Guia de Estudos da Unidade 1 - Geometria Analítica (1)
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Guia de Estudos da Unidade 1 - Geometria Analítica (1)


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Geometria Analítica
UNIDADE 1
1
Para início de conversa
Olá, estudante! Seja bem-vindo(a) a nossa disciplina Geometria Analítica. É um prazer ter a sua companhia 
nesta nova jornada de estudos. Conto com seu comprometimento, pois ele será a chave para seu sucesso.
orientações da disciPlina
Prezado estudante, antes de iniciar o estudo deste guia é primordial que você faça a leitura de seu livro-
-texto. Para sua melhor compreensão assista também a videoaula, caso queria fazer novas pesquisas aces-
se a nossa biblioteca virtual.
Ao final da nossa unidade, não deixe de acessar o ambiente e responder as atividades. Caso você tenha 
alguma dúvida, envie uma mensagem para seu tutor, ele está apto para quaisquer tipos de esclarecimentos.
Espero que esteja preparado(a), vamos começar!
Palavras do Professor
Caro(a) aluno(a), no início desse curso da disciplina Geometria Analítica eu gostaria de fazer alguns co-
mentários sobre o conteúdo a ser abordado nessa unidade I. Bem, o foco dessa unidade é a conceituação 
de vetor e, posteriormente, entender as características, propriedades e operações com vetores, para tanto 
você, aluno(a), deverá ter uma ideia clara e precisa de o que é um vetor. 
É fato, e eu mesmo reconheço que a definição de vetor não constitui tarefas das mais simples, pois se trata 
de um objeto da matemática um tanto abstrato, mas entendo e farei você compreender a importância da 
materialização desse objeto no estudo das ciências exatas e da natureza. Ora, como seria possível fazermos 
estudo de algo que não vemos efetivamente, por exemplo, a força, que é um vetor, nós até podemos senti-
la, mas efetivamente não a vemos. 
É aí que o vetor se apresenta mostrando a importância de representá-lo, através de uma imagem, e daí o 
estudo dessa grandeza abstrata passa a ser materializada através de sua imagem.
Esta disciplina lhe dará subsídios importantíssimos para que você tenha êxito em várias disciplinas no 
decorrer do seu curso.
E sobre vetores o que podemos falar?
Quando alguém lhe pergunta o que é um vetor, qual a primeira imagem que vem a sua mente?
Uma flecha? Uma seta?
Isso. É esta a ideia intuitiva de vetor. Pois o que é um vetor senão um segmento de reta orientado.
2
estUdo dos vetores
Vamos iniciar nosso estudo, conto com sua total atenção! Lembre-se que a leitura de seu livro-texto é 
primordial para seu aprendizado. 
Vamos lá!
segmento de reta orientado
Veja a figura a seguir de dois vetores.
 
 
Fonte : Autor;2016
leitUra comPlementar
Com essa ideia intuitiva de vetor, pegue agora mesmo o seu livro-texto BUP e faça a 
leitura das páginas 1, 2, 3, 4 e 5 e reflita sobre o que foi lido.
E ai? Fez a leitura recomendada? O que você achou? Agora você tem uma compreensão bem mais ampla 
sobre vetores, não é?
Você percebeu que a imagem de um vetor é representada através de uma flecha, e como essa represen-
tação é importante para o estudo de vetores.
características de Um vetor
Veja bem, um vetor possui três características que o determinam. Lembra-se de quais são elas?
Pois bem, a primeira é Medida, também conhecida como módulo ou norma. E a segunda? A segunda é a 
Direção. E, finalmente, o sentido. Então um vetor pode ser caracterizado por módulo, direção e sentido.
GUarde essa ideia!
 
Farei um breve comentário sobre a direção de um vetor.
Qualquer flecha que você desenhar, terá sua posição bem definida se tomar um eixo horizontal (reta hori-
zontal) e comparar a sua posição com este eixo.
 B B 
 A 
 A
3
Fonte:Autor,2016
Ora, como identificarmos a posição de cada uma dessas flechas? Vamos associar a cada flecha um número 
(bem original). Que número é este? O número que representa a medida do ângulo que cada flecha forma 
com o eixo horizontal. E veremos, mais adiante, que a esta posição associaremos outro número (ainda 
melhor), qual seja, o número chamado tangente do ângulo.
Fonte: Autor: 2016
Daí, se duas ou mais flechas formarem ângulos com a mesma medida, dizemos que todas têm a mesma 
direção. Assim, a posição de cada flecha fica determinada por um número que é o ângulo que forma com 
o eixo, deste modo podemos definir a direção, por este número que é a medida do ângulo, pois, a cada 
posição é associada um e somente um ângulo.
dica
E aí? O texto acima deixa claro o que é a direção de um vetor? Ainda tem dúvida? Para maior esclareci-
mento faça a leitura da página 5 até a 8 do seu livro-texto BUP. E então entendeu as características de um 
vetor? Acredito que sim!
rePresentante de Um vetor 
Imagine, agora, um conjunto formado por todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o 
mesmo sentido e o mesmo comprimento. Este conjunto define o vetor geométrico.
Segundo essa definição, quando desenhamos uma flecha (segmento de reta orientado) para indicar um 
vetor, estaremos na verdade, tomando um representante de todos os vetores que têm aquela direção, 
aquele sentido e o mesmo comprimento. Este objeto, assim definido, é de grande importância e é aplicado 
no campo da física e com muita vantagem para representar as chamadas grandezas vetoriais.
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tipos de vetores
Pois bem, neste momento iniciaremos o estudo dos tipos de vetores, pois existem alguns vetores que são 
bem peculiares. Vamos conhecê-los agora!
vetor nulo: Vimos que o vetor geométrico tem comprimento. Se este comprimento for igual à zero, o 
vetor representante é chamado vetor nulo 0
vetor Unitário: Vetor que tem comprimento igual a 1. Então a sua norma ou módulo é 1.
Posição relativa entre dois vetores
vetor oposto: O vetor AB tem sentido de A para B. O oposto a ele é o vetor BA que tem sentido de B 
para A. Note que estabelecemos a igualdade entre estes dois vetores pela expressão algébrica AB = BA.
Vetores paralelos ou colineares. 
Vetores iguais.
Vetores Equiversos e contraversos.
Vetores coplanares.
Condições de Paralelismo Entre dois Vetores.
Considere dois vetores u = (x1, y1, z1 ) e v = (x2, y2, z2) que sejam colineares ou paralelos.
Nestas condições existe um número real k tal que v = k \u2219 u.
Conclusão: Dois vetores são paralelos, então, suas coordenadas são proporcionais e o número real k é 
chamado de constante de proporcionalidade.
Convido você, caro(a) aluno(a), a fazer uma breve leitura sobre esses tipos de vetores nas páginas 8, 9 e 
10 de seu livro texto BUP.
Você leu o que foi recomendado? E aí? Entendeu bem esses tipos de vetores? Ótimo!
Módulo de um vetor é a medida do seu comprimento. Leia as páginas 11 e 12 do seu livro texto BUP.
\u2192
\u2192
\u2192 \u2192
\u2192
\u2192 \u2192
\u2192 \u2192
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vetor cartesiano
Expressão Analítica de Um Vetor \u2013 Vetor Cartesiano no Plano. (em R2)
Expressão Analítica de Um Vetor \u2013 Vetor Cartesiano no Plano. (R3)
Como se observa, geralmente, utilizamos o sistema de eixos cartesianos ortogonais no plano, no espaço 
ou ainda em R(3), neste último caso não existe representação geométrica.
visite a PáGina
Clique aqui para visualizar e construir os vetores nos eixos cartesianos ortogonais.
Para resUmir
Usamos uma base de vetores unitários na representação das coordenadas de um vetor. A base mais con-
veniente é denominada base canônica.
Em R2 a base canônica é {i, j} e as coordenadas são (x, y). Uma vez que os vetores i, j constituem uma base 
para R2, então qualquer vetor do plano (R2) poderá ser escrito como uma combinação linear dos vetores i 
e j.
https://www.geogebra.org/
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Em R3 a base canônica é (i, j, k) e as coordenadas são (x, y, z). Uma vez que os tores i, j e k constituem 
uma base para R3, ou seja, o espaço então qualquer vetor do R3 poderá ser escrito como uma combinação 
linear dos vetores i, j e k.
módulo de Um vetor v
É a medida de seu comprimento.
Para vetores no plano temos \u2016v\u2016=\u221a(x2 + y2 ) e para vetores no espaço
\u2016v\u2016=\u221a(x2 +y2 + z2 )
versor de Um vetor
Agora falaremos em particular de um vetor. Esse a que me refiro