APOSTILA 01 CALCULO DE VOLUME

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CÁLCULO DE VOLUME 
Prof. Antonio Estanislau Sanches 
Eng. Cartógrafo 
Em muitos trabalhos de engenharia é preciso calcular volumes, como 
no caso de faixas de rodovias e ferrovias, p/ determinar a quantidade 
de cortes e aterros no terreno; também, no calculo grandes áreas 
para o cálculo do volume de reservatórios; na cubagem de jazidas e 
em outras atividades. 
Introdução 
Sejam dois planos α e β paralelos, um polígono P contido num deles e 
uma reta r concorrente com os dois. Chamamos de prisma à reunião 
de todos os segmentos paralelos a r, com extremidades no polígono P 
e no outro plano. A distância entre as bases é denominada altura h do 
prisma. 
Cálculo de volume de prismas e sólidos 
altura da pirâmide menor => x 
altura da pirâmide maior => 40 + x 
Cálculo do Volume c/ fórmula 
Cálculo do Volume c/ fórmula 
Cálculo do Volume c/ fórmula 
V = 0,0693 m3 
EXERCÍCIO: 
Uma vala foi aberta para a passagem de uma tubulação, conforme 
mostra a figura abaixo. Pede-se para calcular o volume da escavação. 
Considerar tanto o terreno, quanto a base da escavação como planos. 
RESPOSTA 
1 1 1 
1,5 
VOLUME = 3 * 3 => 9m3 
EXERCÍCIO: 
Deseja-se construir uma rampa com inclinação de 10%, conforme o 
exemplo dado. Sabendo que a cota de início da rampa é de 34,55m 
(ponto mais baixo), que o terreno está nivelado na cota 36,73m e 
que a rampa deverá ter largura de 7m, calcular o volume de material a 
ser retirado do terreno. 
RESPOSTA 
Volume = 23,762 * 7 
 
Volume = 166,33 m3 
Cálculo do volume pelo método das alturas ponderadas 
Este método baseia-se na decomposição de um sólido cujo volume 
deseja-se calcular em sólidos menores. Estes sólidos são 
normalmente de base quadrada ou triangular. 
 
Sua utilização típica é em escavações, podendo no entanto também 
ser aplicado a volume de barragens e outras obras de engenharia. 
 
Para realizar o cálculo do volume consideremos um sólido de base 
quadrada e área Q e arestas verticais com alturas Z1, Z2, Z3 e Z4. O 
volume deste sólido será dado pelo produto da área da base pela 
média das alturas das arestas, conforme mostra a equação abaixo: 
Na prática o terreno é dividido em uma 
malha regular e cada ponto desta malha 
tem a sua cota calculada por algum 
método de nivelamento. 
Após a definição da cota de escavação, 
ou seja, a cota em que o terreno deverá 
ficar após a retirada do material, será 
possível calcular as alturas das arestas 
dos sólidos para o cálculo do volume. 
Plano de Cota = 85 m 
86 m 
87 m 88 m 88 m 
Calcular o volume de corte de um 
terreno de 10x10m, cujas cotas dos 
cantos aparecem na figura ao lado. 
Calcular o volume de corte para 
deixar o terreno plano na cota 85m. 
Plano de Cota = 85 m 
86 m 
87 m 88 m 88 m 
RESPOSTAS 
V = 10 * 10 ( 1 + 2 + 3 + 3 ) / 4 
V = 225 m3 
Plano de Cota = 85 m 
86 m 
87 m 88 m 88 m 
RESPOSTAS 
V = 10 * 10 ( 1 + 2 + 3 + 3 ) / 4 
V = 225 m3 
Calcular o novo volume de corte para 
deixar o terreno plano na cota 84m. 
Plano de Cota = 84 m 
86 m 
87 m 
88 m 
88 m 
Plano de Cota = 85 m 
86 m 
87 m 88 m 88 m 
RESPOSTAS 
V = 10 * 10 ( 1 + 2 + 3 + 3 ) / 4 
V = 225 m3 
Calcular o novo volume de corte para 
deixar o terreno plano na cota 84m. 
Plano de Cota = 84 m 
86 m 
87 m 
88 m 
88 m 
V = 10 * 10 ( 2 + 3 + 4 + 4 ) / 4 
V = 325 m3 
Para uma malha de pontos 
podemos calcular o volume de cada 
célula da malha e depois somar 
todos os volumes. 
A partir do exemplo abaixo, com malhas quadradas de lado “L”, é 
possível deduzir uma fórmula geral para o cálculo do volume pelo 
métodos das alturas ponderadas. 
Note que os pontos que entram somente no cálculo de um sólido 
recebem peso 1, (ponto A por exemplo), pontos que entram no 
cálculo do volume de dois sólidos, recebem peso 2 (pontos B e F) 
e finalmente, para pontos utilizados no cálculo do volume de três 
sólidos, recebem peso 3 (ponto E). 
 
A partir desta dedução é possível chegar a uma fórmula geral para 
o cálculo do volume através do método das alturas ponderadas: 
Onde os pesos 1, 2, 3 e 4 correspondem: 
EXERCÍCIO: - Calcular o volume de corte para a malha abaixo. A cota 
de escavação é de 100 m e o lado da malha quadrada mede 20 m. As 
cotas dos vértices da malha são dados em metros. 
EXERCÍCIO: - Calcular o volume de corte para a malha abaixo. A cota 
de escavação é de 100 m e o lado da malha quadrada mede 20 m. As 
cotas dos vértices da malha são dados em metros. 
EXERCÍCIO: - Calcular o volume de corte para a malha abaixo. A cota 
de escavação é de 100 m e o lado da malha quadrada mede 20 m. As 
cotas dos vértices da malha são dados em metros. 
EXERCÍCIO: - Calcular o volume de corte para a malha abaixo. A cota 
de escavação é de 100 m e o lado da malha quadrada mede 20 m. As 
cotas dos vértices da malha são dados em metros. 
EXERCÍCIO: - Calcular o volume de corte para a malha abaixo. A cota 
de escavação é de 100 m e o lado da malha quadrada mede 20 m. As 
cotas dos vértices da malha são dados em metros. 
Calcular o volume através da fórmula: 
EXERCÍCIO: - Calcular o volume de corte para a malha abaixo. A cota 
de escavação é de 100 m e o lado da malha quadrada mede 20 m. As 
cotas dos vértices da malha são dados em metros. 
EXERCÍCIO: - Calcular o volume de corte para a malha dada abaixo. 
A cota de escavação é 47 m e o lado da malha quadrada mede 20 m. 
São dadas as cotas, em metros, de cada um dos vértices da malha. 
SOLUÇÃO: 
COTA DE PASSAGEM 
Em alguns casos pode ser necessário que o volume de corte 
seja igual ao volume de aterro. Calcular a cota para a qual o 
volume de corte seja igual ao volume de aterro (cota de 
passagem = Cp). 
Como a área da base e o volume são os mesmos para 
ambos os casos, o que vai mudar é cota de escavação. 
 
Co = Cota de escavação 
Corte Aterro 
Cp = Cota de passagem 
Logo: Cp = Co + h 
COTA DE PASSAGEM 
Para uma cota de escavação Co encontramos um volume Vo. 
Mas queremos um valor de cota de passagem (Cp) para qual 
o volume de corte compensaria o volume de aterro. 
 O valor de h está 
referenciado ao plano 
de cota Co, então o 
valor final da cota de 
passagem será: 
COTA DE PASSAGEM - Exemplo 
Sendo: Q = 20 x 20 m 
Cota Escavação = 100 m 
Cota Base = 100 
Pt Cota Zi Peso Zi * Pi 
A1 109,2 9,2 1 9,2 
A2 107,0 7,0 1 7 
B1 107,1 7,1 2 14,2 
B2 105,0 5,0 3 15 
B3 103,2 3,2 1 3,2 
C1 105,0 5,0 1 5 
C2 103,3 3,3 2 6,6 
C3 101,4 1,4 1 1,4 
Σ = 12 61,6 
S = 20*20*3 Q = 400 m2 
S = 1200 m2 V = 6160 m3 
 Cp = Co + Vo/S 
 S = 3 * Q 
COTA DE PASSAGEM - Exemplo 
Sendo: Q = 20 x 20 m 
Cota Escavação = 100 m 
Cota Base = 100 
Pt Cota Zi Peso Zi * Pi 
A1 109,2 9,2 1 9,2 
A2 107,0 7,0 1 7 
B1 107,1 7,1 2 14,2 
B2 105,0 5,0 3 15 
B3 103,2 3,2 1 3,2 
C1 105,0 5,0 1 5 
C2 103,3 3,3 2 6,6 
C3 101,4 1,4 1 1,4 
Σ = 12 61,6 
S = 20*20*3 Q = 400 m2 
S = 1200 m2 V = 6160 m3 
 Cp = Co + Vo/S 
 S = 3 * Q 
COTA DE PASSAGEM – Outro método 
Cp = 1261,6 / 12 
Cp = 105,13 m 
EXERCÍCIO 
Para a cota de escavação Co = 47 m, encontrar o valor da cota 
de passagem (Cp), sendo o grid medido de 20 em 20 metros. 
 
EXERCÍCIO Para a cota de escavação 
Co = 47 m, encontrar o 
valor da cota de passagem 
(Cp), sendo o grid medido 
de 20 em 20 metros. 
 
Cota base 47 
Ponto Cotas Zi Peso Z * Peso Cota*Peso 
A1 46,1 -0,9 1 -0,90 46,1 
A2 47,4 0,4 2 0,80 94,8 
A3 48,4 1,4 2 2,80 96,8 
A4 47,2 0,2 1 0,20 47,2 
B1 47,8 0,8 2 1,60 95,6 
B2 50,1 3,1 4 12,40 200,4 
B3 47,7 0,7 4 2,80 190,8 
B4 46,1 -0,9 2 -1,80 92,2 
C1 49,5 2,5 1 2,50 49,5 
C2 50,1 3,1 2 6,20 100,2 
C3 47,3 0,3 2 0,60 94,6 
C4 44,8 -2,2 1 -2,20 44,8 
Somatório = 24 25,00 1.153 
Q Base = 400 m2 
Volume Total = 2.500 m3 
(Área Total) => S = 2.400 m2 
 Cp = Co + Vo/S 
 Cp = Σcota*Peso / ΣPeso 
EXERCÍCIO Para a cota de escavação 
Co = 47 m, encontrar o 
valor da cota de passagem 
(Cp), sendo o grid medido 
de 20 em 20 metros. 
 
Cota base 47 
Ponto Cotas Zi Peso Z * Peso Cota*PesoA1 46,1 -0,9 1 -0,90 46,1 
A2 47,4 0,4 2 0,80 94,8 
A3 48,4 1,4 2 2,80 96,8 
A4 47,2 0,2 1 0,20 47,2 
B1 47,8 0,8 2 1,60 95,6 
B2 50,1 3,1 4 12,40 200,4 
B3 47,7 0,7 4 2,80 190,8 
B4 46,1 -0,9 2 -1,80 92,2 
C1 49,5 2,5 1 2,50 49,5 
C2 50,1 3,1 2 6,20 100,2 
C3 47,3 0,3 2 0,60 94,6 
C4 44,8 -2,2 1 -2,20 44,8 
Somatório = 24 25,00 1.153 
Q Base = 400 m2 
Volume Total = 2.500 m3 
(Área Total) => S = 2.400 m2 
 Cp = Co + Vo/S 
 Cp = 47 + 2.500/2.400 
 
Cp = 48,04 m 
 Cp = Σcota*Peso / ΣPeso 
 Cp = 1.153/24 => Cp = 48,04 m 
Método das Alturas Ponderadas – malhas irregulares 
Método das Alturas Ponderadas – malhas irregulares 
Cálculo da Cota de Passagem – malhas irregulares 
Volume = 180,6 m3 
Cálculo da Cota de Passagem – malhas irregulares 
EXERCÍCIO – malhas irregulares 
EXERCÍCIO – malhas irregulares 
EXERCÍCIO – malhas irregulares 
Volume pelas Superfícies Equidistantes 
Generalizando teremos: 
Volume pelas Superfícies Equidistantes 
Cota Máxima de 
Inundação = 112m 
Volume pelas Superfícies Equidistantes 
Cota Máxima de 
Inundação = 112m 
Como se pode obter o valor das áreas da C.N.??? 
Volume pelas Superfícies Equidistantes 
Como se pode obter o valor das áreas da C.N.??? 
Respostas: 
1. Através do emprego dos recursos computacionais com CAD ou CAM; 
2. Através do emprego do PLANÍMETRO. 
Método das Seções Transversais 
E1 
E2 
M1 
M2 
h 
h 
h 
E1 e E2→cota dos extremos 
M1 e M2→cota dos meios 
S1= 
S1 
S2 
c 
c 
c 
)(
2
2121 SS
c
V 
S1= 
Exemplo_1 
Empregando a fórmula acima, 
calcule a área da figura, de lados=1 
E1=2 
E2=0 
M1=2 
M2=2 
M3=1 
Exemplo_2 
Empregando a fórmula acima, 
calcule a área da figura, de lados=1 
E1=2 
E2=1 
M1=2 
M2=2 
Cálculo do volume pelo método das seções transversais 
E1 
E2 
M1 
M2 
h 
h 
h 
E1 e E2→cota dos extremos 
M1 e M2→cota dos meios 
S1= 
S1 
S2 
c 
c 
c 
)(
2
2121 SS
c
V 
S1= 
Exemplo_1 
Empregando a fórmula acima, 
calcule a área da figura, de lados=1 
E1=2 
E2=0 
M1=2 
M2=2 
M3=1 
S1 = 6 u.a. 
Exemplo_2 
Empregando a fórmula acima, 
calcule a área da figura, de lados=1 
E1=2 
E2=1 
M1=2 
M2=2 
S2 = 5,5 u.a. 
Cálculo do volume pelo método das seções transversais 
ÁREAS DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS – método analítico 
Cálculo do volume pelo método das seções transversais 
ÁREAS DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS – método analítico 
Exemplo_3 (Calc. Volume total para h = 50m) 
Considerando o resultado do nivelamento 
de um terreno, ao lado, representando as 
seções 1, 2 e 3, com suas respectivas cotas 
e sabendo que o trabalho de terraplanagem 
deverá deixar o terreno PLANO na cota 
58,95m, com um reticulado de 40 em 40m. 
 
Calcule as áreas das seções de CORTE e de 
ATERRO necessárias para que o terreno 
fique, rigorosamente plano. 
 
OBS: para facilidade dos cálculos e construção 
das seções, considere a base na cota 50m. 
→ 
→ 
Exemplo_3 (Calc. Volume total para h = 50m) 
S2 = 1.146 m2 
S3 = 850 m2 
→ 
→ 
→ → 
→ 
→ 
→ 
→ 
S2-3 = 998 m
2 
Exemplo_3 (Calc. Volume CORTE e ATERRO) 
→ 
Cálculo de d1 e d2 através de INTERPOLAÇÃO; 
Relembrando o assunto: INTERPOLAÇÃO: 
No caso específico do Exemplo_3: 
 
 25,045,0
40*45,0
1

d d1 = 25,71m e d2 = 14,29m 
S1a=(25,71*0,45)/2 → área da seção 1 em ATERRO 
S1c = [(14,29*0,25)/2 + [(40/2)*(0,25+1,65 + 2*1,15)] → área da seção 1 em CORTE 
S1a = 5,78m2 
S1c = 85,79m2 
Calculado as seções de CORTE e ATERRO da Seção_1: 
Cálculo de d1 e d2 através de INTERPOLAÇÃO: 
 
 65,045,0
40*45,0
1

d d1 = 16,36m e d2 = 23,64m 
S2a=(23,64*0,65)/2 → área da seção 2 em ATERRO 
S2c = [(40/2)*(0,25 + 0,45 + 2*1,55)] + [(16,35*0,45)/2 → área da seção 2 em CORTE 
S2a = 7,78m2 
S2c = 79,68m2 
Calculado as seções de CORTE e ATERRO da Seção_2: 
Cálculo de d1 e d2 através de INTERPOLAÇÃO: 
 
 75,175,0
40*75,0
1

d
d1 = 12,00m e 
d2 = 28,00m 
Calculado as seções de CORTE e ATERRO da Seção_3: S3c = (12*0,75)/2 → S3c = 4,50m2 
S3a = [(28*1,75)/2 + [(40/2)*(1,75 + 3,75 + 2*2,35)] → S3a = 228,50m2 área da seção 3 em ATERRO 
Exemplo_3 (Calc. Volume CORTE e ATERRO) 
Fechamento do problema com o cálculo 
dos VOLUMES de CORTE e de ATERRO. 
S1c = 85,79m2 
S2c = 79,68m2 
S3c = 4,50m2 
→ 
→ 
S12c = (85,79 + 79,68)/2 = 82,73m2 
S23c = (79,68 + 4,5)/2 = 42,09m2 
V12c = 82,73 * 40 = 3.309,30m3 
V23c = 42,09 * 40 = 1.683,58m3 
Vc = 3.309,30 + 1.683,58 
S3a = 228,50m2 
S1a = 5,78m2 
S2a = 7,68m2 
→ 
→ 
S12a=(5,78 + 7,68)/2 = 6,73m2 
S23a=(7,68 + 228,5)/2 = 118,09m2 
V12a = 6,73 * 40 = 269,36m3 
V23a = 118,09 * 40 = 4.723,66m3 
Vc = ≈ 4.993m3 
→ Va = 269,36 + 4.723,66 Va = ≈ 4.993m3 
→ 
→ 
Exemplo_3 (Calc. Volume CORTE e ATERRO 
Exemplo_4 
Com respeito ao mesmo 
problema, se for utilizada a 
cota: 57m teremos sobra 
ou excesso de solo? 
 
E qual o VOLUME da sobra 
ou do excesso? 
Exemplo_4 
Com respeito ao mesmo 
problema, se for utilizada a 
cota: 57m teremos sobra 
ou excesso de solo? 
 
E qual o VOLUME da sobra 
ou do excesso? 
Respostas: 
Como a cota h = 57m é < que a cota ho (de passagem), então: 
teremos SOBRA de solo, pois, nesse caso teremos: Vc > Va 
E qual o VOLUME de excesso? Ou de CORTE? 
Exemplo_4 
Com respeito ao mesmo 
problema, se for utilizada a 
cota: 57m teremos sobra 
ou excesso de solo? 
 
E qual o VOLUME da sobra 
ou do excesso? 
Respostas: 
Como a cota h = 57m é < que a cota ho (de passagem), então: 
teremos SOBRA de solo, pois, nesse caso teremos: Vc > Va 
Vsobra = At * (ho – h) 
 
Vsobra = 120 * 80 * (58,95 – 57) 
 
Vsobra = 9.600 * 1,95 Vsobra = 18.720m3 
→ CORTE 
Exemplo_5 
Calcular o VOLUME final do terreno plano, para a cota: 
58,95m e o valor da cota de passagem, utilizando o 
método das alturas ponderadas, objetivando comparar 
com o método das seções transversais. 
O que é EMPOLAMENTO? 
Empolamento é um fenômeno característico dos solos onde há a 
expansão do material após sua escavação. 
 
Ao natural, o solo geralmente possui um grau de compactação ocasionado pela própria ação das 
intempéries como chuva (umidade), sol (calor), ventos, etc., que elimina a presença de água ou ar entre os 
grãos que o compõe. Com o passar dos anos, o solo automaticamente reduz de tamanho compactando-se 
até um determinado grau, devido a maior agregação (proximidade) de seus grãos. Quanto mais 
compactado, mais duro e firme é o solo. 
 
Quando é efetuado algum trabalho de terraplenagem (terraplanagem) 
com a escavação deste solo natural, há uma descompactação gerando 
uma expansão volumétrica devido à desagregação dos grãos que 
compõe o solo, tornando-o "fofo" e macio. Isso se dá pela entrada de 
ar entre os grãos que compõe o solo. 
 
Após o desmonte o solo assume, portanto, volume solto (Vs) maior do 
que aquele em que se encontrava em seu estado natural (Vn), 
 
Vs > Vn 
EMPOLAMENTO 
EMPOLAMENTO 
PERCENTUAL DE EMPOLAMENTO 
 
É a TAXA de ACRÉSCIMO aplicada 
para cálculo do transporte, sobre 
o Volume Natural escavado. 
Vs => Volume Solto 
 
Vn => Volume em estado Natural 
Vfinal = Vcorte * Cofator 
EMPOLAMENTO 
COMO CALCULAR O EMPOLAMENTO? 
ou 
 
 Vs = Vn * Cofator 
COMO CALCULAR A COMPACTAÇÃO? Vfinal = Vtransportado * Cofator 
ou 
 
Vcompactado = Vs * Cofator 
Exemplo_6 
Uma obra necessita escavar 50 m3 de solo natural, 
medido pelo serviço de topografia. O objetivo é 
descobrir o Vs (volume de terra solta) para definir o 
quantitativo de volume à ser transportado. 
O cálculo é realizado a partir da seguinte fórmula: 
sendo que "Vc" é o volume medido no corte = Vn; 
"E" a taxa de empolamento. Vs = Vc (1 + E) 
Sabendo que o a taxa de empolamento de 25%, qual será 
o volume à ser transportado? 
Exemplo_6 
Uma obra necessita escavar 50 m3 de solo natural, 
medido pelo serviço de topografia. O objetivo é 
descobrir o Vs (volume de terra solta) para definir o 
quantitativo de volume à ser transportado. 
O cálculo é realizado a partir da seguinte fórmula: 
sendo "Vc"o volume medido no corte = Vn; 
"E" a taxa de empolamento. Vs = Vc (1 + E) 
Sabendo que o a taxa de empolamento de 25%, qual será 
o volume à ser transportado? 
 
Vs = 50 (1 + 0,25) 
Vs = 50 x 1,25 
Volume de terra solta = 62,5 m3 ou volume à ser transportado. 
Exemplo_7 
Calcule o volume final para fins de transporte de um solo 
classificado como terra comum (E = 25%), proveniente de um 
serviço de terraplanagem, avaliado em 4.320m3. Também, o 
quantitativo de caçamba de 12m3, necessárias para transportar 
esse solo. E quantas caçambas correspondem ao empolamento? 
EMPOLAMENTO 
Vfinal = Vcorte * Cofator Vs = Vc * (1 + E) 
Exemplo_7 
Calcule o volume final para fins de transporte de um solo 
classificado como terra comum (E = 25%), proveniente de um 
serviço de terraplanagem, avaliado em 4.320m3. Também, o 
quantitativo de caçamba de 12m3, necessárias para transportar 
esse solo. E quantas caçambas correspondem ao empolamento? 
Vs = 4.320 * (1 + 0,25) 
 
Vs = 5.400m3 
 
No Caçambas Total = 5.400/12 → 450 caçambas 
 
Vempolamento = Vs – Vc → 5.400 – 4.320 = 1.080m
3 
 
No Caçambas empolamento = 1.080/12 → 90 caçambas 
EMPOLAMENTO 
Vfinal = Vcorte * Cofator Vs = Vc * (1 + E) 
Exemplo_8 
Calcule o volume em metros cúbicos de solo necessário para 
elevar em MEIO metro, um terreno de 9.600m2 de área. Quantas 
caçamba de 8m3 devem ser contratadas para o trabalho? 
EMPOLAMENTO 
Vfinal = Vtransportado * Cofator Vs = Vc * (1 + E) 
Exemplo_8 
Calcule o volume em metros cúbicos de solo necessário para 
elevar em MEIO metro, um terreno de 9.600m2 de área. Quantas 
caçamba de 8m3 devem ser contratadas para o trabalho? 
Vfinal = 9.600 * 0, 5 = 4.800m
3 
 
Vfinal = Vtransportado * Cofator 
 
Vtransportado = Vfinal / Cofator → 4.800/0,9 → 5,333,33m
3 
 
Vempolamento = Vs – Vc → 5.400 – 4.320 = 1.080m
3 
 
No Caçambas = 5.333,33/8 → 667 caçambas 
EMPOLAMENTO 
Vfinal = Vtransportado * Cofator Vs = Vc * (1 + E) 
F I M