Apostila TP501 - Ynoguti, 2011

6 Limitantes Superiores para a Probabilidade de Cauda 125
6.1 Desigualdade de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Desigualdade de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 Limitante de Chernoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 A média amostral 132
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2 Valor esperado e variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.3 Média amostral de números grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4 Leis de Números Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4.1 Lei Fraca de Números Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4.2 Lei Forte de Números Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8 Processos Estocásticos 140
8.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.2 Tipos de procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3 Variáveis aleatórias a partir de processos estocásticos . . . . . . . . . . . 143
8.4 Sequências aleatórias independentes e identicamente distribuídas . . . . 145
8.5 Processo de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.6 Processo de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.7 Processo sinal telegráfico aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.8 Processo movimento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.9 Médias estatísticas de processos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.9.1 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.9.2 Função de autocovariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.10 Classificação dos processos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.10.1 Processos estocásticos estacionários e não estacionários . . . . . . 160
8.10.2 Processos estacionários no sentido amplo . . . . . . . . . . . . . . 161
8.10.3 Processos ergódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
SUMÁRIO v
9 Processamento de Sinais Aleatórios 173
9.1 Sistemas lineares e invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.2 Filtragem linear de um processo estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.3 Espectro densidade de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.4 Correlações cruzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.4.1 Função de correlação cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.4.2 Densidade espectral cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.4.3 Filtragem de processos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.5 Processos gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.6 Processo ruído branco gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10 Cadeias de Markov 199
10.1 Processos de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.2 Cadeias de Markov de Tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
10.2.1 Probabilidade de transição para n passos . . . . . . . . . . . . . . 203
10.2.2 Probabilidades dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.2.3 Probabilidades em regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.3 Cadeias de Markov em tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.3.1 Tempos de ocupação de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.3.2 Taxas de transição e probabilidades de estados dependentes de
tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.4 Probabilidades de Estados em Regime e Equações de Balanço Globais . 214
10.5 Classes de estados, propriedades de recorrência e probabilidades limite . 218
10.5.1 Classes de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.5.2 Propriedades de recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.5.3 Probabilidades limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.5.4 Probabilidades limite para as cadeias de Markov de tempo contínuo226
10.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
A Tabelas Matemáticas 234
A.1 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
A.2 Coeficientes Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
A.3 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
A.4 Integrais indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
A.5 Integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
B Tabelas de transformadas de Fourier 238
B.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
B.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
B.3 Pares de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
C Séries de Taylor 240
C.1 Série de Taylor para funções de uma variável . . . . . . . . . . . . . . . 240
C.2 Expansões mais utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
vi SUMÁRIO
D Variáveis aleatórias discretas 242
D.1 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
D.2 Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
D.3 Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
D.4 Binomial negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
D.5 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
E Variáveis aleatórias contínuas 244
E.1 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
E.2 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
E.3 Gaussiana (Normal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
E.4 Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
E.5 m-Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
E.6 Chi-Quadrado (χ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
E.7 Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
E.8 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
E.9 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
F Valores da distribuição normal 247
Bibliografia 250
Lista de Figuras
1.1 Espaço amostral para o arremesso de um dado. . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Representação do a) complemento, b) união, c) interseção de eventos, e
d) eventos disjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Demonstração da lei de De Morgan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Espaço amostral para a derivação da regra de Bayes. . . . . . . . . . . . 13
2.1 Uma v.a. associa um número x = X(ζ) a cada resultado ζ no espaço
amostral S de um experimento aleatório. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Eventos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 P [a < X ≤ b] = FX(b)− FX(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Exemplo de uma fdc de uma v.a. discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Gráfico da fdc de v.a. contínua X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Gráfico de F ′X(x). . . . . . . . . . . .