Apostila TP501 - Ynoguti, 2011

cruzada
da entrada e da saída e o complexo conjugado da função de transferência do filtro.
9.5 Processos gaussianos
Um processo gaussiano tem a propriedade de que toda coleção de valores de amos-
tras é descrita pela fdp Gaussiana multidimensional. Isto é, uma coleção de amostras
X(t1),X(t2), . . . ,X(tk), tem uma fdp conjunta descrita por um vetor µX = [µX(t1),
µX(t2), . . . , µX(tk)]
t e uma matriz C cujo i, j-ésimo elemento
Ci,j = CX(ti, tj − ti) = RX(ti, tj − ti)− µX(ti)µX(tj)
é a covariância entre X(ti) e X(tj). Usando o vetor x = [x1, . . . , xk]t, o vetor de valores
médios µX , a matriz de covariância C e seu determinante |C|, podemos definir a fdp
Gaussiana multidimensional.
Processamento de Sinais Aleatórios 189
Definição 9.14. Processo Gaussiano: X(t) é um processo estocástico Gaussiano
se a fdp conjunta de X(t1), . . . ,X(tk) tem densidade Gaussiana multidimensional
fX(t1)···X(tk)(x1, . . . , xk) =
1
(2pi)k/2|C|1/2 e
− 1
2
(x−µX)
t
C
−1(x−µX)
Embora esta expressão possa parecer bastante complicada, pode ser reduzida para
expressões familiares em vários casos. Por exemplo, quando k = 1, a matriz C é
simplesmente o escalar CX(t1, 0) = Var(X(t1)) = σ21., o vetor µX é o escalar E[X(t1)] =
µ1 e a fdp conjunta pode ser simplificada para a densidade Gaussiana ordinária
fX(t1)(x1) =
1√
2piσ21
e
−
(x1−µ1)
2
2σ2
1
Similarmente, para k = 2, X(t1) e X(t2) apresentam distribuição Gaussiana bidi-
mensional
fX(t1)X(t2)(x1, x2) =
exp
[
−
(
x1−µ1
σ1
)2
−
2ρ(x1−µ1)(x2−µ2)
σ1σ2
+
(
x2−µ2
σ2
)2
2(1−ρ2)
]
2piσ1σ2
√
1− ρ2
onde X(t1) e X(t2) têm coeficiente de correlação ρ = CX(t1, t2 − t1)/(σ1σ2) e
E[X(t1)] = µ1 E[X(t2)] = µ2 Var[X(t1)] = σ
2
1 Var[X(t2)] = σ
2
2
Um último caso importante para a fdp Gaussiana conjunta ocorre quando X(t1), . . . ,
X(tk) são mutuamente independentes. Neste caso, o elemento (i, j) da matriz de cova-
riância C é dado por
Cij = CX(ti, tj − ti) =
{
Var[X(ti)] i = j
0 caso contrário
Isto é, a matriz C é uma matriz diagonal. Neste caso, C−1 é também diagonal, com
o i-ésimo elemento da diagonal dado por C−1ii = 1/Var[X(ti)]. Usando µi e σ
2
i para
denotar a média e a variância de X(ti), observamos que o vetor de valores médios é
µX = [µ1, . . . , µk]
t e que o expoente da distribuição Gaussiana conjunta é
−1
2
(x− µX)tC−1(x− µX) = −1
2
(
(x1 − µ1)2
σ21
+ · · ·+ (xk − µk)
2
σ2k
)
Neste caso, a fdp conjunta torna-se
fX(t1),··· ,X(tk)(x1, . . . , xk) =
e−(x1−µ1)
2/(2σ21)√
2piσ21
· · · e
−(xk−µk)
2/(2σ2
k
)√
2piσ2k
= fX(t1)(x1) · · · fX(tk)(xk)
190 Processamento de Sinais Aleatórios
Um fato importante a ser observado da distribuição Gaussiana multidimensional
geral é que a fdp é completamente especificada pelas médias µX(t1), . . . , µX(tk) e as
covariâncias CX(ti, tj−ti). Ou seja, um processo estocástico Gaussiano é completamente
especificado pelas estatísticas de primeira e segunda ordens (µX(t) e CX(t, τ)).
Nosso interesse principal está nos processos Gaussianos estacionários no sentido
amplo. Neste caso, E[X(ti)] = µX para cada ti e CX(ti, tj − ti) = RX(tj − ti) − µ2X .
Isto é, quando o processo Gaussiano é estacionário no sentido amplo, sua distribuição é
completamente especificada pela média µX e a função de autocorrelação RX(τ).
Teorema 9.14. Se X(t) é um processo Gaussiano estacionário no sentido amplo,
então X(t) é um processo Gaussiano estacionário no sentido estrito.
Demonstração. Sejam µ e C o vetor média e a matriz de covariância do vetor aleatório
[X(t1), . . . ,X(tk)]
t. Sejam µ′ e C′ as mesmas quantidades para o vetor aleatório deslo-
cado no tempo [X(t1 + T ), . . . ,X(tk + T )]t. Desde que X(t) é estacionário no sentido
amplo,
E[X(ti)] = E[X(ti + T )] = µX
O elemento (i, j) de C é
Cij = CX(ti, tj) = CX(tj − ti) = CX(tj + T − (ti + T )) = CX(ti + T, tj + T ) = C ′ij
Então, µ = µ′ e C = C′, o que implica em
fX(t1),··· ,X(tk)(x1, . . . , xk) = fX(t1+T ),··· ,X(tk+T )(x1, . . . , xk)
Portanto X(t) é um processo estacionário no sentido estrito.
A Definição 9.14 é bastante difícil de usar na prática. Uma definição equivalente de
um processo Gaussiano refere-se a uma v.a. que é um funcional linear de um processo
estocástico X(t). Especificamente, se integramos X(t) ponderada por uma função g(t)
sobre um intervalo (0, T ), obtemos a v.a.
Y =
∫ T
0
g(t)X(t) dt
Teorema 9.15. X(t) é um processo estocástico Gaussiano se Y =
∫ T
0
g(t)X(t) dt é
uma v.a. Gaussiana para todo g(t) tal que E[Y 2] <∞.
Este teorema nos permite mostrar facilmente que a filtragem linear de um processo
Gaussiano gera um outro processo Gaussiano.
Processamento de Sinais Aleatórios 191
Teorema 9.16. Passando um processo X(t) estacionário Gaussiano através de um
filtro linear h(t), gera-se na saída um processo estocástico Gaussiano Y (t) com média
e função de autocorrelação dados pelo Teorema 9.1.
Demonstração. A saída Y (t) é dada pela integral de convolução
Y (t) =
∫ ∞
−∞
h(t− τ)X(τ) dτ
Para mostrar que Y (t) é um processo Gaussiano, mostramos que um funcional linear
de Y (t) é sempre Gaussiano pois é um funcional linear de X(t), isto é,
∫ T
0
Y (t)g(t) dt =
∫ T
0
∫ ∞
−∞
h(t− τ)X(τ) dτ g(t) dt =
∫ ∞
−∞
X(τ)
[∫ T
0
h(t− τ)g(t) dt
]
dτ
No lado direito temos um funcional linear de X(t) o qual é uma v.a. Gaussiana.
Desta forma mostramos que um funcional linear de Y (t) é uma v.a. Gaussiana, o que
implica que Y (t) é um processo estocástico Gaussiano.
9.6 Processo ruído branco gaussiano
Em engenharia elétrica é comum o estudo de ruído: ruído térmico em resistores, ruído
em sistemas de comunicações, etc. O ruído é uma forma de onda imprevisível que é
normalmente modelado por um processo estocástico Gaussiano estacionário W (t). O
ruído não tem componente DC, de modo que
E[W (t1)] = µW = 0
Além disso, para enfatizar a natureza imprevisível do processo de ruído, assumimos
que para qualquer coleção de instantes de tempo distintos t1, . . . , tk, W (t1), . . . ,W (tk)
é um conjunto de v.a.’s independentes. Neste caso, o valor do ruído no instante t1
não diz nada sobre o valor do mesmo no instante tj, j 6= i. Uma consequência desta
independência é que para τ 6= 0,
RW (τ) = E[W (t)W (t+ τ)] = E[W (t)]E[W (t + τ)] = 0
Para completar nosso modelo de W (t), temos que encontrar RW (0). Para isto,
vamos considerar a função densidade espectral de potência SW (f) da Definição 9.7
SW (f) =
∫ ∞
−∞
RW (τ)e
−j2pifτdτ
Com RW (τ) = 0 para τ 6= 0, SW (f) é uma constante para todo f . Ainda, a
constante é igual a zero a menos que RW (τ) = δ(τ). Portanto, N0 é a potência por
unidade de largura de banda do processo estocástico Gaussiano branco. Embora o
processo ruído branco Gaussiano seja um modelo matemático bastante útil, ele não se
conforma com nenhum sinal real. Note que a potência média do ruído é
192 Processamento de Sinais Aleatórios
E[W 2(t)] = RW (0) =
∫ ∞
−∞
SW (f) df =
∫ ∞
−∞
N0
2
df =∞
Isto é, o ruído branco tem potência infinita, o que é fisicamente impossível. O
modelo é útil quando se imagina que é um modelo de ruído na entrada de um sistema
físico. Todo sinal de ruído Gaussiano observado na prática pode ser visto como um sinal
de ruído branco Gaussiano filtrado. Passando um processo ruído branco através de um
filtro h(t) geramos um processo de ruído
Y (t) =
∫ t
0
h(t− τ)W (τ) dτ
Ao contrário do processo branco W (t), o processo de ruído Y (t) tem potência média
finita.
Exemplo 9.6. Um processo Gaussiano branco com N0 = 10−15 W/Hz é inserido em
um filtro linear invariante no tempo com resposta a impulso
h(t) =
{
2pi106e−2pi10
6t t ≥ 0
0 caso contrário
Encontre as seguintes propriedades do processo de saída Y (t).
(a) A função densidade espectral de potência SY (f).