Estática Aula 9 Diagramas de força cortante e momento fletor

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7.2 Equações e diagramas de forças de cisalhamento e de momento fletor 
7.2.1 Introdução 
 Necessidade de saber em todas as seções as forças cortantes e os momentos 
fletores a fim de obter os valores máximos absolutos, ou seja, seções críticas. Para isso 
temos de determinar as distribuições da força cortante e do momento fletor em relação a x. 
 Valores extremos de uma função f(x) num intervalo fechado [a, b] estão nos pontos 
onde a derivada df/dx=0 ou na extremidade do intervalo a ou b. 
 
Para as cargas mostrada na Figura 7.10, 
precisa fazer três cortes (ou separar a viga 
em três trechos) para obter as distribuições 
das forças internas em relação aos x1 
(0≤x≤a), x2 (a≤x<b) e x3 (b<x≤L) 
respectivamente. 
 
7.2.2 Convenções de sinais 
 
 
7.2.3 O método de uso de funções de força cortante e momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos concluir que a seção crítica está localizada na x=5,2 m. 
 
7.2.3 O método de uso de relações entre carga distribuída, força cortante e momento 
fletor 
 Na prática, o método de uso de funções de força cortante e momento fletor não é 
muito utilizado, especialmente quando há várias forças concentradas. Abaixo 
apresentamos este método. 
 Retira-se de uma viga um pedaço de comprimento Δx pequeno infinitesimal onde 
atua uma carga distribuída w(x) (Figura 7.14): 
 
 
 
 
2
2
d M dV
w
dx dx
   (7.3) 
 
 Pelas (7.1) e (7.2), sabe-se que V(x) é uma função de x com um grau mais alto que 
w(x) e M(x) é uma função de x com um grau mais alto que V(x) ou dois graus mais altos 
que w(x). Ainda pela (7.2), sabe-se que no local onde a força cortante é nula V=0, o 
momento fletor atinge valor extremo se 0w  . O valor é máximo se a curva M(x) é 
convexo (barriga para cima) ou o valor mínimo se a curva M(x) é côncavo (barriga para 
baixo), tudo depende se w(x) é positiva (direção para baixo) ou negativa (direção para 
cima). 
 As relações entre carga distribuída, força cortante e momento fletor estão listadas 
na tabela abaixa: 
 
Tabela - Relações entre carga distribuída, força cortante e momento fletor 
w(x) Zero Constante Linear 
V(x) Manter constante Linear Parábola 
M(x) Linear Parábola Cúbica 
 
 Integrando (7.1) por x de um ponto inicial xi até um ponto final xf, obtem-se: 
 ( ) ( ) ( ) ( ( ))
f f
i i
x x
f
f i i
x x
V valor final V valor inicial V dV w x dx A w x         (7.4) 
onde ( ( ))
f
i
x
f
i
x
A w x wdx  é a área do diagrama sob a curva w(x) entre o ponto inicial xi(<xf) e 
o ponto final xf. De (7.4), temos: 
 ( ) ( ) ( ( ))ff i iV valor final V valor inicial A w x  (7.5) 
 
 Integrando (7.2) por x de um ponto inicial xi até um ponto final xf, obte-se: 
 ( ) ( ) ( ) ( ( ))
f f
i i
x x
f
f i i
x x
M valor final M valor inicial M dM V x dx A V x       (7.6) 
onde ( ( )) ( )
f
i
x
f
i
x
A V x V x dx  é a área do diagrama da força cortante V(x) entre o ponto inicial 
xi(<xf) e o ponto final xf. De (7.4), temos: 
 
 ( ) ( ) ( ( ))ff i iM valor final M valor inicial A V x  (7.7) 
 
 A partir do ponto inicial de uma viga onde a força cortante (reação) e o momento 
fletor geralmente são conhecidos, repetidamente usamos (7.5) e (7.7), podemos 
desenvolver os diagramas de força cortante e momento fletor, trecho por trecho. Cada 
carga distribuída w(x) (igual ou não a zero) é considerada um trecho. Além disso, cada 
carga concentrada (incluindo reações em meio da viga) sempre faz divisão entre trechos, 
pois necessita-se tratar a carga concentrada especialmente (veja o procedimento abaixo). 
No final ainda podemos saber se os resultados estão corretos ou não, pois a força 
cortante e o momento fletor desenvolvidos no fim da viga devem bater a reação e o 
momento no fim da viga que geralmente são conhecidas também. 
 
Procedimento de desenvolvimento: 
 Resolver as reações; 
 Desenhar o DCL da viga inteira, incluindo as reações sendo consideradas forças 
concentradas; 
 Abaixo do DCL da viga, calcular os valores no início e no final de cada trecho e 
desenvolver o diagrama (ligação do ponto inicial até o final) de força cortante 
segundo da equação (7.5) e da tabela acima. Quando tiver uma força concentrada 
num ponto, a força cortante imediatamente após do ponto é calculada seguindo o 
descimento (menos) ou subimento (mais) da força concentrada, veja Figura 7.15 (a) 
e (b): 
 
Deve verificar se o valor desenvolvido no final da viga bate o valor da reação final. 
Se não bate, implica que há erros nos cálculos; 
 Abaixo do diagrama da força cortante, calcular os valores no início e no final de 
cada trecho e desenvolver o diagrama (ligação do ponto inicial até o final) de 
momento fletor segundo da equação (7.7) e da tabela acima. Quando tiver um 
momento concentrado num ponto, o momento fletor imediatamente após do ponto 
é calculado segundo as Figura 7.15 (c) e (d): 
 
 
Especial atenção está no ponto onde a força cortante V=0, onde terá o valor 
extremo. Deve verificar se o valor desenvolvido no final da viga bate o valor da 
reação final. Se não bate, implica que há erros nos cálculos; 
 
 5 / 2 2,5 , 2,5 , 2,5 , 0A C A A C C A CR R kN kN V R kN V R kN M M           
 
O diagrama de força cortante: 
( ) 2,5 0 2,5BB A AV V A w kN kN
      
Ligação de A até B: linear reta constante; 
5 2,5 5 2,5 (Ok!)B B C CV V kN kN kN kN V R
          
Ligação de B até C: linear reta constante. 
O diagrama de momento fletor: 
( ) 0 2,5 2 5BB A A BM M A V kN m kNm M
        
Ligação de A até B: linear reta. 
( ) 5 ( 2,5 ) 2 0 (Ok!)CC B BM M A V kNm kN m
       
Ligação de B até C: linear reta. 
A seção crítica é B onde 5máxM kNm . 
 
 
 9 , 18A BR kN R kN  
 A carga distribuída em função de x: 
2
( ) 6 / /
9 3
x x
w x kN m kN m   
 Os esforços internos, então, nas extremidades segundo a convenção dos sinais: 
 9 , 18 , 0A A B B A BV R kN V R kN M M        
Então 
2
0 0
2
2
( ) ( ( )) ( ) 9 9
3 3
9
(9) 9 18 (Ok!)
3
x x
x
A A A
B
x x
V x V A w x V w x dx dx
V V kN
        
    
 
 
Supor no local *: ( *) 0 x x V x  , então tem-se 
 
2*
9 0 * 5, 2 m
3
x
x    
O momento fletor em função de x: 
2 3
0
( ) ( ( )) 0 (9 ) 9
3 9
x
x
A A
x x
M x M A V x dx x       
Então: 
39
(9) 9 9 0 (Ok!)
9
BM M     
No local *x x , o momento atinge o valor 
máximo: 
 
35,2
( *) 9 5,2 31,2 
9
máxM M x kNm     
O diagrama de força cortante é parábola e o de 
momento fletor é cúbica. A seção crítica está no 
local * 5,2 mx x  . 
 
 
Solução: Pelo DCL da viga inteira, tem-se: 
 
12
0 : 40 12 600lb 20pés 1000lb pés=0 =15880lb pés
2
 40 12 600 1080
iA A A
i
A
pés
M m lb m
R lb lb lb
         
   
 
 
 Os esforços internos, então, nas extremidades segundo a convenção dos sinais: 
 1080 , 600 , 15880lb pés, 1000lb pésA A C A A CV R lb V lb M m M           
 
O diagrama de força cortante: 
(i) ( ( )) 1080 40 12 600BB A AV V A w x      
Ligação de A até B: linha reta. 
(ii) ( ( )) 0 600CC B B BV V A w x V     
Ligação de B até C: linha reta constante. 
O diagrama de momento fletor: 
(i) 1080 600( ( )) 15880 12 5800
2
B
B A AM M A V x

        
Ligação de A até B: parábola com barriga para 
cima; 
(ii) ( ( )) 5800 600 8 1000 (Ok!)CC B BM M A V x        
Ligação de B até C: linha reta. A seção crítica é A 
onde 15880
máx
M lb pés  
 
 
Solução: Pelo DCL da viga inteira, tem-se: 
0 : 20 600 10 =0 (6000 4000) / 20=500
 600 500 100
iA B D B
i
A
M R m R lb
R lb lb lb
       
  
 
 Os esforços internos, então, nas extremidades segundo a convenção dos sinais: 
 100 , 500, 0A A B B A BV R lb V R lb M M        
 
 
O diagrama de força cortante: 
(i) ( ( )) 100 0 100CC A AV V A w x
      
Ligação de A até C : linha reta constante. 
(ii) 600 100 600 500C CV V
       
(iii) ( ( )) 500 0 500 (Ok!)BB C CV V A w x
       
Ligação de C+ até B: linha reta constante. 
O diagrama de momento fletor: 
(i) ( ( )) 0 100 10 1000CC A AM M A V x      
Ligação de A até C: linha reta; 
(ii) ( ( )) 1000 500 5 1500DD C CM M A V x
        
Ligação de C até D : linha reta. 
(iii) Segundo a Figura 7.15 (c): 
4000 1500 4000 2500D DM M
       
(iv) ( ( )) 2500 500 5 0 (Ok!)BB D DM M A V x
      
A seção crítica é D . 
 
 
 
Solução: 
0 : 4 200 1 (100 4)2 300=0 (1100 200) / 4=225
 600 225 375
iA B B
i
A
M R R lb
R lb lb lb
         
  
 
 Os esforços internos, então, nas extremidades da viga segundo a convenção dos 
sinais: 
 200 , 0, 0, 300C D C DV lb V M M lb pés       
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama de força cortante: 
(i) ( ( )) 200 0 200AA C CV V A w x
        
Ligação de C até A : linha reta constante. 
(ii) 375 200 375 175A AV V
       
(iii) ( ( )) 175 100 4 225BB A AV V A w x
        
Ligação de A+ até B : linha reta, que cruza 
com o eixo x no ponto E, então VE=0. Isto 
é 
 
( ( )) 175 100 0
175 /100 1,75
E
E A AV V A w x x
x
     
   
 
(iv) 225 225 225 0B BV V
       
(v) ( ( )) 0 0 0 (Ok!)DD B BV V A w x
     
Ligação de B até D: linha reta constante. 
O diagrama de momento fletor: 
(i) ( ) 0 ( 200) 1 200AA C CM M A V        
Ligação de C até A: linha reta. No ponto E, 
o momento fletor atinge um valor extremo: 
(ii) 
( ) 200 175 1,75 / 2 46,875EE A AM M A V        
Ligação de A+ até E: linha parábola; 
(iii) 
( )
 46,875 ( 225 (4 1,75) / 2) 300
B
B E EM M A V 
       
 
Ligação de E até B: linha parábola; 
(iv) ( ) 300 0 300 (Ok!)DD B BM M A V       
Ligação de B até D: linha reta constante. 
A seção crítica é B , onde 
300
máx
M lb pés  . 
 
 
 
 
 
7.3 Diagrama de torque 
 Eixos geralmente recebem torques concentrados. Para obter o diagrama de torque, 
utiliza-se método de corte, aplicando a equação de equilíbrio de torção ao eixo. Veja o 
exemplo abaixo, que pede o diagrama de torque. 
 
Solução: Como os torques aplicados são auto-equilibrados, as reações nas extremidades 
A e B são nulas. 
 
Tomando DCL da parte AG, tem-se TG=0 
 
Tomando DCL da parte AC, tem-se 
0 : 40 0 40ix C C
i
T T T lb pés       
 
Tomando DCL da parte AD, tem-se 
0 : 40 15 0 55ix D D
i
T T T lb pés        
 
Tomando DCL da parte AD, tem-se 
0 : 10 0 10ix E E
i
T T T lb pés      
 
Tomando DCL da parte HB, tem-se 
0 : 0 0ix H H
i
T T T     
 
 
EXERCÍCIOS: 
7.43 - 7.49 - 7.73- 7.75 - 7.77 - 7.78