Capitulo 2 - Sistema PU

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1 
 
CAPÍTULO 2 
 
Valores Por Unidade - PU 
 
2.1 Considerações Iniciais Sobre Sistema PU 
Seguramente, pode-se afirmar que a utilização de valores parametrizados ou 
normalizados apresenta vantagens em relação à grandeza absoluta. Diante desse fato, 
a utilização de valores percentuais ou valores por unidade agrega informações 
relevantes à grandeza referenciada. Além disso, em sistemas elétricos de potência o 
emprego do sistema pu facilita demasiadamente os cálculos e as análises das 
grandezas como tensão, corrente, potência e impedância, como veremos ao longo 
deste capítulo. Estas grandezas mencionadas anteriormente estão todas inter-
relacionadas de tal forma que precisamos definir apenas duas dentre as quatro como 
bases, visto que as outras duas restantes são obtidas por simples substituição. 
 
2.2 Definição 
O valor por unidade (pu) ou normalizado de qualquer quantidade é definido como a 
relação da quantidade pelo valor da sua base, expressa como um decimal. 
De acordo com a definição, uma grandeza qualquer A pode ser expressa em pu pela 
equação (2.1). 
 
baseA
A
 a (2.1) 
Sendo A igual ao valor dimensional, ou seja, o valor real da grandeza e baseA é um valor de 
referência que tem a mesma dimensão do valor dimensional. 
Na eletricidade trabalhamos, principalmente com quatro grandezas principais: tensão, 
corrente, potência e impedância. 
As relações independentes, expressas pelas equações (2.2) e (2.3), necessita-se definir 
duas grandezas fundamentais, com valores base. 
 IZV (2.2) 
 V IS (2.3) 
Fixando: 1base VV e 1baseS S 
 
2 
 
Temos: pu
baseV
V
v ou percentual100
V
V
%v
base
 
Ainda: pu
baseS
S
s ou percentual100
S
S
%s
base
 
Por consequência, temos: Abase
base
base
V
S
I e 
base
base
base
S
V 2
base
base
I
V
Z . 
Implicando em: pu
V
S
Z
base
base
2
baseZ
Z
z ou percentual100
Z
Z
%z
base
. 
pu
S
V
I
base
base
baseI
I
i ou percentual100i%i 
Considerações: 
 A menos que exista especificação contrária, o valor da tensão base num sistema 
trifásico é a tensão de linha; 
 O valor da potência base é a potência total trifásica. 
A
base
base
base L
3
V3
S
I 
base 3
2
L
S
V
Z
base
base 
 
Obs.: Atenção com as grandezas base fornecidas, pois estas podem ser kVA ou MVA 
trifásicos e kV entre fases (tensão de linha). 
 
Observações importantes: 
1. Só é possível fixar valores bases para a potência aparente (S); 
2. É comum, empregar o valor 100 MVA como valor base, em sistema de potência; 
3. Geralmente, tensão e potência aparente são as grandezas bases inicialmente 
escolhidas. 
 
2.3 Componentes do sistema elétrico 
 
2.3.1 Transformador 
Pelas normas técnicas os fabricantes devem fornecer: 
 
3 
 
1. Potência aparente nominal (SN - kVA); 
2. Tensão nominal na AT (VAT - kV); 
3. Tensão nominal na BT (VBT - kV); 
4. Impedância equivalente (ZE - pu). 
 
Por convenção, adota-se como bases VAT e SN no enrolamento de AT e VBT e SN no 
enrolamento de BT, ambos para determinar a impedância equivalente. 
 
Analisaremos um transformador monofásico, dado pela seguinte ilustração e seu 
respectivo circuito equivalente. 
 
Figura 2.1 - Ilustração do transformador monofásico 
 
R X
mXpR
 vazioa impedância
circuito curto
 de impedância
1:1
ideal trafo
 
Figura 2.2 - Circuito equivalente do transformador monofásico 
 
Expressando as tensões em pu, temos: 
baseV
V
v 11 e '
baseAT
BT
1'
base
2
2
V
1
V
V
V
V
V
v 
 
4 
 
Para que a relação seja de 1:1, teremos que: 
21 vv 
'1
1 1
baseAT
BT
base VV
V
V
V
V
 
BT
AT
base
base
V
V
V
V
'
 
As tensões primária e secundária, em pu, são iguais. 
 
Em relação à potência complexa, temos: 
2
1
 :secundário
 :primário
S
S


 
Como o trafo é ideal, temos: 
21 SS
 
Sendo que: 
baseS
S
s 11

 e 
'
2
2
baseS
S
s

 
Para que: 
'
'
21
21 basebase
basebase
SS
S
S
S
S
ss

 
As bases são iguais para o primário e secundário. 
 
Em relação às correntes primária e secundária, a verificação se estas são iguais, também, se 
uma impedância referida ao primário e ao secundário se são iguais, sendo NAT e NBT o número 
de espiras dos enrolamentos primário e secundário, respectivamente. 
BT
AT
BT
AT
BTAT
V
V
I
N
N
IIININ 11221
 
Sabemos que: 
base
base
base
V
S
I 
BT
AT
base
BT
AT
base
base
base
base
base
V
V
I
V
V
V
S
V
S
I
'
'
' 
Portanto: 
baseI
I
i 11

 
 
5 
 
base
BT
AT
base
BT
AT
base I
I
V
V
I
V
V
I
I
I
i 1
2
'
2
2



 21 ii  
 
Em se tratando das impedâncias, sendo Z1 em série no primário equivale a Z2 em série no 
secundário, desde que: 
2
122
2
2
12
2
21
2
1
AT
BT
BT
AT
V
V
ZZZ
V
V
IZIZI 
Em pu, temos: 
base
base
base
S
V
Z
2
 
2
2
2
'
'
'
2
AT
BT
base
base
AT
BT
base
base
base
base
V
V
Z
S
V
V
V
S
V
Z 
Então: 
21
1
1
base
base
base V
S
Z
Z
Z
z 

 
21
1
2
2
1
'
2
2
base
base
base
AT
BT
base
AT
BT
base V
S
Z
Z
Z
V
V
Z
V
V
Z
Z
Z
z 




21 zz  
Por consequência, o circuito equivalente simplificado para um transformador, em pu, torna-se 
somente: 
. .pur pux
 
Figura 2.3 - Circuito equivalente do transformador em pu 
 
Obs.: Como a escolha das base é livre, obviamente deve-se optar pela a escolha das bases os 
valores nominais do equipamento (SN, VAT e VBT). 
 
2.3.2 Máquinas Elétricas Rotativas 
O fabricante fornece: 
 
6 
 
1. A potência aparente nominal (kVA); 
2. A frequência (Hz); 
3. As impedâncias ( ou pu) 
• Subtransitória – X’’ 
• Transitória – X’ 
• Regime permanente – X 
Estas grandezas são os valores bases. 
Em motores são especificados a potência disponível no eixo, a tensão nominal e as 
reatâncias, os quais são usados como os valores bases. 
 
2.4 Mudança de Base 
Algumas ocasiões a impedância, em pu, de um componente do sistema está expressa 
numa base diferente daquela desejada. Neste caso é necessário efetuar a mudança 
para uma nova base. 
A impedância Z, em pu, nas bases antigas Sbase-a e Vbase-a é dada por: 
abase
abase
a
abase
abase
abase
a
S
V
zZ
V
S
Z
Z
Z
z
2
2
 
A impedância, Z, expressa em pu, nas bases novas bases Sbase-n e Vbase-n é dada por: 
2
2
2
nbase
nbase
abase
abase
a
nbase
nbase
nbase
n
V
S
S
V
z
V
S
Z
Z
Z
z 
abase
nbase
nbase
abase
an
S
S
V
V
zz
2
 
 
2.5 Choque de Bases 
Acontece que, nem sempre é possível fixar arbitrariamente os valores de base para 
todos os trafos. Pode ser que numa rede contendo vários trafos e o último já tenha 
suas bases fixadas pelos precedentes. 
Veja a figura abaixo, onde temos 3 regiões (áreas). 
 
 
7 
 
I Área
II Área
III Área
1
1
base
base
S
V
2
2
base
base
S
V
3
3
base
base
S
V
1T
2T 3T
N1V N2V
'
N2V
'
N1V
''
N2V
''
N1V
 
Figura 2.4 - Ilustração de um sistema com choque de base 
 
 Para a área I, podemos adotar: 
1-base1-base S e V 
 Para a área II, a tensão base está fixada em relação ao número de espiras (VN1 e 
VN2) e a potência base da área I, ou seja: 
2-base1-base
1
2
12-base S SeV
N
N
base
V
V
V 
 Para a área III, a tensão base está fixada em relação de espiras V’N1 e V’N2 de T2, ou 
seja: 
1-base3-base'
1
'
2
13-base S SeV
N
N
base
V
V
V 
Consequentemente, os valores bases para T3, cuja relação de espiras V’’N1 e V’’N2 estão 
fixados, ou seja: 
a) Primário de T3: 
1-base3-base'
1
'
2
13-base S SeV
N
N
base
V
V
V 
b) Secundário de T3: 
1-base2-base
1
2
12-base S SeV
N
N
base
V
V
V 
3-base2-base
1-base3-base
1-base2-base
S S 
S S
S S
 :Como 
Mas, as tensões somente estarão na relação de espires de T3 quando: 
 
8 
 
''
2
''
1
2-base
3-base
V
V
N
N
V
V
 
Ou seja: 
''
2
''
1
2
1
'
1
'
2
N
N
N
N
N
N
V
V
V
V
V
V
 
Consequentemente, se a condição acima não for verdadeira, o trafonão poderá ser 
representado por sua impedância de curto circuito em série com um trafo ideal de 1:1. 
Na sequência, analisaremos o caso onde esta relação de espiras 1:1 não é válida. 
Utilizaremos o circuito abaixo: 
1V
Z
2V
A
N
'A
N
BN2:N1
 
Figura 2.5 - Circuito de um trafo 
 
1v
z
2v
A
N
'A
N
B:1
 
Figura 2.6 - Circuito equivalente de um trafo com relação de 1: 
 
1v
z
2v
A
N
'A
N
B:1
 
Figura 2.7 - Circuito equivalente de um trafo em pu, utilizando um autotrafo 
 
Sendo os valores bases no primário e secundário dado por: 
 
9 
 
N1
1-base
N22-base1-base1-base
V
V
VVeS,V 
Suponhamos que uma tensão V1 é aplicada, então temos: 
N1
N2
12
V
V
VV 
Em pu, temos: 
1
2-baseN1
N2
1
2-base
2
2
1-base
1
1 v
V
1
V
V
V
V
V
ve
V
V
v 
2-base
N2
N1
1-base
1
N1
N2
2-base
1
2
V
V
V
V
v
V
V
V
V
v base-1
base-1
V
V
 
Denominando por vN1 e vN2, as tensões nominais, em pu, ou seja: 
2-base
N2
N2
1-base
N1
N1
V
V
ve
V
V
v 
Temos: 
N1
N2
12
v
v
vv 
Sendo: 
α
v
v
N1
N2 αvv 12 
 
2.6 Valores em PU para Circuitos Trifásicos Equilibrados 
Este ponto do estudo, será analisado a escolha dos valores bases para as grandezas de linha e 
de fase, objetivando facilitar a análise. 
Considere um circuito trifásico qualquer, onde adotaremos que os dispositivos estejam ligados 
em estrela, sendo: 
 VL = tensão de linha; 
 VF = tensão de fase; 
 I = corrente de linha ou fase (IL=IF em Y); 
 S = potência aparente trifásica; 
 SF = potência aparente por fase; 
 ZF = impedância de fase. 
Estas grandezas se relacionam por: 
.IZV FF 
 
10 
 
.IVS FF 
FL .V3V 
F3.SS 
Adotemos VbaseF e SbaseF os valores base por fase. 
baseF
baseF
baseF
V
S
I e 
baseF
2
baseF
baseF
baseF
baseF
S
V
I
V
Z 
Em pu, temos (em módulo) 
,
baseF
F
F
V
V
v ,
baseF
F
F
S
S
s 
baseF
baseF
baseF
F
S
V
I
I
I
i e 
2
baseF
baseF
F
baseF
F
V
S
Z
Z
Z
z 
Fixando as grandezas de linha base, temos: 
baseFbaseL VV .3 e baseFbase SS .3 
Consequentemente, temos: 
baseF
baseF
baseF
baseF
baseF
baseL
base
base I
V
S
V
S
V
S
I
.3.3
.3
.3
 
baseF
baseF
baseF
base
baseL
baseL
base
baseL
base
baseL
base Z
S
V
S
V
V
S
V
I
V
Z
22
.3
33 
Consequentemente, temos: 
F
baseF
F
baseF
F
baseL
L v
V
V
V
V
V
V
v
.3
.3
 
F
baseF
F
baseF
F
base
s
S
S
S
S
S
S
s
.3
.3
 
F
baseFbase
i
I
I
I
I
i 
F
baseFbase
z
Z
Z
Z
Z
z 
Os valores de linha e de fase, em pu, têm o mesmo valor. 
Obs.: Vale ressaltar que, circuito em Y, a tensão de linha esta 30° em relação à de fase 
para sequência + e atrasada de 30° para sequência -. 
 
 
 
 
11 
 
2.7 Valores em pu para Transformadores Y-Y 
Sendo o trafo trifásico composto por um banco de três monofásicos, cujos valores 
nominais são: V1N, V2n, SN e z%, conforme representação esquemática abaixo. 
 
1A 1B
1N
1C13V
23V2A 2B 2C
2N
 
Figura 2.8 - Representação de um transformador trifásico constituído por três monofásicos 
 
2A
1A
13
3
VV
SS
Bases
base
Nbase
23
3
VV
SS
Bases
base
Nbase
 
Figura 2.9 - Representação unifilar de um transformador trifásico 
 
12 
 
1A 2A
1N 2N
z
 
Figura 2.10 - Circuito monofásico equivalente 
 
1A 2Az
Neutro
 
Figura 2.11 - Representação unifilar do trafo em pu 
 
Sendo as tensões nominais: 
2N
1N
V3
V3
 
A potência nominal: NS3 
A impedância de cada fase, referida ao primário é dada por: 
2
1
2
1 ..
N
N
trafo
N
N
V
S
Zz
S
V
zZ 
Então, a impedância do banco, em pu, será: 
2
1
2
1
.
3
3
.
N
N
N
N
banco
V
S
Z
V
S
Zz trafobanco zz 
 
2.8 Valores em pu para Transformadores - 
As tensões nominais são: 
2N
1N
V
V
 
 
13 
 
A potência nominal: NS3 
A impedância por fase, referida ao primário é dada por: 
N
N
S
V
zZ
2
1. 
Convertendo o para Y, temos uma impedância Z/3, consequentemente, a 
impedância equivalente, em pu, é dada por: 
trafo
N
N
N
N
base
z
V
S
S
V
z
Z
Z
z
2
1
2
1 3
3
11
3
 
 
2.9 Valores em pu para Transformadores Y- 
As tensões nominais são: 
2N
1N
V
V3
 
A potência nominal: NS3 
Substituindo o para Y equivalente e, admitindo a sequência +, obtém-se, após uma 
sequência de deduções matemáticas, os devidos valores para este tipo de trafo os 
quais são apresentados logo abaixo. 
trafobanco zz 
Se adotar como valores de base no primário: basebase SV e 
No secundário, tem-se: 
basebase
N
N
basebase SS
V
V
VV '
1
2' e
3
 
Isto em módulo, pois o trafo, em pu, é caracterizado pelo seguinte circuito: 
1A 2Az
Neutro
30
 
Figura 2.12 - Representação do trafo em pu 
 
Isto é, um trafo ideal de relação de espira de 1:1 com um defasador puro que defasa 
tensões e correntes em -30° entre o primário e o secundário, para sequência + e, em 
+30° para sequência -. 
 
14 
 
 
2.10 Valores em pu para Transformadores -Y 
As tensões nominais são: 
2N
1N
V
V
3
 
A potência nominal: NS3 
Além disso, os mesmo comentários anteriores são validos para esta situação conforme 
está ilustrado na figura a seguir, para a sequência +. 
1A 2Az
Neutro
30
 
Figura 2.12 - Representação do trafo em pu 
 
2.11 Máquinas Trifásicas (geradores e motores) 
Para estes equipamentos, as grandezas de interesse são: 
• Potência trifásica total (aparente); 
• Tensão nominal de linha; 
• Impedância subtransitória, transitória e de regime permanente nas bases 
nominais. 
Sendo que para motores a potência fornecida deve ser a potência mecânica nominal. 
Quando não há o fornecimento do rendimento para motores de indução, deve-se 
utilizar: 
• 1 cv = 1 kVA. 
Enquanto que, para os motores síncronos têm-se: 
• 1 kVA = 0,85 cv para FP=1,0; 
• 1 kVA = 1,10 cv para FP=0,85. 
 
 
 
15 
 
2.12 Exercícios 
 
2.1 No teste de curto circuito de um transformador monofásico de kVA100 , 
VkV 120/4,2 Hz60 , resultou em uma impedância série equivalente referida ao 
lado de alta tensão igual a 19,1478,0 j . Três dessas unidades monofásicas são 
conectadas em formando um banco de transformador trifásico. O banco é 
suprido por um alimentador cuja impedância por fase é de 87,0065,0 j . A 
tensão no terminal transmissor da linha é mantida constante em kV4,2 fase-fase. 
Escolha os valores base convenientes e determine a tensão em pu no lado de 
baixa tensão do transformador quando o banco entre corrente nominal a uma 
carga trifásica equilibrada de fator de potência unitário. 
 
2.13 Bibliografia 
Oliveira, C. C. B., Schmidt, H. P., Kagan, N., Robba, E. J., “Introdução a Sistemas 
Elétricos de Potência - Componentes Simétricos”, 2a Ed., Editora Edgard Blücher, 2000.