Capítulo 3 - VETORES

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Capítulo 3 - Vetores
Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
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3-1	Vetores e Suas Componentes
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Somar vetores geometricamente e aplicar as leis comutativa e associativa.
Subtrair um vetor de outro
vetor.
Calcular as componentes de um vetor em um sistema de coordenadas e representá-las em um desenho.
Dadas as componentes de um vetor, desenhar o vetor e determinar seu módulo e sua orientação.
Converter ângulos de graus para radianos, e vice- versa.
Objetivos do Aprendizado
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A física lida com grandezas que têm um valor e uma orientação
O vetor é um objeto matemático que tem um valor e uma orientação
Uma grandeza vetorial é uma grandeza física que pode ser representada por um vetor
Exemplos: posição, velocidade, aceleração
As operações com vetores obedecem a regras diferentes das regras da
álgebra
Uma grandeza escalar é uma grandeza que pode ser representada por um número
Exemplos: tempo, temperatura, energia, massa
As operações com escalares obedecem às regras da álgebra
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O exemplo mais simples é o vetor deslocamento
Se uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B, podemos representar essa mudança de posição por uma reta orientada que liga o ponto A ao ponto B
Em (a), as três retas têm o mesmo comprimento e a mesma orientação; são vetores deslocamento iguais.
Em (b), as três trajetórias correspondem
ao mesmo vetor deslocamento.
Figura 3-1
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o	Soma geométrica de vetores:
Figura 3-2
A soma vetorial ou resultante
é o resultado da adição de vetores
representa o deslocamento total produzido por dois ou mais
vetores deslocamento
Eq. (3-1)
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A soma de vetores é comutativa
o	podemos somar vetores em qualquer ordem
Eq. (3-2)
Figura 3-3
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A soma vetorial é associativa
o	Podemos agrupar os vetores em qualquer ordem para somá-los
Eq. (3-3)
Figura 3-4
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O sinal negativo inverte a orientação de um vetor
Podemos usar essa propriedade para definir a subtração de vetores
Eq. (3-4)
Figura 3-5
Figura 3-6
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Essas regras se aplicam a todos os vetores, independentemente de representarem deslocamento, velocidade ou outra grandeza vetorial qualquer
Apenas vetores que representam a mesma grandeza podem
ser somados
o
o	(distância) + (distância) faz sentido (distância) + (velocidade) não faz sentido
Respostas:
(a) 3 m + 4 m = 7 m
(b) 4 m  3 m = 1 m
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Figura 3-8
Em vez de usar um método gráfico, podemos somar vetores por componentes
o	Componente é a projeção do vetor em um eixo
O processo de obter as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor
As componentes de um vetor podem ser positivas ou negativas.
As componentes não mudam quando deslocamos um vetor sem mudar a
orientação.
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As componentes em duas dimensões são dadas por
Eq. (3-5)
em que θ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo x
positivo, e a é o comprimento do vetor
O comprimento e o ângulo também podem ser calculados a partir das componentes
Eq. (3-6)
As componentes definem univocamente um vetor
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No caso tridimensional, são necessários três parâmetros para especificar um vetor
o	(a,θ,φ) ou (ax,ay,az)
Resposta: os métodos mostrados em (c), (d) e (f)
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Os ângulos podem ser medidos em graus ou radianos
Uma circunferência completa tem 360˚ ou 2π rad
Aqui estão as três funções trigonométricas básicas:
Figura 3-11
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Exercício 1: Um pequeno avião decola de um aeroporto em um dia nublado e é avistado mais tarde a 215 Km de distância, em um curso que faz um ângulo de 22° a leste do norte. A que distância a leste e ao norte do aeroporto está o avião no momento em que é avistado?
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3-2	Vetores Unitários; Soma de Vetores a Partir das Componentes
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Converter um vetor da notação módulo-ângulo para a notação dos vetores unitários, e vice-versa.
Somar e subtrair vetores expressos na notação módulo-ângulo e na notação dos vetores unitários.
8.	Saber que a rotação do sistema de coordenadas em torno da origem pode mudar as componentes de um vetor, mas o vetor permanece o mesmo.
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Um vetor unitário
Tem módulo 1
Tem uma orientação
Não tem dimensão nem unidade
É representado com um acento circunflexo (^)
Usamos um sistema de coordenadas dextrogiro
o		Permanece dextrogiro quando sofre uma rotação
Figura 3-13
Eq. (3-7)
Eq. (3-8)
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As grandezas ax i e ay j são componentes vetoriais
Eq. (3-7)
Eq. (3-8)
As grandezas ax e ay são componentes escalares
o	ou apenas “componentes”
Os vetores podem ser somados usando componentes
Eq. (3-10)
Eq. (3-11)
Eq. (3-12)
Eq. (3-9)
→
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Para subtrair vetores, subtraímos as componentes
Eq. (3-13)
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Os vetores não dependem do sistema de coordenadas usado para representá-los
Se fazemos girar o sistema de coordenadas, o vetor não muda
Todos os sistemas de coordenadas desse tipo são igualmente válidos
Figura 3-15
Eq. (3-14)
Eq. (3-15)
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Exercício 2: O labirinto de sebes é um labirinto formado por sebes bem altas. Depois de entrar no labirinto, você deve encontrar o ponto central e, em seguida, descobrir a saída. A Fig. 3-16a mostra a entrada do labirinto e as duas primeiras mudanças de direção necessárias para ir do ponto i ao ponto c. O percurso corresponde aos três deslocamentos mostrados na vista aérea da Fig.3-16b: d1=6 m, θ1=40°; d2=8 m, θ2=30°, d3=5 m, θ3=0°, em que o último deslocamento é paralelo ao eixo x. Qual é o módulo e qual o ângulo do deslocamento total em relação ao ponto i quando você chega ao ponto c? 
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Exercício 3: Encontre a soma de dois vetores A e B que estão no plano xy e que são dados por A=2i+3j e B=5i-4j. Encontre o ângulo que o vetor resultante faz com o eixo x positivo.
Exercício 4: Qual é o vetor soma dos seguintes vetores:
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3-3	Multiplicação de Vetores
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9. Multiplicar vetores por
escalares.
Saber que o resultado do produto de um escalar por um vetor é um escalar, o produto escalar de dois vetores é um escalar e o produto vetorial de dois vetores é um vetor.
Calcular o produto escalar
de dois vetores.
Calcular o ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar.
Calcular a projeção de um vetor na direção de outro vetor a partir do produto escalar de dois vetores.
Calcular o produto vetorial de
dois vetores.
Usar a regra da mão direita para determinar a orientação do vetor resultante de um produto vetorial.
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Multiplicação de um vetor z por um escalar c
O resultado é um vetor
o
o
o	cujo módulo é o módulo de z vezes |c|
cuja direção é igual à do vetor z, ou oposta se c for negativo cujas componentes são as componentes de z multiplicadas por c
Para dividir um vetor por um escalar, multiplicamos o vetor por 1/c
Exemplo	Multiplicação do vetor z por 5
o	z = 3 i + 5 j
o	5 z = 15 i + 25 j
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Multiplicação de vetores: o produto escalar
o	O resultado é um escalar, em que a e b são os módulos dos vetores e φ é o ângulo entre as direções dos dois vetores:
Eq. (3-20)
O produto escalar obedece à lei comutativa
(	) e pode ser calculado usando as componentes:
Eq. (3-22)
Eq. (3-23)
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O produto escalar é o produto do módulo de um dos vetores pela projeção do outro vetor na direção do primeiro vetor
Figura 3-18
Eq. (3-21)
Tanto faz usar a projeção do primeiro vetor no segundo vetor ou a projeção do segundo vetor no primeiro vetor
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Exercício 5: Qual é o ângulo ϕ entre a=3i-4j e b=-2i+3k? (produto escalar)
Multiplicação de vetores: o produto vetorial
o	O resultado é um vetor cujo módulo c é dado por
Eq. (3-24)
em que a e b são os módulos dos vetores e φ é o ângulo entre os vetores e cuja direção é perpendicular à direção dos dois vetores.
A direção é determinada pela regra da mão direita.
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(a) O produto
; (b) o produto
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Assim, expandindo a Eq. (3-26),
O produto vetorial não é comutativo
Eq. (3-25)
Pode ser calculado usando as componentes:
Eq. (3-26)
Eq. (3-27)
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Exercício 6: Se a=3i-4j e b=-2i+3k, determine c=a x b.
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3	Resumo
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Escalares e Vetores


Escalares têm um valor
Vetores têm um módulo e
uma orientação
Ambos têm unidades!
Soma de Vetores
Vetores Unitários
Podemos escrever vetores em termos de vetores unitários
Componentes de um Vetor
Dadas por
Relações inversas
Eq. (3-5)
Eq. (3-7)
Obedece às leis comutativa e associativa
Eq. (3-2)
Eq. (3-3)
Eq. (3-6)
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Soma por Componentes
Somando por componentes,
Escalar Vezes um Vetor


O produto é um vetor
O módulo é multiplicado pelo
escalar
O sentido é igual ou oposto
Produto Vetorial
Produz um vetor perpendicular
Produto Escalar
Produz um escalar
Eqs. (3-10) a (3-12)
Eq. (3-22)
Eq. (3-20)
A direção é dada pela regra
da mão direita
Eq. (3-24)
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