UVA - AVA1 - Cálculo Diferencial e Integral II

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Funções de várias variáveis: algumas aplicações
1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.
(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x , ∂T/∂y e ∂T/∂t ?
Resposta:
∂T/∂x é a taxa de variação da temperatura quando a longitude muda, mas a latitude e o tempo são constantes.
∂T/∂y é a taxa de variação da temperatura quando a latitude muda, mas a longitude e o tempo são constantes.
∂T/∂t é a taxa de variação da temperatura quando o tempo muda, mas a latitude e a longitude permanecem constantes.
(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)).
Resposta:
Longitude = fx (158, 21, 9) > 0
Latitude = fy (158, 21, 9) < 0
Tempo = ft (158, 21, 9) > 0
2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥−3𝑥2𝑦+𝑥𝑦𝑧.
(a) Qual o domínio da função V?
(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂.
(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?
Resposta:
D = { (x,y,z) | x, y, z ∈ R}
V (x, y, z) = (5x)² - 3xy + xyz
∂V/∂x = 10x - 3y + yz
∂V/∂y = - 3x + xz
∂V/∂z = xz
Calculando as derivadas parciais no ponto P = (3, 4, 5):
∂V(P)/∂x = (10 * 3) - (3 * 4) + (4 * 5)
∂V(P)/∂x = 38
∂V(P)/∂y = -(3 * 3) + (3 * 5)
∂V(P)/∂y = 6
∂V(P)/∂z = 3 * 4
∂V(P)/∂z = 12
∂V(P) = (38, 6, 12)
v= i + j + k
v = (1, 1, 1)
v = √1² + 1² + 1² = √3
DV(P) = (38, 6, 12) * ((1, 1, 1)/ √3)
DV(P) = (38 + 6 +12) / √3
DV(P) = 56/√3
Dvf (x, y, z) = ∇​f * cos ∝
cos ∝ = 1
Dvf (x, y, z)máximo = |∇​f | * cos ∝
Dvf (x, y, z)máximo = |∇​f | * 1
Dvf (x, y, z)máximo = |∇​f |
Dvf (x, y, z)máximo = (38, 6, 12)
V varia mais rapidamente em P na direção do gradiente.
3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular)
Resposta:
b: base
a: altura
Para calcular o volume da caixa, faremos:
V = b² * a
a = V / b²
a = 32000 / b²
Área da caixa = Área da base + Área da altura
A = b² + 4ba
A = b² + 4b * (3200 / b²)
A = b² + 128000 / b
Para que a área da caixa seja mínima, A’(b) = 0
A’(b) = 2b - (128000 / b²)
A’(b) = 2b³ - (128000 / b²)
2b³ - 128000 = 0
2b³ = 128000
2b³ = 128000
b³ = 64000
b = 40
a = 32000 / b²
a = 32000 / 40²
a = 20
Dimensões da caixa = 40 x 40 x 20