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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue José Victor Gomes Teixeira PPGMAE Medida e Integração Aplicada à Probabilidade (MAE0013) Prof. Dr. Diego Ferraz UFRN-2019 José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 1 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Sumário 1 Introdução 2 O Teorema da Cobertura de Vitali 3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood 4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 2 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Introdução Queremos generalizar a ideia do Teorema Fundamental do Cálculo para Rn; Vamos provar o seguinte: Teorema Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então lim r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy = 0 (1) q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 3 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Introdução Queremos generalizar a ideia do Teorema Fundamental do Cálculo para Rn; Vamos provar o seguinte: Teorema Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então lim r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy = 0 (1) q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 3 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Introdução Note que: ∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) f (y)dy − f (x) ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) (f (y)− f (x))dy ∣∣∣∣∣ 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy donde temos: Corolário (Teorema da Diferenciação de Lebesgue) lim r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) f (y)dy = f (x), q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 4 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Introdução Note que: ∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) f (y)dy − f (x) ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) (f (y)− f (x))dy ∣∣∣∣∣ 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy donde temos: Corolário (Teorema da Diferenciação de Lebesgue) lim r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) f (y)dy = f (x), q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 4 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Sumário 1 Introdução 2 O Teorema da Cobertura de Vitali 3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood 4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 5 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Cobertura de Vitali Figura 1: Giuseppe Vitali (1875-1932). José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 6 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Teorema da Cobertura de Vitali Seja F uma coleção de bolas abertas B tal que diam ( ⋃ B∈F B ) <∞ Então existe uma subcoleção enumerável de bolas disjuntas duas a duas B (xi , ri ) ∈ F , i = 1, 2, . . . , tais que ⋃ B∈F B ⊂ ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 7 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina di = sup r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ Observe que di < ∞, pois sup B(x ,r)∈F r < ∞. Se não houver bolas B(x , r) ∈ F tais que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅, o procedimento termina. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina di = sup r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ Observe que di < ∞, pois sup B(x ,r)∈F r < ∞. Se não houver bolas B(x , r) ∈ F tais que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅, o procedimento termina. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina di = sup r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ Observe que di < ∞, pois sup B(x ,r)∈F r < ∞. Se não houver bolas B(x , r) ∈ F tais que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅, o procedimento termina. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina di = sup r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ Observe que di < ∞, pois sup B(x ,r)∈F r < ∞. Se não houver bolas B(x , r) ∈ F tais que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅, o procedimento termina. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina di = sup r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ Observe que di < ∞, pois sup B(x ,r)∈F r < ∞. Se não houver bolas B(x , r) ∈ F tais que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅, o procedimento termina. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que ri > 1 2 di e B (xi , ri ) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈ F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que ri > 1 2 di > 1 2 r > 0 para cada i = 1, 2, . . . Assim, como as bolas são disjuntas, vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , ri ) ) = ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) =∞, contradição. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que ri > 1 2 di e B (xi , ri ) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈ F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que ri > 1 2 di > 1 2 r > 0 para cada i = 1, 2, . . . Assim, como as bolas são disjuntas, vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , ri ) ) = ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) =∞, contradição. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de LebesgueTeorema da Cobertura de Vitali Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que ri > 1 2 di e B (xi , ri ) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈ F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que ri > 1 2 di > 1 2 r > 0 para cada i = 1, 2, . . . Assim, como as bolas são disjuntas, vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , ri ) ) = ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) =∞, contradição. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que ri > 1 2 di e B (xi , ri ) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈ F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que ri > 1 2 di > 1 2 r > 0 para cada i = 1, 2, . . . Assim, como as bolas são disjuntas, vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , ri ) ) = ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) =∞, contradição. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que ri > 1 2 di e B (xi , ri ) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈ F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que ri > 1 2 di > 1 2 r > 0 para cada i = 1, 2, . . . Assim, como as bolas são disjuntas, vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , ri ) ) = ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) =∞, contradição. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que ri > 1 2 di e B (xi , ri ) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈ F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que ri > 1 2 di > 1 2 r > 0 para cada i = 1, 2, . . . Assim, como as bolas são disjuntas, vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , ri ) ) = ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) =∞, contradição.José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri , afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩ B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então, ‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri como queŕıamos mostrar. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri , afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩ B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então, ‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri como queŕıamos mostrar. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri , afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩ B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então, ‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri como queŕıamos mostrar. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri , afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩ B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então, ‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri como queŕıamos mostrar. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Cobertura de Vitali Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que B(x , r) ∩ i−1⋃ j=1 B (xj , rj) = ∅ e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri , afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩ B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então, ‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri como queŕıamos mostrar. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Sumário 1 Introdução 2 O Teorema da Cobertura de Vitali 3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood 4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 11 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue A Função Maximal de Hardy-Littlewood Figura 2: G. H. Hardy. Figura 3: J. E. Littlewood. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 12 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Espaços Lploc(Ω) Função localmente p-integrável Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto e suponha que f : Ω −→ [−∞,∞] é uma função mensurável. Então f ∈ Lploc(Ω) quando∫ K |f |pdx <∞, 1 6 p <∞, caso 1 ≤ p <∞, e esssupK |f | <∞, caso p =∞, para todo compacto K ⊂ Ω. f é dita localmente p-integrável. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 13 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue A Função Maximal de Hardy-Littlewood Função maximal de Hardy-Littlewood A função maximal de Hardy-Littlewood Mf : Rn −→ [0,∞] de f ∈ L1loc (Rn) é dada por Mf (x) = sup r>0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)|dy (2) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 14 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Desigualdade (maximal) de Hardy-Littlewood Seja f ∈ L1 (Rn). Então µ({x ∈ Rn : Mf (x) > λ}) 6 5 n λ ‖f ‖1 para cada λ > 0 (3) Prova: Seja Aλ = {x ∈ Rn : Mf (x) > λ} , λ > 0. Para cada x ∈ Aλ existe rx > 0 talque 1 vol(B (x , rx)) ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy > λ (4) Gostaŕıamos de aplicar o teorema da cobertura de Vitali, mas não sabemos se o conjunto ∪x∈AλB (x , rx) é limitado. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 15 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Desigualdade (maximal) de Hardy-Littlewood Seja f ∈ L1 (Rn). Então µ({x ∈ Rn : Mf (x) > λ}) 6 5 n λ ‖f ‖1 para cada λ > 0 (3) Prova: Seja Aλ = {x ∈ Rn : Mf (x) > λ} , λ > 0. Para cada x ∈ Aλ existe rx > 0 tal que 1 vol(B (x , rx)) ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy > λ (4) Gostaŕıamos de aplicar o teorema da cobertura de Vitali, mas não sabemos se o conjunto ∪x∈AλB (x , rx) é limitado. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 15 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Desigualdade (maximal) de Hardy-Littlewood Seja f ∈ L1 (Rn). Então µ({x ∈ Rn : Mf (x) > λ}) 6 5 n λ ‖f ‖1 para cada λ > 0 (3) Prova: Seja Aλ = {x ∈ Rn : Mf (x) > λ} , λ > 0. Para cada x ∈ Aλ existe rx > 0 tal que 1 vol(B (x , rx)) ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy > λ (4) Gostaŕıamos de aplicar o teorema da cobertura de Vitali, mas não sabemos se o conjunto ∪x∈AλB (x , rx) é limitado. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 15 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Desigualdade (maximal) de Hardy-Littlewood Seja f ∈ L1 (Rn). Então µ({x ∈ Rn : Mf (x) > λ}) 6 5 n λ ‖f ‖1 para cada λ > 0 (3) Prova: Seja Aλ = {x ∈ Rn : Mf (x) > λ} , λ > 0. Para cada x ∈ Aλ existe rx > 0 tal que 1 vol(B (x , rx)) ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy > λ (4) Gostaŕıamos de aplicar o teorema da cobertura de Vitali, mas não sabemos se o conjunto ∪x∈AλB (x , rx) é limitado. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 15 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se B (x , rx) ∈ F , então vol(B (x , rx)) < 1 λ ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy 6 1 λ ‖f ‖1 donde conclúımos que diam ⋃ x∈Aλ∩B(0,k) B (x , rx) <∞ Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais que Aλ ∩ B(0, k) ⊂ ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 16 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se B (x , rx) ∈ F , então vol(B (x , rx)) < 1 λ ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy 6 1 λ ‖f ‖1 donde conclúımos que diam ⋃ x∈Aλ∩B(0,k) B (x , rx) <∞ Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais que Aλ ∩ B(0, k) ⊂ ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 16 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se B (x , rx) ∈ F , então vol(B (x , rx)) < 1 λ ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy 6 1 λ ‖f ‖1 donde conclúımos que diam ⋃ x∈Aλ∩B(0,k) B (x , rx) <∞ Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais que Aλ ∩ B(0, k) ⊂ ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 16 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se B (x , rx) ∈ F , então vol(B (x , rx)) < 1 λ ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy 6 1 λ ‖f ‖1 donde conclúımos que diam ⋃ x∈Aλ∩B(0,k) B (x , rx) <∞ Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais que Aλ ∩ B(0, k) ⊂ ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 16 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se B (x , rx) ∈ F , então vol(B (x , rx)) < 1 λ ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy 6 1 λ ‖f ‖1 donde conclúımos que diam ⋃ x∈Aλ∩B(0,k) B (x , rx) <∞ Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais que Aλ ∩ B(0, k) ⊂ ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 16 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se B (x , rx) ∈ F , então vol(B (x , rx)) < 1 λ ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy 6 1 λ ‖f ‖1 donde conclúımos que diam ⋃ x∈Aλ∩B(0,k) B (x , rx) <∞ Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais que Aλ ∩ B(0, k) ⊂ ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 16 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se B (x , rx) ∈ F , então vol(B (x , rx)) < 1 λ ∫ B(x ,rx ) |f (y)|dy 6 1 λ ‖f ‖1 donde conclúımos que diam ⋃ x∈Aλ∩B(0,k) B (x , rx) <∞ Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais que Aλ ∩ B(0, k) ⊂ ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 16 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Isso implica que: µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) ) 6 ∞∑ i=1 vol(B (xi , 5ri )) = 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) Mas note que: 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) 6 5n λ ∞∑ i=1 ∫ B(xi ,ri ) |f (y)|dy = 5 n λ ∫ ∪∞i=1B(xi ,ri ) |f (y)|dy 6 5n λ ‖f ‖1 Finalmente, µ(Aλ) = lim k→∞ µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5 n λ ‖f ‖1. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 17 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Isso implica que: µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) ) 6 ∞∑ i=1 vol(B (xi , 5ri )) = 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) Mas note que: 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) 6 5n λ ∞∑ i=1 ∫ B(xi ,ri ) |f (y)|dy = 5 n λ ∫ ∪∞i=1B(xi ,ri ) |f (y)|dy 6 5n λ ‖f ‖1 Finalmente, µ(Aλ) = lim k→∞ µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5 n λ ‖f ‖1. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 17 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Isso implica que: µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) ) 6 ∞∑ i=1 vol(B (xi , 5ri )) = 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) Mas note que: 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) 6 5n λ ∞∑ i=1 ∫ B(xi ,ri ) |f (y)|dy = 5 n λ ∫ ∪∞i=1B(xi ,ri ) |f (y)|dy 6 5n λ ‖f ‖1 Finalmente, µ(Aλ) = lim k→∞ µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5 n λ ‖f ‖1. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 17 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Isso implicaque: µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) ) 6 ∞∑ i=1 vol(B (xi , 5ri )) = 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) Mas note que: 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) 6 5n λ ∞∑ i=1 ∫ B(xi ,ri ) |f (y)|dy = 5 n λ ∫ ∪∞i=1B(xi ,ri ) |f (y)|dy 6 5n λ ‖f ‖1 Finalmente, µ(Aλ) = lim k→∞ µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5 n λ ‖f ‖1. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 17 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Isso implica que: µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) ) 6 ∞∑ i=1 vol(B (xi , 5ri )) = 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) Mas note que: 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) 6 5n λ ∞∑ i=1 ∫ B(xi ,ri ) |f (y)|dy = 5n λ ∫ ∪∞i=1B(xi ,ri ) |f (y)|dy 6 5n λ ‖f ‖1 Finalmente, µ(Aλ) = lim k→∞ µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5 n λ ‖f ‖1. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 17 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Isso implica que: µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) ) 6 ∞∑ i=1 vol(B (xi , 5ri )) = 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) Mas note que: 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) 6 5n λ ∞∑ i=1 ∫ B(xi ,ri ) |f (y)|dy = 5 n λ ∫ ∪∞i=1B(xi ,ri ) |f (y)|dy 6 5n λ ‖f ‖1 Finalmente, µ(Aλ) = lim k→∞ µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5 n λ ‖f ‖1. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 17 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Isso implica que: µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) ) 6 ∞∑ i=1 vol(B (xi , 5ri )) = 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) Mas note que: 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) 6 5n λ ∞∑ i=1 ∫ B(xi ,ri ) |f (y)|dy = 5 n λ ∫ ∪∞i=1B(xi ,ri ) |f (y)|dy 6 5n λ ‖f ‖1 Finalmente, µ(Aλ) = lim k→∞ µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5 n λ ‖f ‖1. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 17 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Desigualdade de Hardy-Littlewood Isso implica que: µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol ( ∞⋃ i=1 B (xi , 5ri ) ) 6 ∞∑ i=1 vol(B (xi , 5ri )) = 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) Mas note que: 5n ∞∑ i=1 vol(B (xi , ri )) 6 5n λ ∞∑ i=1 ∫ B(xi ,ri ) |f (y)|dy = 5 n λ ∫ ∪∞i=1B(xi ,ri ) |f (y)|dy 6 5n λ ‖f ‖1 Finalmente, µ(Aλ) = lim k→∞ µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5 n λ ‖f ‖1. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 17 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Sumário 1 Introdução 2 O Teorema da Cobertura de Vitali 3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood 4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 18 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então lim r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy = 0 (5) q.t.p. em Rn. Prova: Sem perda de generalidade, podemos considerar f ∈ L1(Rn). Assim, definimos uma ”versão”da função maximal por f ∗(x) = lim sup r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 19 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então lim r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy = 0 (5) q.t.p. em Rn. Prova: Sem perda de generalidade, podemos considerar f ∈ L1(Rn). Assim, definimos uma ”versão”da função maximal por f ∗(x) = lim sup r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 19 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então lim r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy = 0 (5) q.t.p. em Rn. Prova: Sem perda de generalidade, podemos considerar f ∈ L1(Rn). Assim, definimos uma ”versão”da função maximal por f ∗(x) = lim sup r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 19 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova em seis fatos. 1 É claro que f ∗ > 0; 2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular); 3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε Então, tomando 0 < r 6 δ, temos 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |g(y)− g(x)|dy < ε José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 20 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova em seis fatos. 1 É claro que f ∗ > 0; 2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular); 3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε Então, tomando 0 < r 6 δ, temos 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |g(y)− g(x)|dy < ε José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 20 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova em seis fatos. 1 É claro que f ∗ > 0; 2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular); 3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε Então, tomando 0 < r 6 δ, temos 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |g(y)− g(x)|dy < ε José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 20 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova em seis fatos. 1 É claro que f ∗ > 0; 2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular); 3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε Então, tomando 0 < r 6 δ, temos 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |g(y)− g(x)|dy < ε José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 20 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova em seis fatos. 1 É claro que f ∗ > 0; 2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular); 3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε Então, tomando 0 < r 6 δ, temos 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |g(y)− g(x)|dy < ε José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 20 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue 4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que: (f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗ 5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) (|f (y)|+ |f (x)|)dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)|dy + |f (x)| 6 Mf (x) + |f (x)| 6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ, donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim, José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 21 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura deVitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue 4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que: (f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗ 5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) (|f (y)|+ |f (x)|)dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)|dy + |f (x)| 6 Mf (x) + |f (x)| 6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ, donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim, José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 21 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue 4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que: (f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗ 5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) (|f (y)|+ |f (x)|)dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)|dy + |f (x)| 6 Mf (x) + |f (x)| 6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ, donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim, José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 21 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue 4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que: (f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗ 5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) (|f (y)|+ |f (x)|)dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)|dy + |f (x)| 6 Mf (x) + |f (x)| 6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ, donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim, José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 21 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue 4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que: (f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗ 5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) (|f (y)|+ |f (x)|)dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)|dy + |f (x)| 6 Mf (x) + |f (x)| 6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ, donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim, José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 21 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue 4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que: (f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗ 5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)− f (x)|dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) (|f (y)|+ |f (x)|)dy 6 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) |f (y)|dy + |f (x)| 6 Mf (x) + |f (x)| 6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ, donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim, José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 21 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ ({ x ∈ Rn : Mf (x) > λ 2 }) + µ ({ x ∈ Rn : |f (x)| > λ 2 }) 6 2 · 5n λ ‖f ‖1 + 2 λ ‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev) = 2 (5n + 1) λ ‖f ‖1, por Chebyshev e Hardy-Littlewood. Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e., ∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então, µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4) 6 2 (5n + 1) λ ‖f − g‖1 (item (6)) < 2 (5n + 1) λ ε (6) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ ({ x ∈ Rn : Mf (x) > λ 2 }) + µ ({ x ∈ Rn : |f (x)| > λ 2 }) 6 2 · 5n λ ‖f ‖1 + 2 λ ‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev) = 2 (5n + 1) λ ‖f ‖1, por Chebyshev e Hardy-Littlewood. Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e., ∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então, µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4) 6 2 (5n + 1) λ ‖f − g‖1 (item (6)) < 2 (5n + 1) λ ε (6) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ ({ x ∈ Rn : Mf (x) > λ 2 }) + µ ({ x ∈ Rn : |f (x)| > λ 2 }) 6 2 · 5n λ ‖f ‖1 + 2 λ ‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev) = 2 (5n + 1) λ ‖f ‖1, por Chebyshev e Hardy-Littlewood. Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e., ∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então, µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4) 6 2 (5n + 1) λ ‖f − g‖1 (item (6)) < 2 (5n + 1) λ ε (6) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ ({ x ∈ Rn : Mf (x) > λ 2 }) + µ ({ x ∈ Rn : |f (x)| > λ 2 }) 6 2 · 5n λ ‖f ‖1 + 2 λ ‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev) = 2 (5n + 1) λ ‖f ‖1, por Chebyshev e Hardy-Littlewood. Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e., ∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então, µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4) 6 2 (5n + 1) λ ‖f − g‖1 (item (6)) < 2 (5n + 1) λ ε (6) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ ({ x ∈ Rn : Mf (x) > λ 2 }) + µ ({ x ∈ Rn : |f (x)| > λ 2 }) 6 2 · 5n λ ‖f ‖1 + 2 λ ‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev) = 2 (5n + 1) λ ‖f ‖1, por Chebyshev e Hardy-Littlewood. Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e., ∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então, µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4) 6 2 (5n + 1) λ ‖f − g‖1 (item (6)) < 2 (5n + 1) λ ε (6) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ ({ x ∈ Rn : Mf (x) > λ 2 }) + µ ({ x ∈ Rn : |f (x)| > λ 2 }) 6 2 · 5n λ ‖f ‖1 + 2 λ ‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev) = 2 (5n + 1) λ ‖f ‖1, por Chebyshev e Hardy-Littlewood. Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e., ∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então, µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4) 6 2 (5n + 1) λ ‖f − g‖1 (item (6)) < 2 (5n + 1) λ ε (6) José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para todo λ > 0. Segue que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ ( ∞⋃ n=1 { x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) 6 ∞∑ n=1 µ ({ x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) = 0 Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0 q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 23 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para todo λ > 0. Segue que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ ( ∞⋃ n=1 { x ∈ Rn: f ∗(x) > 1 n }) 6 ∞∑ n=1 µ ({ x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) = 0 Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0 q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 23 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para todo λ > 0. Segue que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ ( ∞⋃ n=1 { x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) 6 ∞∑ n=1 µ ({ x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) = 0 Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0 q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 23 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para todo λ > 0. Segue que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ ( ∞⋃ n=1 { x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) 6 ∞∑ n=1 µ ({ x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) = 0 Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0 q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 23 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para todo λ > 0. Segue que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ ( ∞⋃ n=1 { x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) 6 ∞∑ n=1 µ ({ x ∈ Rn : f ∗(x) > 1 n }) = 0 Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0 q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 23 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Teorema da Diferenciação de Lebesgue Corolário (Teorema da Diferenciação de Lebesgue) Se f ∈ L1loc (Rn), então lim r→0 1 vol(B(x , r)) ∫ B(x ,r) f (y)dy = f (x), q.t.p. em Rn. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 24 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue Bibliografia FOLLAND, Gerald B. Real analysis: modern techniques and their applications. John Wiley Sons, 2013. KINUNNEN, Juha. Real Analysis. Dispońıvel em: <https://math.aalto.fi/ jkkinnun/files/real analysis.pdf/>. Acesso em: 19 de nov. de 2019. ROYDEN, Halsey Lawrence; FITZPATRICK, Patrick. Real Analysis. New York: Macmillan, 1988. STEIN, Elias M.; SHAKARCHI, Rami. Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton University Press, 2009. TAO, Terence. Lecture notes 3 for 247A. Dispońıvel em: <https://www.math.ucla.edu/ tao/247a.1.06f/notes3.pdf/>. Acesso em: 21 de nov. de 2019. José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 25 / 25 Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
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