Métodos Determinísticos AP1 2019 2 GABARITO

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AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019.2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais:
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF,
o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada
pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por-
tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸a˜o espec´ıfica:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – ??/0?/2019
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es ?? a ?? e a seguir.)
Na bolsa de valores de um determinado pa´ıs, sa˜o negociadas ac¸o˜es de 150 empresas. Estas empresas
podem ter suas ac¸o˜es de posse do governo, de investidores privados ou de ambos. Para as empresas
negociadas nesta bolsa, ha´ um projeto especial de investimentos chamado de Projeto Parceria, do
qual so´ podem participar empresas que possuem ac¸o˜es com os investidores privados e com o governo.
Sabe-se ainda que:
i. 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria participam deste projeto;
ii. 1/3 das empresas que possuem ac¸o˜es com os investidores privados participam do Projeto Parceria;
iii. o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es com o governo e´ o dobro do nu´mero das que na˜o
possuem;
iv. toda empresa possui ac¸o˜es com o governo, com investidores privados ou com ambos, na˜o havendo
empresas sem investidor.
Questa˜o 1 (1.5 pt) Represente a situac¸a˜o por meio de um diagrama de Venn, chamando de P o
conjunto de empresas com ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados, de G o conjunto de empresas com
ac¸o˜es na ma˜o do governo e de R o conjunto de empresas que participam do Projeto Parceria. Chame
de x o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es tanto com o governo quanto com os investidores
privados. Escreva, em func¸a˜o de x, o nu´mero de empresas que participam do Projeto Parceria.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Resposta: Como so´ podem participar do Projeto Parceria as empresas que possuem ac¸o˜es com
os investidores privados e com o governo, temos que o conjunto R das empresas que participam
do Projeto Parceria esta´ contido na intersec¸a˜o do conjunto P de empresas com ac¸o˜es na ma˜o de
investidores privados com o conjunto G de empresas com ac¸o˜es na ma˜o do governo. Observe que
na˜o e´ necessa´rio representar um conjunto U que contenha os conjunto P , G e R, visto que na˜o ha´
elementos fora da unia˜o de P e G, pois cada empresa possui ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados
ou do governo. Representamos enta˜o, abaixo, a situac¸a˜o por meio de um diagrama de Venn.
De acordo com i), temos que 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria participam
deste projeto. Lembrando que so´ podem participar do Projeto Parceria as empresas na intersec¸a˜o
entre os conjuntos P e G, cujo nu´mero de elementos, conforme pedido, e´ x, temos que o nu´mero
de elementos do conjunto R e´ igual a 3/4 de x, isto e´, 3x/4.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Escreva, em func¸a˜o de x, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas
com os investidores privados.
Resposta: Como o nu´mero de elementos do conjunto R e´ igual a 3x/4 e o nu´mero de elementos
na intersec¸a˜o de G com P e´ x, temos que o nu´mero de elementos do conjunto P ∩G−R e´
x− 3x4 =
4x
4 −
3x
4 =
x
4 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Vamos agora chamar de p o nu´mero de elementos do conjunto P , isto e´, o nu´mero de empresas que
possuem ac¸o˜es com os investidores privados. De acordo com ii), temos que 1/3 das empresas que
possuem ac¸o˜es com os investidores privados participam do Projeto Parceria. Temos, portanto, que
1
3 · p =
3x
4 ∴ p = 3 ·
3x
4 =
9x
4 .
Queremos agora o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com os investidores privados, ou
seja, o nu´mero de elementos do conjunto P − P ∩G, e´ igual a p− x. Como p = 9x4 , temos que o
nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com os investidores privados e´ dado por
p− x = 9x4 − x =
9x
4 −
4x
4 =
5x
4 .
Questa˜o 3 (1.0 pt) Escreva, em func¸a˜o de x, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas
na ma˜o do governo.
Resposta: Vamos chamar de g o nu´mero de elementos do conjunto G, isto e´, o nu´mero de empresas
que possuem ac¸o˜es com o governo. De acordo com iii), temos que o nu´mero de empresas que
possuem ac¸o˜es com o governo e´ o dobro do nu´mero das que na˜o possuem. Como o nu´mero de
empresas que na˜o possuem ac¸o˜es com o governo e´ o nu´mero de elementos do conjunto P −P ∩G
e este nu´mero e´
5x
4 , por iii), temos que
g = 2 · 5x4 =
10x
4 .
Queremos agora o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com o governo, ou seja, o nu´mero
de elementos do conjunto G − P ∩ G, e´ igual a g − x. Como g = 10x4 , temos que o nu´mero de
empresas que possuem ac¸o˜es apenas com o governo e´ dado por
g − x = 10x4 − x =
10x
4 −
4x
4 =
6x
4 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Questa˜o 4 (1.0 pt) Determine o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es tanto com o governo
quanto com investidores privados.
Resposta: Como o total de empresas e´ de 150, pelo diagrama de Venn anterior, temos que
150 = 5x4 + x+
6x
4 =
5x
4 +
4x
4 +
6x
4 =
15x
4 ,
de modo que
x = 150 · 415 = 40
Conclu´ımos assim que 40 empresas possuem ac¸o˜es tanto com o governo quanto com investidores
privados.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es ?? a ?? e a seguir.)
Uma pequena empresa, cujos gastos mensais totais somam 20.000, pode escolher duas formas de
tributac¸a˜o:
i. sobre o faturamento, em que paga um imposto de 10% sobre o faturamento mensal;
ii. sobre o lucro, em que paga um imposto de 20% sobre o lucro mensal, isto e´, sobre a diferenc¸a
entre o faturamento e o custo mensais.
Obs.: assuma, nas questo˜es abaixo, que a empresa ache interessante optar, mensalmente, pela forma
de tributac¸a˜o que resulte em menor imposto.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Caso o faturamento da empresa em um dado meˆs seja de 50.000, por qual
forma de tributac¸a˜o, neste meˆs, a empresa achara´ interessante optar? Justifique sua resposta.
Resposta: Se a empresa optasse pela forma de tributac¸a˜o sobre o faturamento, com um faturamento
de 50.000, o imposto, que chamaremos de If , seria de
If = 10% de 50.000 =
10
100 · 50.000 =
50.000
10 = 5.000.
Ja´ se a empresa optasse pela forma de tributac¸a˜o sobre o lucro, com um faturamento de 50.000 e um
custo de 20.000, o lucro e´ de 50.000− 20.000 = 30.000, de modo que o imposto, que chamaremos
de Il, seria de
Il = 20% de 30.000 =
20
100 · 30.000 =
60.000
10 = 6.000.
Como If < Il, temos que a empresa achara´ interessante optar pela forma de tributac¸a˜o sobre o
faturamento.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Deˆ as expresso˜es dos impostos a serem pagos nas duas modalidades de tri-
butac¸a˜o (sobre o faturamento e sobre o lucro), em func¸a˜o do faturamento x de um determinado meˆs.
Resposta: Se a empresa optasse pela forma de tributac¸a˜o sobre o faturamento, com um faturamento
de x, o imposto, que chamaremos de If , seria de
If = 10% de x =
10
100 · x =
10x
100 =
x
10 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Ja´ se a empresa optasse pela forma de tributac¸a˜o sobre o lucro, com um faturamento de x e um
custo de 20.000, o lucro e´ de x− 20.000, de modo que o imposto, que chamaremos de Il, seria de
Il = 20% de (x− 20.000) = 20100 · (x− 20.000) =
1
5 · (x− 20.000) =
x
5 −
20.000
5 =
x
5 − 4.000.
Questa˜o 7 (1.5 pt) Diga para que valores de faturamento mensal x, o imposto sobre o lucro e´ o
mais interessante para a empresa optar?
Resposta: A empresa achara´ mais interessante optar pelo imposto sobre o lucro, que chamamos
de Il, se este for menor do que o imposto sobre o faturamento, que chamamos de If . Pela questa˜o
anterior, temos que
Il < If ⇔= x5 − 4.000 <
x
10 ⇔
x
5 −
x
10 < 4.000.
⇔ 2x10 −
x
10 < 4.000⇔
x
10 < 4.000⇔ x < 40.000
Temos assim, que o imposto sobre o lucro e´ o mais interessante para a empresa optar se o faturamento
mensal x for menor do que 40.000. Se o faturamento mensal x for de 40.000, as duas forma de
imposto resultam em um imposto de 4.000.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es ?? a ?? e a seguir.)
No Bistroˆ Cafe´ına, se um cliente come torta, enta˜o ele toma cafe´. E, se um cliente come um salgado,
enta˜o ele bebe um refrigerante.
Questa˜o 8 (0.5 pt) Se, em um certo dia, nenhum cliente consumiu mais do que dois produtos, e´
poss´ıvel algue´m ter comido um salgado e bebido um cafe´? Justifique sua resposta.
Resposta: Na˜o e´ poss´ıvel, pois, se um cliente comeu um salgado, enta˜o ele tambe´m tomou um
refrigerante. Desta forma, teria comido um salgado, bebido um cafe´ e tomado um refrigente, to-
talizando treˆs produtos neste dia, o que na˜o e´ poss´ıvel, uma vez que, por hipo´tese, nenhum cliente
consumiu mais do que dois produtos neste dia.
Questa˜o 9 (0.5 pt) Se, em um certo dia, nenhum cliente consumiu mais do que dois produtos, e´
poss´ıvel algue´m ter comido torta e tomado um refrigerante? Justifique sua resposta.
Resposta: Na˜o e´ poss´ıvel, pois, se um cliente comeu uma torta, enta˜o ele tambe´m bebeu cafe´.
Desta forma, teria comido uma torta, bebido um cafe´ e tomado um refrigente, totalizando treˆs
produtos neste dia, o que na˜o e´ poss´ıvel, uma vez que, por hipo´tese, nenhum cliente consumiu mais
do que dois produtos neste dia.
Questa˜o 10 (1.0 pt) Se, em um certo dia, todos os clientes consumiram exatamente dois pro-
dutos, conclui-se obrigatoriamente que, se um cliente na˜o comeu uma torta, enta˜o ele comeu um
salgado? Justifique sua resposta.
Resposta: Na˜o. Ele pode ter bebido um cafe´ e tomado um refrigerante.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.