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Apostila TP501 - Ynoguti, 2011

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1/3
1/3
1/3
A1
21
31
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1/2
1/2
1/2
1/2
22 • A122 1/6
32 • A132 1/6
A2 • 21A2 1/6
32 • 2132 1/6
• 31 1/3
Você vence se A122, 21A2 ou 31 ocorrerem. Desta forma, a probabilidade de vencer
é dada por
P [W ] = P [A122] + P [21A2] + P [31] =
1
3
1
2
+
1
3
1
2
+
1
3
=
2
3
Exemplo 1.16. Suponha que você tem duas moedas, uma viciada e outra não, mas você
não sabe qual é qual. A moeda 1 é viciada (tem probabilidade 3/4 de dar cara). Suponha
que você pegue uma moeda de forma aleatéria e a arremesse. Seja Ci o evento “a moeda
i foi selecionada”. Vamos denotar por H (cara) e T (coroa) os possíveis resultados de
um arremesso. Dado que o resultado de um arremesso é uma cara, calcule P [C1|H],
a probabilidade de você ter selecionado a moeda viciada. Dado que o resultado é uma
coroa, calcule P [C1|T ], a probabilidade de ter selecionado a moeda viciada.
Probabilidade 19
Solução. Primeiro, contruímos a árvore que descreve o problema:
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..........1/2
1/2
C1
C2
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3/4
1/4
1/2
1/2
H • C1H 3/8
T • C1T 1/8
H • C2H 1/4
T • C2T 1/4
Para encontrar as probabilidades condicionais, temos:
P [C1|H] = P [C1H]
P [H]
=
P [C1H]
P [C1H] + P [C2H]
=
3/8
3/8 + 1/4
=
3
5
Similarmente,
P [C1|T ] = P [C1T ]
P [T ]
=
P [C1T ]
P [C1T ] + P [C2T ]
=
1/8
1/8 + 1/4
=
1
3
Como esperávamos, é mais provável termos selecionado a moeda 1 quando o primeiro
arremesso resultou em cara, e é mais provável termos selecionado a moeda 2 quando o
primeiro arremesso resultou em coroa.
1.9 Exercícios
1. Quatro moedas ideais são arremessadas simultaneamente.
(a) Quantos resultados são possíveis?
(b) Associe probabilidades adequadas para a obtenção de quatro coroas, uma
cara, duas caras, três caras e quatro caras neste experimento.
Resp:
(a) 16
(b) P [4 coroas] = 1/16
P [1 cara] = 1/4
P [2 caras] = 3/8
P [3 caras] = 1/4
P [4 caras] = 1/16
2. Três dados não viciados são jogados. Calcule as probabilidades dos eventos de se
obter uma soma de 8, 9 e 10 pontos.
Resp: P [8] = 21/216 P [9] = 25/216 P [10] = 27/216
Luciano
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Luciano
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Fim da Aula 2
20 Probabilidade
3. Uma certa cidade tem 8 faróis aleatoriamente localizados, quatro dos quais ficam
verdes por meio minuto na direção leste-oeste e meio minuto na direção norte-
sul, três permanecem verdes por 1/4 de minuto na direção leste-oeste e 3/4 de
minuto na direção norte-sul, e o último permanece verde 3/4 de minuto na direção
leste-oeste e 1/4 de minuto na direção norte-sul.
Assuma que todos os faróis são independentes, isto é, não existe nenhum tipo de
sincronização entre eles.
Um automóvel está viajando de forma aleatória através da cidade. Encontre a
probabilidade de o automóvel encontrar um sinal verde na direção leste-oeste.
Faça o mesmo para a direção norte-sul.
Qual é a probabilidade de um automóvel viajando aleatoriamente pela cidade
encontre um sinal verde?
Resp:
P [verde na direção L-O] = 7/16
P [verde na direção N-S] = 9/16
P [verde] = 1/2
4. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 brancas. Duas bolas são retiradas em
sucessão, a primeira bola sendo recolocada antes da retirada da segunda.
(a) Quantos resultados são possíveis?
(b) Associe probabilidades a cada um destes resultados.
Resp:
(a) 4
(b) P [1a.V, 2a.V] = 9/25
P [1a.V, 2a.B] = 6/25
P [1a.B, 2a.V] = 6/25
P [1a.B, 2a.B] = 4/25
5. Repita o problema anterior se a primeira bola não for recolocada antes da segunda
retirada.
(a) 4
(b) P [1a.V, 2a.V] = 3/10
P [1a.V,2a.B] = 3/10
P [1a.B, 2a.V] = 3/10
P [1a.B, 2a.B] = 1/10
6. No problema anterior, se sabemos que a primeira retirada foi de uma bola branca,
qual é a probabilidade de a segunda retirada ser também de uma bola branca ?
Resp: 1/4
Probabilidade 21
7. No problema 5), se sabemos que a segunda bola é vermelha, qual a probabilidade
de a primeira também ter sido vermelha? Qual a probabilidade da primeira bola
ter sido branca?
Resp: a) 1/2 b) 1/2
8. Uma urna contém 3 bolas vermelhas, 5 bolas brancas e 8 bolas pretas. Outra urna
contém 6 bolas vermelhas, 7 bolas brancas e 4 bolas pretas. Uma bola é retirada
de cada urna. Encontre a probabilidade de obter duas bolas da mesma cor.
Resp: 85/272
9. A caixa I contém 3 bolas vermelhas e 5 bolas brancas, e a caixa II, 4 vermelhas
e 2 brancas. Extrai-se ao acaso uma bola da primeira caixa e coloca-se na se-
gunda, sem observar a cor. Extrai-se então uma bola da segunda caixa. Qual a
probabilidade da mesma ser branca?
Resp: 21/56
10. Em certo colégio, 25 % dos estudantes foram reprovados em matemática, 15 %
em química e 10 % em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é
selecionado aleatoriamente.
a) Se ele foi reprovado em química, qual é a probabilidade de ele ter sido repro-
vado em matemática?
b) Se ele foi reprovado em matemática, qual é a probabilidade de ele ter sido
reprovado em química?
c) Qual é a probabilidade de ele ter sido reprovado em matemática ou química?
Resp: a) 2/3 b) 2/5 c) 0,30
11. A rede comutada mostrada na figura abaixo opera se e somente se existe pelo
menos um caminho fechado de comutadores entre a entrada e a saída. Assumindo
que os comutadores falhem de forma independente e que a probabilidade de falha
de cada comutador são aquelas dadas na figura, calcule a probabilidade de esta
rede funcionar.

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