GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

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TEORIA GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
Figuras Planas - Uma figura plana nada mais é que uma região plana fechada por 
segmentos de reta (no mínimo 3 segmentos). 
Na Geometria, as formas mais conhecidas de figuras planas são: triângulo, quadrado, 
retângulo, paralelogramo, losango, trapézio, pentágono, hexágono e círculo. 
 
Todas essas formas geométricas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo da 
medida de seus perímetros e de suas superfícies (ou áreas). 
Perímetro: o perímetro de uma figura plana representa a soma de todas as medidas 
de seus lados. 
Observe a figura abaixo. Ela representa uma figura plana de quatro lados (portanto é 
um quadrilátero ) chamado trapézio. 
 
 
 
 
Nela observamos que as medidas de seus lados valem 15 cm, 5 cm, 9 cm e 5 cm. 
Assim calculamos seu perímetro fazendo 15 + 5 + 9 + 5 = 34 cm 
Observe que o perímetro é uma grandeza cuja unidade de medida é a de 
comprimento e portanto pode ser medido em metros ou em seus múltiplos e 
submúltiplos. 
Para pensar: 
1) Em qual unidade de medida você mediria o perímetro urbano da cidade onde você 
mora? 
2) Em qual unidade de medida você mediria o perímetro do terreno de uma 
residência? 
 
 
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Área: como já estudamos anteriormente, área é a denominação dada à medida de 
uma superfície. 
Cada uma das figuras planas possuem fórmulas especificas para o cálculo de sua 
área. 
Vejamos então: 
1) Triângulo: figura de 3 lados. O lado b é chamado de base e o segmento h de 
altura. 
 
 Á𝑟𝑒𝑎 = 
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 
 
2) Quadrilátero: figura de 4 lados. Destacamos o quadrado, retângulo, 
paralelogramo, losango e trapézio. 
a) Quadrado: quadrilátero com lados iguais e quatro ângulos retos. 
 
 
 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
Observe que a base b e a altura h são iguais (b = h). 
Se representarmos essas medidas por ℓ então: Á𝑟𝑒𝑎 = ℓ2 
 
b) Retângulo: quadrilátero com lados iguais dois a dois e quatro ângulos retos. 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
 
 
c) Paralelogramo: quadrilátero com lados opostos paralelos e iguais dois a dois. 
 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
 
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d) Losango: quadrilátero com quatro lados iguais e ângulos opostos iguais dois a 
dois. 
 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
 
 
No caso do losango, podemos também calcular sua área utilizando as medidas de 
suas diagonais. 
 Á𝑟𝑒𝑎 = 
𝑑 𝑥 𝐷
2
 
 
 
 
 
e) Trapézio: quadrilátero com dois lados paralelos (chamados de bases maior e 
menor). 
 Á𝑟𝑒𝑎 = 
(𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 ).ℎ
2
 
 H h 
 
3) Círculo: tem como elementos principais o centro e o raio ( r ). 
 
 Á𝑟𝑒𝑎 = π.r2 
 
 
Importante: circunferência é o nome dado a linha de contorno do círculo. Por ser 
uma linha, podemos calcular o seu comprimento (ou perímetro) usando a expressão: 
C = 2 . π . r 
Importante: o valor de π = 3,141592... é uma dízima não periódica e só deve ser 
substituído quando fornecido pelo exercício. 
 
 
 
 
http://3.bp.blogspot.com/_MjLUN6kqNd4/TKeYFfEzKZI/AAAAAAAAAA0/1AKcz4gKOq0/s1600/area-de-figuras-planas-9.jpg
 
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EXERCÍCIOS 
1) Encontra a área da figura abaixo formada por retângulos e um triângulo retângulo: 
 
 
 
 
 
 
a) 36 b) 38,5 c) 40 d) 42,5 e) 46 
2) Cada quadro da figura equivale a um quadrado de lado 1 cm. Encontre a área da 
figura sombreada, em cm2. 
 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
e) 16 
3) Uma loja de material de construção vende pisos cerâmicos de forma quadrada com 
25 cm de lado. O Sr. Argemiro deseja trocar o piso da sala retangular de sua residência 
que mede 5,5 metros de comprimento por 4,0 metros de largura. Cada piso cerâmico, 
vendido pela loja, custa na promoção R$ 9,80. Quanto gastará o Sr. Argemiro para 
trocar todo piso de sua sala se aproveitar a promoção? 
a) R$ 3449,60 
b) R$ 3510,00 
c) R$ 3620,00 
d) R$ 3700,00 
e) R$ 3840,00 
 
4) Em um trapézio, cuja área é S = 21 m2, a altura tem a metade da base maior. Se 
as medidas das bases, em metros, são x e x + 2, então a altura mede: 
a) 7 m 
b) 3,5 m 
c) 5 m 
d) 3 m 
e) 4,5 m. 
 
 
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5) Sendo ABCD um quadrado de lado 4, calcule a área sombreada da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 16 
b) 16 - π 
c) 18π 
d) 20 - 2𝜋 
e) 16(2 – π) 
 
GABARITO 
1) B 
2) C 
3) A 
4) B 
5) E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GEOMETRIA ESPACIAL 
Agora vamos estudar as figuras que apresentam três dimensões e portanto 
apresentam uma nova grandeza denominada volume. Principais figuras espaciais: 
 
O Cubo (também chamado de Hexaedro Regular) e o Paralelepípedo retângulo 
são dois casos particulares de prismas. Prismas são poliedros que apresentam duas 
bases iguais e paralelas. 
Cubo: formado por seis quadrados (dois deles formando as bases e quatro formando 
a lateral. 
 
 a 
 
 
 a 
Áreas e volume Sendo as arestas do cubo igual à “a” teremos 
Área da base (AB): AB = a2 
Área lateral (AL): formada por 4 quadrados assim AL = 4 a2 
Área total (AT): corresponde a soma da área lateral com as duas bases do cubo. 
AT = 6a2 
Volume: V = a3 
Diagonal do cubo (D) D = a√𝟑 
Paralelepípedo: formado por 6 retângulos iguais dois à dois distribuídos da seguinte 
forma: 
Base: dois retângulos (do tipo ab) 
Lateral: quatro retângulos (2 do tipo ac e dois do tipo bc) 
 
Áreas e volume 
Área da base ( AB ): AB = ab 
Área lateral ( AL ) : formada por 4 retângulosAL = 2ac + 2bc 
Área total: corresponde a soma da área lateral com as duas bases: 
 AT = 2(ab + ac + bc) 
Volume: V = a.b.c 
Diagonal do paralelepípedo: D = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
 
 
 
D 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Uma das caixas de embalagens usadas pelos CORREIOS tem forma de um 
paralelepípedo retângulo de área total igual a 352 cm². Se as dimensões desta caixa 
estão proporcionais aos números 1, 2 e 3, então as medidas são, em cm 
a) 4 , 8 e 12 
b) 2 , 4 e 12 
c) 12, 24 e 36 
d) 10 , 20 e 30 
 
2) De uma cartolina retangular medindo 18cm por 36cm, recortamos todas as faces 
para a construção de um paralelepípedo reto-retângulo, como mostra a figura abaixo. 
O volume desse paralelepípedo é: 
 
a) 576 cm3 
b) 648 cm3 
c) 728 cm3 
d) 972 cm3 
e) 1080 cm3 
 
 
3) Quando se diz que numa determinada região a precipitação pluviométrica foi de 10 
mm, significa que a precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro 
quadrado, em média. 
 
 
 
 
 
 
Se numa região de 10km2 de área ocorreu uma precipitação de 5 cm, quantos litros 
de água foram precipitados? 
a) 5 x 107 
b) 5 x 108 
c) 5 x 109 
d) 5 x 1010 
e) 5 x 1011 
 
4) Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo. O volume da caixa será 
duplicado se: 
a) dobrarmos todas as suas dimensões. 
b) triplicarmos todas as suas dimensões. 
c) dobrarmos duas das suas dimensões, mantendo-se a terceira dimensão inalterada. 
d) triplicarmos sua altura, mantendo-se as duas outras dimensões inalteradas. 
e) dobrarmos uma de suas dimensões, mantendo-se as outras duas dimensões 
inalteradas. 
 
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5) Uma piscina de forma retangular com 3 metros de largura e 8 metros de 
comprimento, com 1 metro de profundidade na parte rasa e 7 metros na parte funda 
e declividade constante, será revestida com azulejos de tamanho 20 cm x 20 cm. O 
número de azulejos necessários será 
a) 10.000 
b) 7.000 
c) 5.320 
d) 2.950 
e) 1.500 
 
6) Por uma quantidade de combustível suficiente para encher completamente um 
tanque A, em forma de paralelepípedo retangular com arestas medindo, 
respectivamente, 1 m, 2 m e 3 m, certa empresa cobra R$3 000,00. Pode-se estimar 
que, para encher completamente, com igual tipo de combustível, um tanque B, com o 
mesmo formato e com arestas medindo o dobro das arestas de A, a empresa deverá 
cobrar: 
a) R$ 6 000,00 
b) R$12 000,00 
c) R$16 000,00 
d) R$ 24 000,00 
 
7) O senhor Elmo comprou para o seu filho uma piscina de lona de 2,5 m de 
comprimento por 1,6 m de largura, no formato de um paralelepípedo retângulo. O 
filho jogou o seu gato de estimação dentro da piscina totalmente cheia de água e o 
mesmo, assustado, fugiu arranhando o fundo da piscina fazendo um pequeno furo. 
Vazando em uma taxa constante e igual a 5 litros por hora, em 16 dias e 16 horas a 
piscina estava totalmente vazia. Nessas condições, podemos concluir que a altura da 
piscina, em cm, era: 
a) 40 
b) 45 
c) 50 
d) 55 
e) 60 
 
 
GABARITO 
1) A 
2) D 
3) B 
4) E 
5) D 
6) D 
7) C 
 
 
 
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Pirâmide 
A exemplo dos prismas a pirâmide é um poliedro (“muitas faces”) onde apenas uma 
das faces representa a sua base (ao contrário dos prismas que possuem duas bases 
iguais e paralelas). 
Observe a figura abaixo: 
 
 
 Face lateral → 
 
 
 
 Base 
A exemplo do que estudamos nos prismas é o polígono da base da pirâmide quem 
determina o nome dado a pirâmide. 
Pirâmide de base triangular Pirâmide de base quadrangular 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos da Pirâmide 
 V = vértice 
 VA = aresta lateral (aℓ) 
 AB = aresta da base (ℓ). 
 AH = altura (h) 
 HE = apótema da base (ab) 
 VE = apótema da pirâmide (ap) 
 
A pirâmide será do tipo regular quando o polígono da base for regular. 
Pirâmide Triangular Regular: a base é um triangulo equilátero. 
Pirâmide Quadrangular Regular: a base é um quadrado. 
Pirâmide hexagonal Regular: a base é um hexágono regular 
 
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Áreas e volume (Pirâmide regular) 
Área da base (AB): calculada de acordo com o nome da pirâmide. 
Considere ℓ como a aresta da base. 
Pirâmide triangular regular: AB = 
𝑙2√3
4
 
Pirâmide Quadrangular Regular: AB = 𝑙2 
Pirâmide Hexagonal Regular: AB = 
3𝑙2√3
2
 
Área lateral ( AL ) : as faces são triangulares, assim basta calcular a área de uma 
face e multiplicar o valor pelo número de faces ( sempre igual ao número de lados da 
base ). AL = n . ℓ . ap/2 
Área total ( AT ) corresponde a soma da área lateral com as duas bases do prisma. 
 AT = AL + AB 
Volume ( V ): é o resultado da multiplicação da área da base pela altura do prisma. 
 V = AB . H/3 
Relação auxiliar: observe que o triângulo VHE é retângulo; assim podemos aplicar 
o teorema de Pitágoras : h 2 = ab2 + ap2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Uma pirâmide hexagonal tem: 
a) 6 vértices. 
b) 7 faces triangulares. 
c) 7 arestas. 
d) 12 arestas. 
e) 12 vértices. 
 
2) Talvez não seja inútil conhecer as dimensões de pirâmides do antigo Egito. A maior 
delas, Quéops, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 138 m de altura e 230 
m na aresta da base. Esses dados permitiram que fosse calculado o volume de uma 
pirâmide, semelhante à de Quéops, para ser usada como um peso para papel. Se a 
área da base dessa pequena pirâmide é 100 cm2 , o seu volume, em centímetros 
cúbicos, é 
a) 200 
b) 250 
c) 300 
d) 360 
e) 400 
 
3) A sociedade feudal pode ser representada por uma pirâmide regular de volume 
500 cm 3 e altura igual a 10 cm. Se o "clero e a nobreza" correspondem a uma outra 
pirâmide regular de altura 1 cm, como mostra a figura, então o volume, em 
centímetros cúbicos, dessa outra pirâmide é 
a) 0,02 
b) 0,50 
c) 2 
d) 1 
e) 104) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base 
quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir 
esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 
lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de 
telhas a ser comprado é: 
a) 90 
b) 100 
c) 110 
d) 120 
e) 130 
 
 
 
 
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5) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular 
com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 
blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na 
parte superior —, espaçados de 1cm entre eles, sendo que a base superior de cada 
bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando 
pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte 
superior, que tem 1,5cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto 
ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? 
A) 156cm3. 
B) 189cm3. 
C) 192cm3. 
D) 216cm3. 
E) 540cm3. 
 
GABARITO 
1) D 
2) A 
3) B 
4) A 
5) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cilindro 
O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações 
intensas do uso de cilindros. 
 
 
 
 
Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, 
todos eles com formas cilíndricas. 
Aplicações práticas: Os cilindros abaixo recomendam alguma aplicação importante 
em sua vida? 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindros de mergulho Cilindros do motor de um carro Filtro cilíndrico 
 
Elementos 
 
Num cilindro, podemos identificar vários elementos: 
 
Base é a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro 
existem duas bases em formato circular. 
 
Eixo é o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro". 
 
Altura a altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm 
as bases do "cilindro". 
 
Superfície Lateral é o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas 
bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva 
diretriz. 
 
Superfície Total é o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com 
os pontos das bases do cilindro. 
 
Área lateral é a medida da superfície lateral do cilindro. 
 
Área total é a medida da superfície total do cilindro. 
 
Seção meridiana de um cilindro é uma região poligonal obtida pela interseção de 
um plano 
vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro. 
 
 
 
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Classificação dos cilindros circulares 
 
Cilindro circular oblíquo 
Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindro circular reto 
As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é 
também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um 
retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindro equilátero 
É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado (G = H = 2r) 
 
 
 
 
 
 
Fórmulas 
Área da base: AB = π r2 Área lateral: AL = 2.π r.G 
Área total: AT = AL + 2.AB 
 Volume V = AB . H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Em um supermercado, para um determinado tipo de óleo, existem duas 
embalagens cilíndricas de tamanhos diferentes. A lata mais alta possui o dobro da 
altura da outra, porém, seu diâmetro é a metade do da lata mais baixa. Se a lata 
mais alta custa R$ 3,00 e a mais baixa R$ 4,50, é correto afirmar que: 
a) O conteúdo de óleo da lata mais baixa é 3/2 do conteúdo de óleo da mais alta. 
b) É mais econômico comprar a lata mais alta. 
c) O volume de óleo da lata mais baixa é a metade do volume de óleo da mais alta. 
d) O conteúdo de óleo das duas latas é o mesmo. 
e) Uma pessoa que levar 2 latas de R$ 3,00 em vez de uma de R$ 4,50 terá um 
prejuízo de R$ 1,50, pois estará levando a mesma quantidade de óleo. 
 
2) O proprietário de uma casa de lanches comprou bisnagas para servir maionese. 
Cada bisnaga tem a forma muito aproximada de um cilindro com 12 cm de altura e 
cujo diâmetro da base mede 5 cm. 
Pelo menos ______ dessas bisnagas serão necessárias para acondicionar 12 litros de 
maionese. 
Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna, de forma a tornar 
verdadeira a sentença acima. 
a) 32 
b) 35 
c) 50 
d) 51 
e) 62 
 
3) A planificação de um cilindro circular reto permite fazer seu molde, a fim de poder 
reproduzi-lo. O molde do cilindro circular reto é composto por: 
a) dois retângulos. 
b) dois círculos. 
c) dois retângulos e dois círculos. 
d) dois retângulos e um círculo. 
e) um retângulo e dois círculos. 
 
 
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4) Um jogo para mantimentos é composto de 6 latas cilíndricas, todas com 10 cm de 
raio na base e com as alturas, em cm, representadas, respectivamente, pelos inteiros 
da sequência 10,12,14,…,20. A capacidade total desse jogo de latas, em cm3, é: 
a) 900π 
b) 1800 π 
c) 2000 π 
d) 9000 π 
e) 18000 π 
 
5) A figura abaixo representa um reservatório de água formado por três partes 
sobrepostas, todas com a forma de cilindro circular reto, com alturas iguais a x 
centímetros, com os raios das bases iguais a 100, 90 e 80 centímetros, e com eixos 
centrais coincidentes. Sabendo que o reservatório tem capacidade de 1000 litros, 
assinale o valor inteiro mais próximo de x. 
 
Dado: Utilize π = 3,14. 
 
a) 13cm 
b) 16cm 
c) 19cm 
d) 10cm 
e) 22cm 
 
GABARITO 
1) E 
2) D 
3) E 
4) D 
5) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cone 
Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e 
um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de 
todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto 
qualquer da região. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em nosso cotidiano encontramos diversos objetos na forma cônica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Elementos do coneBase: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a 
própria curva. 
Vértice: O vértice do cone é o ponto V. 
Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento 
de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base. 
Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a 
outra na curva 
que envolve a base. 
Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base. 
Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos 
de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base. 
Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a 
base do cone que é o círculo. 
 
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 MATEMÁTICA E LÓGICA PROF SÉRGIO SARKIS RACIOCÍNIO MATEMÁTICO 
TEORIA GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida 
pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo. 
Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem 
ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é 
perpendicular ao plano da base e é 
oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cone reto. Cone obliquo 
 
 
Observações sobre um cone circular reto 
 
1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação 
(revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que 
contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular 
limitada pelo triângulo isósceles VAB. 
Cone equilátero é aquele onde a geratriz igual ao diâmetro 
da base ( g = 2R). A secção meridiana é um triângulo equilátero. 
 
3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a 
medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
 g2 = h2 + R2 
 
Fórmulas 
Área da base: AB = π r2 Área lateral: AL = π r.g 
Área total: AT = AL +AB Volume V = AB . H/3 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Dois amigos, Antônio e José, foram tomar chope num lugar onde existem dois 
tipos diferentes de copos, conforme as figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antônio escolheu o copo cônico, José escolheu o cilíndrico e cada um tomou 10 copos 
de chope. Considerando π = 3,14 , pode-se afirmar que: 
a) Antônio tomou mais de 2 litros de chope. 
b) Antônio e José tomaram quantidades iguais de chope. 
c) Antônio tomou 1 / 2 litro de chope a mais que José. 
d) Antônio e José, juntos, tomaram mais de 2 litros de chope. 
 
2) Uma caixa d`água, com capacidade de 810 m3 de volume, tem a forma de um 
cone circular reto invertido, conforme a figura. Se o nível da água na caixa 
corresponde a 1/3 da altura do cone, o volume de água existente, em litros, é: 
a) 10.000 
b) 20.000 
c) 30.000 
d) 40.000 
e) 50.000 
 
3) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em 
compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. 
Considerando h como a altura máxima de líquido que galheteiro comporta e 
 a razão entre a capacidade total azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é 
a) 7 cm. 
b) 8 cm. 
c) 10 cm. 
d) 12 cm. 
e) 15 cm. 
 
 
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4) Uma jarra cilíndrica, com 20cm de profundidade e 10cm de diâmetro, está 
completamente cheia de suco de laranja. Este suco deverá ser servido em taças 
cônicas com 12cm de profundidade e 4cm de diâmetro. O número mínimo de taças 
necessárias, para esvaziar completamente a jarra, será de: 
a) 26 
b) 30 
c) 11 
d) 16 
e) 32 
5) A figura abaixo representa um galpão de base circular e suas medidas estão nela 
representadas. Quant os metros quadrados de telhado, aproximadamente, foram 
gastos para cobrir esse galpão? 
a) 42m2 
b) 41m2 
c) 42,5m2 
d) 41,5m2 
e) 45,5m2 
 
 
GABARITO 
1) D 
2) C 
3) C 
4) E 
5) A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESFERA 
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja 
distância ao centro é menor ou igual ao raio R. 
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera 
é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e 
formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos 
R = raio = distância do centro da esfera até a superfície. 
D = diâmetro = 2R 
 
Relações: 
Área da superfície esférica: As = 4.π.R2 
Volume da esfera: V = 
𝟒 
𝟑
 𝝅R3 
Secção 
Uma esfera de raio R pode ser cortada por um plano à uma distância d em relação ao 
seu centro. Esse corte forma uma área circular de raio r, conforme a figura abaixo. 
 Relações 
 Área da secção = π.r2 
 Área do circulo máximo π.R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Sabendo que a área de uma superfície esférica é 16 π cm2, Qual o raio da esfera. 
a) 3 cm 
b) 5 cm 
c) 7 cm 
d) 2 cm 
e) 4 cm 
 
 
2.Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância 
de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio 
dessa circunferência, em centímetros, é 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 6 
 
3) Um sorveteiro vende sorvetes em casquinhas de biscoito que têm a forma de cone 
de 3 cm de diâmetro e 6 cm de profundidade. As casquinhas são totalmente 
preenchidas de sorvete e, ainda, nelas é superposta uma meia bola de sorvete de 
mesmo diâmetro do cone. Os recipientes onde é armazenado o sorvete têm forma 
cilíndrica de 18 cm de diâmetro e 5 cm de profundidade. Determine o número de 
casquinhas que podem ser servidas com o sorvete armazenado em um recipiente 
cheio. 
a) 36 
b) 40 
c) 45 
d) 50 
e) 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) A tira seguinte mostra o Cebolinha tentando levantarum haltere, que é um 
aparelho feito de ferro, composto de duas esferas acopladas a um bastão cilíndrico. 
 
Suponha que cada esfera tenha 10,5cm de diâmetro e que o bastão tenha 50cm de 
comprimento e diâmetro da base medindo 1,4cm. Se a densidade do ferro é 
7,8g/cm³, quantos quilogramas, aproximadamente, o Cebolinha tentava levantar? 
(Use: π = 22/7) 
 
a) 8 
b) 16 
c) 15 
d) 12 
e) 10 
 
5) A área da superfície coberta de água corresponde a aproximadamente 3/4 da 
superfície da Terra. Considerando que a Terra seja uma esfera de raio 6.370km, 
determine a área da superfície da Terra que é coberta pela água. 
 
a) 382.234.398 km2 
b) 420.120.300 km2 
c) 285.465.213 km2 
d) 345.654.124 km2 
e) 410.879.523 km2 
 
 
 
 
GABARITO 
1) D 
2) A 
3) C 
4) E 
5) A