lista_09_Estatistica

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Departamento: Departamento de Matemática 
Disciplina: Estatística 
Nível: Graduação 
Monitores: Cassio Basile, Rafael Pinholi e Tiago Almeida 
Docente(s) Responsável(eis): Profa Gláucia Amorim Faria, Prof. Alan Rodrigo Panosso e Profa 
Mara Lúcia Martins Lopes 
 
9ª Lista de Estatística 
Distribuição de Amostragem 
 
I - Exemplos com Resolução 
 
Exemplo 1. Seja uma máquina de empacotamento de um determinado sal mineral, cujos pesos (em 
kg) seguem uma distribuição N(50, 2). Assim, se a máquina estiver regulada, qual a probabilidade, 
colhendo-se uma amostra de 100 pacotes, da média dessa amostra diferir de 50 kg em menos de 
0,2828 kg? (Panosso, A. R.; Faria, G. A.; Lopes, M. L. M.) 
 
Solução: 
Figura 2. Distribuições de X para n = 3 e n = 10 amostradas em uma população com distribuição 
assimétrica (curva contínua). 
 
P ( 49,7172 < X < 50,2828 ) = P ( 
49,7172�50
√2/10
<
����
	/√
<
50,2828�50
√2/10
 ) 
 = P ( -2,0 < Z < 2,0 ) 
 = 2 × P (0 < Z < 2,0) = 2 × 0,47725 
 = 0,9545 
Ou seja, dificilmente 100 pacotes terão uma média fora do intervalo ]49,7172; 50,2828[. Caso 
apresentem uma média fora desse intervalo, pode-se considerar como sendo um evento raro, e 
será razoável desconfiar que a máquina esteja desregulada. 
 
Exemplo 2. Um lote 625 vacas foram inseminadas com sêmen que possui índice de fertilidade (p) de 
70%. Qual a probabilidade de se encontrar mais de 72% (450) de vacas prenhes? 
 (Panosso, A. R.; Faria, G. A.; Lopes, M. L. M.) 
 
 
 
 
 
 
II - Exercícios Propostos 
 
1. Se uma população de bezerros tem variância igual a 25 kg². Qual deve ser o tamanho da amostra 
aleatória (lote), para que a média do lote tenha variância igual a 5 kg²? (PANOSSO, 2015) 
 
2. Se uma amostra com 36 observações é tomada de uma população, qual deve ser o tamanho de uma 
outra amostra para que o erro padrão da média dessa amostra seja 2/3 do erro padrão da média da 
primeira amostra? (PANOSSO, 2015) 
 
3. O tempo de vida de uma lâmpada possui distribuição normal com média µ = 8000 horas e variância 
σ² = 40000. Pergunta-se: (FERREIRA, 2015) 
a. Qual a probabilidade de se encontrar uma lâmpada com mais de 8100 horas? 
b. Qual a probabilidade de se encontrar uma lâmpada com menos de 7800 horas? 
c. Se fosse realizada uma amostra dessa população de tamanho n = 25 lâmpadas, qual seria a 
probabilidade da média da amostra ter mais de 8100 horas? Qual é a probabilidade dessa amostra ter 
média inferior a 7800 horas de duração? 
d. Qual é o teorema que garantiu o cálculo das probabilidades do item anterior? 
 
4. A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com 
média � e desvio padrão 10g. (BUSSAB, 2010) 
a. Em quanto deve ser regulado o peso médio � para que apenas 10% dos pacotes tenham menos do 
que 500g? 
b. Com máquinas assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao 
acaso seja inferior a 2kg? 
 
5. Um elevador tem suporte máximo de 700 kg para uma lotação de n = 10 pessoas. Sabendo que o 
peso médio de humanos é de µ = 62 kg e cujo desvio padrão é igual a σ = 10 kg, responder as 
seguintes questões, assumindo que o peso possui distribuição normal: (FERREIRA, 2015) 
a. Qual é a probabilidade de uma pessoa pesar mais de 70 kg? 
b. Qual é a probabilidade de o elevador ter sua carga máxima ultrapassada para um grupo aleatório de 
n = 10 pessoas que o utilizam? 
c. Com base na resposta dada no item (b), você julga que a carga de suporte máximo está bem 
especificada para este elevador? Justifique. 
 
6. Em bovinos, a distribuição de níveis de albumina no fluido cérebro-espinhal é simétrica com média 
µ = 29,5 mg/100 ml e desvio padrão σ = 9,25 mg/100 ml. Assim: (PANOSSO, 2015) 
a. Se você selecionasse um grande número de amostras aleatórias de tamanho 20 dessa população, 
qual seria a média das médias dos níveis de albumina das amostras? 
b. Qual seria o desvio padrão das médias das amostras? Qual o outro nome que é dado para esse 
desvio padrão? 
c. Qual é a porcentagem de médias de amostras maiores do que 33 mg/100 ml? 
d. Qual é a porcentagem de médias menores do que 28 mg/100 ml? 
e. Qual é a porcentagem de médias entre 29 e 31 mg/100 ml? 
 
7. Suponha que a distribuição da produção de leite aos 305 dias, na primeira lactação, de vacas de um 
rebanho, tem média de 3.300 kg e desvio padrão de 820 kg. Para uma amostra aleatória de 100 vacas 
de primeira cria, qual é a probabilidade que a média amostral de produção de leite esteja entre 3.100 e 
3.400 kg? (PANOSSO, 2015) 
 
8. Se o sêmen de um particular touro possui índice de fertilidade (p) de 0,70, quantas vacas devem ser 
inseminadas (tamanho da amostra), para que o erro padrão da proporção amostral de vacas prenhes 
(�̂) seja igual a 0,004. 
 
9. Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de itens 
defeituosos na produção. A cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 20 peças e , havendo mais de 15% 
de defeituosos, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual a probabilidade de uma 
parada desnecessária? (BUSSAB, 2010) 
 
10. Supondo que a produção do exemplo anterior esteja sob controle, isto é, p=10%, e que os itens 
sejam vendidos em caixas com 100 unidades, qual a probabilidade de que uma caixa: (BUSSAB, 
2010) 
a. tenha mais do que 10% de defeituosos? 
b. não tenham itens defeituosos? 
 
11. Um lote de 1000 vacas foi inseminado com sêmen que possui índice de fertilidade 70%. Qual é a 
probabilidade de se encontrar mais de 720 vacas prenhes? (PANOSSO, 2015) 
 
12. Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de 
operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar o 
teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 90 minutos e desvio padrão de 20 minutos. 
Para passar no teste, o candidato deve completa-lo em menos de 80 minutos. (LOPES, 2016) 
a. Se 65 candidatos fazem o teste, quantos são esperados que passem? 
b. Se os 5% melhores candidatos serão alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o 
candidato para que obtenha essa posição? 
 
13. Uma turma teve média 6,3 e desvio padrão 1,0. A distribuição é normal. Quantos alunos, numa 
amostra de 80, são esperados com notas: (LOPES, 2016) 
a. Menor ou igual à 5,0? 
b. Entre 6,0 e 7,0? 
c. Iguais à média? 
d. Acima ou igual à 7,0? 
 
14. Um grande lote de frangos vem sendo tratado com uma determinada ração. Sabendo-se que o 
desvio padrão do ganho de peso no período de um mês é de 2kg, qual é a probabilidade de que a 
média de uma amostra de 25 desses frangos, difira da média de todo o lote em 0,5kg ou mais? 
(LOPES, 2016) 
 
15. Sabe-se que num processo de industrialização de pêssego em latas, a probabilidade de apresentar 
peso drenado fora dos padrões é de 0,05. Qual a probabilidade de, em uma amostra de 500 latas, 
apresentarem-se fora dos padrões: (LOPES, 2016) 
a. 6% ou mais latas? 
b. 4% ou menos latas? 
 
 
 
16. Suponha que o peso dos 35000 alunos da UFSC, matriculados no primeiro semestre de 2005, seja 
normalmente distribuído com média de 60,5 e desvio padrão de 12kg. (LOPES, 2016) 
a. Qual será a média e o desvio padrão da distribuição amostral da média, na hipótese de se utilizarem 
amostras de tamanho 36? 
b. Qual é a probabilidade da média de uma amostra de tamanho 36 se encontrar entre 58kg e 62kg? 
c. E abaixo de 55kg? 
d. E acima de 65kg? 
 
17. O governo coleta uma amostra de 400 estudantes da UFSC para obter uma indicação dos que são a 
favor do ensino superior pago. Determine a probabilidade de obter uma proporção amostral que difira 
em mais de três pontos percentuais da proporção populacional de estudantes que são a favor do ensino 
pago, supondo que esta proporção é de 0,1. (LOPES, 2016) 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
● PANOSSO, A. R. no Lista de Exercício. UNESP - Campus Ilha Solteira. 
● BUSSAB, W.O. e MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 8. ed. São Paulo, Atual Editora,2013. 
● FERREIRA, Daniel Furtado. Lista de Exercícios. Depart. de Ciências Exatas. Universidade 
Federal de Lavras. 
● LOPES, M.L.M. Lista de exercícios da disciplina Probabilidade e Estatística. FEIS/UNESP. 
2015.