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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
José Victor Gomes Teixeira
PPGMAE
Medida e Integração Aplicada à Probabilidade (MAE0013)
Prof. Dr. Diego Ferraz
UFRN-2019
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 1 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Sumário
1 Introdução
2 O Teorema da Cobertura de Vitali
3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood
4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 2 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Introdução
Queremos generalizar a ideia do Teorema Fundamental do
Cálculo para Rn;
Vamos provar o seguinte:
Teorema
Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy = 0 (1)
q.t.p. em Rn.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 3 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Introdução
Queremos generalizar a ideia do Teorema Fundamental do
Cálculo para Rn;
Vamos provar o seguinte:
Teorema
Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy = 0 (1)
q.t.p. em Rn.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 3 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Introdução
Note que:
∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy − f (x)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(f (y)− f (x))dy
∣∣∣∣∣
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy
donde temos:
Corolário (Teorema da Diferenciação de Lebesgue)
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy = f (x),
q.t.p. em Rn.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 4 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Introdução
Note que:
∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy − f (x)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ 1vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(f (y)− f (x))dy
∣∣∣∣∣
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy
donde temos:
Corolário (Teorema da Diferenciação de Lebesgue)
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy = f (x),
q.t.p. em Rn.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Sumário
1 Introdução
2 O Teorema da Cobertura de Vitali
3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood
4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 5 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Cobertura de Vitali
Figura 1: Giuseppe Vitali (1875-1932).
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 6 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Teorema da Cobertura de Vitali
Seja F uma coleção de bolas abertas B tal que
diam
( ⋃
B∈F
B
)
<∞
Então existe uma subcoleção enumerável de bolas disjuntas duas a
duas B (xi , ri ) ∈ F , i = 1, 2, . . . , tais que
⋃
B∈F
B ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 7 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ;
suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞. Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F .
Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞. Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞. Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞.
Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 8 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Prova: Escolhamos uma bola qualquer B (x1, r1) ∈ F ; suponha
que tenhamos escolhido B (x1, r1) , . . . ,B (xi−1, ri−1) ∈ F . Defina
di = sup
r : B(x , r) ∈ F e B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅

Observe que di < ∞, pois sup
B(x ,r)∈F
r < ∞. Se não houver bolas
B(x , r) ∈ F tais que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅,
o procedimento termina.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que
ri >
1
2
di e B (xi , ri ) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈
F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De
fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela
definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que
ri >
1
2
di >
1
2
r > 0 para cada i = 1, 2, . . .
Assim, como as bolas são disjuntas,
vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , ri )
)
=
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) =∞,
contradição.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que
ri >
1
2
di e B (xi , ri ) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈
F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas.
De
fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela
definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que
ri >
1
2
di >
1
2
r > 0 para cada i = 1, 2, . . .
Assim, como as bolas são disjuntas,
vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , ri )
)
=
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) =∞,
contradição.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de LebesgueTeorema da Cobertura de Vitali
Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que
ri >
1
2
di e B (xi , ri ) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈
F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De
fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . .
e pela
definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que
ri >
1
2
di >
1
2
r > 0 para cada i = 1, 2, . . .
Assim, como as bolas são disjuntas,
vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , ri )
)
=
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) =∞,
contradição.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que
ri >
1
2
di e B (xi , ri ) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈
F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De
fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela
definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . .
Isso implica que
ri >
1
2
di >
1
2
r > 0 para cada i = 1, 2, . . .
Assim, como as bolas são disjuntas,
vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , ri )
)
=
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) =∞,
contradição.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que
ri >
1
2
di e B (xi , ri ) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈
F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De
fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela
definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que
ri >
1
2
di >
1
2
r > 0 para cada i = 1, 2, . . .
Assim, como as bolas são disjuntas,
vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , ri )
)
=
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) =∞,
contradição.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Do contrário, escolhemos B (xi , ri ) ∈ F tal que
ri >
1
2
di e B (xi , ri ) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
As bolas selecionadas são disjuntas duas-a-duas. Seja B = B(x , r) ∈
F qualquer; então B intersecta alguma das bolas selecionadas. De
fato, caso contrário, B(x , r) ∩ B (xi , ri ) = ∅,∀i = 1, 2, . . . e pela
definição de di , teŕıamos di > r ,∀i = 1, 2, . . . Isso implica que
ri >
1
2
di >
1
2
r > 0 para cada i = 1, 2, . . .
Assim, como as bolas são disjuntas,
vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , ri )
)
=
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) =∞,
contradição.José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 9 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um
menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅.
Isso implica que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri ,
afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩
B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então,
‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri
como queŕıamos mostrar.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um
menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri ,
afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩
B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então,
‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri
como queŕıamos mostrar.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um
menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
e então r 6 di < 2ri ,.
Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri ,
afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩
B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então,
‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri
como queŕıamos mostrar.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um
menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri ,
afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ).
Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩
B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então,
‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri
como queŕıamos mostrar.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema da Cobertura de Vitali
Já que B(x , r) intersecta alguma B (xi , ri ) , i = 1, 2, . . . , há um
menor ı́ndice i tal que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅. Isso implica que
B(x , r) ∩
i−1⋃
j=1
B (xj , rj) = ∅
e então r 6 di < 2ri ,. Já que B(x , r) ∩ B (xi , ri ) 6= ∅ e r < 2ri ,
afirmamos que B(x , r) ⊂ B (xi , 5ri ). Com efeito, seja z ∈ B (xi , ri )∩
B(x , r) e y ∈ B(x , r). Então,
‖y − xi‖ 6 ‖y − z‖+ ‖z − xi‖ < 2r + ri < 5ri
como queŕıamos mostrar.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 10 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Sumário
1 Introdução
2 O Teorema da Cobertura de Vitali
3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood
4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 11 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
A Função Maximal de Hardy-Littlewood
Figura 2: G. H. Hardy. Figura 3: J. E. Littlewood.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 12 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Espaços Lploc(Ω)
Função localmente p-integrável
Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto e suponha que f : Ω −→ [−∞,∞]
é uma função mensurável. Então f ∈ Lploc(Ω) quando∫
K
|f |pdx <∞, 1 6 p <∞,
caso 1 ≤ p <∞, e
esssupK |f | <∞,
caso p =∞, para todo compacto K ⊂ Ω.
f é dita localmente p-integrável.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 13 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
A Função Maximal de Hardy-Littlewood
Função maximal de Hardy-Littlewood
A função maximal de Hardy-Littlewood Mf : Rn −→ [0,∞] de
f ∈ L1loc (Rn) é dada por
Mf (x) = sup
r>0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)|dy (2)
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 14 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Desigualdade (maximal) de Hardy-Littlewood
Seja f ∈ L1 (Rn). Então
µ({x ∈ Rn : Mf (x) > λ}) 6 5
n
λ
‖f ‖1 para cada λ > 0 (3)
Prova: Seja Aλ = {x ∈ Rn : Mf (x) > λ} , λ > 0. Para cada x ∈
Aλ existe rx > 0 talque
1
vol(B (x , rx))
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy > λ (4)
Gostaŕıamos de aplicar o teorema da cobertura de Vitali, mas não
sabemos se o conjunto ∪x∈AλB (x , rx) é limitado.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 15 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Desigualdade (maximal) de Hardy-Littlewood
Seja f ∈ L1 (Rn). Então
µ({x ∈ Rn : Mf (x) > λ}) 6 5
n
λ
‖f ‖1 para cada λ > 0 (3)
Prova: Seja Aλ = {x ∈ Rn : Mf (x) > λ} , λ > 0.
Para cada x ∈
Aλ existe rx > 0 tal que
1
vol(B (x , rx))
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy > λ (4)
Gostaŕıamos de aplicar o teorema da cobertura de Vitali, mas não
sabemos se o conjunto ∪x∈AλB (x , rx) é limitado.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 15 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Desigualdade (maximal) de Hardy-Littlewood
Seja f ∈ L1 (Rn). Então
µ({x ∈ Rn : Mf (x) > λ}) 6 5
n
λ
‖f ‖1 para cada λ > 0 (3)
Prova: Seja Aλ = {x ∈ Rn : Mf (x) > λ} , λ > 0. Para cada x ∈
Aλ existe rx > 0 tal que
1
vol(B (x , rx))
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy > λ (4)
Gostaŕıamos de aplicar o teorema da cobertura de Vitali, mas não
sabemos se o conjunto ∪x∈AλB (x , rx) é limitado.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 15 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Desigualdade (maximal) de Hardy-Littlewood
Seja f ∈ L1 (Rn). Então
µ({x ∈ Rn : Mf (x) > λ}) 6 5
n
λ
‖f ‖1 para cada λ > 0 (3)
Prova: Seja Aλ = {x ∈ Rn : Mf (x) > λ} , λ > 0. Para cada x ∈
Aλ existe rx > 0 tal que
1
vol(B (x , rx))
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy > λ (4)
Gostaŕıamos de aplicar o teorema da cobertura de Vitali, mas não
sabemos se o conjunto ∪x∈AλB (x , rx) é limitado.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 15 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k).
Seja
F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se
B (x , rx) ∈ F , então
vol(B (x , rx)) <
1
λ
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy 6 1
λ
‖f ‖1
donde conclúımos que
diam
 ⋃
x∈Aλ∩B(0,k)
B (x , rx)
 <∞
Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais
que
Aλ ∩ B(0, k) ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
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Desigualdade de Hardy-Littlewood
Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja
F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se
B (x , rx) ∈ F , então
vol(B (x , rx)) <
1
λ
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy 6 1
λ
‖f ‖1
donde conclúımos que
diam
 ⋃
x∈Aλ∩B(0,k)
B (x , rx)
 <∞
Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais
que
Aλ ∩ B(0, k) ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
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Desigualdade de Hardy-Littlewood
Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja
F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se
B (x , rx) ∈ F , então
vol(B (x , rx))
<
1
λ
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy 6 1
λ
‖f ‖1
donde conclúımos que
diam
 ⋃
x∈Aλ∩B(0,k)
B (x , rx)
 <∞
Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais
que
Aλ ∩ B(0, k) ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
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Desigualdade de Hardy-Littlewood
Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja
F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se
B (x , rx) ∈ F , então
vol(B (x , rx)) <
1
λ
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy
6
1
λ
‖f ‖1
donde conclúımos que
diam
 ⋃
x∈Aλ∩B(0,k)
B (x , rx)
 <∞
Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais
que
Aλ ∩ B(0, k) ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
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Desigualdade de Hardy-Littlewood
Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja
F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se
B (x , rx) ∈ F , então
vol(B (x , rx)) <
1
λ
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy 6 1
λ
‖f ‖1
donde conclúımos que
diam
 ⋃
x∈Aλ∩B(0,k)
B (x , rx)
 <∞
Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais
que
Aλ ∩ B(0, k) ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja
F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se
B (x , rx) ∈ F , então
vol(B (x , rx)) <
1
λ
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy 6 1
λ
‖f ‖1
donde conclúımos que
diam
 ⋃
x∈Aλ∩B(0,k)
B (x , rx)
 <∞
Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais
que
Aλ ∩ B(0, k) ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
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Desigualdade de Hardy-Littlewood
Então, considere para cada k ∈ N os conjuntos Aλ ∩ B(0, k). Seja
F a coleção de bolas quais cumprem (5) e x ∈ Aλ ∩ B(0, k). Se
B (x , rx) ∈ F , então
vol(B (x , rx)) <
1
λ
∫
B(x ,rx )
|f (y)|dy 6 1
λ
‖f ‖1
donde conclúımos que
diam
 ⋃
x∈Aλ∩B(0,k)
B (x , rx)
 <∞
Por Vitali, obtemos uma coleção B (xi , ri ) de bolas disjuntas tais
que
Aλ ∩ B(0, k) ⊂
∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Isso implica que:
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
)
6
∞∑
i=1
vol(B (xi , 5ri ))
= 5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
Mas note que:
5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) 6
5n
λ
∞∑
i=1
∫
B(xi ,ri )
|f (y)|dy = 5
n
λ
∫
∪∞i=1B(xi ,ri )
|f (y)|dy
6
5n
λ
‖f ‖1
Finalmente, µ(Aλ) = lim
k→∞
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5
n
λ ‖f ‖1.
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Desigualdade de Hardy-Littlewood
Isso implica que:
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
)
6
∞∑
i=1
vol(B (xi , 5ri ))
= 5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
Mas note que:
5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) 6
5n
λ
∞∑
i=1
∫
B(xi ,ri )
|f (y)|dy = 5
n
λ
∫
∪∞i=1B(xi ,ri )
|f (y)|dy
6
5n
λ
‖f ‖1
Finalmente, µ(Aλ) = lim
k→∞
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5
n
λ ‖f ‖1.
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Desigualdade de Hardy-Littlewood
Isso implica que:
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
)
6
∞∑
i=1
vol(B (xi , 5ri ))
= 5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
Mas note que:
5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) 6
5n
λ
∞∑
i=1
∫
B(xi ,ri )
|f (y)|dy = 5
n
λ
∫
∪∞i=1B(xi ,ri )
|f (y)|dy
6
5n
λ
‖f ‖1
Finalmente, µ(Aλ) = lim
k→∞
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5
n
λ ‖f ‖1.
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Desigualdade de Hardy-Littlewood
Isso implicaque:
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
)
6
∞∑
i=1
vol(B (xi , 5ri ))
= 5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
Mas note que:
5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
6
5n
λ
∞∑
i=1
∫
B(xi ,ri )
|f (y)|dy = 5
n
λ
∫
∪∞i=1B(xi ,ri )
|f (y)|dy
6
5n
λ
‖f ‖1
Finalmente, µ(Aλ) = lim
k→∞
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5
n
λ ‖f ‖1.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Isso implica que:
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
)
6
∞∑
i=1
vol(B (xi , 5ri ))
= 5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
Mas note que:
5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) 6
5n
λ
∞∑
i=1
∫
B(xi ,ri )
|f (y)|dy
=
5n
λ
∫
∪∞i=1B(xi ,ri )
|f (y)|dy
6
5n
λ
‖f ‖1
Finalmente, µ(Aλ) = lim
k→∞
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5
n
λ ‖f ‖1.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Isso implica que:
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
)
6
∞∑
i=1
vol(B (xi , 5ri ))
= 5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
Mas note que:
5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) 6
5n
λ
∞∑
i=1
∫
B(xi ,ri )
|f (y)|dy = 5
n
λ
∫
∪∞i=1B(xi ,ri )
|f (y)|dy
6
5n
λ
‖f ‖1
Finalmente, µ(Aλ) = lim
k→∞
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5
n
λ ‖f ‖1.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Isso implica que:
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
)
6
∞∑
i=1
vol(B (xi , 5ri ))
= 5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
Mas note que:
5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) 6
5n
λ
∞∑
i=1
∫
B(xi ,ri )
|f (y)|dy = 5
n
λ
∫
∪∞i=1B(xi ,ri )
|f (y)|dy
6
5n
λ
‖f ‖1
Finalmente, µ(Aλ) = lim
k→∞
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5
n
λ ‖f ‖1.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Desigualdade de Hardy-Littlewood
Isso implica que:
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 vol
( ∞⋃
i=1
B (xi , 5ri )
)
6
∞∑
i=1
vol(B (xi , 5ri ))
= 5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri ))
Mas note que:
5n
∞∑
i=1
vol(B (xi , ri )) 6
5n
λ
∞∑
i=1
∫
B(xi ,ri )
|f (y)|dy = 5
n
λ
∫
∪∞i=1B(xi ,ri )
|f (y)|dy
6
5n
λ
‖f ‖1
Finalmente, µ(Aλ) = lim
k→∞
µ(Aλ ∩ B(0, k)) 6 5
n
λ ‖f ‖1.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Sumário
1 Introdução
2 O Teorema da Cobertura de Vitali
3 A Função Maximal de Hardy-Littlewood
4 O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 18 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema
Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy = 0 (5)
q.t.p. em Rn.
Prova: Sem perda de generalidade, podemos considerar f ∈ L1(Rn).
Assim, definimos uma ”versão”da função maximal por
f ∗(x) = lim sup
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 19 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema
Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy = 0 (5)
q.t.p. em Rn.
Prova: Sem perda de generalidade, podemos considerar f ∈ L1(Rn).
Assim, definimos uma ”versão”da função maximal por
f ∗(x) = lim sup
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Teorema
Suponha que f ∈ L1loc (Rn). Então
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy = 0 (5)
q.t.p. em Rn.
Prova: Sem perda de generalidade, podemos considerar f ∈ L1(Rn).
Assim, definimos uma ”versão”da função maximal por
f ∗(x) = lim sup
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 19 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova
em seis fatos.
1 É claro que f ∗ > 0;
2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular);
3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que
‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε
Então, tomando 0 < r 6 δ, temos
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|g(y)− g(x)|dy < ε
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova
em seis fatos.
1 É claro que f ∗ > 0;
2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular);
3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que
‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε
Então, tomando 0 < r 6 δ, temos
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|g(y)− g(x)|dy < ε
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova
em seis fatos.
1 É claro que f ∗ > 0;
2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular);
3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que
‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε
Então, tomando 0 < r 6 δ, temos
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|g(y)− g(x)|dy < ε
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova
em seis fatos.
1 É claro que f ∗ > 0;
2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular);
3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que
‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε
Então, tomando 0 < r 6 δ, temos
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|g(y)− g(x)|dy < ε
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Vamos mostrar que f ∗(x) = 0, q.t.p. em Rn. Divideremos a prova
em seis fatos.
1 É claro que f ∗ > 0;
2 (f + g)∗ 6 f ∗ + g∗ (basta usar a desigualdade triangular);
3 Se g é cont́ınua em x , então g∗(x) = 0, pois dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que
‖y − x‖ < δ =⇒ |g(y)− g(x)| < ε
Então, tomando 0 < r 6 δ, temos
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|g(y)− g(x)|dy < ε
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que:
(f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗
5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy 6 1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(|f (y)|+ |f (x)|)dy
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)|dy + |f (x)|
6 Mf (x) + |f (x)|
6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ,
donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim,
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Introdução O Teorema da Cobertura deVitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que:
(f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗
e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗
5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy 6 1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(|f (y)|+ |f (x)|)dy
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)|dy + |f (x)|
6 Mf (x) + |f (x)|
6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ,
donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim,
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que:
(f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗
5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy 6 1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(|f (y)|+ |f (x)|)dy
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)|dy + |f (x)|
6 Mf (x) + |f (x)|
6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ,
donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim,
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que:
(f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗
5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy 6 1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(|f (y)|+ |f (x)|)dy
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)|dy + |f (x)|
6 Mf (x) + |f (x)|
6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ,
donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim,
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 21 / 25
Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que:
(f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗
5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy 6 1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(|f (y)|+ |f (x)|)dy
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)|dy + |f (x)|
6 Mf (x) + |f (x)|
6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ,
donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim,
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
4 Se g ∈ C (Rn) , então (f − g)∗ = f ∗, basta ver que:
(f −g)∗ 6 f ∗+(−g)∗ = f ∗ e f ∗ 6 (f −g)∗+g∗ = (f −g)∗
5 f ∗ 6 Mf + |f |, pois
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)− f (x)|dy 6 1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
(|f (y)|+ |f (x)|)dy
6
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
|f (y)|dy + |f (x)|
6 Mf (x) + |f (x)|
6 Se f ∗(x) > λ, então pelo item 5, temos Mf (x) + |f (x)| > λ,
donde Mf (x) > λ/2 ou |f (x)| > λ/2. Assim,
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ
({
x ∈ Rn : Mf (x) > λ
2
})
+ µ
({
x ∈ Rn : |f (x)| > λ
2
})
6
2 · 5n
λ
‖f ‖1 +
2
λ
‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev)
=
2 (5n + 1)
λ
‖f ‖1,
por Chebyshev e Hardy-Littlewood.
Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e.,
∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então,
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4)
6
2 (5n + 1)
λ
‖f − g‖1 (item (6))
<
2 (5n + 1)
λ
ε
(6)
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ
({
x ∈ Rn : Mf (x) > λ
2
})
+ µ
({
x ∈ Rn : |f (x)| > λ
2
})
6
2 · 5n
λ
‖f ‖1 +
2
λ
‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev)
=
2 (5n + 1)
λ
‖f ‖1,
por Chebyshev e Hardy-Littlewood.
Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn),
i.e.,
∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então,
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4)
6
2 (5n + 1)
λ
‖f − g‖1 (item (6))
<
2 (5n + 1)
λ
ε
(6)
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ
({
x ∈ Rn : Mf (x) > λ
2
})
+ µ
({
x ∈ Rn : |f (x)| > λ
2
})
6
2 · 5n
λ
‖f ‖1 +
2
λ
‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev)
=
2 (5n + 1)
λ
‖f ‖1,
por Chebyshev e Hardy-Littlewood.
Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e.,
∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε.
Então,
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4)
6
2 (5n + 1)
λ
‖f − g‖1 (item (6))
<
2 (5n + 1)
λ
ε
(6)
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ
({
x ∈ Rn : Mf (x) > λ
2
})
+ µ
({
x ∈ Rn : |f (x)| > λ
2
})
6
2 · 5n
λ
‖f ‖1 +
2
λ
‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev)
=
2 (5n + 1)
λ
‖f ‖1,
por Chebyshev e Hardy-Littlewood.
Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e.,
∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então,
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4)
6
2 (5n + 1)
λ
‖f − g‖1 (item (6))
<
2 (5n + 1)
λ
ε
(6)
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 22 / 25
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ
({
x ∈ Rn : Mf (x) > λ
2
})
+ µ
({
x ∈ Rn : |f (x)| > λ
2
})
6
2 · 5n
λ
‖f ‖1 +
2
λ
‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev)
=
2 (5n + 1)
λ
‖f ‖1,
por Chebyshev e Hardy-Littlewood.
Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e.,
∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então,
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4)
6
2 (5n + 1)
λ
‖f − g‖1 (item (6))
<
2 (5n + 1)
λ
ε
(6)
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) 6 µ
({
x ∈ Rn : Mf (x) > λ
2
})
+ µ
({
x ∈ Rn : |f (x)| > λ
2
})
6
2 · 5n
λ
‖f ‖1 +
2
λ
‖f ‖1 (Desig. de H.-L. e Chebyshev)
=
2 (5n + 1)
λ
‖f ‖1,
por Chebyshev e Hardy-Littlewood.
Agora, vamos usar o fato de que C0(Rn) é denso em L1(Rn), i.e.,
∀ε > 0 existe g ∈ C0 (Rn) tal que ‖f − g‖1 < ε. Então,
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = µ({x ∈ Rn : (f − g)∗(x) > λ}) (item (4)
6
2 (5n + 1)
λ
‖f − g‖1 (item (6))
<
2 (5n + 1)
λ
ε
(6)
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para
todo λ > 0. Segue que
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0})
= µ
( ∞⋃
n=1
{
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
6
∞∑
n=1
µ
({
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
= 0
Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0
q.t.p. em Rn.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 23 / 25
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para
todo λ > 0. Segue que
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ
( ∞⋃
n=1
{
x ∈ Rn: f ∗(x) > 1
n
})
6
∞∑
n=1
µ
({
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
= 0
Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0
q.t.p. em Rn.
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para
todo λ > 0. Segue que
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ
( ∞⋃
n=1
{
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
6
∞∑
n=1
µ
({
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
= 0
Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0
q.t.p. em Rn.
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para
todo λ > 0. Segue que
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ
( ∞⋃
n=1
{
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
6
∞∑
n=1
µ
({
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
= 0
Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0
q.t.p. em Rn.
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O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Fazendo ε→ 0, conclúımos que µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > λ}) = 0 para
todo λ > 0. Segue que
µ({x ∈ Rn : f ∗(x) > 0}) = µ
( ∞⋃
n=1
{
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
6
∞∑
n=1
µ
({
x ∈ Rn : f ∗(x) > 1
n
})
= 0
Assim, f ∗(x) ≤ 0 q.t.p. em Rn; então, pelo item (1), f ∗(x) = 0
q.t.p. em Rn.
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Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Corolário (Teorema da Diferenciação de Lebesgue)
Se f ∈ L1loc (Rn), então
lim
r→0
1
vol(B(x , r))
∫
B(x ,r)
f (y)dy = f (x),
q.t.p. em Rn.
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Introdução O Teorema da Cobertura de Vitali A Função Maximal de Hardy-Littlewood O Teorema da Diferenciação de Lebesgue
Bibliografia
FOLLAND, Gerald B. Real analysis: modern techniques
and their applications. John Wiley Sons, 2013.
KINUNNEN, Juha. Real Analysis. Dispońıvel em:
<https://math.aalto.fi/ jkkinnun/files/real analysis.pdf/>.
Acesso em: 19 de nov. de 2019.
ROYDEN, Halsey Lawrence; FITZPATRICK, Patrick. Real
Analysis. New York: Macmillan, 1988.
STEIN, Elias M.; SHAKARCHI, Rami. Real analysis:
measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton
University Press, 2009.
TAO, Terence. Lecture notes 3 for 247A. Dispońıvel em:
<https://www.math.ucla.edu/ tao/247a.1.06f/notes3.pdf/>.
Acesso em: 21 de nov. de 2019.
José Victor Gomes MAE0013 UFRN-2019 25 / 25
	Introdução
	O Teorema da Cobertura de Vitali
	A Função Maximal de Hardy-Littlewood
	O Teorema da Diferenciação de Lebesgue