Exercícios resolvidos de Índices Físicos

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PROFESSOR CURSO NOTA 
 
ALUNO(A): 
DISCIPLINA: PERÍODO: DATA: 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ÍNDICES FÍSICOS 
 
1. Uma amostra de solo pesa 30,2 kg e seu volume 0,0179 m3. Após secagem em estufa o 
seu peso se reduz a 26,8 kg. A densidade das partículas é 2,65. Determine os valores de 
ɣ, ɣs, h, e, n, s, a e ɣsat. 
a) Peso específico do solo 
Temos: ɣ = Pt/Vt = 0,0302/0,0179  ɣ = 1,687  ɣ =1,69 t/m³ 
Pt = 30,2 kg = 0,0302 t 
Vt = 0,0179 m3 
Ps= 26,8 = 0,0268 t 
δ = 2,68 
ɣg = δ = 2,68 t/m³ 
 
b) Peso específico do solo seco 
ɣs = Ps/Vt = 0,0268/0,0179 ɣs = 1,50 t/m³ 
 
c) Teor de umidade 
Pt = Ps +Pa  Pa = Pt - Ps 
H = Pa/Ps = (0,0302-0,0268)/0,0268  H = 0,127  H = 12,7% 
 
d) Índice de vazios 
e = Vv/Vs ; e = (ɣg / ɣs) – 1  e = 2,68/1,5 – 1  e = 0,79 
 
e) Porosidade 
N = Vv / Vt ; n = e / (1 + e)  n = 0,79/(1+0,79)  n = 0,441 n = 44,1% 
 
f) Grau de saturação 
s = Va/Vv; s = δ x H/e  s = 2,68 x 0,127/0,79 s = 0,431  s = 43,1% 
 
g) Grau de Aeração 
A = Var/Vv; A = 1 – s  A = 1 – 0,431  A = 0,569  A = 56,9% 
 
2. O peso específico de uma argila é 1,7 g/cm³, o teor de umidade 34% e a densidade das 
partículas 2,65. Qual o índice de vazios desse solo? 
ɣ = 1,7 g/cm³ Temos, e = (ɣg / ɣs) – 1 e ɣs = ɣ/(1 + H) 
H = 34% ɣs = 1,7/(1+0,34)  ɣs = 1,27 g/cm³ 
 δ = 2,65 como e = (ɣg / ɣs) – 1 e = (2,65/1,27) – 1 e = 1,09 
 
 
 
3. Uma amostra de areia no estado natural pesa 875 g e o seu volume 512 cm³. O peso seco 
é 803 g e a densidade relativa dos grãos 2,66. Determine: O índice de vazios, porosidade, 
teor de umidade e grau de saturação da areia. 
Pt = 875 g; Ps = 803 g; Vt = 512 cm³ e δ = 2,66 
a) Índice de vazios 
 e = (ɣg / ɣs) – 1 e ɣs = Ps/Vt 
 ɣs = Ps/Vt = 803/512 = 1,57  ɣs = 1,57 g/cm³ 
 e = (ɣg / ɣs) – 1 = (2,66/1,57) - 1 e = 0,69 
 
b) Porosidade 
 n = e / (1 + e)  n = 0,69/(1 + 0,69) n = 0,408  n = 40,8% 
 
c) Teor de umidade 
Pt = Ps +Pa  Pa = Pt - Ps 
H = Pa/Ps = (875-803)/875  H = 0,082  H = 8,2% 
 
d) Grau de saturação da areia 
s = δ x H/e  s = 2,66 x 0,082/069 s = 0,316 s = 31,6% 
 
4. São conhecidos para um determinado solo: ɣ = 1,8 g/cm³, h = 12% e ɣg = 2,7 g/cm³. Pede-
se calcular: ɣs, s, a, e, n. 
 
a) Peso específico do solo seco 
ɣs = ɣ/(1 + H)  ɣs = 1,8/(1+0,12)  ɣs = 1,61 g/cm³ 
 
b) Grau de saturação 
s = δ x H/e; inicialmente vamos determinar o valor “e”, e = (ɣg / ɣs) – 1 = (2,7/1,61) - 1 
e =0,68 
Temos, s = δ x H/e  s = 2,7 x 0,12/0,68 s = 0,476 s = 47,6% 
 
c) Grau de aeração 
A = 1 – S  A = 1 – 0,476 = 0,524 A = 52,4% 
d) Porosidade 
 n = e / (1 + e)  n = 0,68/(1 + 0,68)  n = 0,405 n = 40,5% 
 
5. Uma argila saturada tem umidade de 40,0% e peso específico saturado igual a 1,80 g/cm³. 
Determine a densidade das partículas e o índice de vazios. 
Temos H = 40,0% e ɣsat = 1,8 g/cm3 
 
a) Densidade das partículas 
ɣsat = (δ + e)/(1 + e) e e = (ɣg / ɣs) – 1, temos que determinar “e” em função de δ uma 
vez que temos duas incógnitas “e” e δ, então, 
Solo saturado  s = 100% ou s =1  s = δ x H/e 1 = δ x 0,4/e  e = 0,4 δ 
Então onde se tem “e” substituímos por 0,4 δ e o valor de ɣsat = 1,8 g/cm3 na fórmula 
abaixo, daí 
ɣsat = (δ + e)/(1 + e) 1,8 = (δ + 0,4 δ)/(1 + 0,4 δ)  1,8 = 1,4 δ/(1 + 0,4 δ) 
1,8 + 0,72 δ = 1,4 δ 1,8 = 1,4 δ – 0,72 δ 1,8 = 0,68 δ  δ =1,8/0,68  
δ = 2,65 ou ɣg = 2,65 g/cm3 
 
b) Índices de vazios 
e = 0,4 δ  e =0,4 x 2,65  e =1,06 
 
6. De uma amostra de solo são fornecidos os seguintes dados: Volume total = 1150 cm³, 
Peso total úmido = 2,6 kg, Peso seco = 2,3 e Densidade relativa das partículas = 2,73. 
Determine o grau de saturação. 
Temos Pt = 2,6 kg =2600,00 g; Ps = 2,3 kg = 2300,00 g; Vt = 1150,00 cm3 e δ = 2,73 
 
a) Grau de saturação 
s = δ x H/e, para determinar o valor de “s” teremos que vamos antes determinar os 
valores de “H” e “e”. 
 
H = Pa/Ps = (Pt - Ps) / Ps  H = (2600,00-2300,00)/2300,00 = 0,13 H = 13,0% 
ɣs = Ps/Vt = 2300,00/1150,00 = 2,0 ɣs = 2,0 g/cm3 , daí, e = (ɣg / ɣs) – 1 
 e = (2,73/2,0) - 1 e = 0,37 
s = δ x H/e = 2,73 x 0,13/0,37  s = 95,9% 
 
7. O peso específico dos sólidos de uma dada areia é 2,65 g/cm³. Seu índice de vazios é 
0,37. Calcule: O peso específico da areia seca, o peso específico para s = 35%, o peso 
específico da areia quando saturada e o peso específico da areia quando submersa. 
Temos ɣg = 2,65 g/cm3 e e = 0,37 
a) Peso específico da areia seca 
Temos ɣs = Ps/Vt ou ɣs = ɣ/(1 + H) que são as fórmulas mais usuais, mas 
e = (ɣg / ɣs) – 1  e + 1 = (ɣg / ɣs)  ɣs x (e + 1) = ɣg  ɣs = ɣg / (e + 1), logo 
ɣs = 2,65/ (0,37 +1)  ɣs = 1,93 g/cm3 
 
b) Peso específico para s = 35% 
ɣ = (δ + s x e)/(1 + e)  ɣ = (2,65 + 0,35 x 0,37)/(1 + 0,37)  ɣ = 2,03 g/cm3 
 
c) Peso específico da areia quando saturada 
ɣsat = (δ + e)/(1 + e)  ɣsat = (2,65 + 0,37)/(1 + 0,37)  ɣsat = 2,20 g/cm3 
 
d) Peso específico da areia quando submersa 
ɣsub = ɣsat - 1  ɣsub = 2,20 – 1  ɣsub = 1,20 g/cm3 
 
 
8. Sabendo-se que o peso específico de um solo é 1,9 g/cm³, teor de umidade 31% e a 
densidade das partículas 2,7, pede-se calcular: índice de vazios, porosidade, teor de 
umidade para o solo saturado e o grau de saturação. Qual a quantidade de água que é 
necessária adicionar, por m3 de solo para saturá-lo? 
Temos ɣ = 1,9 g/cm³; H = 31% e δ = 2,7 
 
a) Índice de vazios 
e = (ɣg / ɣs) – 1; ɣs = ɣ/(1 + H)  ɣs = 1,9/(1 + 0,31)  ɣs = 1,45 g/cm³, mas 
e = (ɣg / ɣs) – 1 e = (2,7/1,45) – 1  e = 0,86 
b) Porosidade 
 n = e / (1 + e)  n = 0,86/(1 + 0,86)  n = 0,462  n = 46,2% 
 
c) Teor de umidade do solo saturado 
Solo saturado  s = 1, temos s = δ x H/e  1 = 2,7 x H/0,86 0,86 = 2,7 x H H = 
0,86/2,7  H = 0,319  H = 31,9% 
 
d) Grau de saturação 
s = δ x H/e  s = 2,7 x 0,31/0,86  s = 0,973  s = 97,3% 
 
e) Água a ser adicionada ao solo para saturá-lo por m3 
Inicialmente determinamos o Ps que se mantem constante  ɣs = Ps/Vt 
Como o volume é por m3  Vt = 1,0 m3 , temos ainda que 1 t/m3 = 1 g/cm3. 
Vimos que ɣs = 1,45 g/cm³ ɣs = 1,45 t/m3, logo ɣs = Ps/Vt  Ps = ɣs x Vt  
Ps = 1,45 x 1 Ps = 1,45 t 
- Quantidade de água para o teor de umidade natural: H = Pa/Ps Pa = Ps x H 
 Pa = 1,45 x 0,31 Pa = 0,450 t  Pa = 450 kg ou Va = 450 litros 
- Quantidade de água para o teor de umidade do solo saturado: H1 = Pa1/Ps 
Pa1 = Ps x H1  Pa1 = 1,45 x 0,319  Pa1 =0,463 t  Pa1 = 463 kg ou Va1 = 463 litros 
Logo a água a acrescentar será Δ = Pa1 - Pa  Δ = 463 – 450  Δ = 13,0 kg ou 
Δ = 13 litros 
 
9. Uma amostra de areia com um volume de 2,9 litros pesou 5,2 kg. Os ensaios de 
laboratório para a determinação da umidade natural, do peso específico das partículas e 
grau de compacidade do material forneceram os seguintes resultados: 
 
Umidade: 
Peso úmido = 7,79 g e Peso seco = 6,68 g 
 
Peso específico das partículas: 
Peso do picnômetro com água (P2) = 434,12 g 
Peso do picnômetro com 35 g de solo seco e água até o mesmo nível (P1) = 456,21 g 
 
Grau de compacidade: 
Índice de vazios correspondente ao estado solto = 0,85 
Índice de vazios correspondente ao estado compacto = 0,50 
Pede-se calcular para essa amostra: Teor de umidade, peso específico das partículas, 
peso da parte sólida, peso da água, volume da parte sólida, volume de vazios, índice de 
vazios, grau de compacidade, porosidade e grau de saturação. 
Temos Pt = 5,2 kg = 5200,00 g e Vt = 2,9 litros = 2900,00 cm3 
 
a) Teor de umidade 
H = Pa/Ps  H = (7,79 – 6,68)/6,68  H = 0,166  H = 16,6% 
b) Peso específico das partículas 
Na prática quando queremos determinar o ɣg = Ps/Vs determinamos δ = ɣg, esta 
determinação foi feita pelométodo do picnômetro conforme explicado na apresentação 
dos índices. Temos: δ = Ps x ɣ a / (Ps + P2 – P1)  δ = 35 x 1 / (35 + 434,12 – 456,21)  
δ = 2,71 ou ɣg = 2,71 g/cm3 
 
c) Peso da parte sólida 
Ps = Pt /(1 + H)  Ps = 5200,00/(1 + 0,166)  Ps = 4459,69 g 
 
d) Peso da água 
Pa = Pt - Ps  Pa = 5200,00 – 4459,69  Pa =740,31 g 
 
e) Volume da parte sólida 
Temos ɣg = Ps/Vs  Vs x ɣg = Ps  Vs = Ps /ɣg  Vs = 4459,69/2,71 Vs = 1645,64 cm3 
 
f) Volume de vazios 
Vt = Vs + Vv  Vv = Vt - Vs  Vv = 2900,00 – 1645,64 Vv = 1254,36 cm3 
 
g) Índice de vazios 
e = Vv / Vs  e = 1254,36 / 1645,64 e = 0,76 ( no estado natural) 
 
h) Grau de compacidade 
Solo no estado solto = Emax. = 0,85 
Solo no estado compacto = Emin. = 0,50 Temos e = Vv / Vs 
Solo no estado natural = Enat. = 0,76 
 
GC = (Emax. – Enat.)/(Emax. – Emin.)  GC = (0,85 – 0,76)/(0,85 – 0,50)  GC = 0,26 
O solo é uma areia fofa (GC ˂ 1/3) 
 
i) Porosidade 
n = e / (1 + e)  n = 0,76 / (1 + 0,76)  n = 0,432  n = 43,2% 
 
j) Grau de saturação 
s = δ x H/e  s = 2,71 x 0,166/0,76  s = 0,592  s = 59,2% 
 
10. De um corte são removidos 250.000,00 m3 de solo com índice de vazios igual a 1,25. 
Quantos m3 de aterro com 0,72 de índice de vazios poderão ser construídos? 
Temos V1 = 250.000,00; e1 = 1,25 e e2 = 0,72 
 
Inicialmente vamos determinar o valor de Vs (que se mantem constante) 
e1 = Vv / Vs  e1 = (V1 – Vs) / Vs Vs x e1 = V1 – Vs  Vs x e1 + Vs = V1  Vs (e1 + 1) = V1  
Vs = V1 / (e1 + 1)  Vs = 250000,00/(1,25 + 1)  Vs = 111.111,11 m3 
Dá expressão Vs (e1 + 1) = V1 temos V2 = Vs (e2 + 1)  V2 = 111.111,11 x (0,72 + 1)  
V2 = 191.111,11 m3 . Observe que o volume V2 ˂ V1 devido o índice de vazios ser menor. 
 
 
 
11. Demonstre que ɣs = ɣ / (1 + h) 
 
Vamos mostrar a partir da definição de ɣs = Ps/Vt ser igual a ɣs = ɣ / (1 + h). 
 
Temos: ɣs = Ps/Vt  ɣs = (Ps / Pt) /(Vt / Pt)  ɣs = (Ps / Pt) x (Pt / Vt), mas ɣ = Pt / Vt então 
substituindo temos ɣs = (Ps / Pt) x ɣ  ɣs = (Ps / (Ps + Pa)) x ɣ  
ɣs = ɣ x (Ps / Ps) / ( Ps / Ps + Pa / Ps)  ɣs = ɣ x 1 / (1 + h)  ɣs = ɣ / (1 + h) 
 
Empregamos os índices físicos: 
 ɣ = Pt / Vt;, Pt = Ps +Pa e h = Pa / Ps