Álgebra Comutativa - Lista de Exercícios

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ÁLGEBRA COMUTATIVA
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Seja x um elemento nilpotente de um anel A. Mostre que 1 + x ∈ U(A). Mostre que a
soma de um elemento nilpotente com um inverśıvel é um elemento inverśıvel.
2. Sejam A um anel e f = a0 + a1x+ . . .+ anx
n ∈ A[x]. Prove que:
a) f ∈ U(A[x]) se, e somente se, a0 ∈ U(A) e a1, . . . an ∈ N(A). (Dica: sendo b0 + b1x+
. . . + bmx
m o inverso de f , prove por indução em r que ar+1n bm−r = 0, e use o exerćıcio
anterior.)
b) f é nilpotente se, e somente se, a0, a1, . . . , an são nilpotentes.
c) f é um divisor de zero se, e somente se, existe a ∈ A − {0} tal que af = 0. (Dica:
escolha g = b0 + b1x + . . . + bmx
m não nulo de menor grau m tal que fg = 0. Então
anbm = 0 e dáı ang = 0. Mostre por indução que an−rg = 0.)
d) N(A[x]) = J(A[x]).
3. Sejam A um anel e f = a0 + a1x + . . . + anx
n ∈ A[x]. Dizemos que f é primitivo se
(a0, a1, . . . , an) = A. Sendo f , g ∈ A[x], prove que fg é primitivo se, e somente se, f e g
são primitivos.
4. Se A é um anel e P é um ideal primo de A, mostre que P [x] é um ideal primo de A[x].
Sendo m um ideal maximal de A, tem-se que m[x] é necessariamente um ideal maximal
de A[x]? Justifique.
5. Sejam A um anel e A[[x]] o anel das séries de potências formais f =
∑∞
n=0 anx
n com
coeficientes em A. Mostre que:
a) f ∈ U(A[[x]]) ⇐⇒ a0 ∈ U(A).
b) Se f é nilpotente, então an é nilpotente para todo n ≥ 0. A rećıproca é verdadeira?
Justifique.
c) f ∈ J(A[[x]]) ⇐⇒ a0 ∈ J(A).
d) A contração de um ideal maximal m de A[[x]] é um ideal maximal de A, e m é gerado
por mc e x.
e) Todo ideal primo de A é uma contração de um ideal primo de A[[x]].
6. Seja A um anel no qual todo ideal não contido no nilradical possui algum elemento
idempotente não nulo. Prove que N(A) = J(A).
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José Victor
Sticky Note
É óbvio que N(A) está em J(A). Suponha que não ocorre o contrário; então existe x em J não nulo tal que x²=x, i.e., x(x-1)=0.
Como x está em J, x-1 é inversível, logo x=0, contradição.
7. Seja A um anel no qual todo elemento x satisfaz xn = x para algum n > 1 (dependendo
de x). Mostre que todo ideal primo de A é maximal.
8. Sendo A um anel (não nulo), mostre que o conjunto dos ideais primos de A possui elemento
minimal com respeito à inclusão.
9. Sejam A um anel e I um ideal próprio de A. Mostre que I = r(I) se, e somente se, I é
uma interseção de ideais primos.
10. Sendo A um anel, mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
i) A possui exatamente um ideal primo;
ii) Cada elemento de A é inverśıvel ou nilpotente;
iii) A/N(A) é um corpo.
11. Suponha A um anel e J um ideal maximal de A tal que Jn = {0} para algum n ∈ N.
Mostre que A é um anel local.
12. Dizemos que A é um anel booleano se x2 = x para todo x ∈ A. Sendo A um anel booleano,
mostre que:
a) 2x = 0 para todo x ∈ A;
b) Todo ideal primo P de A é maximal, e A/P é um corpo de 2 elementos;
c) Todo ideal finitamente gerado de A é principal.
13. Dizemos que um ideal I de um anel A é idempotente se I2 = I. Sendo A um anel, mostre
que são equivalentes:
i) Todo ideal principal é idempotente.
ii) Todo ideal principal de A é gerado por algum elemento idempotente.
iii) Se I é um ideal finitamente gerado de A, então existe J ideal de A tal que I + J = A
e I ∩ J = {0}.
(Dica: para (ii) =⇒ (iii) observe que dados a, b ∈ A elementos idempotentes, então
(a, b) = (a+ b− ab) e que a+ b− ab é também idempotente.)
14. Sejam K um corpo, X um conjunto não vazio e F(X;K) o anel de todas as funções de
X em K, cujas operações são a soma e a multiplicação pontuais.
a) Quais são os elementos inverśıveis do anel F(X;K)?
b) Se existe algum ideal maximal m de F(X;K) tal que F(X;K)/m é um corpo algebri-
camente fechado, mostre que K é algebricamente fechado.
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José Victor
Sticky Note
i) <=> ii) Seja (a)=(a)²=(a²). Então, existe
x \in A tal que a=xa²; afirmamos que xa é idempotente, e (a)=(xa). Com efeito, 
(xa)²=x(xa²)=xa. Por outro lado, a=(xa)a, donde (a)=(xa).
José Victor
Sticky Note
se for gerado por 2 elementos (a,b), considere c=a+b+ab. Então ac=a, bc=b;
logo, (a,b)=(c). continue por indução.
José Victor
Sticky Note
Tente mostrar que I é gerado por um idempotente. Daí, se I=(e), então

(e)+(1-e)=A, e (e) \cap (1-e) = (e)(1-e)=(0)
José Victor
Sticky Note
Se I+J=A e I \cap J = (0), então

(I+J)I=AI => I² + IJ=I

Mas como I+J=A, I \cap J= IJ=(0), donde I²=I.
15. Mostre que os únicos elementos idempotentes num anel local são 0 e 1. Conclua que se
um anel A é local e satisfaz as condições do exerćıcio 13, então A é um corpo.
16. Seja A um anel semilocal no qual todo ideal primo é maximal. Mostre que todo elemento
não inverśıvel de A é um divisor de zero. (Dica: sejam m1, . . . , mn os ideais maximais de
A e x ∈ mi. Tome t ∈ (
∩
j ̸=imj)−mi e trabalhe com tx.)
17. Sejam A um anel e S um subconjunto multiplicativamente fechado de A, com 0 /∈ S.
Mostre que existe algum ideal primo P de A tal que P ∩ S = ∅. (Dica: mostre que o
conjunto {I ideal de A | I ∩S = ∅} possui elemento maximal (com respeito à inclusão).)
18. Sejam A um anel e Σ o conjunto de todos os ideais nos quais todo elemento é um divisor
de zero. Mostre que Σ possui algum elemento maximal (com respeito à inclusão) e que
todo elemento maximal de Σ é um ideal primo de A. Conclua que o conjunto dos divisores
de zero de A é uma união de ideais primos.
19. Sejam A1 e A2 anéis e considere o produto direto A = A1 × A2. Mostre que:
a) Todo ideal de A é da forma I × J , onde I é ideal de A1 e J é ideal de A2.
b) Todo ideal primo de A é da forma A1×P2 ou da forma P1×A2, onde Pi é ideal primo
de Ai, i = 1, 2.
c) U(A) = U(A1)× U(A2), N(A) = N(A1)×N(A2) e J(A) = J(A1)× J(A2).
20. Seja A um anel no qual todo ideal primo é maximal. Mostre que se Spec(A) é finito,
então é discreto. Conclua que o espectro primo de um anel finito é um espaço topológico
discreto.
21. Sendo A um anel, a, b ∈ A e P ∈ X = Spec(A), mostre que:
a) Xa ∩Xb = Xab;
b) Xa = ∅ ⇐⇒ a é nilpotente;
c) Xa = Spec(A) ⇐⇒ a é inverśıvel;
d) Xa = Xb ⇐⇒ r((a)) = r((b));
e) Xa é compacto;
f) Um subconjunto aberto de Spec(A) é compacto se, e somente se, é uma união de uma
quantidade finita de conjuntos do tipo Xa;
g) {P} é um subconjunto fechado de Spec(A) se, e somente se, P é ideal maximal de A;
h) {P} = V (P );
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i) Spec(A) é um espaço T0 (lembrando que um espaço topológico X é dito um espaço T0
se dados x, y ∈ X distintos, existe alguma vizinhança de algum deles que não contém o
outro).
22. Um espaço topológico X é dito irredut́ıvel se quaisquer dois subconjuntos abertos não
vazios de X têm interseção não vazia (equivalentemente, se todo subconjunto aberto não
vazio de X é denso em X). Mostre que Spec(A) é irredut́ıvel se, e somente se, N(A) é
um ideal primo de A.
23. Sendo X um espaço topológico, mostre que:
a) Se Y é um subespaço irredut́ıvel de X, então Y (o fecho de Y em X) é também um
subespaço irredut́ıvel de X.
b) Todo subespaço irredut́ıvel deX está contido em algum subespaço irredut́ıvel maximal.
c) Os subespaços irredut́ıveis maximais de X, chamados de componentes irredut́ıveis de
X, são fechados e X é a união deles deles.
24. Sendo A um anel, mostre que as componentes componentes irredut́ıveis de Spec(A) são
exatamente os conjuntos fechados da forma V (P ), com P ideal primo minimal de A.
25. Sejam A e B anéis e ϕ : A −→ B um homomorfismo. Considere X = Spec(A), Y =
Spec(B) e a aplicação
ϕ∗ : Spec(B) −→ Spec(A)
Q 7−→ ϕ∗(Q) = ϕ−1(Q)
.
Mostre que:
a) Se a ∈ A, então (ϕ∗)−1(Xa) = Yϕ(a) e portanto que f ∗ é uma aplicação cont́ınua.
b) Se I é um ideal de A, então (ϕ∗)−1(V (I)) = V (Ie).
c) Se J é um ideal de B, então ϕ∗(V (J)) = V (J c).
d) Se ϕ é sobrejetivo, então ϕ∗ é um homeomorfismo de Y no subconjunto fechado V (kerϕ)
de X (particularmente, Spec(A) e Spec(A/N(A)) são espaços homeomorfos).
e) Se ϕ é injetivo, entãoIm ϕ∗ é densa em Spec(A). Mais geralmente, Im ϕ∗ é densa em
Spec(A) se, e somente se, kerϕ ⊆ N(A).
f) Se ψ : B −→ C é um outro homomorfismo de anéis, então (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ∗.
26. Seja A um anel. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
i) X = Spec(A) é desconexo.
ii) A ≃ A1 × A2, onde A1 e A2 são anéis não nulos.
iii) Existe e ∈ A− {0, 1} idempotente.
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José Victor
Sticky Note
ii) -> iii) Óbvio.

iii) -> ii) Seja x o tal camarada. Então,
(x) e (x-1) são coprimos, e tem interseção nula. Logo, pelo TCR, A é isomorfo a A/(x) x A/(x-1).

iii) -> i) Basta notar que V(x) U V(x-1)= Spec(A). Como x não é 0 ou 1, 
V(x), V(x-1) não é vazio nem Spec(A).

i) -> iii) Ver argumento no Eisenbud.
27. Sejam A um anel booleano (anel de idempotentes) e X = Spec(A). Mostre que:
a) Para cada a ∈ A, o conjunto Xa é aberto e fechado em Spec(A).
b) Dados a1, . . . , an ∈ A, existe a ∈ A tal que Xa1 ∪ . . . ∪Xan = Xa.
c) Os conjuntos do tipo Xa são os únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fe-
chados de Spec(A). (Dica: um subconjunto fechado de um espaço compacto é também
compacto.)
d) Spec(A) é um espaço compacto de Hausdorff.
28. Seja X um espaço topológico compacto e considere o anel C(X) de todas as funções
cont́ınuas de X em IR (as operações são a soma e a multiplicação ponto a ponto). Mostre
que:
a) Se x0 ∈ X, então mx0 = {f ∈ C(X) | f(x0) = 0} é um ideal maximal de C(X).
b) Dado m ideal maximal de C(X), existe y ∈ X tal que m = my.
29. Sendo X um espaço compacto de Hausdorff, mostre que X e Max(C(X)) são espaços
homeomorfos, onde Max(C(X)) é o subespaço de Spec(C(X)) constitúıdo dos ideais
maximais de C(X). (Dica: use o Lema de Urysohn.)
30. Demonstre a Lei Modular de Dedekind: seM é um módulo e N , N1 e N2 são submódulos
de M tais que N1 ⊆ N2, então N1 + (N ∩N2) = (N1 +N) ∩N2.
31. Sejam A um anel e R um subanel de A tal que A é finitamente gerado como R-módulo.
Mostre que U(A)∩ J(R) = ∅. Conclua que sendo K um corpo e R um subanel de K tal
que K é finitamente gerado como R-módulo, então J(R) = {0}.
32. Sendo G1 e G2 grupos abelianos finitos de ordens relativamente primas, mostre que
G1 ⊗Z G2 = 0.
33. Sejam A um anel e M e N A-módulos. Considerando elementos m ∈M e n ∈ N , mostre
que m ⊗ n = 0 em M ⊗N se, e somente se, f(m,n) = 0 para toda aplicação A-bilinear
f : M × N −→ P (onde P é um A-módulo qualquer). Conclua que M ⊗ N = 0 se, e
somente se, toda aplicação A-bilinear f :M×N −→ P (onde P é um A-módulo qualquer)
é nula.
34. Sejam M1, M2, M3, M4 módulos sobre um anel A e f : M1 −→ M2 e g : M3 −→ M4
homomorfismos de A-módulos.
a) Mostre que a aplicação f ⊕ g :M1 ⊕M3 −→M2 ⊕M4 definida por (f ⊕ g)(m1,m3) =
(f(m1), g(m3)) é um homomorfismo de A-módulos.
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José Victor
Sticky Note
Nakayama: se x \in J(R), x diferente de 0, (x) como ideal de R está contido em J(R). Caso x seja invertível, (x)=R. Daí, (x)A=RA=A. De Nakayama, A=0, contradição.
José Victor
Sticky Note
a \in N1+(N \cap N2)
a=x+y, x \in N1 y \in N \cap N2
=> a \in (N1+N) e a \in N2

a \in (N1+N) \cap N2
a=x+y \in N2, x \in N1, y \in N
Como a \in N2, e y=a-x, então y \in N2.
Logo, a \in N1+(N \cap N2).
b) Mostre que f ⊕ g é injetora (resp. sobrejetora) se, e somente sem f e g são injetoras
(resp. sobrejetoras).
c) Mostre que existe um único homomorfismo de A-módulos T : M1 ⊗M3 −→ M2 ⊗M4
que satisfaz T (m1 ⊗ m3) = f(m1) ⊗ g(m3) para quaisquer m1 ∈ M1 e m3 ∈ M3. T é
normalmente denotado por f ⊗ g.
d) Mostre que se f e g são sobrejetoras, então f ⊗ g também é sobrejetora.
e) Dê exemplo de homomorfismos injetores de A-módulos f e g tais que f ⊗ g não é
injetor.
35. Sendo A um anel, mostre que:
a) Se I um ideal de A e M um A-módulo, então (A/I)⊗A M é isomorfo a M/IM .
b) Se M e N são A-módulos e N é livre de posto n, então M ⊗N ≃Mn.
c) Se M1, M2, M3, e M4 são A-módulos tais que M1 ≃M3 e M2 ≃M4, então M1 ⊗M2 ≃
M3 ⊗M4.
36. Seja X um conjunto não vazio e considere o A-módulo livre LX . Sendo M um A-módulo
qualquer, considere o A-módulo
F0(X;M) = {f : X −→M | f é quase nula},
cujas operações são a soma e o produto por escalar pontuais. Mostre que LX ⊗M ≃
F0(X;M).
37. Sejam A um anel eM um A-módulo. Considere o A-módulo S0(M) de todas as sequências
quase nulas de elementos de M (isto é, sequências com apenas uma quantidade finita de
termos não nulos), cujas operações são a soma e o produto por escalar termo a termo.
Considerando A[x] com sua estrutura natural de A-módulo, mostre que S0(M) é isomorfo
a A[x]⊗A M .
38. Sejam A um anel, I um ideal de A e M e N A-módulos. Mostre que se M ⊗A N = 0,
então (M/IM)⊗A/I (N/IN) = 0. (Dica: se f : (M/IM)×(N/IN) −→ P é A/I-bilinear,
então g :M ×N −→ P , definida por g(m,n) = f(m,n), é A-bilinear.)
39. Sejam A um anel local eM eN A-módulos finitamente gerados. Mostre que seM⊗N = 0,
então M = 0 ou N = 0.
40. Sejam A um anel e M um A-módulo. Dizemos que M é simples (ou irredut́ıvel) se {0} e
M são seus únicos submódulos. Mostre que:
a) M é simples se, e somente se, M = Am = {am | a ∈ A} para todo m ∈M − {0}.
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b) Se M é um A-módulo simples, então Ann(M) é um ideal maximal de A, e consequen-
temente J(A) ⊆ Ann(M). (Dica: use o ı́tem (a).)
c) SeM1 eM2 são A-módulos simples, entãoM1⊗M2 é A-módulo nulo ou simples. (Dica:
use o ı́tem (a).)
41. Sejam A um anel e I um ideal de A. Dizemos que I é um ideal minimal de A se I ̸= {0}
e se não existe nenhum ideal J de A tal que {0} ̸= J ( I.
a) Dê exemplos de um anel que possui ideal minimal e de um anel que não possui.
b) Mostre que se I é um ideal minimal de A e Q é um ideal qualquer de A, então
I ∩Q = {0} ou I ⊆ Q.
c) Mostre que se I é um ideal minimal de A, então J(R)I = {0}.
d) Suponha I1 e I2 ideais de A tais que A = I1 ⊕ I2. Mostre que I1 é um ideal minimal
se, e somente se, I2 é um ideal maximal.
42. Dizemos que um anel A é semi-simples se A coincide com a soma de todos os seus ideais
minimais. Supondo que A é um anel semi-simples, mostre que:
a) A é a soma de uma quantidade finita de ideais minimais de A. (Dica: trabalhe com a
unidade de A.)
b) Existem ideais minimais I1, I2, . . . , In de A tais que A = I1 ⊕ I2 ⊕ . . .⊕ In.
c) A ≃ K1 ×K2 × . . .×Kn, onde cada Ki é um corpo.
43. Seja M um módulo. Dizemos que um submódulo N de M é minimal se N ̸= {0} e se não
existe nenhum submódulo N1 deM tal que {0} ≠ N1 ( N . Dizemos queM é um módulo
semi-simples se M coincide com a soma de todos os seus submódulos minimais. Mostre
que se A é um anel semi-simples, então todo A-módulo (não nulo) é também semi-simples.
44. Seja 0 −→ M1 −→ M −→ M2 −→ 0 uma sequência exata de A-módulos. Se M1 e M2
são finitamente gerados, mostre que M também é finitamente gerado.
45. Sejam A um anel eM1,M2,M3, N1, N2 e N3 A-módulos. Suponha que o diagrama abaixo
(onde todas as aplicações são homomorfismos) é comutativo:
0 //M1
f //
φ1
��
M2
g //
φ2
��
M3 //
φ3
��
0
0 // N1
u // N2
v // N3 // 0
a) Supondo que φ1, φ2 e φ3 são isomorfismos, mostre que a linha de cima é uma sequência
exata se, e somente se, a linha de baixo é uma seqûência exata.
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José Victor
Sticky Note
Basta definir, com m \in M diferente de 0, f: A -> Am=M por f(a)=am.
Do teorema do isomorfismo, temos
A/Ann(m) \cong M, donde segue que Ann(m) é maximal. Mas Ann(m)=Ann(M).
José Victor
Sticky Note
Um corpo e Z.
José Victor
Sticky Note
Se I \cap Q \neq (0), então tome a \in I \cap Q. Daí, (a) \subset I, Q. Mas como I é minimal, (a)=I, donde I \subset Q.
José Victor
Sticky Note
Como J(R)I \subset I, então J(R)I=0, pois caso contrário J(R)I=I => I(1-J(R))=0 =>I=0.
José Victor
Sticky Note
Basta ver que 1=a1+a2+...+an, donde
a=a1a+a2a+...+ana.
José Victor
Sticky Note
A projeção de A em I_1 nos dá que A/I2 \cong I1. Assim, se I1 é minimal, é claro que I2 é maximal. 
Por outro lado, se I2 é maximal, A/I2 é corpo, donde só possui ideais (0) e A/I2, e então I1 é minimal.
José VictorSticky Note
Talvez tomar Ki=A/(I_1+...+I_(i-1)+I_(i+1)+...+In).
José Victor
Sticky Note
Sejam M1=(a_1,...,a_n) e M2=(b_1,...,b_m). Como a sequência é exata, seja x \in M; então v(x)= \sum c_ib_i. Daí, v(x)=v(\sum c_i*z_i), em que z_i=v^{-1}(b_i). Logo, x-\sum c_i*z_i \in ker(v)=im(u), donde... 
José Victor
Sticky Note
im(f) \cong im(u) e im(g) \cong im(v)
E o mesmo com os kernels
José Victor
Highlight
b) Mostre que se as duas linhas são exatas e φ1 e φ3 são sobrejetoras, então φ2 também
é sobrejetora.
c) Mostre que se as duas linhas são exatas e φ1 e φ3 são injetoras, então φ2 também é
injetora.
46. Considere a sequência exata 0 −→ M1
f−→ M g−→ M2 −→ 0 de A-módulos. Mostre que
as seguintes afirmações são equivalentes:
i) Im f é um somando direto de M (ou seja, a sequência cinde).
ii) Existe algum homomorfismo h2 :M2 −→M tal que g ◦ h2 = IdM2 .
iii) Existe algum homomorfismo h1 :M −→M1 tal que h1 ◦ f = IdM1 .
47. Sejam A um anel e I um ideal contido no radical de Jacobson de A. Sejam M e N
A-módulos, sendo N finitamente gerado, e u : M −→ N um homomorfismo. Mostre que
se o homomorfismo induzido M/IM −→ N/IN é sobrejetivo, então u é sobrejetivo.
48. Sejam A um anel,M um A-módulo finitamente gerado e ϕ :M −→ An um homomorfismo
sobrejetivo. Mostre que kerϕ é finitamente gerado. (Dica: tome u1, . . .un ∈ M tais que
ϕ(u1), . . . , ϕ(un) constituem uma base de A
n. Mostre que M é a soma direta de kerϕ
com o submódulo gerado por u1, . . . , un.)
49. Sejam A um anel e L um A-módulo. Mostre que são as seguintes afirmações são equiva-
lentes:
i) L é um A-módulo livre.
ii) Existe B subconjunto gerador de L tal que toda aplicação f : B −→M , onde M é um
A-módulo qualquer, se estende a um único homomorfismo F : L −→M .
50. Sejam f : A −→ B um homomorfismo de anéis e N um B-módulo. Considerando B
naturalmente como um A-módulo (através de f), tomemos NB = B ⊗A N . Mostre que
o homomorfismo g : N −→ NB, definido por g(y) = 1 ⊗ y, é injetivo e que g(N) é um
somando direto de NB. (Dica: defina p : NB −→ N por p(b ⊗ y) = by, e mostre que
NB = Im g ⊕ ker p.)
51. Seja A um anel. Dizemos que um A-módulo P é projetivo se para quaisquer A-móduloM ,
N submódulo de M e f : P −→ M/N A-homomorfismo, existe algum A-homomorfismo
g : P −→ M tal que f(x) = g(x) para todo x ∈ P . Sendo P um A-módulo, mostre que
são equivalentes:
i) P é projetivo.
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José Victor
Sticky Note
Tome a \in N2; seja v(a)=b. Então, existe c em M3 tal que phi_3(c)=b; da mesma forma, existe d em M2 tal que g(d)=c.
Assim,
phi_3(g(d))=b=v(phi_2(d))=v(a)
Então,
phi_2(d)-a \in ker(v)=im(u)
Logo, phi_2(d)-a=u(e), para e em N1. Mas deve existir um t em M1 tal que phi_1(t)=e. Logo,
phi_2(d)-a=u(phi_1(t))=phi_2(f(t))
Então, a=phi_2(d-f(t)).
José Victor
Sticky Note
Suponha phi_2(a)=phi_2(b). Então,
phi_3(g(a))=v(phi_2(a))=v(phi_2(b))=phi_3(g(b)).
Assim, g(a)=g(b), e a-b \in ker(g)=im(f).
Logo, existe c em M1 tal que f(c)=a-b; note que phi_2(f(c))=0=u(phi_1(c)). Logo, c=0, e a-b=f(0)=0, e a=b. 
José Victor
Sticky Note
=>Suponha que M=Im(f) + N = ker(g)+N.
Defina h2: M2 -> M por h2(m2)=b,
em que m2=g(a+b), com a \in Im(f)=ker(g) e b \in N.
<=
Defina N=h2(M2). Vamos mostrar que M= Im(f)+N= ker(g)+h2(M2). É óbvio que trata-se de uma soma direta, e temos g(M-ker(g)-h2(M2))=0. Logo, 
M-ker(g)-h2(M2) \subset ker(g), e M \subset ker(g)+h2(M2).

José Victor
Sticky Note
Análogo (i <=> iii).
José Victor
Sticky Note
É óbvio que g é injetivo: se 1(x)y = 0, então phi(1,y)=0, para toda phi A-bilinear. Tome a p definida em seguida, e temos p(1,y)=y=0.
Note que p(x)=y=p(1(x)y), com x \in Nb e y \in N. Logo, x- 1(x)y \in kerp.
José Victor
Sticky Note
i) -> ii) Temos L/ker(phi) \cong P. Logo, tomemos f:P -> L/ker(phi) como o isomorfismo canônico; então, existe g:P -> L tal que f(x)=g(x)+ker(phi).
Afirmamos que L= ker(phi)+Im(g) (soma direta); de fato, se vê por construção.
ii) Dados L um A-módulo e φ : L −→ P um homomorfismo sobrejetivo, kerφ é um
somando direto de L.
iii) Dados h1 : M1 −→ M2 e h2 : P −→ M2 homomorfismos de A-módulos, sendo h1
sobrejetivo, existe algum homomorfismo h : P −→M1 tal que h2 = h1 ◦ h.
(Dica: para (ii) =⇒ (iii) considere um homomorfismo sobrejetivo φ : L −→ P , onde L é
um A-módulo livre.)
52. Sendo A um anel, mostre que todo A-módulo livre é projetivo e dê exemplo de um módulo
que não é projetivo.
53. Seja A um anel. Dizemos que um A-módulo Q é injetivo se para quaisquer A-módulo
M e N submódulo de M , todo A-homomorfismo f : N −→ Q se estende a um A-
homomorfismo f1 :M −→ Q. Sendo Q um A-módulo, mostre que são equivalentes:
i) Q é injetivo.
ii) Dados h1 : M1 −→ M2 e h2 : M1 −→ Q homomorfismos de A-módulos, sendo h1
injetivo, existe algum homomorfismo h :M2 −→ Q tal que h2 = h ◦ h1.
54. Seja Q o grupo aditivo dos racionais. Considere G um grupo abeliano (Z-módulo), H um
subgrupo (próprio) de G e f : H −→ Q um homomorfismo de grupos (ou de Z-módulos).
a) Dado g ∈ G −H, considere o ideal I = {k ∈ Z | kg ∈ H}. Sendo n ∈ Z, com n ≥ 0,
tal que I = nZ, fixe q ∈ Q tal f(ng) = nq e defina
F : H + Zg −→ Q
h+ kg 7−→ F (h+ kg) = f(h) + kq
.
Mostre que esta aplicação é bem definida e que é um homomorfismo de Z-módulos esten-
dendo f .
b) Considere o conjunto Σ de todos os pares ordenados (K,u), onde K é um submódulo
de Q contendo H e u : K −→ Q é um homomorfismo estendendo f . Considerando a
relação “ 4 ” em Σ definida por
(K1, u) 4 (K2, v) se K1 ⊆ K2 e u = v|K1 ,
mostre que esta é uma relação de ordem e que o conjunto ordenado (Σ,4) possui elemento
maximal. (Dica: use o Lema de Zorn.)
c) Mostre que se (K, f1) é um elemento maximal de (Σ,4), então K = Q e conclua que
Q é um Z-módulo injetivo. (Dica: use o ı́tem (a).)
9
José Victor
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iii) -> i) Basta tomar h1 como o homomorfismo canônico.
José Victor
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i) -> ii) Como h1 é injetivo, M1 é isomorfo a um submódulo M'1 de M2.
Definimos então f:M'1 -> Q por 
f(m)=h2(n), em que m=h1(n). (Está bem definida, pois M'1=h1(M1) e h1 é injetivo).
Então, podemos tomar h:M2 -> Q que estende f. Daí,
h(h1(m_1))=f(h1(m_1))=h2(m_1).
José Victor
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ii) -> i) Basta tomar h1 como a inclusão de N em M.
José Victor
Sticky Note
Se h1+k1g=h2+k2g, então 
h1-h2=k2g-k1g=(k2-k1)g.

Então, k2-k1 \in I. Logo, (k2-k1)=nk, para algum k inteiro.

Logo, f(h1)-f(h2)=f(h1-h2)=f((k2-k1)g)=f(nkg)=kf(ng)=knq=(k2-k1)q. Assim, F está bem definida.

Se kg=0, então em particular k \in I. Isso significa que existe k' \in Z tal que 
k=nk'. Daí 0=f(0)=f(kg)=f(nk'g)=k'nq=kq, e F(h)=f(h).
José Victor
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Demonstração do critério de Baer, que aqui é dado como definição para módulo injetivo (??).
José Victor
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Segue do item A e do critério de Baer.
José Victor
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Não seria G?
José Victor
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Q é injetivo (no sentido do item ii do exercício 53)
<=> f':I->Q estende a uma f:A->Q, em que I é ideal de A (critério de Baer).
e também:
<=> a "definição" do exercício 53 vale 
José Victor
Sticky Note
Seja h1:M->N e h2: L ->N homomorfismos de A-módulos, com h1 sobrejetivo e L módulo livre. Definamos
h:L -> M por h(x_i)=m_i, em que
h2(x_i)=n_i=h1(m_i). Pelo item iii) do exercício anterior, segue.
José Victor
Sticky Note
ii)->iii) Vamos definir h:P -> M1 por h(p)=m_1, tal que h_2(p)=m_2=h_1(m_1).
É claro que h cumpre a igualdade. Mas está bem definida?
José Victor
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55. Sejam A um anel e M um A-módulo. Dizemos que um elemento m ∈ M é de torção se
existe a ∈ A, não nulo, tal que am = 0. Considere
T (M) = {m ∈M | m é elemento de torção}.
Dizemos que M é um módulo de torção se M = T (M).
a) Mostre que se A é um domı́nio de integridade, então T (M) é um submódulo deM . Esta
afirmação continua válida sem a hipótese de A ser domı́nio de integridade? Justifique.
b) Mostre que se A é um domı́nio de integridade, K é o corpo de frações de A e M é um
A-módulo de torção, então K ⊗A M = 0.
56. Sejam A um domı́nio de integridadee M e N A-módulos. Se M ou N é um módulo de
torção, mostre que M ⊗N é um módulo de torção.
57. Sejam A um anel, M um A-módulo e L o submódulo de M ⊗M gerado pelo conjunto
{m1 ⊗m2 −m2 ⊗m1 | m1,m2 ∈M}. Mostre que:
a) Se P é um A-módulo e φ : M × M −→ P é uma aplicação bilinear e simétrica,
então existe uma única aplicação A-linear φ : (M ⊗M)/L −→ P tal que φ(m1 ⊗m2) =
φ(m1,m2) para quaisquer m1, m2 ∈M .
b) Se {m1, . . . ,mn} é um conjunto gerador deM , então (M⊗M)/L é gerado pelo conjunto
{mi ⊗mj | 1 ≤ i ≤ j ≤ n}.
c) Se M = An, então (M ⊗M)/L é um A-módulo livre de posto n(n+ 1)/2.
58. Sejam A um anel e M e N A-módulos. Mostre que:
a) Se M e N são planos, então M ⊗N é plano.
b) M ⊕ N é plano se, e somente se, M e N são planos. (Dica: use o exercicio 34, ı́tem
(b).)
59. Mostre que:
a) Todo módulo livre é plano. (Dica: use o isomorfismo do exerćıcio 36 e monte um
diagrama comutativo de A-módulos e A-homomorfismos.)
b) Todo módulo projetivo é plano. (Dica: use o exerćıcio 51, ı́tem (ii), e o exerćıcio
anterior, ı́tem (b).)
60. Dizemos que um anel A é absolutamente plano se todo A-módulo é plano. Mostre que:
a) Todo corpo é um anel absolutamente plano.
b) Se um anel A é absolutamente plano, então todo ideal principal de A é idempotente.
(Dica: sendo I um ideal principal de A, use a inclusão ι : I −→ A para mostrar que
I ⊗A (A/I) = 0. Observe agora o exerćıcio 35, ı́tem (a).)
10
José Victor
Sticky Note
Se m1, m2 são de torção, existem a1, a2 não nulos tais que a1m1=a2m2=0. Mas então a1a2(m1+m2)=a1a2m1+a1a2m2=0, e como a1 e a2 são não-nulos, a1a2 também é. A multiplicação por escalar é igual.
José Victor
Sticky Note
Veja que a1/a2 x m = a1a/a2a x m = a1/a2a x am = a1/a2a x 0 = 0. Logo, segue o resultado.
José Victor
Sticky Note
Suponha M um módulo de torção. Então, dados m \in M, n \in N, existe a \in A tal que am=0. Logo, 
a(m x n) = am x n = 0 x n = 0. Assim, os tensores puros são de torção. Como M x N é um A-módulo, e A é domínio, MxN é de torção.
José Victor
Sticky Note
O conjunto do item b tem n+(n-1)+...+1=n(n+1)/2 geradores. Basta mostrar que é L.I. nesse caso. De fato, seja bij=mixmj.
José Victor
Sticky Note
Basta ver que m_i x m_j com j<i já está nas classes consideradas.
José Victor
Sticky Note
Tome a-barra \in (MXM)/L; levamos ele primeiro em a em MXM. Para esse mesmo A-módulo P, existe uma única phi': MXM ->P induzida, i.e., tal que phi'(m1Xm2)=phi(m1,m2). Levamos então a em phi'(a). A unicidade vem do fato de phi ser simétrica, pois daí phi'(a)=phi'(b), se a-b \in L.
José Victor
Sticky Note
A sequência 0->I ->A é exata. Daí, A/I é A-módulo plano, e então
0-> I/I² -> A/I é exata. O núcleo da segunda seta é I/I², donde I/I² = 0.
José Victor
Sticky Note
Espaço vetorial é livre, portanto plano.
José Victor
Sticky Note
Produto tensorial é "associativo".
José Victor
Sticky Note
Talvez mostrar que todo módulo projetivo é sumando de um módulo livre.
61. Sejam A um anel e S ⊆ A um SMF. Considerando o homomorfismo canônico
f : A −→ S−1A
a 7−→ f(a) = a
1
,
mostre que f é um isomorfismo se, e somente se, S ⊆ U(A).
62. Sendo A um anel e S ⊆ A um SMF, mostre que são equivalentes:
i) S−1A é um corpo.
ii) Se x ∈ A é tal que (x) ∩ S = ∅, então existe s ∈ S satisfazendo sx = 0.
63. Sejam A um domı́nio de integridade, K é o corpo de frações de A e M é um A-módulo.
Mostre que M/T (M) é isomorfo a um submódulo de S−1M , onde S = A− {0}.
64. Sejam A um anel,M um A-módulo e S ⊆ A um subconjunto multiplicativamente fechado.
a) Supondo que M é finitamente gerado, mostre que: S−1M = 0 ⇐⇒ Ann(M) ∩ S ̸= ∅.
b) Dê um exemplo mostrando que uma das implicações no ı́tem (a) não vale sem a hipótese
de M ser finitamente gerado.
65. Supondo I um ideal próprio de um anel A e S = 1+ I = {1 + x | x ∈ I}, mostre que S é
multiplicativamente fechado e que S−1I ⊆ J(S−1A).
66. Dado k ∈ N, dê exemplo de um domı́nio de integridade com exatamente k ideais primos.
67. Sejam A um anel, M um A-módulo finitamente gerado e S ⊆ A um subconjunto multi-
plicativamente fechado.
a) Mostre que S−1M é finitamente gerado como S−1A-módulo.
b) Supondo I um ideal próprio de A, S = 1 + I = {1 + x | x ∈ I} e M = IM , mostre
que Ann(M) ∩ S ̸= ∅ e conclua que A = I + Ann(M). (Dica: use o ı́tem (a) e o Lema
de Nakayama.)
68. Seja A um anel e suponha que para cada ideal primo P de A tem-se N(AP ) = {0}.
Mostre que N(A) = {0}. Se AP é um domı́nio de integridade para todo ideal primo P de
AP , o anel A é necesariamente um domı́nio de integridade? Justifique.
69. Seja A um anel. Para P ideal primo de A, denote por SP o conjunto A − P . Sendo I e
J ideais de A, mostre que são equivalentes:
i) I = J .
ii) S−1P I = S
−1
P J para todo ideal primo P de A.
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José Victor
Sticky Note
Se t é tal que st=1, 
a/s =at/st = at/1 = f(at).
Caso a/1 = 0, existe t em S tal que ta=0, donde a=0.
José Victor
Sticky Note
S¹A é um corpo <=> x/s não for invertível, então x/s = 0 <=> se não existe t \in S tal que xt \in S, então existe t \in S tal que tx=0.
José Victor
Sticky Note
m/1 = 0/1 <=> existe t não nulo tal que tm=0 <=> m \in T(M). 
Isso mostra que o núcleo do hom. de localização é T(M), o que nos dá o resultado.
José Victor
Sticky Note
Seja M=(m_1,...,m_n).
S¹M=0 => m_i/s = 0/1 => para cada i \in M existe t_i \in S tal que t_im=0 => t=t_1...t_n é tal que t \in Ann(M) \cap S.
Se t \in Ann(M) \cap S => m/s = tm/ts = 0/ts = 0/1 => S¹M=0.
José Victor
Sticky Note
Tome M=Q/Z um Z-módulo, e S=Z\{0}.
Daí, S¹M=0, mas Ann(M)={0}, donde Ann(M) \cap S = vazio.
José Victor
Sticky Note
Óbvio que é MF. Agora, se a \in I e s \in S, temos que para qualquer b \in A e t \in S:
1-(a/s)(b/t) =1-ab/st = st-ab/st = 
[(1+x)(1+y)-ab]/st = [1+(z-ab)]/st.
Logo, S¹I \subset J(S¹A).
José Victor
Sticky Note
Z/nZ = Z_n, com n possuindo exatamente k fatores primos. Note que os ideais primos de Z_n são da forma pZ/nZ, com p|n.
José Victor
Highlight
José Victor
Sticky Note
Tome t \in Ann(M) \cap S, com t=1+x. Então, pra qualquer m, 0=(1+x)m=m+xm, i.e., m=(-x)m. Assim, a=ax+(a-ax), pois
(a-ax)m = am +a(-x)m=am-am=0, e a-ax \in Ann(M).
 
José Victor
Sticky Note
Por hipótese, N(A_p) = {0}. Suponha que N(A) não é zero, e tome x \in N(A) não-nulo. Considere o ideal próprio I={a \in A : ax =0}, contido num ideal maximal m. Então, x/1 é nilpotente em A_m, donde x/1 = 0/1, e então existe t \in A\m tal que tx=0. Contradição.
iii) S−1m I = S
−1
m J para todo ideal maximal m de A.
(Dica: para iii) =⇒ i) suponha x ∈ I − J e tome m ideal maximal de A contendo (J : x)
para chegar a uma contradição.)
70. Seja A um anel.
a) Mostre que as afirmações (i) e (ii) abaixo são equivalentes:
i) I1 + (I2 ∩ I3) = (I1 + I2) ∩ (I1 + I3) para quaisquer ideais I1, I2 e I3 de A.
ii) I1 ∩ (I2 + I3) = (I1 ∩ I2) + (I1 ∩ I3) para quaisquer ideais I1, I2 e I3 de A.
b) Mostre que se o conjunto dos ideais de Am é totalmente ordenado (pela inclusão) para
todo ideal maximal m de A, então vale (i) (e consequentemente (ii)). (Dica: mostre (i)
primeiramente para Am e use o exerćıcio anterior.)
71. Sejam A um anel (não nulo) e Σ o conjunto de todos os subconjuntos multiplicativamente
fechados de A que não contêm 0. Mostre que Σ possui elemento maximal (com respeito
à inclusão), e que S é maximal em Σ se, e somente se, A− S é um ideal primo minimal
de A.
72. Um subconjunto multiplicativamente fechado de um anel A é dito saturado se vale:
xy ∈ S ⇐⇒ x ∈ S e y ∈ S.
a) Prove que S é saturado se, e somente se, A− S é uma união de ideais primos.
b) Prove que se S é um subconjunto multiplicativamente fechado de A, então existe o
menor subconjunto multiplicativamente fechado e saturado de A contendo S, o qual é
denotado por S e é chamado de saturação de S, e S é o complementar em A da união de
todos os ideais primos de A que não intersectam S.
c) Se I é um ideal de A e S = 1 + I, encontre S.
73. Sejam A um anel e S e T subconjuntos multiplicativamente fechados deA tais que S ⊆ T .
Considere a aplicação
ϕ : S−1A −→ T−1A
a/s 7−→ ϕ(a/s) = a/s
.
Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
i) ϕ é bijetora.
ii) Para cada t ∈ T , t/1 é inverśıvel em S−1A.
iii) Para cada t ∈ T existe x ∈ A tal que xt ∈ S.
iv) T está contido na saturação de S.
v) Todo ideal primo de A que intersecta T também intersecta S.
12
José Victor
Sticky Note
A-S=união dos P primos tais que P \cap S= vazio.

Tome a \in A-S, e considere a/1 em S¹A. Vamos mostrar que a/1 não é invertível. De fato, se fosse, existiria b/s tal ab/s = 1/1, i.e., existiria t \in S 
tal que abt=st. Daí, abt \in S =>a \in S. Contradição. Então, existe ideal maximal m de S¹A contendo a/1, isto é, existe ideal maximal m de A disjunto de S contendo a, como queríamos. 
José Victor
Sticky Note
S-bar = A \ união dos primos P disjuntos de S.
Pelo item a, é saturado. Se T é saturado, e contém S, A \ T = união dos primos P disjuntos de T \subset união dos primos P disjuntos de S= A\ S-bar. Tomando o complementar, segue.
José Victor
Sticky Note
note que 1+I \cap P = vazio <=> p+I \neq (1) <=> existe maximal m t.q. I \subset p+I \subset m. Logo...
 
74. Sejam S um subconjunto multiplicativamente fechado de um domı́nio de integridade A e
M um A-módulo. Mostre que T (S−1M) = S−1T (M). Mostre também que as seguintes
afirmações são equivalentes:
i) M é livre de torção.
ii) MP é livre de torção para todo ideal primo P de A.
iii) Mm é livre de torção para todo ideal maximal m de A.
75. SejamM um A-módulo e I um ideal de A. Suponha queMm = 0 para todo ideal maximal
m de A que contém I. Prove que M = IM . (Dica: considere o A/I-módulo M/IM .)
76. Sejam A um anel e I um ideal de A. Mostre que:
a) Se I é decompońıvel e I = r(I), então I não possui ideais primos imersos.
b) Se existe um único ideal primo de A que contém I, então I é um ideal primário.
77. Mostre que se todo ideal principal de um anel A é idempotente, então todo ideal primário
de A é maximal.
78. Sejam A um anel e I um ideal decompońıvel de A. Mostre que se P é um ideal primo
associado minimal de I e S = A− P , então S−1I é um ideal primário de S−1A.
79. Sejam A um anel tal que J(A) é um ideal decompońıvel. Mostre que A é semilocal ou
existe algum ideal primo de A contido em infinitos ideais maximais de A.
80. Considere o ideal m = (2, x) do anel Z[x]. Mostre que m é maximal, Q = (4, x) é
m-primário, mas Q não é uma potência de m.
81. Seja A um anel que satisfaz as condições (i) e (ii) do ı́tem (a) do exerćıcio 70.
a) Mostre que dados a, b ∈ A, existe c ∈ A tal que cb ∈ (a) e (1 − c)a ∈ (b). (Dica:
observe que a ∈ (a) ∩ ((b) + (a− b)).)
b) Mostre que se A é local, então o seu conjunto de ideais é totalmente ordenado (pela
inclusão). (Dica: use o ı́tem (a) e faça por contradição.)
c) Conclua que o conjunto dos ideais de AP é totalmente ordenado (pela inclusão) para
todo ideal primo P de A.
d) Dizemos que I de A é um ideal irredut́ıvel se para J1 e J2 ideais de A com J1 ∩ J2 = I
tem-se I = J1 ou I = J2. Mostre que todo ideal primário de A é irredut́ıvel. (Dica: use
o ı́tem (c) e lembre que o radical de um ideal primário é primo.)
82. SejaX um espaço compacto de Hausdorff infinito e considere o anel C(X) (veja o exerćıcio
28). O ideal nulo de C(X) é decompońıvel? Justifique.
13
83. Sendo K um corpo, considere o anel de polinômios K[x, y, z] e os ideais P1 = (x, y),
P2 = (x, z) e m = (x, y, z). Sendo I = P1P2, mostre que I = P1 ∩ P2 ∩ m2 é uma
decomposição primária minimal de I. Quais componentes são isoladas e quais são imersas?
84. Sejam A um anel e P um ideal primo de A. Mostre que:
a) Se Q é um ideal P -primário de A, então Q[x] é um ideal P [x]-primário de A[x].
b) Se I =
∩n
i=1Qi é uma decomposição primária minimal de I em A, então I[x] =∩n
i=1Qi[x] é uma decomposição primária minimal de I[x] em A[x].
c) Se P é um ideal primo minimal de A, então P [x] é um ideal primo minimal de A[x].
85. Seja K um corpo. Mostre que no anel de polinômios K[x1, . . . , xn] os ideais Pi =
(x1, . . . , xi), para 1 ≤ i ≤ n, são primos e todas as suas potências são ideais primários.
86. Sejam A um anel, m1, m2, . . . , mk ideais maximais dois a dois distintos e n1, n2, . . . , nl
também ideais maximais dois a dois distintos de A. Supondo
mn11 ∩mn22 ∩ . . . ∩m
nk
k = n
m1
1 ∩ nm22 ∩ . . . ∩ n
ml
l
mostre que k = l, mi = ni e m
ni
i = n
mi
i para todo i = 1, 2, . . . , k (reordenando, se
necessário).
87. Sejam A um anel e S um subconjunto multiplicativamente fechado de A. Sendo I um
ideal de S, denotamos por S(I) a contração de S−1I em A, a qual é chamada de saturação
de I com respeito a S. Prove que:
a) Se I e J ideais de A, então S(I) ∩ S(J) = S(I ∩ J);
b) S(r(I)) = r(S(I));
c) S(I) = A se, e somente se, S ∩ I ̸= ∅;
d) Se S1 e S2 são subconjuntos multiplicativamente fechados de A, então S1(S2(I)) =
(S1S2)(I).
Se I é decompońıvel, prove que o conjunto {S(I) | S é subconjunto multiplicativamente
fecahdo de A} é finito.
88. Sejam A um anel e P um ideal primo de A. Definimos a n-ésima potência simbólica de
P como sendo o ideal
P (n) = SP (P
n)
de A, onde SP = A− P . Mostre que:
a) P (n) é um ideal P -primário;
14
b) Se P n é decompońıvel, então P (n) é sua componente P -primária;
c) Se P (m)P (n) é decompońıvel, então P (m+n) é sua componente P -primária;
d) P (n) = P n ⇐⇒ P n é P -primário.
89. Seja I um ideal decompońıvel no anel A e seja P um elemento maximal no conjunto de
ideais {(I : x) | x ∈ A− I}. Mostre que P é um ideal primo associado a I.
90. Se A é um anel no qual todo ideal próprio é decompońıvel, mostre que o mesmo acontece
com S−1A para todo subconjunto multiplicativamente fechado S de A.
91. Dizemos que um submódulo N de um A-módulo M é primário se N ̸= M e se para
a ∈ A e m ∈ M tais que am ∈ N tem-se m ∈ N ou a ∈ r(N : M) (lembrando que
(N :M) = {x ∈ A | xM ⊆ N}).
a) Mostre que se N é um submódulo primário de M , então (N :M) é um ideal primário
de A (observe que neste caso P = r(N :M) é um ideal primo de A, e assim dizemos que
N é um submódulo P -primário de M).
b) Dê um exemplo mostrando que a rećıproca do ı́tem (a) não vale. (Dica: tome A = Z
e M = Q.)
c) Mostre que se Q é um submódulo de M tal que r(Q : M) é um ideal maximal de A,
então Q é um submódulo primário de M .
d) Mostre que se N1, . . . , Nk são submódulos P -primários deM , então N = N1∩ . . .∩Nk
é também um submódulo P -primário de M .
92. Sejam B um anel e A um subanel de B.
a) Mostre que se B é inteiro sobre A, então todo elemento de A que é inverśıvel em
B é também inverśıvel em A. A afirmação vale sem a hipótese de dependência inteira?
Justifique.
b) Mostre que se B é inteiro sobre A, então J(A) = A ∩ J(B).
c) Mostre que se B −A é fechado com respeito à multiplicação, então A é integralmente
fechado em B.
93. Sejam B um anel e A um subanel de B tal que B é inteiro A. Sendo n um ideal maximal
de B, sabemos que m = A∩ n é um ideal maximal de A. Dê um exemplo mostrando que
Bn não precisa ser inteiro sobre Am. (Dica: considere B = K[x] e A = K[x
2 − 1], onde K
é um corpo.)
94. Sejam R um anel e S um subanel de R tal que R é inteiro sobre S. Supondo I um ideal
próprio de S, mostre que RI (o menor ideal de R que contém I) é um ideal próprio de R.
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Dê um exemplo mostrando que esta afirmação não é válida sem a hipótese de dependência
inteira.
95. Dê exemplo de um anel R, um subanel A de R tal que R é inteiro sobre A e P1 e P2 ideais
primos distintos de R tais que P1 ∩ A = P2 ∩ A.
96. Sejam A ⊆ B anéis e C = A + N(B) = {a + x | a ∈ A, x ∈ N(B)}. Mostre que C é
um subanel de B inteiro sobre A e que para cada P ideal primo de A existe um único Q
ideal primo de C tal que Q ∩ A = P .
97. Seja A um subanel de B e suponha que B é inteiro sobre A.
a) Mostre que se B é local, então Atambém é local. Dê um exemplo mostrando que a
rećıproca desta afirmação não é verdadeira.
b) Mostre que se B é semilocal, então A também é semilocal. Esta implicação continua
válida sem a hipótese de dependência inteira? Justifique.
98. Sejam A um anel e D um subanel de A, sendo D um domı́nio de integridade.
a) Supondo A inteiro sobre D, mostre que A é domı́nio de integridade se, e somente se,
P ∩D ̸= {0} para todo ideal primo P não nulo de A.
b) Mostre que a afirmação do ı́tem (a) não vale sem a hipótese de dependência inteira.
99. Sejam n, m ∈ N. Considerando o subanel A = Z[ n
√
m] de IR, mostre que:
a) A é inteiro sobre Z.
b) Todo ideal primo não nulo de A é maximal.
100. Sejam B um anel, b ∈ B tal que bn = 1B, para algum n ∈ N, e A o menor subanel de B
contendo b. Mostre que:
a) Se existe m ∈ N tal que m1B = 0B, então todo ideal primo de A é maximal.
b) Se m1B ̸= 0B para todo m ∈ N e P1 e P2 são ideais primos de A tais que P1 ( P2,
então P2 é ideal maximal de A, P1 é ideal primo minimal de A e P1 ∩ A = {0}.
101. Sejam A e B anéis e ϕ : A −→ B um homomorfismo de anéis tal que B é inteiro sobre
Im ϕ. Mostre que ϕ∗ (veja o exerćıcio 25) é uma aplicação fechada (isto, imagem direta
de fechado é fechado).
102. Sejam B um anel e A um subanel de B tal que B é inteiro A. Suponha f : A −→ F
um homomorfismo, onde F é um corpo algebricamente fechado. Mostre que f pode se
estender a um homomorfismo g : B −→ F .
16
103. Sejam A ⊆ B domı́nios de integridade, com A integralmente fechado e B inteiro sobre
A. Considere P um ideal primo de B. Mostre que P é ideal primo minimal de B se, e
somente se, A ∩ P é ideal primo minimal de A.
104. Seja A ⊆ B anéis, com B inteiro sobre A, e P um ideal primo de A. Mostre que
P = A ∩ BP , onde BP é o ideal de B gerado por P . Esta última igualdade continua
válida sem a hipótese de dependência inteira? Justifique.
105. Seja f : A −→ B um homomorfismo de anéis. Dizemos que f satisfaz a propriedade
going-up se dados P1 e P2 ideais primos de f(A) e Q1 ideal primo de B, com P1 ⊆ P2
e Q1 ∩ f(A) = P1, existe Q2 ideal primo de B tal que Q1 ⊆ Q2 e Q2 ∩ f(A) = P2.
Considerando a aplicação f ∗ : Spec(B) −→ Spec(A) (veja o exerćıcio 25), mostre que:
a) Se f ∗ é uma aplicação fechada, então f satisfaz a propriedade going-up.
b) f satisfaz a propriedade going-up se, e somente se, para cada Q1 ideal primo de B a
aplicação
f ∗ : Spec(B/Q1) −→ Spec(A/Qc1)
Q/Q1 7−→ f ∗(Q/Q1) = Qc/Qc1
é sobrejetiva.
106. Sejam A um anel e G um subgrupo de Aut A.
a) Mostre que AG = {a ∈ A | σ(a) = a, ∀ σ ∈ G} é um subanel de A (chamado de
subanel dos elementos G-invariantes de A).
b) Sendo G finito, mostre que A é inteiro sobre AG. (Dica: dado a ∈ A, considere o
polinômio fa(x) =
∏
σ∈G(x− σ(a)).)
107. Sejam A um anel e G um subgrupo finito de Aut A. Sendo P um ideal primo de AG e Ω
o conjunto de todos os ideais primos de A cuja contração para AG é P , mostre que:
a) Se Q ∈ Ω e σ ∈ G, então σ(Q) ∈ Ω.
b) Dados Q1, Q2 ∈ Ω existe σ ∈ G tal que σ(Q1) = Q2 (ou seja, G age transitivamente em
Ω) e conclua que Ω é finito. (Dica: dado x ∈ Q1, verifique que
∏
σ∈G σ(x) ∈ Q1 ∩ AG =
P ⊆ Q2. Logo, σ(x) ∈ Q2 para algum σ ∈ G. Conclua que Q1 ⊆
∪
σ∈G σ(Q2).)
108. Sejam A um anel e M um A-módulo. Mostre que:
a) Se todo conjunto não vazio de submódulos finitamente gerados de M possui elemento
maximal, então M é noetheriano.
b) Se N1 e N2 são submódulos de M tais que M/N1 e M/N2 são noetherianos (resp.
artinianos), então M/(N1 ∩N2) é noetheriano (resp. artiniano).
17
109. Sejam A um anel, M um A-módulo e φ : M −→ M um homomorfismo de A-módulos.
Mostre que:
a) Se M é noetheriano e φ é sobrejetivo, então φ é um isomorfismo.
b) Se M é artiniano e φ é injetivo, então φ é um isomorfismo.
(Dica: kerφn ⊆ kerφn+1 e Im φn ⊇ Im φn+1 para todo n ∈ N.)
110. Seja A um anel.
a) Mostre que se existe algum A-módulo fiel e noetheriano, então A deve ser um anel
noetheriano.
b) Conclua que se M é um A-módulo noetheriano e I = Ann(M), então A/I é um anel
noetheriano.
b) Dê exemplo de um Z-módulo (grupo abeliano) fiel e artiniano. Conclua que o resultado
do ı́tem (a) não vale quando trocamos noetheriano por artiniano.
111. Sejam A um anel e M e N A-módulos. Fixado m0 ∈ M , considere o submódulo Wm0 =
{m0 ⊗ n | n ∈ N} de M ⊗N .
a) Mostre que se N é um módulo noetheriano (resp. artiniano), então Wm0 é também
noetheriano (resp. artiniano).
b) Se M é finitamente gerado, mostre que M ⊗ N é uma soma de um número finito de
submódulos deste tipo.
c) Conclua que se M é finitamente gerado e N é noetheriano (resp. artiniano), então
M ⊗N é noetheriano (resp. artiniano).
112. Seja A um anel.
a) Se A[x] é noetheriano, mostre que A é necessariamente noetheriano.
b) Dê um exemplo de um anel A não noetheriano tal que AP é noetheriano para todo
ideal primo P de A.
113. Se A é um anel noetheriano, mostre que A[[x]] é também noetheriano. (Dica: veja o livro
Algebra, S. Lang, página 147.)
114. Demonstre o Teorema da Interseção de Krull: se A é um anel noetheriano e I é um ideal
próprio de A, então
∞∩
n=1
In = {x ∈ A | x ∈ xI}.
(Dica: tomando x ∈
∩∞
n=1 I
n arbitrário, considere Q1, . . . , Qm ideais primários de A tais
que xI = Q1 ∩ . . . ∩Qm. Supondo x /∈ xI, tem-se I ⊆ R(Qi) para algum i ∈ {1, . . . ,m},
e dáı chega-se a uma contradição.)
18
115. Sejam A um anel artiniano e I um ideal próprio de A. Mostre que I é nilpotente se, e
somente se, não existe x ∈ A− {0} tal que x ∈ xI.
116. Sejam R um anel noetheriano e I um ideal próprio de R. Mostre que:
a) Se J é ideal de R, com J ⊆
∞∩
n=1
In, então JI = J .
b)
∩∞
n=1 I
n = {0} se, e somente se, 1− a não é divisor de zero para todo a ∈ I.
c) Se R/I é um anel artiniano, então I possui uma única decomposição primária minimal.
117. Sejam A um anel artiniano local e m o seu único ideal maximal. Mostre que:
a) m é nilpotente.
b) Se m é principal, então todo ideal I de A é principal. (Dica: suponha I ̸= {0} e tome
n ∈ N tal que I ⊆ mn e I * mn+1. Sendo m = (x), conclua que I = (xn).)
118. Seja A um anel noetheriano. Mostre que são equivalentes:
i) A é artiniano.
ii) Spec(A) é discreto e finito.
iii) Spec(A) é discreto.
119. Se A é um anel e R é um subanel artiniano de A tal que A é finitamente gerado como
R-módulo, mostre que A também é artiniano.
120. Seja K um corpo. Dizemos que um subanel R de K é um anel de valorização de K se
para todo x ∈ K −{0} tem-se x ∈ R ou x−1 ∈ R. Sendo R um anel de valorização de K,
mostre que:
a) Se I e J são ideais de A, então I ⊆ J ou J ⊆ I. Conclua que R é um anel local.
b) R é integralmente fechado.
c) Todo ideal finitamente gerado de R é principal. Conclua que se R é noetheriano, então
R é um DIP.
d) Mostre que se R é noetheriano e m = (a) é o ideal maximal de R, então todo ideal não
nulo de R é da forma (an), com n ∈ N.
121. Seja D um domı́nio de integridade tal que I ⊆ J ou J ⊆ I para quaisquer I e J ideais de
D. Mostre que D é um anel de valorização do seu corpo de frações.
122. Sendo A um anel e P um ideal primo de A, mostre que:
a) Se P é um ideal primo de A, então existe algum ideal primo minimal de A contido em
P .
19
b) Se I e P são ideais de A, com P primo e I ⊆ P , então existe algum divisor primo
minimal de I contido em P .
c) Se A é um anel noetheriano e I é um ideal de A, então existe apenas um número finito
de divisores primos minimais de I em A. Particularmente, A possui apenas um número
finito de ideais primos minimais.
123. Sejam A ⊆ B anéis, com B inteiro sobre A, e m um ideal maximal de A. Mostre que se
B é noetheriano, então o conjunto {P ∈ Spec(B) | P ∩ A = m} é finito (dica: trabalhe
com Bm, o ideal de B gerado por m). O resultado continua válido sem a hipótese de B
ser noetheriano? Justifique.
124. Se A é um anel noetheriano e I e J são ideais de A taisque J ⊆ J(A) e JI = I, mostre
que I = {0}.
125. Seja A um anel tal que Am é noetheriano para todo ideal maximal de A. Suponha que
cada ideal próprio e não nulo de A está contido em apenas um número finito de ideais
maximais de A. Seja I um ideal arbitrário de A, com {0} ̸= I ̸= A.
a) Mostre que dado m ideal maximal de A, então existem a1, . . . an ∈ I tais que S−1I =
(a1/1, . . . , an/1), com S = A−m. Considere Zm = {a1, . . . , an}.
b) Sejam m1, . . . , mk os ideais maximais de A que contêm I e J o ideal de A gerado pelo
conjunto Zm1 ∪ . . . ∪ Zmk . Mostre que dado m ideal maximal de A, tem-se S−1m I = S−1m J ,
onde Sm = A−m.
c) Conclua que A é um anel noetheriano.
126. Sejam A um anel e I e J ideais de A tais que I+J é um ideal finitamente gerado. Mostre
que existem ideais finitamente gerados I0 ⊆ I e J0 ⊆ J tais que I + J = I0 + J0.
127. Seja A um anel.
a) Mostre que se o conjunto
∑
de todos os ideais de A que não são finitamente gerados
é não vazio, então
∑
possui elemento maximal.
b) Mostre que se I é um elemento maximal de
∑
, então I deve ser um ideal primo de
A. (Dica: suponha x, y /∈ I tais que xy ∈ I. Observe que I + (x) e (I : x) devem
ser finitamente gerados. Tomando I0 ideal finitamente gerado de A tal que I0 ⊆ I e
I0 + (x) = I + (x), conclua que I = I0 + x(I : x) e chegue a uma contradição.)
c) Conclua que se todo ideal primo de A é finitamente gerado, então A é um anel noethe-
riano.
128. Seja I um ideal irredut́ıvel de um anel A. Mostre que são equivalentes:
20
i) I é primário.
ii) Para todo subconjunto multiplicativamente fechado S de A tem-se (S−1I)c = (I : x)
para algum x ∈ S.
iii) Para todo x ∈ A, a cadeia (I : x) ⊆ (I : x2) ⊆ . . . ⊆ (I : xn) ⊆ (I : xn+1) ⊆ . . .
é estacionária.
129. Dizemos que um espaço topológico (não vazio) X é noetheriano se os seus subconjun-
tos abertos satisfazem a condição de cadeia ascendente (CCA) (ou equivalentemente, a
condição maximal). Sendo X um espaço topológico, mostre que:
a) X é noetheriano se, e somente se, os subconjuntos fechados de X satisfazem a condição
de cadeia descendente (CCD) (ou equivalentemente, a condição minimal).
b) Se X é noetheriano, então X é compacto.
c) Se X é noetheriano, então todo subespaço de X é noetheriano.
130. Sendo X um espaço topológico noetheriano, mostre que X é uma união finita de su-
bespaços irredut́ıveis fechados e conclua que X possui apenas uma quantidade finita de
componentes irredut́ıveis. (Dica: considere o conjunto Σ de todos os subconjuntos fecha-
dos de X que não são uniões finitas de subespaços irredut́ıveis fechados de X.)
131. Seja A um anel.
a) Mostre que se A é noetheriano, então Spec(A) é um espaço topológico noetheriano.
Sendo K um corpo, A = K[x1, x2, x3, . . .] e I = (x1, x
2
2, x
3
3, . . .), mostre que o anel quoci-
ente A/I é um contra-exemplo para a rećıproca.
b) Mostre que se Spec(A) é um espaço topológico noetheriano e I é um ideal próprio
de A, então I possui apenas uma quantidade finita de divisores primos minimais em A.
(Dica: use o exerćıcio anterior e o exerćıcio 24.)
132. Seja f : A −→ B um homomorfismo de anéis e suponha que Spec(B) é um espaço
topológico noetheriano. Mostre que f ∗ : Spec(B) −→ Spec(A) é uma aplicação fechada
se, e somente se, f satisfaz a propriedade going-up (veja o exerćıcio 105).
133. Sejam A1 e A2 anéis. Mostre que dim(A1 ×A2) = max{dim(A1), dim(A2)}. (Dica: use o
exerćıcio 19.)
134. Dê exemplo de:
a) Um anel noetheriano A e um ideal maximal m tais que ht(m) = 0 e dim(A) ≥ 1.
b) Um anel noetheriano A, um divisor de zero a de A e um divisor primo minimal do
ideal (a) com altura 1.
21
135. Sejam R um anel noetheriano de dimensão de Krull m, P um ideal primo de R de altura
m− 1 e J um ideal de R tal que P ( J .
a) Mostre que se I é um ideal qualquer de R, então existe n0 ∈ N tal que In+J = In0 +J
para todo n ≥ n0.
b) Conclua que se R é um domı́nio de integridade, m = 1 e x ∈ R−{0}, então para cada
a ∈ R existe n0 ∈ N tal que an0 ∈ (an) + (x) para todo n ≥ n0.
c) Dê um exemplo mostrando que o resultado do ı́tem (b) não vale sem a hipótese de
dimR = 1.
136. Sejam A ⊆ B anéis, com B inteiro sobre A, e P um ideal primo de B. Mostre que:
a) dim(A) = dim(B).
b) dim(B/P ) = dim(A/(A ∩ P )). (Dica: use o Teorema Going-up.)
c) Se B é um domı́nio de integridade e A é integralmente fechado, então ht(P ) = ht(A∩P ).
(Dica: use o Teorema Going-down.)
137. Sendo A = K[X1, . . . , Xn] um anel de polinômios a n variáveis sobre o corpo K e I um
ideal principal (não nulo) de A, mostre que dim(A/I) = n− 1 (dimensão de Krull).
138. Sejam A um anel noetheriano e x1, . . . , xn ∈ A, tais que I = (x1, . . . , xn) é um ideal
próprio de A. Supondo que x1 não é divisor de zero em A e que xk não é divisor de zero
em A/(x1, . . . , xk−1) para 2 ≤ k ≤ n (neste caso dizemos que {x1, . . . , xn} é uma sequência
regular em A), mostre que se P é um divisor primo minimal de I, então ht(P ) = n. (Dica:
indução.)
139. Seja A um anel noetheriano. Suponha P um ideal primo de A, com ht(P ) = 2 e P0 um
ideal primo minimal de A contido em P .
a) Mostre que se P1, P2, . . . , Pn são ideais primos de A de altura 1 tais que P0 ⊂ Pi ⊂ P ,
para 1 ≤ i ≤ n, então existe x ∈ P − (P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn).
b) Se Q é um divisor primo minimal do ideal J = (P0, x), com Q ⊆ P , mostre que
ht(Q) = 1.
c) Conclua que se dim(A) ≥ 2, então A possui infinitos ideais primos de altura 1.
140. Seja D um domı́nio de integridade que não é corpo e suponha que para todo x ∈ D−{0},
tem-se que D/(x) é um anel finito. Mostre que D é noetheriano e dim(D) = 1. Dê um
exemplo de um anel nestas condições.
141. Sejam D um domı́nio de fatoração única e P um ideal primo de D, com ht(P ) = 1.
Mostre que P é um ideal principal de D, gerado por um elemento irredut́ıvel.
22
142. Considere o anel D = Z[
√
−5] e o conjunto
P = {a+ b
√
−5 | a+ b é par}.
a) Mostre que dim(D) = 1 e que P é um ideal primo de D.
b) Conclua que ht(P ) = 1.
c) Mostre que P não é um ideal principal e conclua que o resultado do exerćıcio anterior
não vale sem a hipótese de D ser um domı́nio de fatoração única.
143. Seja A um anel local e noetheriano com um número infinito de ideais primos. Conside-
rando m o ideal maximal de A e supondo que existem a, b ∈ A tais que r((a, b)) = m,
mostre que dim(A) = 2.
144. Sejam R um anel local noetheriano e m o seu ideal maximal. Suponha que m = (x) (ideal
principal). Mostre que:
a)
∩∞
n=1m
n = {0}.
b) Se a ∈ R− {0}, então existe n ∈ N e u ∈ U(R) tais que a = uxn.
c) R é artiniano ou R é um domı́nio de integridade de dimensão 1.
d) Mostre se R não é artiniano, então que R é um domı́nio de ideais principais e é um
anel de valorização do seu corpo de frações.
145. Seja D um domı́nio de integridade. Dizemos que D é um domı́nio de Dedekind se D é
noetheriano, integralmente fechado e de dimensão de Krull 1 (ou seja, todo ideal primo
não nulo de D é maximal). Sejam D um domı́nio de Dedekind local e m o seu único ideal
maximal.
a) Fixado a ∈ m, com a ̸= 0, mostre que existe n ∈ N tal que mn ⊆ (a) e mn−1 * (a).
(Dica: use o exerćıcio 76, ı́tem (b).)
b) Tomando b ∈ mn−1−(a) e x = a/b ∈ K (o corpo de frações de D), mostre que x−1 /∈ D
e que x−1m ⊆ D e é um ideal de D.
c) Mostre que x−1m = D. (Dica: se x−1m ⊆ m, então m é um D[x−1]-módulo fiel finita-
mente gerado com D-módulo. Isto é uma contradição, pois D é integralmente fechado.)
d) Conclua que x ∈ D e que m é o ideal principal de D gerado por x.
e) Todo ideal não nulo de D é uma potência de m. (Dica: use o exerćıcio anterior.)
146. Seja D um domı́nio de Dedekind. Mostre que:
a) Todo ideal primário não nulo de D é uma potência de ideal primo. (Dica: localize e
use o exerćıcio anterior.)
23
b) Todo ideal não nulo de D pode ser escrito, de maneira única (a menos da ordem dos
fatores), como um produtode ideais primos.
147. Sejam A um anel, R um subanel de A e a ∈ A. Suponha que R é um domı́nio de
integridade noetheriano de dimensão finita e que existe f(X) ∈ R[X] não nulo tal que
f(a) = 0.
a) Mostre que dim(R[a]) ≤ dim(R).
b) Dê um exemplo mostrando que podemos ter dim(R[a]) < dim(R).
148. Sejam A e B anéis e f : A −→ B um homomorfismo. Mostre que B, munido do produto
definido por
· : A×B −→ B
(a, b) 7−→ ab = f(a)b
é uma A-álgebra. Por outro lado, sendo R uma A-álgebra, mostre que a aplicação
φ : A −→ R, definida por φ(a) = a1R, é um homomorfismo de anéis.
149. Se K é um corpo e A é uma K-álgebra tal que m = dimK A é finita, mostre que A possui
no máximo m ideais maximais.
150. Sejam K um corpo e R uma K-álgebra. Dizemos que um elemento a ∈ R é algébrico
sobre K se existe f(X) ∈ K[X]−{0} tal que f(a) = 0. Se todo elemento de R é algébrico
sobre K, dizemos que R é algébrica sobre K. Mostre que:
a) a ∈ R é algébrico sobre K se, e somente se, a subálgebra K[a] de R possui dimensão
finita como espaço vetorial sobre K. (Dica: observe que K[a] = {g(a) | g(X) ∈ K[X]}.)
b) Se R é finitamente gerada e algébrica sobre K, então dimK R é finita.
151. Sejam K um corpo e R uma K-álgebra algébrica sobre K. Mostre que R tem dimensão
de Krull igual a 0. Ademais, supondo que R é um domı́nio de integridade, mostre que R
é um corpo.
152. Sejam K um corpo e A uma K-álgebra finitamente gerada. Mostre que A é artiniana se,
e somente se, dimK A é finita.
153. Sejam K um corpo e R = K[a1, . . . , an] uma K-álgebra finitamente gerada. Supondo que
R é um domı́nio de integridade, mostre que:
a) Todo subconjunto de R com mais de n elementos é algebricamente dependente.
b) Se existe m ∈ N tal que µ(I) ≤ m para todo ideal I de R (onde µ(I) é o número
mı́nimo de geradores de I), então todo subconjunto de R com mais de m elementos é
algebricamente dependente.
24
154. Sejam K um corpo, R uma K-álgebra finitamente gerada e P um ideal primo de R.
Mostre que se R é um domı́nio de integridade e possui dimensão de Krull igual a m,
então ht(P ) + dim(R/P ) = m.
155. Seja B = K[X, Y, Z] o anel de polinômios a 3 variáveis sobre o corpo K. Mostre que
{X + Y, Z2 − X} é uma sequência regular de B (veja o exerćıcio 138) e que o ideal
P = (X + Y, Z2 −X) de B é primo. Calcule grtrK(B/P ).
156. Sejam K um corpo e a1, . . . , an ∈ K.
a) Dados F ∈ K[X1, . . . , Xn], mostre que existem G1, . . . , Gn ∈ K[X1, . . . , Xn] e a ∈ K
tais que F = G1(X1−a1)+ . . .+Gn(Xn−an)+a. (Dica: use indução em n e o algoŕıtmo
da divisão em A[Xn], onde A = K[X1, . . . , Xn−1].)
b) Conclua que I((a1, . . . , an)) = (X1 − a1, . . . , Xn − an).
157. Seja m um ideal maximal de K[X1, . . . , Xn]. Mostre que:
a) o K-espaço vetorial K[X1, . . . , Xn]/m tem dimensão finita.
b) Se K é algebricamente fechado, então existem a1, . . . , an ∈ K tais que m =
(X1 − a1, . . . , Xn − an).
158. Sejam K um corpo, V e U subconjuntos não vazios de Kn e I e J ideais próprios de
K[X1, . . . , Xn]. Mostre que:
a) Se V ⊆ U , então I(V ) ⊇ I(U) b) Se I ⊆ J , então V(I) ⊇ V(J)
c) V(I) = V(r(I)) d) I(V(I)) ⊇ I
e) V(I(V )) ⊇ V
159. Sendo K um corpo e m um ideal maximal da álgebra polinomial K[X1, . . . , Xn], mostre
que o número mı́nimo de geradores de m é exatamente n.
160. Seja K um corpo que não é algebricamente fechado.
a) Mostre que se g(X) ∈ K[X] é um polinômio de grau m > 0 que não possui raiz em K,
então (0, 0) ∈ K2 é o único zero do polinômio g1(X, Y ) = Y mg(X/Y ) ∈ K[X,Y ].
b) Mostre que existe f(X1, . . . , Xn) ∈ K[X1, . . . , Xn] cujo único zero é (0, . . . , 0). (Dica:
use a idéia do ı́tem (a) e indução em n.)
161. Seja K um corpo que não é algebricamente fechado. Mostre que se V é uma variedade
afim em Km, então existe h ∈ K[X1, . . . , Xm] tal que V = V (h) (em outras palavras toda
variedade afim em Km é o conjunto de zero de um único polinômio em K[X1, . . . , Xm]).
(Dica: se V = V (g1, . . . , gn), tome f como no exerćıcio anterior e h = f(g1, . . . , gn).)
25
162. Considere K um corpo e considere S como sendo o subconjunto de todos os polinômios
em K[X1, . . . , Xm] que não possuem nenhum zero em K
m. Mostre que se I é um ideal
de K[X1, . . . , Xm] tal que I ∩ S = ∅, então I possui pelo menos um zero em Km. (Dica:
se g1, . . . , gn ∈ I e f ∈ K[X1, . . . , Xn] tem termo constante nulo, então f(g1, . . . , gn) ∈ I.
Use o exerćıcio anterior.)
163. Dizemos que um espaço métrico M é totalmente limitado se dado ϵ > 0 existem n ∈ N e
a1, . . . , an ∈ M tais que M = B(a1; ϵ) ∪ . . . ∪ B(an; ϵ). Sendo A um anel e m um ideal
de A tal que
∩∞
n=1m
n = {0}, considere A munido da métrica m-ádica. Mostre que A é
totalmente limitado se, e somente se, A/mn é finito para todo n ∈ N.
164. Sendo A um anel e m um ideal de A tal que
∩∞
n=1m
n = {0}, considere o anel A munido
da métrica m-ádica. Para cada a ∈ A, considere as aplicações
fa : A −→ A
x 7−→ fa(x) = a+ x
e
ga : A −→ A
x 7−→ ga(x) = ax
.
a) Mostre que fa é uma isometria.
b) Mostre que ga é cont́ınua.
c) Mostre que se a ∈ U(A) +m, então ga é uma imersão isométrica.
165. Sejam A um anel e m um ideal de A. Definimos a topologia m-ádica em A como sendo a
topologia com base
{a+mn | a ∈ A, n ∈ N}.
a) Mostre que a topologia m-ádica é de Hausdorff se, e somente se,
∩∞
n=1m
n = {0}.
b) Mostre que se
∩∞
n=1m
n = {0}, então a topologia m-ádica é a topologia induzida pela
métrica m-ádica.
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