Banco de Questões

Prévia do material em texto

Exercícios solucionados de Estatística para os cursos de Economia e
Engenharia
Monitor: Lucas de Mattos Martins
Prof: Jony Arrais Pinto Júnior
Prof: Luz Amanda Melgar Santander
Conteúdo
1 Introdução 2
2 Probabilidade 3
3 Estatística Descritiva 19
4 Variáveis Discretas e Algumas Distribuições 33
5 Variáveis Alteatórias Contínuas e Algumas Distribuições 45
6 Intervalo de Confiança & Teste de Hipótese 60
1
Tópico 1
Introdução
Este trabalho é fruto do projeto de monitoria do Departamento de Estatística da Universidade
Federal Fluminense. O banco de questões foi idealizado a fim de ajudar de maneira didática
os alunos dos cursos de Economia e Engenharias. Foram escolhidas questões das listas de
exercícios dos professores que ministraram a matéria de Estatística nos períodos de 2019.1 e
2019.2 e assim foi tomando forma este trabalho.
Desejo a todos um bom estudo!
Caso encontre algum erro, peço que possa fazer a gentileza de entrar em contato comigo via
email: lucasmattosmartins@id.uff.br.
Atenciosamente, Lucas de Mattos Martins
2
Tópico 2
Probabilidade
2.1. De quantas maneiras pode-se pintar uma tábua com 4x4 campos se dois campos deverão
ser brancos, quatro deverão ser pretos e dez deverão ser vermelhos?
Solução:
Queremos saber o número total de possibilidades de pintar a tábua, portanto temos um
experimento em etapas.
ε : pintar tábua 4x4
Etapa 1: Alocar 2 campos da tábua para pintar de branco, isto é dentre os 16 campos
vamos escolher 2.
n1 =
(
16
2
)
= 120
Etapa 2: Alocar 4 campos da tábua para pintar de preto, isto é dentre os 14 campos
restantes vamos escolher 4.
n2 =
(
14
4
)
= 1.001
Etapa 3: Alocar 10 campos da tábua para pintar de vermelhos, isto é dentre os 10 campos
vamos escolher 10.
n3 =
(
10
10
)
= 1
Logo, pelo princípio da multipliação, temos que o número de maneiras de pintar todos os
campos da tábua é N = n1×n2×n3 =
(
16
2
)
×
(
14
4
)
×
(
10
10
)
= 120.120
2.2. Uma cidade tem 100 veradores, dos quais 60 são a favor de um plano da prefeitura. Numa
pesquisa, 10 vereadores serão selecionados. Pergunta-se
(a) Quantas diferentes seleções de 10 vereadores podem ser feitas?
(b) Quantas das possíveis seleções incluem 6 ou mais vereadores a favor do plano?
(c) Quantas das possíveis seleções incluem 5 ou menos vereadores a favor do plano?
Solução:
3
(a) Queremos determinar N, onde N = número total de diferentes seleções de 10 vereadores
podemos fazer. Ou seja, dentre os 100 vereadores que a cidade possui vamos escolher
10 de forma aleatória.
Logo, temos que N =
(
100
10
)
(b) Queremos saber o número total de seleções que possuem 6 ou mais vereadores a favor
do plano. Observe que temos alguns cenários onde temos experimentos associados a
este cenários que são realizados em etapas:
• Primeiro cenário: O experimento em etapas é ter 6 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 6 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
6
)
= 50.063.860
Etapa 2: Escolher 4 vereadores dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
4
)
= 91.390
Pelo príncipio da multiplicação temos, N1 = n1×n2 =
(
60
6
)
×
(
40
4
)
= (50.063.860)(91.390)
• Segundo cenário: O experimento em etapas é ter 7 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 7 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
7
)
= 386.206.920
Etapa 2: Escolher 3 vereadores dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
3
)
= 9.880
Pelo príncipio da multiplicação temos, N2 = n1×n2 =
(
60
7
)
×
(
40
3
)
= (386.206.920)(9.880)
• Terceiro cenário: O experimento em etapas é ter 8 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 8 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
8
)
= 2.558.620.845
Etapa 2: Escolher 2 vereadores dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
2
)
= 780
Pelo príncipio da multiplicação temos, N3 = n1×n2 =
(
60
8
)
×
(
40
2
)
= (2.558.620.845)(780)
4
• Quarto cenário: O experimento em etapas é ter 9 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 9 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
9
)
Etapa 2: Escolher 1 vereador dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
1
)
= 40
Pelo príncipio da multiplicação temos, N4 = n1×n2 =
(
60
9
)
×
(
40
1
)
• Quinto cenário: O experimento em etapas é ter 10 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 10 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
10
)
Etapa 2: Escolher 0 vereadores dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
0
)
= 1
Pelo príncipio da multiplicação temos, N5 = n1×n2 =
(
60
10
)
×
(
40
0
)
Portanto, pelo princípio da adição temos que o total das possíveis seleções que incluem
6 ou mais vereadores a favor do plano é
N =N1 +N2 +N3 +N4 +N5 =
4∑
i=0
(
60
6 + i
)(
40
4− i
)
(c) Queremos o número total de seleções que incluem 5 ou menos vereadores a favor do
plano da prefeitura. Observe que o que estamos indo determinar é a quantidade “con-
trária” do item b. Portanto, como já sabemos o número de diferentes seleções de 10
vereadores podem ser feitas independentes da quantidade de vereadores contra ou fa-
vor(item a). E como também já sabemos quantas possíveis seleções incluem 6 ou mais
vereadores a favor do plano da prefeitura(item b).
Veja que, o valor que queremos encontrar neste item é exatamente o complementar do
que calculamos no item b.
Portanto, para calcularmos o número total de seleções que incluem 5 ou menos verea-
dores a favor do plano da prefeitura, será exatamente o valor da seguinte diferença:
N =
(
100
10
)
−
4∑
i=0
(
60
6 + i
)(
40
4− i
)
2.3. Se P(A) = 1/3 e P(B) =1/4 , A e B podem ser mutuamente exclusivos?
Solução:
5
Dados do exercício: P(A) = 13 = 0 ; P(B
c)= 14 . Então, como P (B
c) = 14 ⇔ 1− P (B) =
1
4 ⇔ P (B) =
3
4 .
Se A e B são mutuamente exclusivos, então,
P (A∪B) = P (A) +P (B) = 13 +
3
4 = 0,33 + 0,75 = 1,08> 1
Portanto A e B não são mutuamente exclusivos.
2.4. Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P (A∩B) = 0,3; calcule P (A|Bc).
Solução:
Dados do exercício: P (A) = 0,7;P (B) = 0,4; e P (A∩B) = 0,3
Vamos então calcular P (A|Bc):
P (A|Bc) = P (A∩B
c)
P (Bc)
Veja que nós não sabemos qual é probabilidade associada ao evento {A∩Bc}. Vamos então
fazer o diagrama de Venn para encontrar esta probabilidade.
Portanto, P (A∩B) = 0,4. E, como P (Bc) = 0,4⇔ 1−P (B) = 0,4⇔ P (B) = 0,6.
Logo,
P (A|Bc) = P (A∩B
c)
P (Bc) =
0,4
0,6 =
2
3
2.5. Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos abaixo usando
as operações união, intersecção e complementação:
(a) Somente A ocorre.
(b) A, B e C ocorrem.
(c) Pelo menos um ocorre.
(d) Exatamente dois ocorrem.
6
Solução:
(a) Queremos que somente o evento A ocorra, olhando para o diagrama de Venn nos
auxilia na visualização da ocorrência desse evento.
Então nosso interesse está em todos os elementos pertencentes ao conjunto A mas
que não pertencem aos conjuntos B e C. Sendo assim, podemos expressar o evento
proposto da seguinte maneira:
A∩ (Bc ∪Cc)
(b) Queremos que os três eventos ocorram simultaneamente. Abaixo, veja o diagrama de
Venn:
Nosso interesse esta em todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto
B e ao conjunto C. Logo, podemos expressar o evento proposto da seguinte maneira:
(A∩B ∩C)
(c) Queremos que pelo menos um evento ocorra, então queremos que ocorra ou o evento
A ou o evento B ou o evento C. Abaixo, veja o diagrama de Venn:
7
Logo, podemos expressar o evento proposto da seguinte maneira:
(A∪B ∪C)
(d) Queremos que ocorram exatamente dois eventos, então estamos interessados nas se-
guintes possibilidades:A e B ocorrerem ou A e C ocorrerem ou B e C ocorrerem.
Abaixo, veja o diagrama de Venn:
Logo, podemos expressar o evento proposto da seguinte maneira:
(A∪B ∪C)
2.6. Sendo P (A) = 0,30; P (B) = 0,50 e P (A∩B) = 0,10. Calcule as seguintes probabilidades:
(a) P (Ac ∪Bc)
(b) P (Ac ∩Bc)
(c) P (Ac ∩B)
(d) P (Ac ∪B)
Solução:
Pelo exercício, temos os seguintes dados: P (A) = 0,3; P (B) = 0,5 e P (A∩B) = 0,1.
(a) P (Ac ∪Bc) = P (Ac) +P (Bc)−P (Ac ∩Bc)
Vamos calcular as seguintes probabilidades ainda desconhecidas: P (Ac),P (Bc) e P (Ac∩
Bc)
8
P (Ac) = 1−P (A) = 1− 0,3 = 0,7
P (Bc) = 1−P (B) = 1− 0,5 = 0,5
P (Ac ∩Bc) = P ((A∪B)c)
= 1−P (A∪B)
= 1− [P (A) +P (B)−P (A∩B)]
= 1− [0,3 + 0,5− 0,1]
= 1− 0,7 = 0,3
Logo, P (Ac ∪Bc) = 0,7 + 0,5− 0,3 = 0,9
(b)
P (Ac ∩Bc) = P ((A∪B)c)
= 1−P (A∪B)
= 1− [P (A) +P (B)−P (A∩B)]
= 1− [0,3 + 0,5− 0,1]
= 1− 0,7 = 0,3
(c) Para calcularmos a probabilidade do evento A∩B, vamos usar como auxilio o diagrama
de Venn:
A área sobre listras cinzas representam todos os elementos que pertencem ao conjunto
Ac, enquanto as listras verdes representam todos os elementos que pertencem ao con-
junto B. Como queremos o conjunto que contém os elementos que pertencem a Ac e a
B, temos que o conjunto destacado em vermelho é o conjunto do nosso interesse.
Portanto,
P (Ac ∩B) = P (B)−P (A∩B) = 0,5− 0,1 = 0,4
(d) Determinar a probabilidade pedida fica fácil, pois nós já sabemos P (Ac),P (Ac∪B) e P (B),
portanto, segue:
P (Ac ∪B) = P (Ac) +P (B)−P (Ac ∩B) = 0,7 + 0,5− 0,4 = 0,8
2.7. Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos tais que P (A) = 0,5 e P (B) = 0,4.
(a) Calcule P (A∪B)
(b) Calcule P (B ∩Ac)
9
Solução:
O exercício nos diz que A e B são mutuamente exclusivos, então A∩B = ∅⇒ P (A∩B) =
P (∅) = 0. Além disso, temos também pelo exercício que P (A) = 0,5 e P (B) = 0,4.
(a)
P (A∪B) = P (A) +P (B)−P (A∪B) = 0,5 + 0,4− 0 = 0,9
(b)
P (B ∩Ac) = P (B)−P (A∩B) = 0,4− 0 = 0,4
2.8. Em um período de um mês, 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram inter-
nados em um hospital. Informações sobre os resultados de dois métodos alternativos de
tratamento aplicados aos pacientes estão resumidos no quadro abaixo:
Sorteando aleatoriamente um dos pacientes, determine a probabilidade:
(a) Do paciente escolhido ter sido submetido ao tratamento A.
(b) Do paciente escolhido ter sido totalmente curado.
(c) Do paciente escolhido ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente
curado.
(d) Do paciente escolhido ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente
curado.
(e) Os eventos "morte” e "tratamento A” são independentes?
(f) Sabendo que o paciente morreu, qual é a probabilidade de ter recebido o tratamento
B?
Solução:
Observe que, temos como espaço amostral o total de 100 pacientes sofrendo de determinada
doença que estão internados em um hospital, sendo assim #Ω = 100
(a) Seja o evento
A = “paciente sorteado aleatoriammente ter sido submetido ao tratamento A′′
Temos que #A é a soma de todos os elementos da coluna de pacientes que se submetem
ao tratamento A independente do resultado que obteve. Logo, #A= 30+18+12 = 60.
Então,
P (A) = #A#Ω =
60
100 = 0,6
(b) Seja o evento
T = “paciente sorteado aleatoriammente ter tido como resultado cura total”
10
Temos que #T é a soma de todos os elementos da linha dos pacientes que tiveram
como resultado cura total independente do tratamento que foi submetido. Logo, #T =
30 + 16 = 46. Então,
P (T ) = #T#Ω =
46
100 = 0,46
(c) Seja o evento C = “paciente sorteado aleatoriamente ter sido submetido ao tratamento
A e ter tido como resultado cura parcial” Então, seja o evento
I=“paciente sorteado aleatoriammente ter tido como resultado cura parcial”
Logo, C = A∩ I , veja que para determinar #C será a quantidade de elementos que
tem na tabela onde tem o número de pessoas que foram submetidas ao tratamento A
e obtiveram como resultado cura parcial. Sendo assim, #C = #A∩ I = 30.
P (C) = P (A∩ I) = #A∩ I#Ω =
18
100
(d) Seja o evento D = “paciente sorteado aleatoriamente ter sido submetido ao tratamento
A ou ter tido como resultado cura parcial”
Então, D = A∪ I. Logo
P (D) = P (A∪ I) = P (A) +P (I)−P (A∩ I)
Nós já temos de itens anteriores as seguintes probabilidades, P (A) e P (A capI). Por-
tanto, precisamos calcular a probabilidade do evento I que é o mesmo evento definido
no item c.
Logo, #I é a soma dos elementos da linha dos pacientes que tiveram como resultado
cura parcial independente do tratamento que foi submetido. Portanto, #I = 18+16 =
34. Sendo assim,
P (I) = #I#Ω =
34
100 = 0,34
Segue que,
P (D) = P (A∪ I) = P (A) +P (I)−P (A∩ I) = 0,6 + 0,34− 0,18 = 0,76
(e) Os eventos M = “morte” e A = “tratamento A” são independentes, se somente se,
P (M ∩A) = P (M)P (A)
Veja que, pelo item a, temos que P (A) = 0,6. Portanto, falta determinar P (M).
Temos que, #M é a soma dos elementos da linha dos pacientes que tiveram como
resultado morte independente do tratamento que foi submetido. Portanto, #M =
12 + 8 = 20. Sendo assim,
P (M) = #M#Ω =
20
100 = 0,2
Agora vamos determinar P (A ∩M). Temos que #A ∩M é a célula da tabela que
corresponde a quantidade de pacientes submetidos ao tratamento A e que obtiveram
como resultado morte.
Então, #A∩M = 12. Sendo assim,
P (A∩M) = 12100 = 0,12
11
Prosseguindo, vamos verificar se P (M ∩A) = P (M)P (A) :
Substituindo os valores na igualdade acima temos
0,12 = 0,6× 0,2⇔ 0,12 = 0,12
Logo, os evento M e A são independentes.
(f) Queremos saber a probabilidade do paciente ter recebido o tratamento B dado que ele
morreu. Sendo assim, vamos definir mais um evento:
B = {“paciente sorteado aleatoriammente ter sido submetido ao tratamento B”}
Observe que #B é a soma dos elementos da coluna de pacientes que se submetem ao
tratamento B independente do resultado que obteve. Logo, #B = 16 + 16 + 8 = 40,
então
P (B) = #B#Ω =
40
100 = 0,4
Agora que já temos todas as probabilidades dos eventos associados ao nosso expe-
rimento de interesse. Nós queremos determinar P (B|M), que é uma probabilidade
condicional. Veja que o evento B é um evento da partição amostral, portanto para cal-
cularmos tal probabilidade utilizaremos o Teorema de Bayes. Veja que, aproveitando
escritos dos itens anteriores, temos que
P (B|A) = P (B)P (M |B)
P (B)P (M |B) +P (B)P (I|B) +P (B)P (T |B)
= (0,4)(0,08)(0,4)(0,08) + (0,4)(0,16) + (0,4)(0,16) = 0,2
2.9. Seja o experimento em que são lançados 3 dados honestos.
(a) Calcule a probabilidade de que as faces sejam todas iguais.
(b) Calcule a probabilidade de que a soma das três faces seja menor do que 17.
Solução:
ε : lançamento de 3 dados honestos
Consideremos como espaço amostral Ω = {(ω1;ω2;ω3);ωi = 1,2, ...,6; i= 1,2,3}.
Logo, como cada um dos 3 lançamentos são independentes e tem 6 possíveis resultado.
Temos que #Ω = 63 = 216
(a) Seja o evento
A= {“as 3 faces dos dados sejam iguais” }
Ou seja, temos os seguintes casos que podem ocorrer: (1,1,1); (2,2,2); (3,3,3); (4,4,4); (5,5,5); (6,6,6)
Temos que #A= 6, sendo assim
P (A) = #A#Ω =
6
216
12
(b) Seja o evento
B = { “a soma das 3 faces seja menores do que 17” }
Neste caso, é interessante pensarmos no evento complementar, pois fica muito mais
fácil de se resolver, pois como o número de casos do evento B é muito grande para
listarmos todos esses casos seria mais difícil e teríamos uma chance de erro maior.
Veja que
Bc = {“a soma das 3 faces seja maior ou igual a 17” }
Temos que para Bc os casos são: (6,6,6); (6,6,5); (6,5,6); (5,6,6). Sendo assim, #Bc =
4, então
P (Bc) = #B
c
#Ω =
4
216 = 0,01851
Portanto, segue que
P (B) = 1−P (B) = 1− 0,01851 = 0,98148
2.10. Cinco cartas são selecionadas sem reposição de um baralho de 52 cartas. Qual a probabi-
lidade de que todas as cartas sejam vermelhas:
(a) Utilizando a proposta clássica.
(b) Utilizando o Teorema da multiplicação.
Solução:
Consideremos o seguinte espaço amostral: Ω = {(ω1,ω2,ω3);ωi = carta1, carta2, ..., carta52; i=
1,2,3,4,5}
Veja que cinco cartas são retiradas sem reposição, então a cada retirada ficamos com menosuma carta dentre as que ainda podem ser retiradas. Portanto, #Ω = (52)(51)(50)(49)(48)
(a) Seja o evento
A= {“as cinco cartas selecionadas seham vermelhas” }
Sabemos que um baralho contém 26 cartas vermelhas, como o evento consiste em retirar
5 cartas, uma a uma, sem reposição dentre essas 26. Temos que #A= (26)(25)(24)(23)(22)
Logo, pela Proposta Clássica temos
P (A) = #A#Ω =
(26)(25)(24)(23)(22)
(52)(51)(50)(49)(48) = 0,025
(b) Seja o evento
Ci = {“a i-ésima carta selecionada é vermelha”}
Queremos que a primeira carta seja vermelha e a segunda carta seja vermelha e a ter-
ceira carta seja vermelha e a quarta carta seja vermelha e a quinta carta seja vermelha,
logo estamos interessados em C1 ∩C2 ∩C3 ∩C4 ∩C5.
Sendo assim, pelo Teorema da Multiplicação, temos que
P (C1 ∩C2 ∩C3 ∩C4 ∩C5) = P (C1)P (C2|C1)P (C3|C1 ∩C2)P (C4|C1 ∩C2 ∩C3)P (C5|C1 ∩C2 ∩C3 ∩C4)
=
(26
52
)(25
51
)(24
50
)(23
49
)(22
48
)
= 0,025
13
2.11. Um grupo de 100 alunos foi classificado quanto ao sexo e à atividade de lazer preferida,
obtendo-se a distribuição dada na tabela abaixo.
(a) Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso neste grupo ser do sexo
masculino?
(b) Se a pessoa escolhida prefere a praia como atividade de lazer, qual é a probabilidade
de que seja um homem?
Solução:
Seja Ω = {“número total de pessoas no grupo”} então #Ω = 100.
(a) Seja o evento
H = {“escolher uma pessoa do sexo masculino do grupo”}
Temos que #H é o numero de pessoas que são do sexo masculino
P (H) = #H#Ω =
20
100 = 0,2
Logo, a probabilidade de uma pessoa ser do sexo masculino é de 0,2.
(b) Seja o evento
A= { “escolher uma pessoa que prefere praia como atividade de lazer”}
Utilizando o evento H do item anterior. Queremos saber a probabilidade de uma pessoa
escolhida seja do sexo masculino dado que a pessoa prefere praia como atividade de
lazer. Temos que #H∩A é o numero de pessoas que são do sexo masculino e preferem
praia como atividade de lazer.
P (H|A) = P (H ∩A)
P (A) =
#H ∩A
#Ω =
12
53 = 0,226
Logo, a probabilidade de interesse é igual a 0,226
2.12. Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto.
A fábrica I é responsável por 30% do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e
o restante vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção
de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais
produtos são considerados “defeituosos” e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente,
dos totais produzidos por fábrica. No centro de distribuição, é feito o controle de qualidade
da produção combinada das fábricas.
(a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de
qualidade?
14
(b) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade que
ele tenha sido produzido na fábrica II?
Solução:
O exercício fala que uma companhia multinacional tem 3 fábricas que produzem o mesmo
produto.
• Fábrica I produz 30% dos produtos
• Fábrica II produz 45% dos produtos
• Fábrica III produz 25% dos produtos
Dado isso, ele diz que existe uma proporção de produtos “defeituosos” produzidos por
cada fábrica. São estes:
• Proporção de produtos “defeituosos” produzidos pela fábrica I é 1%
• Proporção de produtos “defeituosos” produzidos pela fábrica II é 2%
• Proporção de produtos “defeituosos” produzidos pela fábrica III é 1,5%
Abaixo vamos definir os seguintes eventos:
F1 : { “produto ser da fabrica 1”}
F2 : { “produto ser da fabrica 2”}
F3 : { “produto ser da fabrica 3”}
D : { ” produto ser defeituoso ”}
Dc : { “produto NÃO ser defeituoso”}
Sabemos pelos dados do exercício que,
P (F1) = 0,3 P (F2) = 0,45 P (F3) = 0,25
O exercício nos dá também a proporção dos produtos considerados “defeituosos” dado que
foi produzido pela fábrica i; onde i= {1,2,3}
P (Dc|F1) = 0,01 P (Dc|F2) = 0,02 P (Dc|F3) = 0,015
(a) Queremos calcular a probabilidade de encontrar um produto defeituoso - não impor-
tando de qual fábrica onde ele foi produzido. Isto é, queremos P(D)! Sendo assim,
vamos neste caso utilizar o Teorema das Probabilidades Totais.
P (D) = P (F1 ∩D∪F2 ∩D∪F3 ∩D)
= P (F1 ∩D) +P (F2 ∩D) +P (F3 ∩D)
= P (F1)P (D|F1) +P (F2)P (D|F2) +P (F3)P (D|F3)
= (0,3)(0,01)] + [(0,45)(0,02) + (0,25)(0,015) = 0,0158
Logo, a probabilidade de encontrar um produto defeituoso é de 0,0158
15
(b) Queremos calcular a probabilidade de dado um produto produzido encontrado ser
defeituoso, o mesmo ter sido produzido pela fábrica 2. Sendo assim, vamos utilizar o
Teorema de Bayes para determinar tal probabilidade.
P (F2|D) =
P (F2 ∩D)
P (F1 ∩D) +P (F2 ∩D) +P (F3 ∩D)
= (0,25)(0,015)(0,3)(0,01)] + [(0,45)(0,02)] + [(0,25)(0,015)
= 0,003750,0158 = 0,23734
2.13. Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70%
dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultra-som
o detectará com probabilidade 0,9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode,
erroneamente, indicar que tem com probabilidade 0,1. Se o exame detectou um tumor,
qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato?
Solução:
Segundo o exercício, sabe-se que 70% dos casos ocorreu de o paciente ter tumor no abdô-
men. Logo, consideremos os seguintes eventos:
T : { “paciente ter tumor”} e T c : { “paciente não ter tumor”}
Então,
P (T ) = 0,7⇒ 1−P (T c) = 0,7⇒ P (T c) = 0,3
Observe que T e T c formam uma partição do espaço amostral.
Se o paciente vai fazer o exame, ele pode obeter apenas 2 resultados. São eles, o exame
detectar tumor (positivo) tumor e o exame não detectar tumor(não positivo). Logo, con-
sideremos os seguintes eventos:
E : {“exame dar positivo”} e Ec : {“ exame NÃO dar positivo”}
P (E) = 0,9⇒ P (Ec) = 0,1
Estamos interessados em saber a probabilidade do paciente ter de fato um tumor, dado
que o exame detectou (postivo) tumor. Logo, queremos P (T |E), como já sabemos que T é
um evento que faz parte da partição do espaço amostral, vamos calcular tal probabilidade
utilizando o Teorema de Bayes:
P (T |E) = P (T )P (E|T )
P (T )P (E|T ) +P (T c)P (T c|E) =
(0,7)(0,9)
(0,7)(0,9) + (0,3)(0,1) � 0,95
2.14. Suponha que um centro médico tenha um teste para detectar a presença de uma doença.
O teste acerta o diagnóstico 95% das vezes, quando a pessoa tem a doença ou quando não
têm. Se 0,5% da população tem a doença, calcule a probabilidade de que um indivíduo
tenha a doença, dado que o teste tenha dado positivo para este indivíduo.
Solução:
16
Sabe-se pelo exercício que o teste acerta com 0,95 de probabilidade, quando a pessoa tem
ou quando não tem a doença
E a probabilidade de uma pessoa da população ter a doença é de 0,05 e a de não ter a
doença é 0,95.
Considere os seguintes eventos:
D = {“paciente ter a doença”}
A= {“teste acertar diagnóstico”}
Observe que D e Dc são eventos que formam uma partição do espaço amostral.
Queremos calcular a probabilidade do indivíduo ter a doença dado que o teste deu positivo.
Ou seja, vamos determinar P (D|A), como queremos saber a probabilidade de um dos
eventos que formam a partição do espaço amostral, utilizaremos o Teorema de Bayes.
P (D|A) = P (D)P (A|D)
P (D)P (A|D) +P (Dc)P (A|Dc) =
(0,05)(0,95)
(0,05)(0,95) + (0,95)(0,05) = 0,5
2.15. Segundo a previsão do tempo, a probabilidade de chover para o sábado é de 0,5 e a
probabilidade de chuva para o domingo é de 0,50. Se supusermos que dias consecutivos
são eventos independentes, qual a probabilidade de que chova no fim de semana (no sábado
ou no domingo)?
Solução:
Sejam os eventos: A : {“chover no sabado”} e B : {“chover no domingo”}
Pelo exercício, temos que, P (A) = 0,5 e P (B) = 0,5.
Seja C : {“chover no fim de semana”} ; isto é, chover no sábado ou no domingo, logo
C = A∪B.
P (C) = P (A∪B) = P (A) +P (B)−P (A∩B)
Como A e B são eventos independentes, então P (A∩B) = P (A)×P (B)
Logo,
P (C) = P (A∪B) = 0,5 + 0,5− 0,5× 0,5 = 0,75
2.16. Sejam A e B eventos independentes. Se a probabilidade de A ou B ocorrer for igual a 0,6
e a probabilidadede A ocorrer for igual a 0,4, qual é a probabilidade de ocorrência de B?
Solução:
Sejam A e B eventos independentes, então P (A∩B) = P (A)P (B). Temos pelo exercício
que P ({A}ou{B}) = P (A ∪B) = 0,6 e P (A) = 0,4. Sendo assim, queremos determinar
P (B).
Veja que,
17
P (A∪B) = 0,6 ⇔ P (A) +P (B)−P (A∩B) = 0,6
⇔ P (A) +P (B)−P (A)P (B) = 0,6
⇔ 0,4 +P (B)− 0,4P (B) = 0,6
⇔ 0,6P (B) = 0,2
⇔ P (B) = 0,33
2.17. Três moedas são lançadas. Mostre que os eventosE1 = {“o total de coroas das duas primeiras moedas é 1”}
e E2 = {“3a moeda resulta em cara”} são independentes.
Solução:
Para que E1 e E2 sejam eventos independentes, temos que
P (E1 ∩E2) = P (E1)P (E2)
Então, nosso propósito será mostrar que tal igualdade é válida.
Temos como espaço amostral para esses eventos:
#Ω = {(ω1,ω2,ω3);ωi =K,C; i= 1,2,3}, temos que #Ω = 23 = 8
E1 = {“o total de coroas das duas primeiras moedas é 1”}
Então, temos os seguintes casos para o evento acima:(C,K,K); (K,C,C); (C,K,C); (K,C,C);
logo #E1 = 4. Sendo assim,
P (E1) =
#E1
#Ω =
4
8 =
1
2
E2 = {“terceira moeda é cara”}
Então, temos os seguintes casos para o evento acima:(C,K,K); (C,C,K); (K,K,K); (K,C,K);
logo #E2 = 4. Sendo assim,
P (E2) =
#E2
#Ω =
4
8 =
1
2
Agora vejamos P (E1∪E2), primeiro olharemos para os casos em comum aos eventos, isto é,
casos que pertençam ao evento E1 e E2. São estes os casos: (C,K,K); (K,C,K). Portanto,
#E1 ∩E2 = 2. Sendo assim,
P (E1 ∩E2) =
#E1 ∩E2
#Ω =
2
8 =
1
4
.
Observe que P (E1)P (E2) =
1
2 ×
1
2 =
1
4 = P (E1 ∩E2). Logo mostramos que E1eE2 são
eventos independentes.
18
Tópico 3
Estatística Descritiva
3.1. Em uma pesquisa de votos, deseja-se saber qual o perfil dos eleitores para determinado par-
tido. Discuta que variáveis podem ser incluídas nesta pesquisa e qual o tipo de amostragem
mais indicado para a pesquisa.
Solução:
Para montar um perfil de um eleitor para determinando partido político, podemos consi-
derar as seguintes variáveis: sexo, idade, renda, cidade onde reside, estado onde reside e
escolaridade.
3.2. Classifique as variáveis a seguir em qualitativas (nominais ou ordinais) ou quantitativas
(discretas ou contínuas).
(a) Salário de empregados de uma indústria.
(b) QI dos funcionários de uma seção.
(c) Número de respostas certas de alunos em um teste com 10 itens.
(d) Porcentagem da receita de municípios aplicada em educação.
(e) Status socioeconômico dos alunos da UFF
(f) Opinião dos empregados de uma Indústria sobre a realização ou não de cursos obriga-
tórios de treinamento.
Solução:
(a) Variável quantitativa contínua
(b) Variável quantitativa discreta
(c) Variável quantitativa discreta
(d) Variável quantitativa contínua
(e) Variável qualitativa ordinal
(f) Variável qualitativa nominal
3.3. Considere uma amostra x1,x2, ...,xn da variável X. Seja c uma constante. Considere agora
y1,y2, ...,yn, tal que yi = xi/c, i = 1, ...,n. Verifique se a soma dos desvios em relação à
média é igual a zero.
Solução:
19
Queremos mostrar que
n∑
i=1
(yi− y) = 0
n∑
i=1
(yi− y) =
n∑
i=1
(
xi
c
)
−
n∑
i=1
∑n
i=1
(
xi
c
)
n
=
n∑
i=1
(
xi
c
)
−n
∑n
i=1
(
xi
c
)
n
=
n∑
i=1
(
xi
c
)
−
n∑
i=1
(
xi
c
)
= 0
3.4. Considere uma amostra x1,x2, ...,xn da variável X. Seja c uma constante. Considere agora
y1,y2, ...,yn, tal que yi= xi/c, i= 1, ...,n. Mostre que y = x/c
Solução:
Queremos mostrar que y = x/c.
Veja que,
y = y1 + y2 + ...+ yn
n
=
x1
c
+ x2
c
+ ...+ xn
c
n
=
∑n
i=1
xi
c
n
= 1
c
∑n
i=1xi
n
= 1
c
x= x
c
3.5. Os dados abaixo se referem à dosagem de hemoglobina verificada em 12 animais bovi-
nos(mg):
15 14 13 11 13 14 13,5 12 16 14,5 129
(a) Calcule média, moda e mediana.
(b) Qual a forma da distribuição?
(c) Calcule o coeficiente de variação e comente os resultados.
Solução:
(a) Calculando a média:
X = 15 + 14 + · · ·+ 12 + 912 =
157
12 = 13,08
Moda:
Temos os valores 12,13 e 14 como os elementos modais.
Mediana:
(b)
xi fi
9 1
11 1
12 2
13 2
13,5 1
14 2
14,5 1
15 1
16 1
Total 12
20
(c) O coeficiente de variação é dado por:
ĉ= s
x
Veja que s=
√
s2.
Calculando s:
s2 = (9− 13,08)
2 + (11− 13,08)2 + · · ·+ (15− 13,08)2 + (16− 13,08)2
12 = 3,583
Logo, s=
√
3,583 = 1,892. Então, ĉ= 1,89213,08 = 0,1446.
3.6. Uma pesquisa foi realizada para verificar a eficiência de duas drogas soporíferas A e B. As
drogas foram dadas a dois grupos de dez pacientes e o resultado foi medido pelas horas
adicionais de sono conforme abaixo.
Para cada grupo de pacientes:
(a) Calcule a média, moda, mediana e coeficiente de variação.
(b) Faça uma tabela de frequências.
(c) Apresente um boxplot para representar a distribuição de cada droga separadamente.
Solução:
(a) • Calculando a média da droga A:
XA =
1,9 + 0,8 + · · ·+ 4,6 + 3,4
10 =
23,5
10 = 2,35
• Calculando a média da droga B:
XB =
0,7 + 1,6 + · · ·+ 2 + 3,7
10 =
14,3
10 = 1,43
• Moda de A é 0,1 e B não tem um valor modal.
• O coeficiente de variação é dado por:
ĉ= S
x
Veja que s=
√
s2.
21
Calculando s2A:
s2A =
(1,9)2 + (0,8)2 + (1,1)2 + · · ·+ (4,6)2 + (3,4)2− 10(2,35)2
9 = 3,904
Logo,
sA =
√
3,904 = 1,976⇒ ĉA =
1,976
2,35 = 0,84085
.
Calculando s2B:
s2B =
(0,7)2 + (1,6)2 + (0,2)2 + · · ·+ (0,6)2 + (2)2 + (3,7)2− 10(1,43)2
9 = 1,592
Logo,
sB =
√
1,592 = 1,262⇒ ĉA =
1,262
1,43 = 0,88251
.
(b)
xi fi
1,9 1
0,8 1
1,1 1
0,1 2
4,4 1
5,5 1
1,6 1
4,6 1
3,4 1
Total 10
(c) • Boxplot droga A:
• Boxplot droga B:
22
3.7. Abaixo está apresentada a distribuição de frequências quanto ao número de acidentes por
dia, durante setenta dias, em certa rodovia. Determinar a média aritmética e o desvio
padrão.
Solução:
• Calculando a média aritmética:
X = 0(21) + 1(16) + 2(12) + 3(9) + 4(8) + 5(4)70 = 1,7
• Calculando o desvio padrão:
s2 = 0
2(21) + 12(16) + 22(12) + 32(9) + 42(8) + 52(4)
69 = 3,681
Logo, s=
√
3,681 = 1,918.
3.8. Abaixo está um par de distribuições de frequências que contem os níveis séricos de cotinina
(ng/ml) para um grupo de fumantes de cigarros e um grupo de não-fumantes.
23
Para cada um dos grupos:
(a) Calcule as frequências relativas.
(b) Faça um histograma das frequências relativas
(c) Qual a forma da distribuição?
(d) Qual a classe modal?
(e) Em que intervalo de nível de cotinina encontra-se a mediana?
(f) Apresente um valor aproximado para a média do nível de cotinina.
(g) Compare os resultados.
Solução:
(a) Cálculo da frequência relativa para não fumantes:
• 0− 14
78
1539 � 0,05 = 5%
• 14− 50
133
1539 � 0,0864 = 8,64%
• 50− 100
142
1539 � 0,00922 = 9,22%
• 100− 150
206
1539 � 0,133 = 13,3%
• 150− 200
197
1539 � 0,128 = 12,8%
• 200− 250
220
1539 � 0,142 = 14,2%
• 250− 300
151
1539 � 0,0981 = 9,81%
• 300− 350
412
1539 � 0,0032 = 27,03%
Cálculo da frequência relativa para não fumantes:
• 0− 14
3300
3445 � 0,9579 = 95,79%
24
• 14− 50
72
3445 � 0,021 = 2,1%
• 50− 100
23
3445 � 0,0067 = 0,67%
• 100− 150
15
3445 � 0,0043 = 0,043%
• 150− 200
7
3445 � 0,002 = 0,02%
• 200− 250
8
3445 � 0,0023 = 0,023%
• 250− 300
9
3445 � 0,0026 = 0,026%
• 300− 350
11
3445 � 0,0032 = 0,032%
Nível de Cotina fri fumantes fri não fumantes
0− 14 5% 95,79%
14− 50 8,64% 2,1%
50− 100 9,22% 0,67%
100− 150 13,3% 0,043%
150− 200 12,8% 0,02%
200− 250 14,2% 0,023%
250− 300 9,81% 0,026%
300− 350 27,3% 0,032%
Total 1 1
(b) histogramas
(c) ?? Duvida
(d) A classe modal para fumantes é [300;350). A classe modal para não fumantes é [0;14).
(e) O intervalo que contém a mediana dos fumantes é [200;250) e para os não fumantes é
[0 : 14)
(f) Media:
Fórmula:
X =
∑n
i=1xi(fi)
n
Onde xi é o ponto médio da classe.
Xfum =
7(78) + 32(133) + · · ·+ 275(151) + 325(412)
1.539 =
300.602
1.539 = 195,322
Xnão fum =
7(3300) + 32(72) + · · ·+ 275(9) + 325(11)
3.445 =
38.079
3.445 = 11.053
25
(g) Observe que os valores da média do nível de cotina presente em pessoas fumantes é
bem mais alto do que em pessoas não fumantes. O intervalo de nível de cotina que
se encontra a mediana e a moda nos fumantes é um intervalo com valores bem mais
elevados do que os valores do intervalode não fumantes.
3.9. Com base no histograma a seguir, referente as notas dos alunos de estatística, classifique
a variável de interesse e determine a nota média, mediana, moda e desvio padrão desse
conjunto de dados. Os valores encontrados são aproximados ou exatos? Interprete-os.
Solução:
O exercício quer que:
• classificar a variável de interesse
• calcular: a nota média, mediana, moda e desvio padrão
• os valores encontrados são exatos ou aproximados? Intrepretar.
X:“notas dos alunos de estatística” é uma variável quantitativa contínua.
notas fi
0− 2 50
2− 4 21
4− 6 17
6− 8 8
8− 10 4
Total 100
• Média:
Fórmula:
X =
∑n
i=1xi(fi)
n
Onde xi é o ponto médio da classe.
X = 1(50) + 3(21) + 5(17) + 7(8) + 9(4)100 =
290
100 = 2,9
• Mediana:
Posição da mediana: 1002 = 50. Então a classe que contém a mediana é 0− 2.
Fórmula da mediana:
26
Md= lMD +
(
n
2 −F
)
h
fMD
lMD: limite inferior da classe que contém a mediana.
F : frequência acumulada anterior a classe que contém a mediana.
fMD: frequência da classe que contém a mediana
h: amplitude da classe
Md= 0 + (50− 0)250 =
100
50 = 2
• Moda:
Fórmula da moda:
Mo= l+ ∆1
∆1 +∆2
h
l: limite inferior da classe modal
∆1: frequência da classe modal menos a da classe anterior
∆2: frequência da classe modal menos a da classe posterior
h: amplitude da classe
∆1 = 50− 0 = 50 ∆2 = 50− 21 = 29
Mo= 0 + 5050 + 292 =
100
79 = 1,26
• Desvio Padrão:
Temos que o desvio padrão é dado por s=
√
s2
Calculando s2:
s2 = (1− 2,9)
2(50) + (3− 2,9)2(21) · · ·+ (9− 2,9)2(4)
99 =
539
99 = 5,44
Logo, s=
√
5,44 = 2,33
3.10. Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações:
Solução:
(a) Qual a mediana do número de filhos? E a moda?
(b) Que problemas você enfrentaria para calcular a média? Faça alguma suposição e
encontre-a.
(c) Se cada uma das famílias dobrarem o número de filhos, haver a alteração na média? E
na mediana?
27
(a) Mediana:
Md=
xn/2 +xn/2+1
2 =
x50 +x51
2 =
2 + 2
2 = 2
A moda é 2, pois é o valor mais recorrente na pesquisa.
(b) O problema que iríamos encontrar é não saber os elemtos que são observados para os
casos com mais de 5 filhos. Não sabemos se são só 6 filhos ou 7 filhos ou 8 filhos e
portanto fica impossível calcular a média. Dessa maneira, vamos supor que só temos
6 filhos para o caso mais de 5 filhos.
X = 0(17) + 1(20) + 2(28) + 3(19) + 4(7) + 5(4) + 6(5)100 =
211
100 = 2,11
(c) Dobrando o números de filhos, veja que,
Média:
X = 0(17) + 2(20) + 4(28) + 6(19) + 8(7) + 10(4) + 12(5)100 =
422
100 = 4,22
Mediana:
Md=
xn/2 +xn/2+1
2 =
x50 +x51
2 =
4 + 4
2 = 4
Logo, há alteraões na média e mediana.
3.11. Considere os dados fornecidos a seguir:
Faça o que se pede:
(a) Uma tabela de distribuição de frequência para cada uma das variáveis.
(b) Faça um histograma e um gráfico de ogiva para a varivel média geral do aluno.
(c) Faça um polígono de frequências para variável número de irmãos.
(d) Faça um gráfico de ramo e folhas para a variável idade.
(e) Interprete F2 da tabela de distribuição de frequências da variável média geral do aluno.
(f) Interprete f1 da tabela de distribuição de frequências da variável estado civil da mãe.
28
Solução:
(a)
Estado Civil da mãe fi
divorciada 3
casada 6
solteira 6
Total 15
Grau de instruão da mãe fi
fundamental 9
médio 6
Total 15
Número de irmãos fi
0 3
1 5
2 2
3 2
4 1
5 1
Total 15
Média geral aluno fi
4 - 5 3
5-6 2
6-7 3
7-8 3
8-9 4
Total 15
Idade Mãe fi
20 - 25 2
25 - 30 3
30 - 35 4
35 - 40 2
40 - 45 4
Total 15
Gênero Criança fi
M 7
F 8
Total 15
(b) Para fazermos um histograma, no eixo y vamos ter as frequências absolutas e no eixo
x cada classe da distribuição.
29
(c) Para fazermos um polígono de frequência, nós iremos colocar no eixo y vamos ter as
frequências absolutas e no eixo x os valores da distribuição. Daí, para cada frequência
observada em um valor nós fazemos um ponto e assim todos os pontos sendo interligados
por retas.
(d) Para fazermos um gráfico ramo-folha, primeiro devemos escolher primeiro o que será
o ramo que neste caso será o número da dezena. Seguindo, coloca-se cada observação
como uma folha que agora será o número da unidade.
(e) ?? Duvida
(f) ?? Duvida
3.12. Mostre que:
30
(a)
n∑
i=1
(xi−x) = 0
(b)
n∑
i=1
(xi−x)2 =
n∑
i=1
x2i −
(∑ni=1xi)2
n
(c)
n∑
i=1
fi(xi−x)2 =
n∑
i=1
fix
2
i −nx2
Solução:
(a)
n∑
i=1
(xi−x) =
n∑
i=1
xi−
n∑
i=1
x=
n∑
i=1
xi−nx=
n∑
i=1
xi−n
∑n
i=1xi
n
=
n∑
i=1
xi−
n∑
i=1
xi= 0
(b)
n∑
i=1
(xi−x)2 =
n∑
i=1
x2i −
n∑
i=1
x2 =
n∑
i=1
x2i −nx2 =
n∑
i=1
xi−n(
∑n
i=1x
2
i )
n2
=
n∑
i=1
xi2− (
∑n
i=1xi
2)
n
= 0
(c) ?? Duvida
3.13. A distribuição de frequências do salário dos moradores do bairro A que têm alguma forma
de rendimento é apresentada na tabela abaixo:
(a) Construa um histograma da distribuição dos dados.
(b) Qual a média e o desvio padrão da variável salário?
(c) O bairro B apresenta, para a mesma variável, uma média de 7,2 e uma variância de
15,12
(d) Em qual dos bairros a população é mais homogênea quanto à renda?
(e) Qual o intervalo interquartil?
31
(f) O grupo dos moradores que ganham os 10% salários mais altos são conhecidos como
a elite da empresa. Você saberia dizer quanto você teria que ganhar para pertencer a
esse grupo?
Solução:
(a) Para fazermos um histograma, no eixo y vamos ter as frequências absolutas e no eixo
x cada classe da distribuição.
(b) • Média amostral:
Fórmula:
X =
∑n
i=1xi(fi)
n
Onde xi é o ponto médio da classe.
X = 1(10000) + 3(3900) + · · ·+ 11(700) + 13(2000)20500 =
80300
20500 = 3,91
• Desvio padrão amostral: s=
√
s2
Fórmula:
s2 =
∑n
i=1(xi−x)
n− 1
Onde xi é o ponto médio da classe.
s2 = (1− 3,9)
2(10000) + (3− 3,9)2(3900) + · · ·+ (11− 3,9)2(2000)
20499 =
301233,57
20499 = 14,695
Logo, s=
√
14,695 = 3,833
(c) O bairro que a população é mais homogênea quanto a renda é o bairro que tem menor
variabilidade de renda. Logo, temos que o bairro A é o mais homogêneo.
(d) ??Duvida
(e) ??Duvida
(f) Para ser parte da elite sabemos que são só os 10% dos salários mais altos. Logo temos
que 90% dos moradores ganham menos que um determinado valor. Sendo assim, vamos
encontrar esse determinado valor encontrando o decil 9.
D9 =
9n
10 =
9(20500)
10 = 18.450
Portanto, a posição do nono décil é 18.450, que pertence a classe 10− 12, então con-
cluímos que uma pessoa deve ganhar pelo menos 10.000 para pertencer a elite.
32
Tópico 4
Variáveis Discretas e Algumas Distribuições
4.1. Considere o seguinte experimento: dispositivos eletrônicos são selecionados, de forma se-
quencial e ao acaso, e testados até que seja encontrado um cujo tempo de funcionamento
seja menor que 10 minutos, nesse momento o experimento é encerrado. Em cada item a
seguir uma variável aleatória é definida baseada neste experimento. Para cada uma delas
defina a sua imagem e em seguida classifique a variável aleatória como discreta ou não.
(a) X é o número de dispositivos testados.
(b) Y é o número de dispositivos que duraram mais de 30 minutos entre todos os testados.
(c) Z é o maior tempo de funcionamento (em minutos) entre os dispositivos testados.
(d) W é igual a 1 se foram testados mais de 100 dispositivos e 0 caso contrário.
(e) Defina uma outra v.a., indique a sua imagem e classifique-a como discreta ou não.
Solução:
(a) Discreta; Im(X) = {1,2,3, ..}
(b) Discreta; Im(Y ) = {1,2,3, ..}
(c) Não é discreta; Im(Z) = (0,∞)
(d) Discreta; Im(W ) = {0,1}
(e) N : “número de acidentes em uma rodovia”. Discreta; Im(N) = {1,2,3, ..}
4.2. X é uma v.a. cuja distribuição de probabilidade é dada por:
X 1 2 3 4 5 outros
p(xi) 3/20 4/20 8/20 4/20 1/20 0
(a) Calcule E(X) e V ar(X)
(b) Calcule P (X ≥ 4) e P (3≤X ≤ 6)
Solução:
(a) E(X) = 1
( 3
20
)
+ 2
( 4
20
)
+ 3
( 8
20
)
+ 4
( 4
20
)
+ 5
( 1
20
)
= 2,8
V ar(X) = E(X2)−E(X)2 = 12( 320) + · · ·+ 5
2( 120)− (2,8)
2 = 9− 7,84 = 1,16
33
(b) P (X > 4) = P (X = 4) +P (X = 5) = 420 +
1
20 =
5
20 =
1
4
P (3 >X > 6) = P (X = 3)+P (X = 4)+P (X = 5)+P (X = 6) = 820 +
4
20 +
1
20 +0=
13
20
4.3. Seja X uma variável aleatória com função distribuição definida por:
FX(x) =

0 , se x < 1/2
1/3 , se 1/2≤ x < 1
2/3 , se 1≤ x < 3/2
1 ,se x≥ 3/2
(a) Desenhe o gráfico de F (x) e verifique as propriedades da função de distribuição.
(b) Classifique X como variável aleatória discretas ou contínua.
(c) Defina a imagem da variável aleatória X.
(d) Calcule P (X > 1),P (X ≥ 1),P (X = 1),P (1≤X ≤ 2).
(e) Encontre a função de probabilidade ou densidade da v.a. X, conforme for o caso.
(f) Desenhe o gráfico da função encontrada no item anterior e verifique suas propriedades.
(g) Repita os itens (2c) e (2d) usando agora a função de probabilidade ou densidade.
Solução:
(a) Verificando se são satisfeitas as propriedades da função de distribuição acumulada:
• FX(x) é não decrescente. Pelo gráfico fica evidente que esta propriedade está
satisfeita
• FX(x) é contínua à direita. Pelo gráfico fica evidente que esta propriedade também
está satisfeita.
• observe que para qualquer valor de x < 0 a probabilidade acumula é nula. Logo,
quando x tende a −∞ sua probabilidade será 0.
observe que para qualquer valor de x > 3/2 a probabilidade acumula é igual a 1.
Logo, quando x tende a ∞ sua probabilidade será 1.
(b) X é uma variável aleatória discreta
(c) Temos que pela função de distribuição, os únicos pontos que X assume probabilidade
são os pontos 1/2,1,3/2. Logo, Im(X) = {1/2,1,3/2}
(d) P (X > 1) = 1−P (X ≤ 1) = 1− (FX(1) +FX(1/2)) = 1− (
1
3 +
1
3) =
1
3
P (X ≥ 1) = 1−P (X < 1) = 1−FX(1/2) = 1−
1
3 =
2
3
34
P (X = 1) = 13
P (1≤X ≤ 2) = FX(2)−FX(1) =
2
3 −
1
3 =
1
3
(e) Vamos encontrar a função de probabilidade a partir da função de distribuição acumu-
lada. Nós já temos os pontos da Im(X), então agora vamos calcular a probabilidade
associada a cada ponto da Im(X)
(i) se x= 12 ⇒ fx(1/2) = Fx(1/2) =
1
3
(ii) se x= 1⇒ fx(1) = Fx(1)−Fx(1/2) =
2
3 −
1
3 =
1
3
(iii) se x= 32 ⇒ fx(3/2) = 1−Fx(3/2) = 1−
2
3 =
1
3
Logo, temos a seguinte função de probabilidade:
x 1/2 1 3/2
fX(x) 1/3 1/3 1/3
(f) Verificando as propriedades da função de probabilidade do item anterior
i)fx(x)≤ 0, para todo x ∈ Im(X). Ou seja, é uma função não negativa.
ii) ∑
Im(X)
fX(x) = 1⇒
1
3 +
1
3 +
1
3 = 1
(g) Utilizando agora a função de probabilidade, vamos refazer o item c e d desta mesma
questão.
Im(X) = {1/2,1,3/2}
P (X > 1) = P (X = 3/2) = 13
P (X ≥ 1) = P (X = 1) +P (X = 3/2) = 13 +
1
3 =
2
3
P (X = 1) = 13
P (1≤X ≤ 2) = P (X = 1) +P (X = 3/2) = 13 +
1
3 =
2
3
4.4. O tempo T , em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a.
discreta com função de probabilidade definida na tabela abaixo.
t 2 3 4 5 6 7
pT (t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
35
Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2 u.m. (unidade monetária) mas,
se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha 0,50 u.m. por cada minuto poupado.
Encontre a função de distribuição da v.a. G = “quantia (em u.m.) ganha por peça”.
Solução:
T : “tempo, em minutos, necessário para um operário processar certa peça”
t 2 3 4 5 6 7
PT (t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
O exercício diz que o operário ganha um fixo de 2 u.m., mas se a peça é feita em menos
de 6 minutos, o operário ganha além dos 2u.m. do fixo um valor adicional de 0,5 u.m. por
cada minuto poupado
Consideremos a va G: “quantia, em u.m, ganha por peça”, vamos encontrar a função de
probabilidade.
Observe que
• se t = 2, isto quer dizer que o operário poupou 4 minutos, então ele vai receber 2u.m
+ 4(0,5u.m) = 4 u.m.;
• se t = 3, isto quer dizer que o operário poupou 3 minutos, então ele vai receber 2u.m
+ 3(0,5u.m) = 3,5 u.m.;
• se t = 4, isto quer dizer que o operário poupou 2 minutos, então ele vai receber 2u.m
+ 2(0,5u.m) = 3 u.m.;
• se t = 5, isto quer dizer que o operário poupou 1 minutos, então ele vai receber 2u.m
+ 1(0,5u.m) = 2,5 u.m.;
• se t = 6, isto quer dizer que o operário poupou 0 minutos, então ele vai receber 2u.m
+ 0(0,5u.m) = 2 u.m.;
• se t = 7, isto quer dizer que o operário poupou 0 minutos, então ele vai receber 2u.m
+ 0(0,5u.m) = 2 u.m.
Logo, temos como função de probabilidade da variável G:
g 4 3,5 3 2,5 2 2
fG(g) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
4.5. Em uma urna existem 5 bolas, entre as quais 2 são vermelhas. Suponha que bolas sejam
retiradas, uma a uma e sem reposição, até que as duas vermelhas sejam observadas. Isto é,
quando as duas vermelhas aparecerem termina o experimento. Encontre o número esperado
de bolas retiradas dessa urna.
Solução:
O exercício fala que serão retiradas bolas uma a uma e sem reposição. Sabe-se também
que as retiradas terminam quando as 2 bolas vermelhas são observadas.
X: {“número de bolas vermelhas extraídas, sem reposição, dentre 15”}, tal que X ∼
HGeo(N = 5;r = 2;n= 5)
Onde temos que,
N : número total da população
36
r : quantidade de sucessos
n : número total da amostra retirada da população
Estamos interessados em saber quantas bolas esperamos retirar até que a segunda vermelha
seja retirada.
E(X) = r×n
N
= 2× 55 = 2
Logo, esperamos 2 retiradas até sair a segunda bola vermelha.
4.6. Se E(X) = 1 e V ar(X) = 5, encontre
(a) E((2 +X)2);
(b) V ar(4 + 3X).
Solução:
(a)
E((2 +X)2) = E(4 + 4X +X2)
= 4 +E(4X) +E(X2)
= 4 + 4E(X) + [V ar(X) +E(X)2]
= 4 + 4 + [5 + 1]
= 14
(b)
V ar(4 + 3X) = V ar(4) +V ar(3X)
= 0 + 9V ar(X) = 9(5) = 45
4.7. Suponha que 30% das pessoas que utilizam luvas cirúrgicas apresentem algum tipo de
reação alérgica. Qual a probabilidade de, em um grupo de 8 pessoas desta população,
encontrarmos no máximo uma que apresente reação alérgica à luva?
Solução:
Podemos entender que os 8 pessoas que usam luvas cirúrgicas como 8 eventos independentes
de Bernoulli com probabilidade p de sucesso. Vamos então definir nossa variável:
X: {“número de pessoas que usam luvas cirúrgicas que apresentam reação alérgica dentre
8”}
X ∼Bin(n= 8,p= 0,3), tal que Im(X) = {0,1, ...,8}; onde P (X = x) =
(
x
n
)
px(1− p)n−x
p : é a probabilidade de uma pessoa que usa luva cirúrgica apresentar reação alérgica (“sucesso”)
n : número de pessoas retiradas da população
37
Queremos saber a probabilidade de que no máximo uma pessoa apresente reação alérgica à
luva. Isto é, queremos que não mais de uma pessoa tenha reação alérgica, portanto iremos
olhar para os casos em que nenhuma pessoa tenha tido reação e para o caso de uma única
pessoa ter tido reação.
Portanto,
P (X ≤ 1) = P (X = 0) +P (X = 1) =
(
8
0
)
(0,3)0(0,7)8 +
(
8
1
)
(0,3)(0,7)7
= 8!0!(8− 0)!(0,3)
0(0,7)8 + 8!1!(8− 1)!(0,3)(0,7)
7
= 0,05764801 + 0,19765032 = 0,25529833
Logo, a probabilidade de que no máximo uma pessoa apresente reação alérgica é igual a
0,25529833.
4.8. Supondo-se que 70% dos animais submetidos a determinada cirurgia se restabelecem, qual
a probabilidade de que em cinco todos os operados se restabeleçam?
Solução:
Podemos entender que os 5 animais operados como 5 eventos independentes de Bernoulli
com probabilidade p de sucesso. Vamos então definir nossa variável:
X: {“número de animais que se restabelecem de uma dada cirurgia dentre 5”}
X ∼Bin(n= 5;p= 0,7), tal que Im(X) = {0,1, ...,5}; onde P (X = x) =
(
x
n
)
px(1− p)n−x
p : é a probabilidade de um dos animais submetido a determinada cirurgia se reestabelecer (“sucesso”)
n : número total de animais operados retirados da população
Queremos saber a probabilidade de que todos os animais retirados da população se rees-
tabeleçam após fazerem a operação:
P (X = 5) =
(
5
5
)
(0,7)5(0,3)0 = 5!5!(5− 5)!(0,7)
5(0,3)1 = 0,16807
Logo, a probabilidade de que 5 animais operados se reestabeleçam é igual a 0,16807.
4.9. Supondo-se que 70% dos animais submetidos a determinada cirurgia se restabelecem, qual
a probabilidade de que em cinco todos os operados se restabeleçam?
Solução:
Podemos entender que os 5 animais operados como 5 eventos independentes de Bernoulli
com probabilidade p de sucesso. Vamos então definir nossa variável:
X: “número de animais que se restabelecem de uma dada cirurgia dentre 5”
X ∼Bin(n= 5;p= 0,7), tal que Im(X) = {0,1,...,5}; onde P (X = x) =
(
x
n
)
px(1− p)n−x
p : é a probabilidade de um dos animais submetido a determinada cirurgia se reestabelecer (“sucesso”)
38
n : númerototaldeanimaisoperadosretiradosdapopulação
Queremos saber a probabilidade de que todos os animais retirados da população se rees-
tabeleçam após fazerem a operação:
P (X = 5) =
(
5
5
)
(0,7)5(0,3)0 = 5!5!(5− 5)!(0,7)
5(0,3)1 = 0,16807
Logo, a probabilidade de que 5 animais operados se reestabeleçam é igual a 0,0512.
4.10. Num rebanho de gado bovino estimamos brucelose através de uma amostra de 200 cabeças,
observando-se trinta animais doentes. Numa escolha ao acaso de cinco animais, qual a
probabilidade de quatro animais serem sadios?
Solução:
Podemos entender que os 5 animais observados como 5 eventos independentes de Bernoulli
com probabilidade p de sucesso. Vamos então definir nossa variável:
X: “número de animais sadios dentre 5”
X ∼Bin(n= 5,p= 0,85), tal que Im(X) = {0,1, ...,5}; onde P (X = x) =
(
x
n
)
px(1−p)n−x
p : probabilidade do animal sorteado ser sadio
n : número total de animais escolhidos ao acaso da população
P (X = 4) = 1−P (X = 5) = 1−
[(
5
5
)
(0,85)0(0,15)5
]
= 1−
[
1× 1× (0,15)5
]
= 0,99992406
Logo, a probabilidade de 4 animais sorteados sejam sadios é de 0,99992406.
4.11. Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado.
Se sair face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair face 5 o desconto
é de 20%. Se sair face 4 o desconto é de 10% e se ocorrerem faces 1, 2 ou 3, o desconto é
de 5%. Seja X = desconto concedido.
(a) Encontre a função de probabilidade de X.
(b) Calcule o desconto médio concedido.
(c) Calcule a probabilidade de que, num grupo de 5 clientes, pelo menos um consiga um
desconto maior que 10%.
Solução:
X:“desconto concedido”
(a) Para encontrarmos a função de probabilidade vamos primeiro determinar a imagem da
variável X.
Sabemos que a variável está relacionada ao desconto e não a face do dado. Logo, os
pontos que X assume probabilidade serão os valores dos descontos. Então, temos que
a Im(X) = {5,10,20,30}.
39
Agora precisamos associar as probabilidades. Seja o evento Oi = {“ocorrer a face i no
lançamento de uma dado”}, para todo i= {1,2,3,4,5}.
Se X = 5⇒ P (O1 ∪O2 ∪O3) = P (O1) +P (O2) +P (O3) =
1
6 +
1
6 +
1
6 =
3
6 ;
Se X = 10 ⇒ P (O4) =
1
6 ;
Se X = 20 ⇒ P (O5) =
1
6 ;
Se X = 30 ⇒ P (O6) =
1
6
Portanto,
x 5 10 20 30
fX(x) 3/6 1/6 1/6 1/6
Observe que 36 +
1
6 +
1
6 +
1
6 = 1 e fX(x) ≤ 0, então realmente chegamos na função de
probabilidade da variável X.
(b) O desconto médio concedido é o valor esperado para o desconto:
E(X) = 536 + 10
1
6 + 20
1
6 + 30
1
6 = 12,5
Logo, o desconto médio concedido é de 12,5%
(c) Vamos considerar esse grupo de 5 clientes que irão lançar os dados um a um de forma
independente. Então, definiremos uma nova variável:
Y :“número de clientes que conseguem desconto maior ou igual a 10% dentre 5” Y ∼
Bin(n= 5,p)
Veja que P (X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x.
Temos que,
n : total de clientes observados da amostra
p : probabilidade de um cliente conseguir desconto maior ou igual a 10% (“sucesso”)
Vamos encontrar a probabilidade de sucesso:
p= P (X ≥ 10) = P (X = 10) +P (X = 20) +P (X = 30) = 16 +
1
6 +
1
6 =
3
6 =
1
2 = 0,5
Agora, vamos encontrar a probabilidade de que pelo menos um cliente consiga ter
desconto maior ou igual a 10%. Queremos P (Y ≥ 1) = P (X = 1) +P (Y = 2) +P (Y =
3) + P (Y = 4) + P (Y = 5), no entanto é mais difícil calcular a probabilidade pedida
desta forma. Pensemos então no seu complementar, o único caso que não pode ocorrer
é ninguém conseguir desconto maior ou igual, sendo assim
P (Y ≤ 1) = 1−P (Y < 1) = 1−P (Y = 0) = 1−
(
5
0
)(1
2
)0(1
2
)5
=
(1
2
)5
= 132 = 0,03125
4.12. Um atirador acerta na mosca do alvo, 20% dos tiros. Se ele dá 10 tiros, qual a probabilidade
de ele acertar na mosca no máximo 1 vez?
Solução:
40
Podemos pensar nesses 10 tiros como repetições independentes de um experimento de
Bernoulli.
X:“número de acertos em 10 tiros dados”, onde X ∼ Bin(n = 10,p = 0,2), Im(X) =
{1,2, ...,10} e temos que P (X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x
n : número total de tentativas
p : probabilidade de acertar na mosca do alvo (“sucesso”)
Queremos calcular a probabilidade de que o atirador acerte na mosca do alvo no máximo
uma vez, ou seja, a probabilidade de 0 acertos ou 1 acerto
P (X ≤ 1) = P (X = 0) +P (X = 1) =
(
10
0
)
(0,2)0(0,8)10 +
(
10
1
)
(0,2)(0,8)9 = 0,3758
4.13. Em uma remessa de 15 conjuntos de tacos de golfe, 3 são para pessoas canhotas. Se quatro
conjuntos de tacos de golfe forem selecionados, qual é a probabilidade de que:
(a) Exatamente 1 seja para pessoas canhota?
(b) Pelo menos 1 seja para pessoas canhota?
(c) Não mais do que 2 sejam para pessoas canhota?
Solução:
O exercício nos diz que entre 15 tacos de golfe três são para canhotos. Temos que quatro
tacos de golfe são selecionados, pensemos nessas escolhas como eventos independentes de
Bernoulli.
X:“número de tacos de golfe dados para canhotos dentre 4”, onde X ∼ Bin(n = 4;p =
3/15 = 0,2); Im(X) = {1,2,3,4} e temos que tal que P (X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x
(a) Queremos que dentre esses 4 tacos de golfe tenha exatamente 1 para pessoa canhota
P (X = 1) =
(
4
1
)
(0,2)1(0,8)3 = 0,4096
(b) Queremos que dentre esses 4 tacos de golfe tenha pelo menos um taco seja para pessoa
canhota, isto é, ter um taco para pessoa canhota ou dois tacos para pessoa canhota
ou três tacos para pessoa canhota e assim sucessivamente. Portanto, pensemos no
complementar, pois será mais fácil de encontrar a probabilidade pedida. Observe que
o único caso que não é contemplado pela probabilidade de interesse é ter 0 tacos de
golfe para canhoto. Logo,
P (X ≥ 1) = 1−P (X < 1) = 1−P (X = 0) = 1−
(
4
0
)
(0,2)0(0,8)4 = 0,5904
(c) Queremos que dentre esses 4 tacos de golfe tenha pelo menos um taco seja para pessoa
canhota, isto é, ter 0 tacos sejam para canhotos ou 1 taco seja para canhoto ou 2 tacos
sejam para canhoto.
41
P (X ≥ 2) = P (X = 0) +P (X = 1) +P (X = 2)
=
(
4
0
)
(0,2)0(0,8)4 +
(
4
1
)
(0,2)1(0,8)3 +
(
4
2
)
(0,2)2(0,8)2
= 0,9728
4.14. O número de chegadas a um posto de informações turísticas é modelado por um modelo
Poisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidade
de ocorrer:
(a) Pelo menos uma chegada?
(b) Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas?
Solução:
X: “número de chegadas a um posto de informações turísticas”, pelo exercício X ∼ Poi(λ);
sabemos que a média de pessoas que vão ao posto de informações turísticas por hora é igual
a 2, então sabemos que E(X) = 2, como λ= 2 temos queX ∼ Poi(λ). P (X = x) = λ
x
x! e
−λx
(a) Queremos saber a probabilidade de que em 1 hora pelo menos uma pessoa chegue ao
posto de informações turística. Logo queremos saber a probabilidade de um pessoa
chegar ao posto de informações turística OU duas pessoas chegarem ao posto de infor-
mações turística OU três pessoas chegarem ao posto de informações turística e assim
sucessivamente. Então, queremos P (X ≤ 1). Mas essa probabilidade é um tanto com-
plicado calcular tal probabilidade olhando para os casos descritos acima. Sendo assim,
pensemos no complementar. Se pararmos para pensar apenas um caso não entra na
probabilidade que vamos encontra, este caso é o de nenhuma pessoa ir ao posto de
informações. Logo,
P (X ≤ 1) = 1−P (X < 1) = 1−P (X = 0) = 1− 2
0
0! e
−2 = 1− e−2 = 0,8646
(b) Agora queremos saber a probabilidade de que em 1 hora cheguem menos de 5 pessoas
dado que já chegaram ao posto de informações mais de 2 pessoas. Então temos um
caso de probabilidade condicional.
Observe que X é uma variável discreta, então a probabilidade que vamos calcular é
P (X > 2|X < 5) = P (3≥X ≤ 4)
P (X ≤ 4)
Calculando o numerador:
P (3≥X ≤ 4) = P (X = 3) +P (X = 4)
= 2
3
3! e
−6 + 2
4
4! e
−8
= 0,0033 + 0,000223
= 0,00352
42
Calculando o denominador:
P (X ≤ 5) = P (X = 0) +P (X = 1) +P (X = 3) +P(X = 4)
= 2
0
0! e
−0 + 2
1
1! e
−1 + 2
2
2! e
−2 + 2
3
3! e
−3 + 2
4
4! e
−4
= 0,1353 + 0,2706 + 0,0366 + 0,0033 + 0,000223
= 0,446023
Logo, P (X > 2|X < 5) = 0,003520,446023 = 0,00789197
4.15. Suponha que numa determinada população com 100.000 habitantes, sejam detectados em
média três casos de câncer de pele por ano. Qual a probabilidade de que em um determi-
nado ano:
(a) Nenhum caso seja detectado?
(b) No máximo 2 casos sejam detectados?
Solução:
X:“número de cânceres detectados por ano”
λ : média dos casos de canceres de pele por ano
X ∼ Poi(λ= 3), tal que Im(X)=0,1,2,...; onde P(X=x) = λ
x
x! e
−λ
(a) Queremos a probabilidade de que nenhum câncer seja detectado. Isto é, a probabilidade
de em um ano ter 0 canceres de pele sejam detectados.
P (X = 0) = 3
0
0! e
−3 = e−3 = 0,04978
Logo, a probabilidade de que nenhum câncer seja detectado é de 0,04978.
(b) Queremos a probabilidade de que no máximo 2 canceres sejam detectados. Isto é, a
probabilidade de em um ano ter 0 ou 1 ou 2 canceres de pele sejam detectados.
P (X ≤ 2) = P (X = 0) +P (X = 1) +P (X = 2) = 3
0
0! e
−3 + 3
1
1! e
−3 + 3
2
2! e
−3
= 0,04978 + 0,14936 + 0,22404 = 0,42318
Logo, a probabilidade de que no máximo 2 canceres sejam detectados é de 0,42318.
4.16. Considere uma população de cavalos selvagens, onde cada prenhez dá origem a apenas um
filhote com probabilidade próxima o suficiente de 1 (ou seja, a probabilidade de se observar
um prenhez gemelar é desprezível), e cuja taxa de natalidade seja de 2,3 filhotes por fêmea.
Qual a probabilidade de uma fêmea ter mais de três filhotes durante sua vida?
Solução:
X:“número de filhotes durante a vida de um cavalo selvagem fêmea”
λ : taxa de natalidade por fêmea
X ∼ Poi(λ= 2,3); onde Im(X) = 0,1,2,3..., tal que P (X = x) = λ
x
x! e
−λ.
43
Queremos saber a probabilidade de uma fêmea ter 3 ou mais filhotes durante sua vida.
Isto é, ter 3 filhotes ou 4 filhotes ou 5 filhotes ou 6 filhotes... durante sua vida. Mas essa
probabilidade fica difícil de calcular dessa forma, portanto pensemos no complementar
desses eventos associados a variável X, a fim de facilitar a resolução desta probabilidade.
P (X ≥ 3) = 1−P (X < 3) = 1− [P (X = 0) +P (X = 2) +P (X = 2)]
= 1−
[
2,30
0! e
−2,3 + 2,3
1
1! e
−2,3 + 2,3
2
2! e
−2,3
]
= 1− [0,10025 + 0,23059 + 0,11529]
= 0,55387
Logo, a probabilidade de uma fêmea ter 3 ou mais filhotes durante sua vida é de 0,55387.
44
Tópico 5
Variáveis Alteatórias Contínuas e Algumas
Distribuições
5.1. Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição:
FX(x) =

0 , se x≤ 0
x2/2 , se 0< x≤ 1/2
x3 , se 1/2< x≤ 1
1 , se x≥ 1
(a) Verifique que F satisfaz as propriedades de função distribuição.
(b) Obtenha a função de densidade de X.
Solução:
(a) Verificando se as propriedades da função de distribuição:
• FX(x) é não decrescente.
• FX(x) é contínua à direita.
• Observe que para qualquer valor de x < 0 a probabilidade acumula é nula. Logo,
quando x tende a −∞ sua probabilidade será 0. E, observe que para qualquer
valor de x > 1 a probabilidade acumula é igual a 1. Logo, quando x tende a∞ sua
probabilidade será 1.
(b) Para 0< x < 12 :
d
dx
(x
2
2 ) = x
Para 12 < x < 1 :
d
dx
(x3) = 3x2
Portanto,
fX(x) =

x , se 0< x < 12
3x3 , se 12 < x < 1
0 , se caso contrário
45
5.2. Seja X uma variável aleatória com função densidade definida por:
fX(x) =
{
C(1−x2) , se − 1< x < 1
0 , se caso contrário
(a) Determine o valor de C.
(b) Determine FX , isto é, a função de distribuição de X.
(c) Qual a probabilidade de X assumir valores positivos e menores que 1/2?
Solução:
(a) Vamos encontrar o valor da constante C. Pela propriedade da função densidade, veja
que,∫ 1
−1C(1−x2) dx = 1⇔
[
x− x
3
3
]1
−1
= 1
C
⇔−1 + 13 + 1−
1
3 =
1
C
5.3. O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável
aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada a seguir.
fX(x) =

1
4 , se 0< x < 21
4 , se 2< x < 6
0 , se caso contrário
Determine:
(a) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar mais de 3 minutos
para digitar o texto.
(b) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar entre 1 e 4 minutos
para digitar o texto.
(c) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar menos de 3 minutos
para digitar o texto, dado que ela já está digitando o texto a 1 minuto.
(d) Um número b tal que P (X > b) = 0,6.
(e) O valor esperado e a variância de X.
Solução:
(a)
P (X > 3) =
∫ 6
3
1
8dx=
[
x
8
]6
3
= 38 = 0,375
Logo, a probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar mais de 3 minutos
para digitar o texto é de 0,375
(b)
P (1<X < 4) = P (1<X < 2) +P (2<X < 4) =
∫ 2
1
1
4dx+
∫ 4
2
1
8dx=
3
4 = 0,75
Logo, a probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar entre 1 e 4 mi-
nutos para digitar o texto é de 0,75
46
(c) Estamos no contexto de uma probabilidade condicional, queremos X < 3 dado que
X > 1.
P (X > 3|X > 1) = P ({X > 3}∩ {X > 1}
P (X > 1) ) =
3/8
3/4 =
1
2 = 0,5
Calculando o denominador:
P (X > 1) = P (1<X < 2) +P (2<X < 6) =
∫ 2
1
1
4dx+
∫ 6
2
1
8dx=
3
4
Calculando o numerador:
P ({X > 3}∩ {X > 1}
P (X > 1) ) = P (X > 3) =
3
8
Logo, a probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar mais de 3 minutos
para digitar o texto, dado que ela já está digitando o texto a 1 minuto é de 0,375
(d)
P (X > b) = 0,6
?? Dúvida
(e) Determinando o valor esperado de X:
E(X) =
∫ 2
0
x
1
4dx+
∫ 6
2
x
1
8dx=
[
x2
8
]2
1
+
[
x2
16
]6
2
= 12 + 2 =
5
2 = 2,5
Determinando a variância de X:
V ar(X) = E(X2) +E(X)2
E(X2) =
∫ 2
1
x2
1
4dx+
∫ 6
2
x2
1
8dx=
[
x3
12
]2
1
+
[
x3
24
]6
2
= 23 +
26
3 =
28
3 = 9,333
V ar(X) = 9,333− 2,5 = 6,833
5.4. A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade
do interior é representada pela variável aleatória Y com densidade dada por:
fY (y) =

8
9y−
4
9 , se 0,5< y < 2
0 , se caso contrário
(a) Qual a probabilidade de se gastar menos de 0,8 milhões em um ano na manutenção do
asfalto nesta cidade?
(b) Sabendo que já foram gastos mais de 1 milhão na manutenção do asfalto nesta cidade,
qual a probabilidade deste gasto ser menor que 1,5 milhões?
(c) Determine o valor esperado e a variância de Y .
(d) Determine a mediana de Y . OBS: a mediana m de uma v.a. Y é tal que P (Y <m) =
P (Y >m) = 1/2.
Solução:
A nossa variável é Y :“quantia gasta, em milhões, na manutenção”
47
(a)
P (Y < 0,8) =
∫ 0,8
0,5
(8y
9 −
4
9
)
dy = 0,04
Logo, a probabilidade de se gastar menos de 0,8 milhões em um ano na manutenção
do asfalto nesta cidade é de 0,04.
(b) Neste item temos o caso de uma probabilidade condicional, queremos saber a chance
de Y < 1,5 dado que Y > 1.
P (Y < 1,5|Y > 1) = P (1< Y < 1,5)
P (Y > 1) =
0,333
0,888 = 0,375
Calculando o numerador:
P (1< Y < 1,5) =
∫ 1,5
1
(8y9 −
4
9)dy = 0,3333
Calculando o denominador:
P (Y > 1)
∫ 2
1
(8y
9 −
4
9
)
dy = 0,8888
Logo, a probabilidade do gasto ser menor que 1,5 milhões dado que já foram gastos
mais de 1 milhão na manutenção do asfalto nesta cidade é de 0,8888.
(c) Determinando o valor esperado de Y :
E(X) =
∫ 2
0,5
y
(8y
9 −
4
9
)
dy =
∫ 2
0,5
8y2
9 −
4y
9 dy =
[
8y3
27 −
4y2
18
]
= 2,33− 0,833 = 1,5
Determinando a variância de Y :
V ar(X) = E(X2)−E(X)2
E(X2) =
∫ 2
0,5
y2
(8y
9 −
4
9
)
dy =
∫ 2
0,5
8y3
9 −
4y2
9 dy =
[
8y4
36 −
4y3
27
]
= 3,5416−1,166 = 2,375
V ar(X) = 2,375− 1,5 = 0,875
(d) O valor de m será exatamente o valor do ponto da Im(Y ) que deixa 0,5 de probabilidade
abaixo deste ponto m.
Veja que,
P (Y <m) = 12 ⇒ P (0,5< Y <m)
Portando para determinarmos o valor
∫ 2
0,5
(8y
9 −
4
9
)
dy = 12 ⇔
[
8y2
18 −
4y
9
]m
0,5
= 12 ⇒
4m2
9 −
4m
9
1
9 =
1
2 ⇒
4m2
9 −
4m
9 −
7
18 = 0
Calculando a equação de segundo grau acima temos que m = 1.56, pois pertence a
imagem de valores nos quais fX(x) está definido.
48
5.5. Numa certa região, fósseis de pequenos animaissão frequentemente encontrados e um ar-
queólogo estabeleceu o seguinte modelo probabilístico para o comprimento, em centímetros,
desses fósseis.
fX(x) =

x/40 , se 4≤ x < 8
−x/20 + 3/5 , se 8≤ x < 10
1/10 , se 10≤ x < 11
0 , se caso contrário
(a) Faça o gráficos da função de densidade.
(b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento ser
inferior a 6cm. Determine também a probabilidade do comprimento ser superior a 5cm e
inferior a 10,5cm.
(c) Encontre o comprimento médio dos fósseis dessa região.
Solução:
X:“comprimento, em cm, de fósseis de pequenos animais encontrados”
(a) ?? Não sei como plotar este gráfico
(b) 1) Determinando P (X < 6):
P (X < 6) = P (4<X < 6) =
∫ 6
4
x
40dx=
[
x2
80
]6
4
= 0,45− 0,2 = 0,25
Logo, a probabilidade do comprimento ser inferior a 6cm é de 0,25.
2) Determinando P (5<X < 10,5):
P (5<X < 10,5) =
∫ 8
5
x
40dx+
∫ 10
8
(−x
20 +
3
5
)
dx+
∫ 10,5
10
1
10dx
=
[
x2
80
]6
5
+
[
−x2
40 +
3x
5
]10
8
+
[
x
10
]10,5
10
= [0,45− 0,3125] + [3,5− 3,2] + [1,05− 1]
= 0,4875
Logo, a probabilidade do comprimento ser superior a 5cm e inferior a 10,5cm é de
0,4875.
(c) O comprimento médio será o valor esperado do comprimento dos fósseis dessa região.
E(X) =
∫ 8
4
x
x
40dx+
∫ 10
8
x
(−x
20 +
3
5
)
dx+
∫ 11
10
x
( 1
10
)
dx
=
[
x2
80
]8
4
+
[
−x2
40 +
3x
5
]10
8
+
[
x
10
]11
10
= 5615 +
8
3 +
21
20 =
149
20 = 7,45
————————————————
49
5.6. Suponha que o tempo de vida, em horas, de um certo componente eletrônico seja uma
variável aleatória contínua com função de densidade definida por:
fX(x) =
{
10/x2 , se x > 10
0 , se caso contrário
(a) Qual a probabilidade de um desses componentes eletrônicos durar mais de 20 horas?
(b) Encontre a função distribuição de X.
Solução:
X: “tempo de vida, em horas, componente elétrico”
(a)
P (X > 20) = 1−P (X < 20) = 1−P (10<X < 20) = 1−
∫ 20
10
(10
x2
)
dx= 10·
∫ 20
10
x−2dx= 10
[
−1
x
]20
10
= 12 = 0,5
Logo, a probabilidade desse componente eletrônico durar mais de 20 horas é de
(b) Para x ≤ 10
∫ x
10
(10
t2
)
dt= 10 ·
∫ x
10
1
t2
dt= 10
[
−1
t
]x
10
= 10
(
−1
x
+ 110
)
Logo, a função de distribuição da variável X é:
FX(x) =
 0 , se x < 1010(−1
x
+ 110
)
, se x > 10
5.7. Latas de coca-cola são enchidas num processo automático segundo uma distribuição uni-
forme no intervalo (em ml) [345,355]
(a) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 353 ml?
(b) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos de 346 ml?
(c) Qualquer lata com volume 4 ml abaixo da média pode gerar reclamação do consumidor
e com volume 4 ml acima da média pode transbordar no momento de abertura, devido à
pressão interna. Qual é a proporção de latas problemáticas?
Solução:
X:“latas de coca-cola enchidas, em ml, num processo automática”
A função densidade da variável X, é dada por:
fX(x) =

1
10 , se 345< x < 355
0 , caso contrário
(a)
P (X > 353) =
∫ 355
353
1
10dx= 35,5− 35,3 = 0,2
(b)
P (X < 346) =
∫ 346
345
1
10dx= 34,6− 34,5 = 0,1
50
(c) Latas problemáticas são as que tem 4ml abaixo ou acima da média das latas, então
temos que determinar a média dessas latas:
E(X) = 355 + 3452 = 350
Então, sabemos que as latas com volume menor que 350-4 ml ou maiores que 350+4
ml. Essas latas pertencem ao grupo de latas problemáticas. Vamos então determinar
a proporção de latas problemáticas.
P (X < 350−4)+P (X > 350+4) = P (X < 346)+P (X > 354) =
∫ 346
345
1
10dx+
∫ 355
354
1
10dx= 0,2
5.8. Sendo X ∼ Exp(1), determine:
(a) P (X < 2)
(b) P (0<X < 2)
(c) P (1<X < 4)
(d) P (X > 3)
(e) E(X) e V ar(X)
Solução:
X ∼ Exp(λ= 1)⇒ Im(X) = (0,∞)
Temos então a seguinte função de densidade para a variável X:
fX(x) =
{
e−x , se x > 0
0 , caso contrário.
Sabemos que P (a < X < b) =
∫ b
a fX(x)dx.
(a)
P (X < 2) =
∫ 2
−∞
fx(x)dx= 0 +
∫ 2
0
e−xdx=−e−x|20 =−e−2 + 1 = 0,8646
(b)
P (0<X < 2) =
∫ 2
0
e−xdx=−e−x|20 =−e−2 + 1 = 0,8646
(c)
P (1<X < 4) =
∫ 4
1
e−xdx=−e−x|41 =−e−4 + e−1 = 0,3495
(d)
P (X > 3) =
∫ ∞
3
e−xdx=−e−x|∞3 = 0 + e−3 = 0,04978
(e)
E(X) =
∫ ∞
0
xe−xdx=−xe−x− e−x = 1
E(X2) =
∫ ∞
0
x2e−xdx= [x2e−x + 2(−xe−x− e−x)]∞0 = [0 + 2(0− 0)− 0− 2(0− 1)] = 2
V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = 2− 1 = 1
51
5.9. Uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação continuamente. A em-
presa oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a lâmpada dure menos de 50
horas. A vida útil dessas lâmpadas é modelada através da distribuição Exponencial com
parâmetro 1/8000.
(a) Determine a proporção de trocas por defeito de fabricação, ou seja, P (T < 50).
(b) Qual a duração média das lâmpadas?
Solução:
T : “vida útil das lâmpadas especiais”; então, T ∼ Exp(λ = 1/8000). Temos que Im(T ) =
(0,∞).
A função densidade para a variável aleatória T é:
fT (t) =

1
8000e
−t/8000 , se t > 0
0 , caso contrário.
(a)
P (T < 50) =
∫ 50
0
1
8000e
−t/8000dt= 18000
∫ 50
0
e−t/8000dt= 18000
(
−8000e−t/8000
)∣∣∣50
0
= −e−t/8000
∣∣∣50
0
=−e50/8000 + e0 =−0,99377 + 1 = 0,00623
(b) Queremos saber duração média das lâmpadas, isto é, queremos saber qual é o valor
esperado de T , a vida útil das lâmpadas. Como T tem distribuição exponencial, sabe-
mos que E(X) = 1
λ
. Então, como λ= 1/8000, temos que E(X) = 8000 horas, ou seja,
em média, as lâmpadas duram 8000 horas.
5.10. O intervalo de tempo, em minutos, entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é
uma variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro λ= 0,2.
(a) Qual é a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2?
(b) Qual é a probabilidade de o intervalo ser superior a 7 minutos, sabendo que ele é
superior a 5 minutos?
Solução:
X: “intervalo de tempo, em minutos, entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa”
X ∼ Exp(λ= 0,2); Im(X) = (0,∞)
A função de densidade da variável aleatória X é:
fX(x) =

0,2e−x/0,2 , se x > 0
0 , caso contrário.
52
(a) Queremos saber a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo de tempo
inferior a 2 minutos, ou seja, queremos P (X < 2):
P (X < 2) =
∫ 2
0
0,2e−0,2xdx= −e−0,2x
∣∣∣2
0
=−e0,4 + e0 =−0,6703 + 1 = 0,3296
(b) Queremos saber a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo de tempo
superior a 7 minutos dado que já se passaram 5 minutos. Ou seja, queremos a seguinte
probabilidade P (X > 7|X > 5):
• Solução 1:
P (X > 7|X > 5) = P (X > 7
P (X > 5)
P (X > 7) =
∫ ∞
7
0,2e−0,2xdx= −e−0,2x
∣∣∣∞
7
= 0 + e−1.4 = 0,24659
P (X > 5) =
∫ ∞
5
0,2e−0,2xdx= −e−0,2x
∣∣∣2
0
= 0 + e−1 = 0,3678
Portanto,
P (X > 7|X > 5) = 0,24660,3678 = 0,6704
• Solução 2: Pela propriedade da falta de memória da distribuição exponencial, temos
que
P (X > 7|X > 5) = P (X > 2) = 1−P (X ≤ 2) = 1− 0,3296 = 0,6704.
5.11. O tempo necessário para eliminar o perigo de contaminação de certo pesticida, após sua
aplicação em um pomar, é uma variável aleatória exponencial com parâmetro 2 (em anos).
O maior ou menor tempo depende de fatores como chuva, vento e umidade da região. Tendo
em vista esse comportamento, as autoridades sanitárias recomendam que o contato direto
ou indireto com as frutas pulverizadas seja evitado por algum tempo após a aplicação.
(a) Calcule a probabilidade de uma fruta desse pomar, escolhida ao acaso, não estar mais
contaminada após 1 ano de pulverização.
(b) Qual é a nossa “segurança” se aguardarmos 2 anos para consumir essas frutas?
Solução:
X: “tempo, em anos, necessário para eliminar perigo de contaminação de certo pesticida,
após sua aplicação em um pomar”
X ∼ Exp(λ= 2)
A função de densidade da variável aleatória X é:
fX(x) =

2e−2x , se x > 0
0 , caso contrário.
(a) Escolhendo ao acaso uma fruta do pomar, queremos calcular a probabilidade de que,
após 1 ano de pulverização, a fruta não esteja mais contaminada, ou seja, queremos
P (X ≤ 1).
P (X ≤ 1) =
∫ 1
0
2e−2xdx= 2
[
−e−2x
2
]1
0
=−e−2 + 1 = 1− 0,13534 = 0,86466
53
(b) Queremos saber a probabilidade de que a fruta esteja pronta para o consumo passados
2 anos, isto é, que a descontaminaçãoocorra em no máximo 2 anos: P (X ≤ 2).
P (X ≤ 2) =
∫ 2
0
2e−2xdx= 2
[
−e−2x
2
]2
0
=−e−4 + 1 = 1− 0,01831 = 0,98169
5.12. O tempo (em horas) que uma máquina leva para ser consertada é uma variável aleatória
exponencial com parâmetro λ= 1/2
(a) Qual a probabilidade do tempo de reparo ultrapassar de 2 horas?
(b) Qual a probabilidade do tempo de reparo ser no máximo de 10 horas, dado que sua
duração já excedeu 9 horas?
(c) Encontre o tempo de conserto para o qual podemos afirmar com 90% de certeza que a
máquina vai ser consertada antes desse tempo?
X: “tempo, em horas, que maquina leva para consertar”
X ∼ Exp(12), Im(X) = (0,∞)
A função de densidade da variável X:
fX(x) =

1
2e
−x/2 , se x > 0
0 , caso contrário
(a)
P (X > 2) =
∫ ∞
2
1
2e
−x/2dx= 0−
(
−1
e
)
= 0,36787
Logo, a probabilidade do tempo de reparo ultrapassar de 2 horas é de 0,36787.
(b) Temos um problema de probabilidade condicional.
P (X ≤ 10|X > 9) = P (9<X < 10)
P (X > 9) =
0,00437
0,0111 = 0,39369
Calculando o numerador:
P (9<X < 10) =
∫ 10
9
1
2e
−x/2dx= e
5− e
9
2
e
19
2
= 0,00437
Calculando o denominador:
P (X > 9) =
∫ ∞
9
1
2e
−x/2dx= 0−
− 1
e
9
2
= 0,0111
Logo, a probabilidade do tempo de reparo ser no máximo de 10 horas, dado que sua
duração já excedeu 9 horas é de 0,39369.
(c) Queremos saber o ponto t da Im(X) no qual temos uma probabilidade de 0,9 de que
a máquina nesse ponto já terá sido consertada. Ou seja, queremos P (X < t) = 0,9
P (X < t) = 0,9⇔
∫ t
0
1
2e
−x/2dx= 0,9⇔
[
−e−x/2
]t
0
= 0,9⇔ 1− e−t/2 = 0,9⇔
e−t/2 = 0,1⇔ −t2 = ln(0,1)⇔ t= 4,605
54
Então, o tempo de conserto para o qual podemos afirmar com 90% de certeza que a
máquina está consertada antes desse tempo é de aproximadamente 5 horas.
5.13. Considere a distribuição normal padrão com média 0 e desvio padrão 1.
(a) Qual é a probabilidade de que um z-escore seja maior do que 2,60?
(b) Qual é a probabilidade de que o z-escore esteja entre -1,70 e 3,10?
(c) Que valor de z-escore limita os 20% inferiores da distribuição?
Solução:
Estamos no contexto onde Z ∼N(0,1).
(a) Queremos calcular P (Z > 2,60). Note que trata-se da probabilidade de Z ser maior
que uma abscissa positiva. Na figura abaixo ilustra-se a probabilidade desejada como
a área em destaque.
Concluímos, então, que
P (Z < 2,60) = 1−P (Z ≤ 2,60) = 1−Φ(2,60) = 1− 0,9953 = 0,0047
(b) Queremos calcular P (−1,70 < Z < 3,10). Note que este exemplo trata da probabi-
lidade de Z estar entre duas abscissas, uma negativa e outra positiva. Ilustra-se a
probabilidade como a área destacada.
P (−1,7≤ Z ≤ 3,1) = P (Z ≤ 3,1)−P (Z ≤−1,7) = P (Z ≤ 3,1)− [1−P (Z ≤ 1,7)] =
Φ(3,1)− [1−Φ(1,7)] = 0,999− [1− 0,9554] = 0,999− 0,0446 = 0,9544
(c) Queremos calcular P (Z < a) = 0,20. Vamos “traduzir” esse problema em termos pro-
babilísticos: queremos encontrar a abscissa a da normal padrão tal que a probabilidade
à esquerda dela seja 0,20. Como 0,20 é a área à esquerda de a, resulta que a tem que
ser menor que zero, isto é, temos que ter a < 0. Ilustra-se a probabilidade como a área
destacada.
55
P (Z < a) = 0,2⇒ 1−P (Z <−a) = 0,2⇒ P (Z <−a) = 0,8
Logo, olhando para a abscissa na tabela da Normal padrão que deixa 0,8 de probabi-
lidade acumulada, temos:
−a= 0,84⇒ a=−0,84
Portanto, o z-score que limita os 20% inferiores da distribuição.
5.14. Suponha que X seja uma variável aleatória e X ∼N(3;16). Calcular P (2<X < 5).
Solução:
Para calcular a probabilidade pedida, vamos padronizar a variável X para N(0,1). Logo,
P (2<X < 5) = P
(2− 3
4 <
X −µ
σ
<
5− 3
4
)
= P (−0,5< Z < 0,5)
Na figura abaixo ilustra-se a probabilidade desejada como a área destacada.
Portanto, P (Z ≤ 0,5)− P (Z ≤ −0,5) = P (Z ≤ 0,5)− [1− P (Z ≤ 0,5)] = Φ(0,5)− [1−
Φ(0,5)] = 0,6915− [1− 0,6915] = 0,383
5.15. Assumir que os valores de albumina têm distribuição normal com média 3,5mg/dL e desvio
padrão 0,25mg/dL. Calcular a probabilidade de uma pessoa ser hipoalbumínica se para
isso os níveis de albumina devem ser menores a 2,7mg/dL.
Solução:
X: “nível de albumina em uma pessoa”, onde X ∼N(3,5;0,252)
Queremos determinar a probabilidade da pessoa ser hipoalbumínica, isto é, P (X < 2,7).
Para calcular tal probabilidade, vamos padronizar a variável X para N(0,1). Logo,
P (X < 2,7) = P
(
X −µ
σ
<
2,7− 3,5
0,25
)
= P (Z <−3,2)
Na figura abaixo ilustra-se a probabilidade desejada como a área destacada.
56
Portanto, P (Z <−3,2) = 1−P (Z ≤ 3,2) = 1−Φ(3,2) = 1− 0,993 = 0,0007
Sendo assim, a probabilidade de uma pessoa ser hipoalbumínica é de 0,0007.
5.16. Assumir que o índice de massa corporal é uma variável com distribuição normal de média
22,5kg/m2 e desvio padrão 1,25kg/mg2. Um adulto é considerado com baixo peso se o
IMC é menor a 20kg/m2 e é considerado com sobrepeso se o IMC é maior a 25. IMCs
entre 20 e 25 caracterizam um adulto eutrófico.
Calcular a probabilidade de um adulto ser considerado:
(a) com baixo peso
(b) eutrófico
Solução:
X: “índice de massa corporal(IMC)”, onde X ∼N(22,5;1,252)
(a) Para um adulto ser considerarado com baixo peso, o IMC deve ser menor que 20, isto
é a variável X assumir valores menores que 20. Queremos P (X < 20).
Para calcular tal probabilidade, vamos padronizar a variável X para N(0,1). Logo,
P (X < 20) = P
(
X −µ
σ
<
20− 22,5
1,25
)
= P (Z <−2) = 1−P (Z < 2) = 1−Φ(2) = 1−0,9772 = 0,0228
(b) Para um adulto ser considerado eutrófico, o IMC deve ser entre 20 e 25, isto é a variável
X assumir valores menores que 20. Queremos P (20<X < 25).6
Para calcular tal probabilidade, vamos padronizar a variável X para N(0,1). Logo,
P (20<X < 25) = P
(
20− 22,5
1,25 <
X −µ
σ
<
25− 22,5
1,25
)
= P (−2< Z < 2) = P (Z < 2)−P (Z <−2)
= P (Z < 2)− [1−P (Z < 2)] = Φ(2)− [1−Φ(2)] = 0,9772− [1− 0,9772] = 0,9544
5.17. Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham distribui-
ções N(42;36) e N(45;9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para ser usados por
um período de 45 horas, qual deve ser preferido? E se for por um período de 49 horas?
Solução:
Di: “amplitude de vida do i-ésimo aparelho”; onde i = 1,2, D1 ∼ N(42,62) e D2 ∼
N(45,32)
(i) Para determinar qual aparelho deve ser escolhido caso o uso seja por um período de
45 horas, vamos então calcular as probabilidades de que cada um dos aparelhos vivam
por pelo menos 45 horas.
57
P (D1 > 45) = P
(
D1−µ
σ
>
45− 42
6
)
= P (Z > 0,5) = 1−P (Z ≤ 0,5) = 1−Φ(0,5) = 1− 0,6915 = 0,3085
P (D2 > 45) = P
(
D2−µ
σ
>
45− 45
6
)
= P (Z > 0) = 1−P (Z ≤ 0) = 1−Φ(0,5) = 1− 0,5 = 0,5
Portanto, o neste caso o aparelho que deve ser escolhi é o segundo, pois a probabilidade
da vida útil dele durar mais de 45 horas é maior.
(ii) Agora queremos saber qual deve ser escolhido caso o uso venha a ser de 49 horas.
P (D1 > 49) = P
(
D1−µ
σ
>
49− 42
6
)
= P (Z > 1,67) = 1−P (Z ≤ 1,67) = 1−Φ(1,67) = 1− 0,9525 = 0,0475
P (D2 > 49) = P
(
D2−µ
σ
>
49− 45
6
)
= P (Z > 0,67) = 1−P (Z ≤ 0,67) = 1−Φ(0,67) = 1− 0,7486 = 0,2514
Portanto, também neste caso o aparelho que deve ser escolhi é o segundo, pois a
probabilidade da vida útil dele durar mais de 49 horas é maior.
5.18. A distribuição das alturas de 500 plantas de feijão na época da colheita tem média (µ) de
30 cm e desvio padrão (σ) de 5cm. Considere que esta variável segue distribuição normal
e estime:
(a) Qual a probabilidade de se encontrar plantas entre 30 e 35 cm?
(b) Qual a probabilidade de se obter plantas maiores que 33 cm?
Solução:
X: “altura de 500 plantas de feijão na época de colheita”, onde X ∼N(30,52)
(a) A probabilidade que queremos é a de que X assuma valores entre 30 e 35.
P (30<X < 35) = P
(30− 30
5 <
X −µ
σ
<
35− 30
5
)
= P (0< Z < 1) = P (Z < 1)−P (Z < 0)
= [Φ(1)−Φ(0)] = 0,8413− 0,5 = 0,3413
Logo, a probabilidade de encontrar plantas entre 30 e 35 cm é de 0,3413.
(b) A probabilidade que queremos é a de que X assuma valores maiores 33.
P (X > 33) = P
(
X −µ
σ
>
33− 30
5
)
= P (Z > 0,6) = 1−P (Z < 0,6) = 1−Φ(0,6) = 1−0,7257 = 0,2743
5.19. O consumo mensal em minutos por conta de celular