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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
José Victor Gomes Teixeira
PPGMAE
Medida e Integração Aplicada à Probabilidade (MAE0013)
Prof. Dr. Diego Ferraz
UFRN-2019
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 1 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Sumário
1 Introdução
2 O Teorema da Cobertura de Vitali
3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood
4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 2 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Introdução
Queremos generalizar a ideia do Teorema Fundamental do
Cálculo para Rn;
Vamos provar o seguinte:
Teorema
Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy = 0 (1)
q.t.p. em Rn.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 3 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Introdução
Queremos generalizar a ideia do Teorema Fundamental do
Cálculo para Rn;
Vamos provar o seguinte:
Teorema
Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy = 0 (1)
q.t.p. em Rn.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Introdução
Note que:
∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy − f (x)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(f (y)− f (x))dy
∣∣∣∣∣
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy
donde temos:
Corolário (Teorema da Diferenciação de Lebesgue)
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy = f (x),
q.t.p. em Rn.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 4 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Introdução
Note que:
∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy − f (x)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(f (y)− f (x))dy
∣∣∣∣∣
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy
donde temos:
Corolário (Teorema da Diferenciação de Lebesgue)
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy = f (x),
q.t.p. em Rn.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Sumário
1 Introdução
2 O Teorema da Cobertura de Vitali
3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood
4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Cobertura de Vitali
Figura 1: Giuseppe Vitali (1875-1932).
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Teorema da Cobertura de Vitali
Seja F uma coleção de bolas abertas B tal que
diam
( ⋃
B∈F
B
)
<∞
Então existe uma subcoleção enumerável de bolas disjuntas duas a
duas B (xi , ri ) ∈ F , i = 1, 2, . . . , tais que
⋃
B∈F
B ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ;
suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞. Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
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Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F .
Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞. Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞. Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞.
Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞. Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que
ri >
1
2
di e B (xi , ri ) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈
F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De
fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela
definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que
ri >
1
2
di >
1
2
r > 0 para cada i = 1, 2, . . .
Assim, como as bolas são disjuntas,
vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , ri )
)
=
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) =∞,
contradição.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que
ri >
1
2
di e B (xi , ri ) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈
F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas.
De
fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela
definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que
ri >
1
2
di >
1
2
r > 0 para cada i = 1, 2, . . .
Assim, como as bolas são disjuntas,
vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , ri )
)
=
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) =∞,
contradição.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue