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PRATICA INTERDISCIPLINAR APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA PAPER

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APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
EDISON LUIS DA SILVA JUNIOR
CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI – UN IASSELVI 
TURMA: FLEX(1061) CURSO: MATEMÁTICA –SEMINÁRIO DA PRÁTICA INTERDISCIPLINA III: APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (MAD114)- 14/06/2020.
 
 
 
RESUMO 
 
O trabalho exposto trata-s e de uma breve apresentação dos conceitos básicos, algumas das suas características fundamentais, para não ser um conteúdo evasivo. Sobre a álgebra linear e da geometria analítica, por em daremos ênfase nas suas aplicações no nosso cotidiano atual e suas ligações com outras áreas, como computação, engenharia, física, entre outras. 
Palavras-chave: Geometria; Álgebra; Conteúdo.
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Dissertaremos nesse periódico algumas das noções básicas de álgebra linear e 
geometria analítica, assim como daremos ênfase para suas aplicações no dia a dia. 
Não requer muito conhecimento para saber o quanto a matemática está envolvida 
com o mundo atual. Ela vem se aperfeiçoando dês dos Babilônios com suas necessidades de medir e dividir as terras, e hoje em dia e quase impossível imaginar o mundo sem as facilidades oferecidas pela matemática. Na computação por exemplo está repleto de matrizes, assim como a engenharia usufrui da geometria analítica. Berlinghoff (2010). 
aponta que cada etapa do desenvolvimento da matemática é construída com base naquilo que veio antes, impulsionada pelas necessidades que surgem na conjuntura em que tal área é discutida. 
D’Ambrosio completa dizendo: 
 “[...] como é fundamental para o ensino da matemática , essa 
adaptação com as situações reais. Parece de fundamental importância e 
que representa o verdadeiro espírito da M atemática é a capacidade de 
modelar situação real, codificá-las adequadamente, de maneira a 
permitir a utilização das técnicas e resultados conhecidos e m um outro 
contexto, novo. Isto é, a transferência de aprendizado resultante de certa 
situação para uma situação nova é um ponto crucial do que se poderia chamar aprendizado da Matemática, e talvez o objetivo maior do seu ensino”. (D’A MBROSIO, 1996, p. 44).
2 ALGEBRA LINEAR
A princípio gostaria de fazer uma breve apresentação de álgebra, a palavra tem 
sua origem do árabe, porem sua tradução e bastante instável. Algumas variações são "ciência da restauração (ou reunião) e redução", "ciência da transposição e 
cancelamento"- ou ainda, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e " o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações". 
Álgebra linear surgiu do estudo detalhado d e sistema s de equações lineares, sejam 
elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como: 
Figura 01- exemplo Google, álgebra linear:
 
Fonte:https://www.prof-edigleyalexandre.com/2015/01/a-algebra-linear-por-tras-google.html
Vetores: Os vetores, nada mais são do que um trio constituído de uma direção, 
um sentido e modulo, também um conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido e de mesmo comprimento (VENTURI,1949), uma reta com tamanho, direção e sentido são usados para expressar grandezas físicas vetoriais, ou seja, aquelas que só podem ser completamente definidas se conhecemos o seu valor numérico, a direção em que atuam (horizontal e vertical), e também o seu sentido (para cima, para baixo). “Dois pontos não coincidente de uma reta determinam um segmento desta reta, quando orientamos esse ponto passamos a ter um SEGUIMENTO O RIENTADO DE RETA (AB), cuja origem é A e a extremidade é B.” (CORRÊA, 2006, p.9). Posição, velocidade, aceleração, força e quantidade de movimento são bons exemplos de grandezas vetoriais.
 
Figura 02- mapa mental, vetores:
Mapa Mental: Vetores
Fote:https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-sao-vetores.htm
Espaços vetoriais: Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamado 
vetores, que podem ser somados um ao outro e multiplicados ("escalonados") por 
números, denominados escalares. Os números reais são escalares frequentemente 
utilizados, mas também existem espaços vetoriais com multiplicação por números 
complexos, números racionais. As operações de adição de vetores e multiplicação por 
escalar precisam satisfazer algumas propriedades, denominadas de axiomas. Para 
explicitar se os escalares são números reais ou complexo, os termos, espaço vetorial real 
e espaço vetorial complexo são frequentemente utilizados. 
Figura 03- espaços vetoriais:
Fonte:https://slideplayer.com.br/slide/3523503/11/images/2/Espa%C3%A7os+Vetoriais+Defini%C3%A7%C3%A3o%3A+Denomina-se+espa%C3%A7o+vetorial+sobre+um+corpo+ao+conjunto+%2C+tal+que%3A.jpg
 
Transformações lineares: é um tipo de função entre dois espaços vetoriais que 
preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais. 
Sistemas de equações lineares: caracteriza-se por ser um conjunto de equações lineares, com M equações e N incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolvermos um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, para que o sistema linear seja verdadeiro o conjunto ordenado dos números (a1, a2, a3, …, AN) deve ser solução do sistema linear nas incógnitas x1, x2, x3, …, xn, para x1 = a1, x2 = a2, …, xn = AN. 
E por fim, matrizes: consiste de qualquer tabela formada do tipo m x n (m por n) uma tabela disposta por m linha e n colunas, a mesma deve ser representada entre parênteses () ou colchetes []. 
 
2.1 APLICAÇOES DA ALGEBRA LINEAR
 
A álgebra linear está completamente envolvida com nossos dias atuais, como 
exemplo podemos citar sua ligação com : engenharia e na ciência da computação, onde a manipulação de imagens, rotação, redimensionamento, alteração de cores são operações lineares; tensores, como generalização de vetores, são ferramentas que são amplamente utilizadas na mecânica quântica, relatividade, e estatística e, por isso, faz com que a álgebra linear seja fundamental para estudantes de ciências exatas; construir curvas e superfícies por pontos especificados, criar redes elétricas, jogos de estratégia, modelos econômicos de Leontief, administrar florestas, distribuir temperatura e equilíbrio e fazer pesquisas de crescimento populacional por faixa etária, pode -se dizer que ela está por toda parte, é preciso apenas olhar minuciosamente, que haverá alguma ligação com ela.
Figura 04- aplicações da álgebra linear, exemplo quadro demonstrativo:
Fonte: http://www.cienciaedados.com/por-que-voce-deve-aprender-algebra-linear-para-trabalhar-com-machine-learning/
2.2 GEOMETRIA ANALÍTICA
E inserto dizer aonde surgiu, quando e quem a desenvolveu, mas segundo EVES:
Antes de a geometria analítica poder desempenhar plenamente esse 
papel, teve que esperar o desenvolvimento do simbolismo e dos 
processos algébricos. Assim, parece mais correto concordar com a 
maioria dos historiadores que consideram as contribuições decisivas 
feitas no século XVII pelos matemáticos franceses René Descartes e 
Pierre de Fermat como a origem essencial do assunto. Sem dúvida, só 
depois da contribuição dada por esses dois homens à geometria analítica 
é que esta ganhou os contornos iniciais da forma com que estamos 
familiarizados. (EVES, 2004, p.383).
Complementando,segundo Murari: 
A Geometria, parte integrante do saber matemático, exige linguagem e 
procedimentos apropriados para que suas relações conceituais e sua 
especificidade quanto às representações simbólicas sejam entendidas. 
Por isso, a preocupação dos educadores matemáticos com sua prática 
pedagógica não é recente. Ela é um ramo da Matemática que possui um 
campo muito fecundo, e a maneira como for estudada irá refletir no desenvolvimento intelectual, no raciocínio lógico e na capacidade de 
abstração e generalização do aluno. (MAURARI, 2012, p.216).
René Descartes desenvolveu o conceito de geometria analítica com o intuito de 
relacionar a álgebra com a Geometria. A mesma é uma área de exatas que estuda geometria plana e geometria espacial utilizando novos conceitos, tendo funções umas das suas ferramentas fundamentais, pois é a partir delas que são geradas as coordenadas (um ponto no qual suas medidas dependem exclusivamente e das medidas de duas retas expostas em um gráfico (plano cartesiano). Basicamente, identifica-se cada ponto de um plano com suas coordenadas em relação a um sistema que consiste de duas retas orientadas – uma horizontal, outra vertical. O ponto de interseção (em ângulo reto) desses dois eixos é dito a origem do sistema. (BEZERRA, 2010, p.11)Os gráficos são de grande utilidade nesse 
campo pois algumas figuras passam a ser analisadas agora utilizando conceitos de coordenadas. 
O estudo da geometria analítica no ensino médio é dividido em; estudo analítico 
do ponto, no qual analisa as inúmeras variações de um ponto no plano cartesiano;estudo 
analítico da reta, observando como as retas se comportam em diferentes situações; estudo analítico da circunferência, tendo em foco : ângulos, seno, cosseno, tangente e suas inversas; vetores e cônicas. 
Essa área e de suma importância para estudos geométricos, pois com ela e possível 
estudar figuras, estatísticas, comparativos, entre outros, tendo apenas seus valores, sem ter a necessidade de ter contato direto com o objeto em estudo. Todos os estudos acontecem no plano cartesiano observando as variações do gráfico projetado de acordo com as dimensões da figura ou com os dados já pré-estabelecidos. 
Figura 05- Geometria Analítica:
Fonte: https://descomplica.com.br/artigo/mapa-mental-geometria-analitica/4qg/
 
2.2.1 APLICAÇOES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
Algumas áreas usufruem mais outras menos, em alguns casos de forma intuitiva, 
mas a geometria analítica está frequentemente inserida no nosso dia a dia. Ao construir um gráfico, ao locar a construção do alicerce de uma casa, aviões e embarcações situam-se em suas rotas valendo-se de aparelhos denomina dos GPS que, por sua vez, utilizam coordenadas fornecidas por satélites, ao criar gráficos de lucros de uma empresa no qual o lucro está diretamente relacionado as vendas de um produto. 
As vezes não e porque algo não aborda matemática que ele não necessite da mesma para ser projetado. Um exemplo disso é o desenvolvimento de jogos, aplicativos ou qualquer outro tipo de softwares de computadores e/ou smartphones. É o princípio da Computação gráfica, que serve para projetar simulações para áreas de Engenharia. Seja na geometria algébrica, física, geometria diferencial, engenharia e outras ela estará lá. 
Segundo Iezzi et al. (2010) a Geometria Analítica desempenha grande importância no desenvolvimento da computação gráfica. Os autores abordam que os monitores dos nossos computadores são modelos de estrutura do plano cartesiano com um número finito de pontos, e a qualidade da imagem do monitor e da impressão dessa imagem esta diretamente relacionada a quantidade de pontos desse monitor. 
Um breve exemplo do seu uso em física, é a utilização da mesma nos estudos de 
aceleração em relação ao tempo, distância em relação ao tempo e velocidade. Como demonstração podemos citar um exemplo de aceleração, que está diretamente ligada com o tempo, ou seja, a aceleração depende de qual posição do tempo está sendo analisada. 
Qualquer tipo de comparativo no qual os valores, de um dado objeto de estudo, 
dependam diretamente dos valores de uma outra variante, podes dizer então que a geometria analítica será uma ferramenta útil para os estudos em questão. 
Figura 06- aplicações de geometria analítica em construções, exemplo:
Fonte: https://slideplayer.com.br/slide/2728302/
 
3 MATERIAL E MÉTODOS
Trata-se de um estudo bibliográfico, que também pode ser identificado como 
fontes secundárias, onde engloba toda a bibliografia tida como pública acerca do tema estudado. Deste modo, foi pesquisada a temática proposta pelas bases de dados, GOOGLE A CADÊMICO, bem como livros que também discorriam sobre o assunto; selecionados os artigos pertinentes do ano de 1997 ao ano de 2019, com os seguintes descritores: ÁLGEBRA; GEOMETRIA; CONTEUDO. 
Após, procedeu-se leitura dos mesmos, onde se eliminou os artigos dispensáveis para esta escrita. Tido conhecimento do tema proposto, procedeu-se a produção deste presente. Levando sempre em consideração a veridicidade e a coerência com o assunto.
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
A partir desse periódico pode -se afirmar que a álgebra linear e a geometria 
analítica são ferramentas indispensáveis no nosso cotidiano. Sem a álgebra linear seria inúmeras vezes mais difícil resolver equações que revolucionam o mundo a cada dia que passa. É pela facilidade ocasionada por ela que foram possível desenvolver os jogos, os softwares que nos auxiliam no nosso dia a dia. 
Mas não pode deixar de citar a geometria analítica, com base em funções, faz com 
que facilite as análises das relações de duas variáveis em um gráfico (plano cartesiano), outra utilidade dela e no GPS (sistema de posicionam entoglobal), que utiliza um sistema de duas retas perpendiculares para fixar um ponto de posicionamento. 
 
5 CONCLUSÃO 
 
Conclui-se que ambas as áreas abordadas no trabalho, são de grandiosa 
importância para o cotidiano em que vivemos, se trata de um longo período de 
desenvolvimento, desde os babilônios e egípcios, filósofos matemáticos, até chegar aos dias atuais. E o que torna tão difícil imaginar o mundo sem esses objetos de estudos e a nossa antiga ligação com eles, vem da ligação de várias eras em contato com as facilidades oferecidas pelos mesmos. 
A álgebra facilitou estudos de inúmeras áreas, proporciono grandes avanços na área da computação. Por sua vez a geometria analítica, alavancou os estudos de funções, possibilitou uma análise diferentes da geometria clássica, e possui ainda ligações com a física, engenharia computação, entre outras áreas. 
 
REFERÊNCIAS 
 
BERLINGHOFF, W. P ; GOUVEA, F. Q. A matemática através dos tempos. 2ª ed. São 
Paulo: Blucher, 2010. 
 
BEZERRA, Licio Hernanes Geometria anal ítica / Licio Hernanes Bezerra, Ivan Pontual 
Costa e Silva. – 2. ed. – Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2010.
CORRÊA, Paulo Sérgio Quilelli, álgebra linear e geometria analitica, ed. interciência, 
Rio de Janeiro-2006 
 
D’ AMBROSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e matemática. São 
Paulo: Sammus; Campinas: Ed. Universidade Estadual de Campinas, 1996. 
 
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. 
Domingues. ed. da Unicamp São Paulo - 2004. 
 
IEZZI, Gelson, et al. Matemática: ciência e aplicações. vol 3. São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
VENTURI, Jaci. J. Álgebra Vetorial e Geometria Ana lítica. 9a. ed. Curitiba: Infante, 
1949.

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