Slide 7 - Diagonalização

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Diagonalização de Matrizes
Sheila Campos Chagas
Disciplina: IAL
Departamento de Matemática - UNB
June 3, 2019
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 1 / 73
Introdução
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 2 / 73
Introdução
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 3 / 73
Introdução
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 4 / 73
De�nição de Autovalor e Autovetor
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 5 / 73
De�nição de Autoespaço
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 6 / 73
Como Calcular Autoespaços
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 7 / 73
Como Calcular Autoespaços
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 8 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 9 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 10 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 11 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 12 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 13 / 73
Polinômio Característico
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 14 / 73
Resumo dos Passos
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 15 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 16 / 73
Multiplicidade
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 17 / 73
Multiplicidade
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 18 / 73
Problema da Diagonalização
Problema 1 : Dada uma matriz A n × n, existe uma mariz P invertível tal
que P−1AP é diagonal?
Problema 1 : Dada uma matriz A n × n, existe um conjunto LI de
autovetores?
De�nition (Semelhança)
A é semelhante à B , se existe P invertível tal que
B = P−1AP
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 19 / 73
Polinômio Característico
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 20 / 73
Polinômio Característico
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 21 / 73
Polinômio Característico
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 22 / 73
Polinômio Característico
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 23 / 73
De�nição de Diagonalização
De�nition
A é diagonalizavel se é semelhante à uma matriz diagonal. Isto é, se existe
P invertível tal que
P−1AP = D
Teorema
Sja A uma matriz n × n. Então são equivalentes:
(a) A é diagonalizável;
(b) A tem n autovetores LI.
OBS O item (b) equivale à dizer que existe uma base para Rn consistindo
de autovetores.
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Diagonalização
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 25 / 73
Diagonalização
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 26 / 73
Diagonalização
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 27 / 73
Diagonalização
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 28 / 73
Diagonalização
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 29 / 73
Diagonalização
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 30 / 73
Diagonalização
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 31 / 73
Decomposição Espectral
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 32 / 73
Decomposição Espectral
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 33 / 73
Decomposição Espectral
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 34 / 73
Decomposição Espectral
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 35 / 73
Exemplos de Matrizes diagonalizáveis
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 36 / 73
Exemplos de Matrizes diagonalizáveis
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 37 / 73
Exemplos de Matrizes diagonalizáveis
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 38 / 73
Exemplos de Matrizes diagonalizáveis
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 39 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 40 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 41 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 42 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 43 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 44 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 45 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 46 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 47 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 48 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 49 / 73
Teorema Espectal
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 50 / 73
Potências de Matrizes
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 51 / 73
Potências de Matrizes
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 52 / 73
Potências de Matrizes
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 53 / 73
Potências de Matrizes
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 54 / 73
Potências de Matrizes
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 55 / 73
Potências de Matrizes
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 56 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 57 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 58 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 59 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 60 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 61 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 62 / 73
Exemplo
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 63 / 73
Raiz quadrada de matrizes
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 64 / 73
Raiz quadrada de matrizes
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 65 / 73
Exemplo de Raiz Quadrada
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 66 / 73
Exemplo de Raiz Quadrada
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 67 / 73
Exemplo de Raiz Quadrada
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 68 / 73
Exemplo de Raiz Quadrada
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 69 / 73
Exemplo de Raiz Quadrada
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 70 / 73
Exemplo de Raiz Quadrada
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 71 / 73
Exemplo de Raiz Quadrada
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 72 / 73
Exemplo de Raiz Quadrada
(Disciplina: IAL Departamento de Matemática - UNB) June 3, 2019 73 / 73