Queda livre com resistência do ar

Prévia do material em texto

Atividade 1 
Um objeto de massa m é abandonado de uma altura 𝑆0 em relação ao solo. Após t segundos a 
sua altura S(t) pode ser calculada pela expressão a seguir: 
 
𝑆(𝑡) = 𝑆0 −
𝑚𝑔
𝑘
𝑡 +
𝑚2𝑔
𝑘2
(1 − 𝑒
−𝑘𝑡
𝑚 ), 
 
Em que k é o coeficiente de resistência do ar e g é a aceleração da gravidade. 
Fazendo m=2kg, 𝑆0 = 40 m, k= 0,6kg/s e g= 9,81
𝑚
𝑠²
, use o método gráfico para isolar a raiz e, 
posteriormente, calcule o tempo que o objeto leva para atingir o solo utilizando o método da 
bisseção, com uma tolerância ε ≤ 0,001. 
 
RESPOSTA 
Ao substituir os valores dados, na equação S(t), temos: 
𝑆(𝑡) = 40 −
2 ∗ 9,81
0,6
𝑡 +
22 ∗ 9,81
0,62
(1 − 𝑒−
0,6
2
𝑡) 
𝑆(𝑡) = 40 − 32,7𝑡 + 109(1 − 𝑒−0,3𝑡) 
𝑆(𝑡) = 149 − 32,7𝑡 − 109(𝑒−0,3𝑡) 
Separando a função de modo que S(t)= S(t1)-S(t2) = 0, temos que: 
 
𝑆(𝑡1) = 149 − 32,7𝑡 , 𝑆(𝑡2) = 109𝑒−0,3𝑡 
 
No excel, foi elaborada uma tabela com a variação de t, para identificar o ponto de interseção 
entre as duas funções, e em seguida plotado os gráficos das funções 
 
t S(t1) S(t2) 
0 149 109 
1 116,3 80,74919 
2 83,6 59,82047 
3 50,9 44,31609 
4 18,2 32,83017 
5 -14,5 24,32119 
6 -47,2 18,01758 
7 -79,9 13,34775 
8 -112,6 9,888257 
9 -145,3 7,325401 
 Tabela 1 – Tabela com os valores das funções S(t1) e S(t2) 
 Fonte: Elaborada pelo o autor 
 
 
Gráfico 1 – Gráficos das funções S(t1) e S(t2) 
 Fonte: Elaborada pelo o autor 
 
Diante das análises da tabela 1 e do gráfico 1, conclui-se que o ponto de interseção está entre 3 
e 4, ou seja, a raiz da função S(t) pertence ao intervalo (3,4), sendo: 
S(3) = 6,5839 m 
S(4) = -14,6302 m 
 
Antes de aplicar o método da bisseção, calculamos o número de iterações (n) necessárias para 
determinar a raiz aproximada com tolerância de 0,001. 
𝑛 ≥
ln (
𝑏 − 𝑎
𝜖 )
𝑙𝑛2
− 1 
𝑛 ≥
ln (
4 − 3
0,001)
𝑙𝑛2
− 1 
𝑛 ≥ 8,96 ≅ 9 
 
Método de bisseção com tolerância de 𝜖 ≤ 0,001 
 
 
𝑆(𝑡) = 149 − 32,7𝑡 − 109𝑒−0,3𝑡 
 
n bn(-) an(+) tn S(tn) E 
Fórmulas 
utilizadas a 
partir da linha 
4 
SE(E3<0;D3;B3) SE(E3>0;D3;C3) (B4+C4)/2 
149-32,7*D3-
109*EXP(-0,3*D3) 
ABS(D4-D3) 
0 4,0000000 3,0000000 3,5 -3,593215 
1 3,5000000 3,0000000 3,25 1,611033 0,25000 
2 3,5000000 3,2500000 3,375 -0,963243 0,12500 
3 3,3750000 3,2500000 3,3125 0,330988 0,06250 
4 3,3750000 3,3125000 3,34375 -0,314371 0,03125 
5 3,3437500 3,3125000 3,328125 0,008750 0,01563 
6 3,3437500 3,3281250 3,3359375 -0,152700 0,00781 
7 3,3359375 3,3281250 3,33203125 -0,071948 0,00391 
8 3,3320313 3,3281250 3,330078125 -0,031592 0,00195 
9 3,3300781 3,3281250 3,329101563 -0,011419 0,00098 
Tabela 2 – Tabela completa com 9 iterações 
 Fonte: Elaborada pelo o autor 
 
Logo, conforme tabela 2, o tempo para o objeto atingir o solo com tolerância de 0,001 
é de 3,329101563 segundos.