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Apostila TP501 - Ynoguti, 2011

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Um exemplo de v.a. mista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 A função densidade de probabilidade especifica a probabilidade de inter-
valos de largura infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 A probabilidade de um intervalo [a, b] é a área sob a fdp naquele intervalo. 34
2.10 Fdc’s condicional e incondicional de X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.11 a) Dependência entre X e Y, b) fX(x), e c) fY (y). . . . . . . . . . . . . 57
2.12 Uma transformação da v.a. X e um exemplo das fdp’s correspondentes
de X e Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.13 Função de uma v.a. com duas raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.14 Uma transformação quadrática da v.a. X. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.15 Função densidade de probabilidade de Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1 Função densidade de probabilidade gaussiana com média m e variância σ2. 73
3.2 Y = g(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1 Método da transformada para gerar uma variável aleatória com fdc FX(x). 92
4.2 Gerando uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli. . . . . . . 93
4.3 Gerando uma variável aleatória com distribuição Binomial. . . . . . . . . 94
4.4 Método da rejeição para gerar uma variável aleatória com fdp fX(x). . . 95
4.5 Método da rejeição para gerar uma variável aleatória com distribuição
gama (0 < α < 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1 Região de integração para a obtenção de FW (w). . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 Região de integração para a obtenção de FW (w). . . . . . . . . . . . . . 104
viii LISTA DE FIGURAS
5.3 O número de caras em 50 arremessos de uma moeda ideal: 400 repetições
experimentais versus a fmp binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.1 Região A (sombreada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 Um limitante superior exponencial usado para obter a probabilidade de
cauda (limitante de Chernoff). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1 Convergência de uma sequência de médias amostrais obtidas a partir
de uma sequência de v.a.’s com distribuição Gaussiana de média 4 e
variância 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.1 Um processo estocástico que representa a temperatura de uma cidade. . 141
8.2 Um conjunto com um número finito de funções amostra. . . . . . . . . . 141
8.3 Funções amostra de quatro tipos de processos estocásticos: X(t) é um
processo contínuo no tempo e na amplitude; X(n), obtido a partir da
amostragem deX(t) em instantes de tempo inteiros n,é discreto no tempo
e contínuo na amplitude; Y (t) é obtida a partir da quantizaçcão de X(t)
nos instantes de amostragem, e é um processo discreto na amplitude e
contínuo no tempo; finalmente, Y (n), um processo discreto no tempo e
na amplitude, é obtido a partir da amostragem de Y (t). . . . . . . . . . 143
8.4 Função amostra de um processo de contagem . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.5 Função amostra de um processo telegráfico aleatório . . . . . . . . . . . 152
8.6 Forma de onda do pulso p(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.7 Erro de deteção devido ao ruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.8 Processo estocástico comprimido no tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.9 Fdp dos processos x e y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.10 Funções de autocorrelação para os processos X(t) e Y (t). . . . . . . . . 158
8.11 Processo aleatório X(t) = A cos(ωct+ θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.12 Classificação dos processos estocásticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.1 Filtro passa faixa ideal H(f) com frequência central f0 e largura de banda
B Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.2 A correlação cruzada entre a entrada e a saída de um filtro linear inva-
riante no tempo é a convolução da resposta a impulso do filtro com a
função de autocorrelação da entrada. A densidade espectral cruzada en-
tre a entrada e a saída é o produto do espectro densidade de potência da
entrada com a função de transferência do filtro. A densidade espectral de
potência da saída é o produto da densidade espectral cruzada da entrada
e da saída e o complexo conjugado da função de transferência do filtro. . 188
10.1 Transições para o estado j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.2 Balanço global de fluxo de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.3 Diagrama de transição de estados para o sistema M/M/1. . . . . . . . . 216
10.4 Diagrama de taxa de transição para um processo de nascimento e morte
geral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10.5 Instantes de recorrência para o estado i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Capítulo 1
Probabilidade
1.1 Introdução.
Em muitos problemas físicos de interesse, existe um elemento de incerteza, ou aleato-
riedade. Independente de quanto possamos conhecer da história passada de um dado
fenômeno, somos essencialmente incapacitados de predizer seu comportamento futuro
de forma precisa. Ex. cara ou coroa.
Foi observado que nestes casos certas médias tendem a um valor constante à medida
em que o número de observações cresce. (No exemplo da cara e coroa, quais seriam
estas médias?) Desde que as médias geralmente exibem tal regularidade, e são portanto
razoavelmente previsíveis, parece ser desejável desenvolver um estudo sobre o cálculo
destas médias. Este é o domínio da teoria matemática da probabilidade e estatística.
O propósito desta é descrever e predizer tais médias em termos de probabilidades de
eventos.
Algumas definições importantes:
Definição 1.1. Experimento aleatório: um experimento é chamado aleatório se
seu resultado não pode ser predito precisamente porque as condições em que é realizado
não podem ser predeterminadas com precisão suficiente.
Exemplo: arremesso de dados ou moedas.
Definição 1.2. Resultados: são os resultados particulares da execução de um ex-
perimento.
Exemplo: cara, coroa.
2 Probabilidade
Definição 1.3. Eventos: são conjuntos de resultados que atendem a algumas espe-
cificações.
Exemplo: no caso de jogar dados, o evento “número ímpar em um arremesso” pode
resultar de qualquer um de 3 resultados 1,3,5. Desta forma este é um evento de 3
resultados. Portanto, eventos são agrupamentos de resultados em classes.
1.2 Teoria de Conjuntos.
Definição 1.4. Espaço amostral: o espaço amostral S é definido como uma coleção
de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Cada resultado é um
elemento ou amostra deste espaço e pode ser convenientemente representado por um
ponto no espaço amostral.
Exemplo 1.1. No caso do dado, o espaço amostral consiste de 6 elementos ζ1, ζ2, ζ3,
ζ4, ζ5, ζ6, onde os ζi representam o resultado “i pontos”. O evento, por outro lado, é
um subconjunto de S.
O evento “número ímpar em um arremesso”, denotado por Ao , é um subconjunto de
S (ou um conjunto com os elementos ζ1, ζ3 e ζ5). Similarmente, o evento “número par
em um arremesso”, denotado por Ae é outro subconjunto de S (ou um conjunto com os
elementos ζ2, ζ4 e ζ6). O evento “número menor ou igual a 4 em uma jogada”, denotado
por B é formado pelos elementos ζ1, ζ2, ζ3 e ζ4.
Na Figura 1.1 abaixo, tem-se uma representação gráfica destes eventos em um dia-
grama de Venn.
S
B
Ao
Ae
ζ1 ζ3 ζ5
ζ2 ζ4 ζ6
Figura 1.1: Espaço amostral para o arremesso de um dado.
Probabilidade 3
Definição 1.5. O complemento de um evento A, denotado por Ac, é o evento que
contém todos os pontos de S que não estão em A.
No exemplo acima, quais são os eventos complementares de Ao, Ae, e B ?.

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