[Demonstração] Informações magnéticas de um cabo coaxial
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[Demonstrac\u327a\u303o] Induta\u302ncia Cabo Coaxial
Vinicius Carvalho.\u2217
Instituto Federal do Serta\u303o Pernambucano, Campus Petrolina
Setembro de 2020
FI\u301SICA GERAL V
PROF.: Lincon Dantas
Problema\u301tica
Um cabo coaxial. Um pequeno condu-
tor macic\u327o com raio a e\u301 suportado por dois
discos isolantes na\u303o magne\u301ticos no eixo de
um tubo com paredes finas de raio interno
igual a b. Os condutores interno e externo
conduzem correntes de mesmo mo\u301dulo i,
pore\u301m com sentidos contra\u301rios.
(a) Aplique a lei de Ampere para determi-
nar o campo magne\u301tico em qualquer ponto
do volume entre os condutores.
(b) Escreva a expressa\u303o para o fluxo
magne\u301tico dBatrave\u301s de uma faixa estreita
de comprimento l paralela ao eixo, com es-
pessura dr, situada a uma dista\u302ncia r do
centro do cabo e sobre o plano que conte\u301m
o eixo.
(c) Integre a expressa\u303o encontrada no item
(b) sobre o volume entre os dois condutores,
para calcular o fluxo magne\u301tico produzido
pela corrente i que passa no condutor cen-
tral.
(d) Mostre que a induta\u302ncia L de um com-
primento l do cabo e\u301 dada por
L = lµ0
2\u3c0
ln b
a
(e) Use a Equac\u327a\u303o 30.9 para calcular a
energia magne\u301tica armazenada no campo
magne\u301tico para um comprimento l do cabo.
Soluc\u327a\u303o
Seguindo a orientac\u327a\u303o apresentada na
problema\u301tica primeiro vamos utilizar a Lei
de Ampe\u300re para definir o valor do campo
magne\u301tico, em qualquer ponto do volume
do fio. \u222e
Si
< ~B, ~dl >= µo.ienv (1)
Caso olhemos para o fio de um referencial
que nos de a visa\u303o paralela da secc\u327a\u303o trans-
versal do cabo, ver\u301\u131amos algo como:
Na representac\u327a\u303o da figura 1, os contor-
\u2217E-mail:prof.vcarvalho@outlook.com\u2014Graduando em F\u301\u131sica no Instituto Federal de Educac\u327a\u303o,
Cie\u302ncias e Tecnologia do Serta\u303o Pernambucano.
1
nos pretos sa\u303o os condutores, onde o cilin-
dro do meio e\u301 macic\u327o e o contorno exterior
e\u301 uma casca de raio b. Primeiro vamos defi-
nir uma a\u301rea S1 para ser nossa Amperiana,
como mostra a figura 2.
Onde essa em questa\u303o e\u301 para r < a,
usando a eq. (1) para analise deste caso
temos: \u222e
S1
< ~B, ~dl >= µo.ienv
onde que o produto < ~B, ~dl >, pode ser res-
crito como:
< ~B, ~dl >= | ~B||~dl|cos\u3b8B,dl
O campo magne\u301tico em um condutor re-
til\u301\u131neo e\u301 sempre tangente ao condutor assim
como o elemento de comprimento da ampe-
riana (dl), deste modo a relac\u327a\u303o entre ~B e ~dl
e\u301 sempre de paralelismo, fazendo com que
o produto internos deles seja:(esta mesma
analise serve para todas as vezes que utili-
zarmos a lei de Ampe\u300re neste problema.)
< ~B, ~dl >= | ~B||~dl|
Com isso: \u222b a
o
| ~B||~dl| = µo.ienv
Fazendo uma breve revisa\u303o na distribuic\u327a\u303o
de cargas em um condutor, vamos remeter
que os portadores de carga em um condu-
tor, fluem sempre para a superf\u301\u131cie, ou seja,
a corrente efetiva neste cilindro do meio de
raio a, so\u301 existe na superf\u301\u131cie dele, de modo
que para qualquer valor de abrange\u302ncia para
r < a, sempre teremos um total de 0 corren-
tes envolvidas (ienv), deste modo:\u222b a
o
| ~B||~dl| = µo.0\u222b a
o
| ~B||~dl| = 0
| ~B||~dl| = 0
como necessariamente e\u301 valido que |~dl| 6= 0,
logo nos leva a compreensa\u303o de que | ~B| = 0.
Agora vamos estudar o caso a < r < b, para
isso vamos trac\u327ar uma segunda amperiana
dessa forma:
Aplicando a eq. (1) para analisar este
caso temos:\u222b b
a
| ~B||~dl| = µo.ienv
{
ienv = i
\u222b b
a
| ~B||~dl| = µo.i
| ~B||~dl| = µo.i
{
|~dl| = 2.\u3c0.r
| ~B|2.\u3c0.r = µo.i
| ~B| = µo.i
2\u3c0.r
(a < r < b)
Por fim, apliquemos uma amperiana para
r > a, veja:
2
Neste caso como a corrente envolvida sa\u303o
duas correntes de mesmo modulo e sentidos
opostos, teremos que a corrente envolvida e\u301
nula, levado a mesma ana\u301lise feita sobre a
amperiana S1 temos que | ~B| = 0. De modo
geral temos que:
| ~B| =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
0 , r < a
µo.i
2\u3c0.r
, a < r < b
0 , r > b
\uf8fc\uf8fd\uf8fe (2)
Sabendo qual lugar do cabo tem campo
magne\u301tico, podemos definir tambe\u301m qual
o fluxo de campo que atravessa este local,
atrave\u301s da equac\u327a\u303o:
\u3a6b =
\u222e
S2
< ~B, n\u302 > dA (3)
Para constituirmos essa a\u301rea de fluxo
atrave\u301s de todo comprimento l do cabo,
pasta abstrairmos uma a\u301rea de compri-
mento equivalente da largura infinitesimal
igual a um dr, essa secc\u327a\u303o nos gera um
reta\u302ngulo de a\u301rea infinitesimal dA atrave\u301s
de toda extensa\u303o do cabo, como mostra afi-
gura abaixo:
com isso podemos desenvolver a eq. (3)
da seguinte maneira:
\u3a6b =
\u222e
S2
< ~B, n\u302 > dA
\u3a6b =
\u222b b
r=a
| ~B|l.dr
onde | ~B| encontramos na eq. (2), deste
modo:
\u3a6b =
\u222b b
r=a
µo.i
2\u3c0.r
l.dr
\u3a6b =
µo.i.l
2.\u3c0
\u222b b
r=a
1
r
dr
\u3a6b =
µo.i.l
2.\u3c0
ln b\u2212 ln a
\u3a6b = l
µo.i.
2.\u3c0
ln
b
a
(4)
Ale\u301m isso podemos calcular o valor da in-
duta\u302ncia dessa configurac\u327a\u303o, ja\u301 que sabe-
mos o enlace total do fluxo magne\u301tico e a
corrente que esta\u301 sendo envolvida, atrave\u301s
da relac\u327a\u303o:
L =
\u3a6B
ienv
(5)
Sendo ienv = i,de (4) em (5) temos:
L =
lµo.i.
2.\u3c0
ln b
a
i
L = l
µo
2.\u3c0
ln
b
a
(6)
Por fim, podemos calcular a energia total
armazenada nesse campo(UB), por ter ca-
racter\u301\u131stica indutivas e estar transportando
uma corrente, bem semelhante a nossa ta\u303o
conhecida energia cine\u301tica, podemos relaci-
onar UB como:
UB =
1
2
Li2 (7)
Aplicando o valor da indutancia [eq.(6)], na
eq. (7), temos:
UB =
1
2
l
µo
2.\u3c0
ln
b
a
i2
3
UB = l
µo.
4.\u3c0
i2 ln
b
a
(8)
Em suma para um cabo coaxial de campo
efetivo entre os raios a e b, comprimento l
e com uma corrente i o percorrendo, temos
as seguintes informac\u327o\u303es magne\u301ticas:
O campo magne\u301tico:
| ~B| =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
0 , r < a
µo.i
2\u3c0.r
, a < r < b
0 , r > b
\uf8fc\uf8fd\uf8fe
O fluxo de campo magne\u301tico atrave\u301s da a\u301rea
isolante:
\u3a6b = l
µo.i.
2.\u3c0
ln
b
a
A indutancia do cabo na a\u301rea que exite
campo:
L = l
µo
2.\u3c0
ln
b
a
A energia armazenada neste campo:
UB = l
µo.
4.\u3c0
i2 ln
b
a
4