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BCJ0205–Fenômenos Térmicos Primeiro quadrimestre de 2020 Gabarito da Prova 1 Questão 1-1 Uma caixa d’água cúbica de lado l = 2,0 m deve ser constrúıda. Considere a densidade da água ρ = 1,0 g/cm3 e a aceleração da gravidade g = 10 m/s2. Quando a caixa estiver totalmente cheia de água, determine a: (a) força peso F total no chão da caixa; (b) força Fl exercida pela água em cada lateral da caixa; (c) pressão média P no chão da caixa; (d) pressão média Pl em cada lateral. Solução: (a) F = mg = ρV g = ρl3g = 80 kN. (b) Fl = 0.5ρl 3g = 40 kN. (c) P = ρlg = 20 kN/m2. (d) Pl = 0.5ρlg = 10 kN/m 2. 1 Questão 1-2 Uma toalha de massa mtoalha = 1,0 kg pode absorver um volume V = 10 −3 m3 de água. Ela deve ser pendurada num gancho preso a uma parede vertical por uma ventosa. Considere a pressão atmosférica de P = 1,0 atm, a densidade da água ρ = 1,0 kg/litro, a aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2 e o coeficiente de atrito estático da ventosa com a parede µ = 0,80. Dê suas respostas em unidades do SI. (a) Qual o peso máximo F da toalha molhada? (b) Se a ventosa produzisse uma vácuo perfeito, qual seria a força normal N exercida pela parede contra uma ventosa de área A = 1,0 cm2? (c) Qual deve ser a área Av da ventosa para que o gancho suporte a toalha completamente enchar- cada? Despreze o peso do próprio gancho. Solução: (a) F = mg = (mtoalha + ρV )g = 2 · 9,8 N = 19,6 N ≈ 20 N. (b) N = PA = (1,013×105 Pa)·(10−4 m2) = 10,13 N ≈ 10 N. (c) Av = mg µPatm = 2,4 cm2. 2 Questão 1-3 Um tubo em forma de U possui um ĺıquido dentro. Um dos ramos do tudo tem área de seção transversal A1 = 10 cm 2 enquanto o outro tem área A2. Colocando m = 100 g de água no ramo 2 observa-se formar uma coluna de H = 20 cm de água, sem se misturar com o ĺıquido previamente no tubo. Em compensação, no ramo 1 o ĺıquido sobe h = 7,4 mm em relação ao ńıvel inicial. Sendo a densidade da água ρ = 103 kg/m3, determine: (a) a área A2? (b) a densidade δ do ĺıquido previamente no tubo. Solução: (a) mg/A2 = ρgH ⇒ A2 = m/(ρH) = 5, 0 cm2. (b) δ = ρHA2/[h(A1 +A2)] ≈ 9 g/cm3 = 9× 103 kg/m3. 3 Questão 1-4 Uma balsa é feita de material com densidade ρb = 785 kg/m 3. Um modelo de simplificação para a balsa é um paraleleṕıpedo de altura T = 1,50 m e área A. Quando colocada na água do mar, com densidade ρmar = 1,03×103 kg/m3, a balsa submerge parcialmente. Determine: (a) a altura H da porção submersa da balsa. (b) a área da balsa para que, com uma massa extra sobre ela de m = 10,04 kg, ela permaneça flutuando com h = 30,0 cm da altura acima da superf́ıcie. Solução: (a) H = xT/(1 + x), onde x = ρb/(ρmar − ρb); H = 1,14 m. (b) A = m/(ρmar(T − h)− ρbT ) = 170 m2. 4 Questão 1-5 Para conter a água em uma represa, uma barragem retangular é constrúıda com altura A0 = 10 m e largura L = 20 m. Considere a densidade da água ρ = 1,0 g/cm3 e a aceleração da gravidade g = 10 m/s2. (a) Qual a pressão resultante exercida na parte mais baixa da barragem? (b) Qual a força resultante exercida pela água na barragem? (c) Explique por que a parede não precisa ser tão grossa no topo como deve ser na base. Use poucas palavras argumentando f́ısica e matematicamente. Solução: (a) A pressão resultante, PR, será ρgy, onde y = A0−Ax. Neste caso Ax = 0, portanto, PR = ρgA0. (b) A força resultante será a pressão média exercida vezes a área da represa. FR = PA0L, onde P = (Ptopo + PR)/2 = (0 + ρgA0)/2. FR = ρgLA 2 0/2. Também é posśıvel resolver o problema usando a eq. dF = ρg(A0 −Ax)LdAx e integrando. (c) Porque a pressão aumenta com a profundidade e, consequentemente, a força por unidade de área também. dF/dAx = ρg(A0 −Ax)L 5 Questão 1-6 Podemos usar um elevador hidráulico com um ĺıquido hidráulico incompresśıvel para levantar um objeto pesado com menos força conforme a Figura 1. Suponha que a área da superf́ıcie do pistão menor seja A1 = 0, 10 m 2 e que o pistão maior com área A2 = 2, 5 m 2 fique a h = 0, 40 m abaixo do pistão menor. Além disso, o peso do pistão menor e do pistão maior são W1 =50 N e W2 =500 N, respectivamente. Quando for necessário, use a aceleração gravitacional g = 9, 8 m/s. Figura 1: Um elevador hidráulico. (a) Se precisarmos de uma magnitude de força de F1 = 250 N para levantar um carro de 1600 kg, qual será a densidade do ĺıquido hidráulico? (70 pontos) A pressão do ponto abaixo do pistão maior é igual à pressão no ponto no mesmo ńıvel no lado do pistão menor: P1 = P2, F1 +W1 A1 + ρgh = F2 +W2 A2 , ρ = 1 gh ( m2g +W2 A2 − F1 +W1 A1 ) = 8, 8× 102 kg/m3. (b) Quando a temperatura aumenta, a densidade do ĺıquido hidráulico diminui. Nesse caso, o que acontece com a força necessária para levantar um carro de mesmo peso? Justifique a sua res- posta. (30 pontos) Se a densidade do ĺıquido hidráulico diminui, no lado do pistão menor, a coluna do ĺıquido exerce menos pressão, então a força necessário para levantar um carro de mesmo peso tem que ser maior para levantar o carro do mesmo peso. 6 Questão 1-7 Podemos usar um elevador hidráulico com um ĺıquido hidráulico incompresśıvel de densidade 900 kg/m3 para levantar um objeto pesado com menos força conforme a Figura 1. Suponha que a área da su- perf́ıcie do pistão menor seja A1 = 0, 20 m 2 e o pistão maior fique a h = 0, 30 m abaixo do pistão menor. Além disso, o peso do pistão menor e do pistão maior são W1 =50 N e W2 =500 N, respectivamente. Quando for necessário, use a aceleração gravitacional g = 9, 8 m/s. (a) Se precisarmos de uma magnitude de força de F1 = 230 N para levantar um carro com peso de F2 = 13000 N, qual será a área do pistão maior? (70 pontos) A pressão do ponto abaixo do pistão maior é igual à pressão no ponto no mesmo ńıvel no lado do pistão menor: P1 = P2, F1 +W1 A1 + ρgh = F2 +W2 A2 , A2 = F2 +W2 F1+W1 A1 + ρgh = 3, 34 m2. (b) Para diminuir a força necessária a ser aplicada no pistão menor para levantar um carro de mesmo peso, o que podemos fazer com a área do pistão maior? Justifique a sua resposta. (30 pontos) É necessario aumentar a área do pistão maior. Se a área do pistão maior aumenta, com mesmo peso do carro, a pressão diminui. Portanto, com menor pressão, a força necessária ser aplicada no pistão menor também diminui. 7 Questão 1-8 Podemos usar um elevador hidráulico com um liquido hidráulico incompresśıvel de densidade 820 kg/m3 para levantar um objeto pesado com menos força conforme a Figura 1. Suponha que a área da su- perf́ıcie do pistão menor seja A1 = 0, 080 m 2 e o pistão maior com área A2 = 3, 0 m 2 fique h = 0, 20 m abaixo do pistão menor. Além disso, a massa do pistão menor e pistão maior são 8,0 kg e 45 kg, respectivamente. Quando for necessário, use a aceleração gravitacional g = 9, 8 m/s. (a) Se precisarmos levantar um carro de 1200 kg, qual é a força necessária ser aplicada no pistão menor? (70 pontos) A pressão do ponto abaixo do pistão maior é igual à pressão no ponto no mesmo ńıvel no lado do pistão menor: P1 = P2, F1 +W1 A1 + ρgh = F2 +W2 A2 , F1 = A1 ( F2 +W2 A2 − ρgh ) −W1 = 1, 2× 102 N. (b) O que acontece com a força necessária ser aplicada no pistão menor quando o carro começa a subir? Justifique a sua resposta. (30 pontos) Quando o carro começa a subir, a altura da coluna do ĺıquido em relação do ńıvel do carro diminui. Então, a contribuição da pressão devido ao ĺıquido diminui. Para equilibrar a pressão no pistão maior que permanece a mesma, é necessário exercer uma força maior no pistão menor. 8 Questão 1-9 Uma caixa de metal selada tem volume V = 0, 20 m3 e contém uma amostra de rocha de massa m = 80 kg. Essa caixa está subindo do fundo do mar para a superf́ıcie do mar a uma velocidade constante. Despreze o peso do ar dentro da caixa. Quando for necessário, use a densidade constante da água do mar ρ = 1, 0× 103 kg/m3e aceleração gravitacional g = 9, 8 m/s2. (a) Ao atingir a superf́ıcie, a amostra de rocha é removida. Qual é o volume da caixa vazia que permanece acima da superf́ıcie da água? (40 pontos) Aplicando a segunda lei de Newton em equiĺıbrio para o caso antes e depois a pedra é removida, temos respectivamente: antes: ρV g − Fcaixa − Fpedra = 0, depois: ρVdesl,fg − Fcaixa = 0, onde Fcaixa é o peso da caixa sozinha e Fpedra = mg. Portanto, temos: V − Vdesl,f = mg ρg = m ρ = 0, 080 m3. (b) Qual é a massa da caixa vazia? (30 pontos) A massa da caixa é: mcaixa = Fcaixa g = ρVdesl,fg g = ρVdesl,f = ρV −m = 1, 2× 102 kg. (c) Com a densidade da água do mar, a massa e o volume da caixa fixos como no enunciado, o que mudará se a massa da rocha for menor? Justifique a sua resposta. (30 pontos) Se a massa da rocha for menor, a força gravitacional sobre a caixa com a rocha aumentará. Desde que a força de empuxo permaneça a mesma, a caixa acelerará quando está subindo do fundo do mar. 9 Questão 1-10 Uma caixa de metal selada tem volume V = 0, 20 m3 e contém uma amostra de rocha de massa de certa massa. Essa caixa está subindo do fundo do mar para a superf́ıcie do mar a uma velocidade constante. Despreze o peso do ar dentro da caixa. Quando for necessário, use a densidade constante da água do mar ρ = 1, 0× 103 kg/m3 e aceleração gravitacional g = 9, 8 m/s2. (a) Ao atingir a superf́ıcie, a amostra de rocha é removida. Se o volume da caixa vazia que perma- nece acima da superf́ıcie da água for 0, 050 m3, qual será a massa da rocha? (40 pontos) Aplicando a segunda lei de Newton em equiĺıbrio para o caso antes e depois a pedra é removida, temos respectivamente: antes: ρV g − Fcaixa − Fpedra = 0, depois: ρVdesl,fg − Fcaixa = 0, onde Fcaixa é o peso da caixa sozinha e Fpedra = mg. Portanto, temos: V − Vdesl,f = mg ρg = m ρ , m = ρ (V − Vdesl,f ) = (1, 0× 103 kg/m3)(0, 050 m3) = 50 kg. (b) Qual é a massa da caixa vazia? (30 pontos) A massa da caixa é: mcaixa = Fcaixa g = ρVdesl,fg g = ρVdesl,f = (1, 0× 103 kg/m3)(0, 20 m3 − 0, 050 m3) = 1, 5× 102 kg. (c) Com a massa da rocha, a massa e o volume da caixa fixos como no enunciado, o que mudará se a densidade do mar for maior? Justifique a sua resposta. (30 pontos) Se a densidade do mar for maior, a força de empuxo aumentará. Desde que a força gravita- cional sobre a caixa com a rocha permaneça a mesma, a caixa acelerará quando está subindo do fundo do mar. Além disso, o volume da caixa que permanece abaixo da superf́ıcie da água diminuirá porque é necessário deslocar menos água para ter a mesma força de empuxo. 10 Questão 1-11 Um barquinho de massa mb = 90 kg flutua numa piscina; dentro dele estão um homem, de massa mh = 60 kg, e uma pedra, de massa mp = 20 kg. Considere a densidade da pedra como sendo o dobro da densidade da água, que é ρágua = 1 kg/L. (a) (30 pontos) Qual o volume submerso do barquinho? (b) (70 pontos) Suponha que a piscina tenha uma largura de 5 m e comprimento de 10 m. Após a pedra ir para o fundo dela, qual a variação no ńıvel da água? O ńıvel sobe, desce ou permanece constante? 11
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