num mesmo capital e durante o mesmo prazo, apresentam JUROS IGUAIS (usamos normalmente o prazo de um ano).
Exemplo: 
 Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m?
Seja “i “ a taxa anual procurada, C o capital aplicado e 1 ano o prazo:
C i 1 = C (0,01) 12 
i = (0,01) 12 = 0,12 = 12 % a.a.
PORTANTO , A TAXA ANUAL EQUIVALENTE A 1 % a.m. É 12 % a.a.
NA CAPITALIZAÇÃO	
Prazo de dois anos C i 2 = C (0,01) 24
2 i = (0,01) 24
I = [(0,01) 24]/2 = 0,12 = 12 % a.a.
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Taxas equivalentes e Fluxo de caixa
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital C durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.
Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação
Exemplos de taxas equivalentes
Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t.?
Seja “i “ a taxa anual procurada, C o capital aplicado e 1 ano o prazo:
C i 12 = C (0,09) 4
i = [(0,09) 4]/ 12 = 0,03 = 3 % a.m.
Um ano comercial são 360 dias!
			4 % a.b. é equivalente a 2% a.m.
			6 % a.t. é equivalente a 2% a.m.
			12 % a.s. é equivalente a 2% a.m.
			24 % a.a. é equivalente a 2% a.m.
	i1
	i2
	n1
	n2
=
Prazo de dois anos C i 2 = C (0,01) 24
2 i = (0,01) 24
I = [(0,01) 24]/2 = 0,12 = 12 % a.a.
30
Juro exato e juro comercial
Juro exato = Considerando o ano civil, que tem 365 dias e cada mês com o seu número real de dias;
Juro comercial = Considera um ano com 360 dias e cada mês comercial com 30 dias.
Exemplo: 
a) Obter o jUm capital de R$ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de juros simples.
uros exatos				b) Obter os juros comerciais
J = 5.000	 	42 = 172,60		J = 5.000			42 = 175,00
	0,30
	365
	0,30
	360
Exercícios 
11) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas:
a) 1,5 % a.m.		b) 2,5% a.b.	c) 3,5 % a.t.	d) 6,5 % a.s.
12) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.?
13) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses.
14) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a., pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e os juros comerciais para essa aplicação.
11. A)1,5 - 0,015*12= 0,18 – 18%a.a.
13. 4,4% a.b. equivale a 0,022 a.m então 6,6% equivale a taxa trimestral.
32
Respostas 
11) Em juros simples, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:
a) 1,5 % a.m.		b) 2,5% a.b.	c) 3,5 % a.t.	d) 6,5 % a.s.
R: 18% a.a.		15 % a.a		14 % a.a. 		13 % a.a.
12) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.?
R: 6,6 % a.t.
13) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses.
R: R$ 816,67
14) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a., pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e os juros comerciais para essa aplicação.
R: exato R$ 1.376,71 e comercial R$1.395,83
Operações com Hot Money
Crédito para giro rápido
Utilizados por instituições financeiras (para correntistas) em operações de empréstimos de dinheiro em curto prazo, entre 1 a 29 dias (média: máx. 10 dias).
em geral a liquidação é feita diretamente através de débito em conta bancária
Empresas: capital de giro para cobrirem despesas imediatas sem ter que efetivar contratos de empréstimos burocráticos.
A taxa de juros do HOT MONEY apresenta-se “linearizada”, pois é apresentada na forma de taxa mensal ao dia útil ou taxa de OVER, ou seja, a taxa efetiva de um dia útil multiplicada por 30 dias (convenção de mercado)
“Hot Money é uma modalidade de Capital de Giro para empresas que estão precisando aumentar os recursos de caixa para mais alguns dias...”
Operações com Hot Money
cálculo da taxa de juros
A formação de taxa para o hot money é definida pela taxa do CDI do dia da operação acrescido do custo do PIS (0,65%) e da COFINS (4%)* sobre o faturamento da operação.
É um termo também usado nos mercados financeiros para se referir à deslocação de fundos ou capital de um país para outro por forma a conseguir ganhos rápidos devido a grandes diferenças nas taxas de juros e/ou à antecipação de diferenças cambiais. Hot Money: pode provocar instabilidade nos mercados pelo fluxo de capital! 
“A cobrança de CPMF tornará as renovações por mais um dia proibitivas, já que é cobrada duas vezes - uma vez quando o dinheiro creditado na conta do tomador de recursos for por ele utilizado e outra vez quando os recursos saírem de sua conta para quitar o débito da operação...”
* Abril 2015
As alíquotas da Contribuição para os Programas de Integração Social e de Formação do Patrimônio do Servidor Público (PIS/Pasep) e Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social (Cofins) foram reestabelecidas para 0,65% e 4%, respectivamente. 
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Cálculo da taxa Hot Money e CPMF
Uma empresa recebeu um empréstimo tipo hot Money no valor de R$ 500.000,00 à taxa de 6% a.m. pelo prazo de um dia. No dia seguinte, sem condições de pagar o montante, a empresa solicitou a renovação do empréstimo por mais um dia. Sabendo que a renovação foi feita à taxa de 7% a.m., obtenha:
O montante no final de dois dias,
A taxa efetiva de juros no período considerado.
a: 	1º dia-		J= 500.000			1 = 1.000
				M= 501.000
	2º dia 		J= 501.000			1 = 1.169
				M= 502.169
	0,06
	30
	0,07
	30
R: O montante pago no final foi de R$ 502.169,00
b: i =			- 1 = 0,004338
Taxa efetiva 
R: i = 0,4338% a.p. (ao período)
A CPMF (0,38%) DECORRENTE 
DO EMPRÉSTIMO É DADA POR:
0,0038 (501.000) + 0,0038(502.169) =
R: R$ 3.812,04
	502.169
	500.000
Título e Valor nominal
TÍTULO : É qualquer papel negociável, como ações, letras de câmbio, promissórias.
Os títulos são circuláveis mediante endosso. Assim, uma nota promissória, por exemplo, é um título que compromete a pessoa que o assina a pagar uma certa importância a outra pessoa, numa determinada data.
VALOR NOMINAL ou FUTURO
O valor nominal de um título é o valor que esse título tem na data de seu vencimento. Esse valor será indicado por N.
O valor nominal de um título vem impresso. 
Valor atual (ou presente)
VALOR ATUAL ou PRESENTE
O valor atual de um título é o valor que ele tem numa data anterior ao seu vencimento. Colocado a render juros a partir dessa data, esse valor atingirá um montante igual ao valornominal no vencimento do título. 
O valor atual também é denominado valor real, valor presente ou valor aplicado. Indicaremos o valor atual de um título por A.
Adequação das Fórmulas
Sob o ponto de vista prático, podemos dizer que:
I. O valor atual é o capital C, isto é: A = C
II. O valor nominal é o montante M, isto é: N = M
A
0
N
n
Cálculo do Montante: N e A
Substituindo os valores de A e N na fórmula do montante temos:
	M = C (1 + i t) 		N = A (1 + i t) 
Exemplo:
Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 2.600,00 é resgatável daqui a um ano e meio. Sabendo que a taxa de mercado é de 20% a.a., por quanto devo oferecer a letra a uma pessoa interessada em adquiri-la?
R: Devo oferecer a letra de câmbio para uma pessoa interessada por R$ 2.000,00.
No problema, como nada foi dito, consideraremos os juros ordinários (simples e comerciais). Como o período é de 1 ano e meio, devemos obter a razão entre o número de meses do período e os 12 meses do ano comercial. 
N = 2.600
i = 20% aa. = 0,2 a.a.		N = A (1 + i t) 2.600 = A (1 + 0,2		) 		2.600 = 1,3 A
t = 		ano	A = ?		A = 		= 2.000
	18
	12
	18
	12
	2600
	1,3
1,5 ano
Exercício
Possuo um título que vale hoje R$ 20.000,00. Calcule o valor nominal desse título daqui a 1 mês e 6 dias, à taxa de 10% a.a. 
TAXA O,10 DIV POR 360 DIAS (ANO COMERCIAL) E MULTI. POR 36 DIAS ( MÊS COMERCIAL 30 DIAS + 6 DIAS) = 0,010 EM 1 MES E 6 DIAS.
N = A (1 + i t)
N = 20.000,00(1 + 0,010)
N = 20.200,00
Exercício
Possuo um título que vale hoje R$ 20.000,00. Calcule o valor nominal desse título daqui a 1 mês e 6 dias, à taxa de 10% a.a. 
R: O valor nominal do título será de R$ 20.200,00. 
No problema, como nada foi dito, consideraremos os juros ordinários. Como o período é de 1 mês e 6 dias, devemos obter a razão entre o número de dias do período e os 360 dias do ano comercial.
N = ?
A = R$ 20.000,00
i = 10% a.a = 0,10 a.a		N = A (1 + i t)			N = 20.000 (1 + 0,10		) 
t = 		 dias (ano)		N = 1,01 . 20.000		N = 20.200
	36
	360
	36
	360
Exemplo N e A
Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 11.000,00 a ser paga daqui a 5 meses. Se ela puder aplicar o dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% a.m., quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento?
	Valor da dívida no seu vencimento é o N (valor nominal)
	Valor aplicado a juros simples numa data anterior é o A (valor atual)
	i = taxa 
	n = prazo de aplicação
A + A i n = N	A + A (0,02) 5 = 11.000
				1,1 A = 11.000
					A =				=10.000 
R: A pessoa deveria aplicar R$ 10.000,00 hoje para saldar o empréstimo mencionado em cinco meses.
	11.000
	1,1
Exemplo Juros e Preço de Venda
Consideremos que um investidor tenha adquirido por R$ 17.000,00 um título de uma empresa, cujo valor nominal é de R$ 20.000,00, sendo o prazo de vencimento igual a doze meses. Essa operação dará o direito ao investidor de receber estes R$ 20.000,00 ao final de doze meses.
Qual a taxa de juros desta aplicação, no período e ao mês, no regime de juros simples?
Supondo que, seis meses antes do vencimento do título, o investidor, necessitando de dinheiro, decida vender o título para outro investidor. Além disso, consideremos que nesta data a taxa de juros para esse tipo de aplicação tenha caído para 1,3% a.m. Qual o preço de venda do título?
a)	 i 	=		- 1	=			- 1 = 17,65% a.p. Portanto a taxa mensal é		= 1,47% a.m.
b) 	A + A i n = N		A + A (0,13) 6 = 20.000
					1,078 A = 20.000
					A =	18.552,88 
R: O valor que ele pagou pelo título é de R$ 18.552,88
	20.000
	17.000
	N
	A
	17,65
	12
O investidor que adquiriu o título exigiu uma taxa de juros de 1,3 % a.m.
Exercícios 
Uma empresa recebeu um empréstimo do tipo hot Money de R$ 4.000.000,00 por um dia à taxa de 5% a.m. Sabendo que esse empréstimo foi renovado por mais dois dias úteis às taxas de 5,4 % a.m. e 5,6% a.m., obtenha:
O montante final
A taxa efetiva de juros no período
Uma divida de R$ 50.000,00 vence daqui a oito meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o seu valor:
Hoje
3 meses antes do vencimento
Daqui a dois meses
Respostas 
Uma empresa recebeu um empréstimo do tipo hot Money de R$ 4.000.000,00 por um dia à taxa de 5% a.m. Sabendo que esse empréstimo foi renovado por mais dois dias úteis às taxas de 5,4 % a.m. e 5,6% a.m., obtenha:
O montante final. R: R$ 4.021.371,24
A taxa efetiva de juros no período. R: 0,53 %
Uma divida de R$ 50.000,00 vence daqui a oito meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o seu valor:
Hoje. R: R$ 43.103,45
3 meses antes do vencimento. R$ 47.169,81
Daqui a dois meses. R$ 44.642,86
Desconto simples
Abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições.
Geralmente é um percentual aplicado sobre o preço (compras à vista) – benefício pelo não-parcelamento. 
Notações comuns na área de descontos:
															D = N - A
Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título.
Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).
	D	Desconto realizado sobre o título
	A	Valor Atual de um título
	N	Valor Nominal de um título
	i	Taxa de desconto
	n ou t	Número de períodos para o desconto
Desconto Simples Comercial 
Também chamado de bancário.
A taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor futuro. 
É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado (desconto de duplicatas). É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:
O valor atual no desconto por fora, é calculado por:
	A = N – D = N – N i t = N (1 – i t)
A taxa de desconto é dada em porcentagem por período
			D = VF.d.n
 
Onde d representa a taxa de desconto e n o prazo. 
E para se obter o valor presente, também chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:
 
VP = FV – D
 
Daí vem que: VP = VF – VF.d.n => VP = VF (1 – d . n)
Exemplo 
Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada num banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5 % a.m.
Obtenha o desconto,
Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, 
Faça o Fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. Calcule também a taxa efetiva de juros da operação.
R: 
D = 18.000 (0,025) 2 = 900
Vd = 18.000 – 900 = 17.100
O fluxo de caixa do banco é (adiantou 17.100 por uma duplicata de 18.000
17.100
18.000
0
2
	18.000
	17.100
i = 				- 1 = 0,0526	= 5,26 % a.b.
							 ou 2,63% a.m.			
Exemplo 
Uma nota promissória de R$ 12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2 % a.m.
Obtenha o desconto,
Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, sabendo que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória, pago no dia que a empresa a descontou.
Calcule também a taxa efetiva de juros da operação no período.
R: 
a) D = 12.000 (		) 42 = 336
b) Taxa de serviço: 0,005 (12.000) = 60
	12.000
	11.604
c) i = 			- 1 = 0,0341	= 3,41 % a.p. (ao período)			
	0,02
	30
VALOR RECEBIDO PELA EMPRESA
12.000 – 336 – 60 = 11.604
Exercício 
Um banco cobra em suas operações de desconto de duplicatas uma taxa de desconto comercial de 3%. Qual a taxa efetiva de juros simples, se os prazos de vencimento, forem:
Um mês,
Dois meses,
Faça o Fluxo de caixa da operação no período (ponto de vista do banco).
Resposta 
Um banco cobra em suas operações de desconto de duplicatas uma taxa de desconto comercial de 3%. Qual a taxa efetiva de juros simples, se os prazos de vencimento, forem:
Um mês,
Dois meses,
Faça o Fluxo de caixa da operação no período (ponto de vista do banco).
R: 
Dica - sempre que o valor do título (duplicata) não for fornecido no problema, utilizar o padrão R$ 100,00 para fins de cálculo
a) D = 100 (	0,03) 1 = 3	Vd = 97
b) D = 100 (	0,03) 2 = 6	Vd = 94
	100
	97
i = 			- 1 = 0,0309	= 3,09 % a.m. 			
97
100
0
1
i = 			- 1 = 0,0638	= 6,38 % a.b. 			
	100
	94
Exercício 
Ao descontaruma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 6% no período. Qual a taxa de desconto mensal ele deverá cobrar?
Resposta 
Duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 6% no período. Qual a taxa de desconto mensal ele deverá cobrar?
R: 
Dica - sempre que o valor do título (duplicata) não for fornecido no problema, utilizar o padrão R$ 100,00 para fins de cálculo
D = 100 – 94,34 = 5,66
D = Ndn – queremos a taxa d em termos mensais
	100
	Vd
		- 1 = 0,06		Vd 	=		 = 94,34 			
5,66 = 	(100)d 				d = 				0,0236	= 2,36 % a.m. 			
	100
	1,06
	72
	30
	30 (5,66)
	100 (72)
Desconto Simples Racional 
O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.
O valor atual no desconto por dentro, é calculado por:
	
A = 
	DESCONTO POR FORA	JUROS SIMPLES
	D = A i n	J = C i n
	 A = Valor Atual	C = Capital
	i = taxa de desconto	i = taxa de juros
	n = número de períodos 	n = número de períodos 
	N
	(1 + i n)
 Dr = VF – VP
Exemplo
Um título que possui uma taxa de desconto de 4% ao mês durante 6 meses. Qual é a taxa real de juro simples?
 
Dados:
d = 4% a.m.;
n= 6 meses
 
Usando a fórmula acima temos:
 i = 0,04 / (1 - 0,04 . 6)
i = 5,263% ao mês
VF=VP.(1+i.n) e VP=VF (1 – d . n)
Logo,  VP/(1 – d . n) = VP(1 + i . n)
e  i = d/(1 – d . n)
Relação entre Taxa de Desconto e Taxa de Juros Simples
Supondo que a taxa de desconto “d” e a taxa de juros “i” estejam na mesma unidade de tempo e seja “n” o prazo de vencimento (expresso na mesma unidade de tempo também). o desconto, o Fluxo de caixa da operaçSendo N o valor nominal do título e D ão de desconto, do ponto de vista do banco é 
0
N
n
N - D
i = 
	d
	1 - d n
Exemplo 
Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação?
	d = 4% e n = 3	i = ?
i =								= 0,0455 = 4,55% a.m.	
Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada num banco, proporcionando uma taxa efetiva de juros simples igual a 3 % a.m. Qual a taxa de desconto utilizada?		 
	d
	1 - d n
	0,04
	1 – (0,04)3
i = 3 % e n = 2 	d = ?
i =				 0,03 = 				 0,03 (1- 2d) = d		0,03 – 0,06d= d 
d = 			= 0,0283 = 2,83% a.m.	
	d
	1 - d n
	d
	1 - d 2
	0,03
	1,06
Referências 
HAZZAN, Samuel & POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 5ª edição. São Paulo: Saraiva, 2005.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ª edição. São Paulo: Atlas, 2012.