Guia de Estudos da Unidade 1 - Geometria Analítica

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Geometria Analítica
UNIDADE 1
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Para início de conversa
Olá, estudante! Seja bem-vindo(a) a nossa disciplina Geometria Analítica. É um prazer ter a sua companhia 
nesta nova jornada de estudos. Conto com seu comprometimento, pois ele será a chave para seu sucesso.
orientações da disciPlina
Prezado estudante, antes de iniciar o estudo deste guia é primordial que você faça a leitura de seu livro-
-texto. Para sua melhor compreensão assista também a videoaula, caso queria fazer novas pesquisas aces-
se a nossa biblioteca virtual.
Ao final da nossa unidade, não deixe de acessar o ambiente e responder as atividades. Caso você tenha 
alguma dúvida, envie uma mensagem para seu tutor, ele está apto para quaisquer tipos de esclarecimentos.
Espero que esteja preparado(a), vamos começar!
Palavras do Professor
Caro(a) aluno(a), no início desse curso da disciplina Geometria Analítica eu gostaria de fazer alguns co-
mentários sobre o conteúdo a ser abordado nessa unidade I. Bem, o foco dessa unidade é a conceituação 
de vetor e, posteriormente, entender as características, propriedades e operações com vetores, para tanto 
você, aluno(a), deverá ter uma ideia clara e precisa de o que é um vetor. 
É fato, e eu mesmo reconheço que a definição de vetor não constitui tarefas das mais simples, pois se trata 
de um objeto da matemática um tanto abstrato, mas entendo e farei você compreender a importância da 
materialização desse objeto no estudo das ciências exatas e da natureza. Ora, como seria possível fazermos 
estudo de algo que não vemos efetivamente, por exemplo, a força, que é um vetor, nós até podemos senti-
la, mas efetivamente não a vemos. 
É aí que o vetor se apresenta mostrando a importância de representá-lo, através de uma imagem, e daí o 
estudo dessa grandeza abstrata passa a ser materializada através de sua imagem.
Esta disciplina lhe dará subsídios importantíssimos para que você tenha êxito em várias disciplinas no 
decorrer do seu curso.
E sobre vetores o que podemos falar?
Quando alguém lhe pergunta o que é um vetor, qual a primeira imagem que vem a sua mente?
Uma flecha? Uma seta?
Isso. É esta a ideia intuitiva de vetor. Pois o que é um vetor senão um segmento de reta orientado.
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estUdo dos vetores
Vamos iniciar nosso estudo, conto com sua total atenção! Lembre-se que a leitura de seu livro-texto é 
primordial para seu aprendizado. 
Vamos lá!
segmento de reta orientado
Veja a figura a seguir de dois vetores.
 
 
Fonte : Autor;2016
leitUra comPlementar
Com essa ideia intuitiva de vetor, pegue agora mesmo o seu livro-texto BUP e faça a 
leitura das páginas 1, 2, 3, 4 e 5 e reflita sobre o que foi lido.
E ai? Fez a leitura recomendada? O que você achou? Agora você tem uma compreensão bem mais ampla 
sobre vetores, não é?
Você percebeu que a imagem de um vetor é representada através de uma flecha, e como essa represen-
tação é importante para o estudo de vetores.
características de Um vetor
Veja bem, um vetor possui três características que o determinam. Lembra-se de quais são elas?
Pois bem, a primeira é Medida, também conhecida como módulo ou norma. E a segunda? A segunda é a 
Direção. E, finalmente, o sentido. Então um vetor pode ser caracterizado por módulo, direção e sentido.
GUarde essa ideia!
 
Farei um breve comentário sobre a direção de um vetor.
Qualquer flecha que você desenhar, terá sua posição bem definida se tomar um eixo horizontal (reta hori-
zontal) e comparar a sua posição com este eixo.
 B B 
 A 
 A
3
Fonte:Autor,2016
Ora, como identificarmos a posição de cada uma dessas flechas? Vamos associar a cada flecha um número 
(bem original). Que número é este? O número que representa a medida do ângulo que cada flecha forma 
com o eixo horizontal. E veremos, mais adiante, que a esta posição associaremos outro número (ainda 
melhor), qual seja, o número chamado tangente do ângulo.
Fonte: Autor: 2016
Daí, se duas ou mais flechas formarem ângulos com a mesma medida, dizemos que todas têm a mesma 
direção. Assim, a posição de cada flecha fica determinada por um número que é o ângulo que forma com 
o eixo, deste modo podemos definir a direção, por este número que é a medida do ângulo, pois, a cada 
posição é associada um e somente um ângulo.
dica
E aí? O texto acima deixa claro o que é a direção de um vetor? Ainda tem dúvida? Para maior esclareci-
mento faça a leitura da página 5 até a 8 do seu livro-texto BUP. E então entendeu as características de um 
vetor? Acredito que sim!
rePresentante de Um vetor 
Imagine, agora, um conjunto formado por todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o 
mesmo sentido e o mesmo comprimento. Este conjunto define o vetor geométrico.
Segundo essa definição, quando desenhamos uma flecha (segmento de reta orientado) para indicar um 
vetor, estaremos na verdade, tomando um representante de todos os vetores que têm aquela direção, 
aquele sentido e o mesmo comprimento. Este objeto, assim definido, é de grande importância e é aplicado 
no campo da física e com muita vantagem para representar as chamadas grandezas vetoriais.
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tipos de vetores
Pois bem, neste momento iniciaremos o estudo dos tipos de vetores, pois existem alguns vetores que são 
bem peculiares. Vamos conhecê-los agora!
vetor nulo: Vimos que o vetor geométrico tem comprimento. Se este comprimento for igual à zero, o 
vetor representante é chamado vetor nulo 0
vetor Unitário: Vetor que tem comprimento igual a 1. Então a sua norma ou módulo é 1.
Posição relativa entre dois vetores
vetor oposto: O vetor AB tem sentido de A para B. O oposto a ele é o vetor BA que tem sentido de B 
para A. Note que estabelecemos a igualdade entre estes dois vetores pela expressão algébrica AB = BA.
Vetores paralelos ou colineares. 
Vetores iguais.
Vetores Equiversos e contraversos.
Vetores coplanares.
Condições de Paralelismo Entre dois Vetores.
Considere dois vetores u = (x1, y1, z1 ) e v = (x2, y2, z2) que sejam colineares ou paralelos.
Nestas condições existe um número real k tal que v = k ∙ u.
Conclusão: Dois vetores são paralelos, então, suas coordenadas são proporcionais e o número real k é 
chamado de constante de proporcionalidade.
Convido você, caro(a) aluno(a), a fazer uma breve leitura sobre esses tipos de vetores nas páginas 8, 9 e 
10 de seu livro texto BUP.
Você leu o que foi recomendado? E aí? Entendeu bem esses tipos de vetores? Ótimo!
Módulo de um vetor é a medida do seu comprimento. Leia as páginas 11 e 12 do seu livro texto BUP.
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vetor cartesiano
Expressão Analítica de Um Vetor – Vetor Cartesiano no Plano. (em R2)
Expressão Analítica de Um Vetor – Vetor Cartesiano no Plano. (R3)
Como se observa, geralmente, utilizamos o sistema de eixos cartesianos ortogonais no plano, no espaço 
ou ainda em R(3), neste último caso não existe representação geométrica.
visite a PáGina
Clique aqui para visualizar e construir os vetores nos eixos cartesianos ortogonais.
Para resUmir
Usamos uma base de vetores unitários na representação das coordenadas de um vetor. A base mais con-
veniente é denominada base canônica.
Em R2 a base canônica é {i, j} e as coordenadas são (x, y). Uma vez que os vetores i, j constituem uma base 
para R2, então qualquer vetor do plano (R2) poderá ser escrito como uma combinação linear dos vetores i 
e j.
https://www.geogebra.org/
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Em R3 a base canônica é (i, j, k) e as coordenadas são (x, y, z). Uma vez que os tores i, j e k constituem 
uma base para R3, ou seja, o espaço então qualquer vetor do R3 poderá ser escrito como uma combinação 
linear dos vetores i, j e k.
módulo de Um vetor v
É a medida de seu comprimento.
Para vetores no plano temos ‖v‖=√(x2 + y2 ) e para vetores no espaço
‖v‖=√(x2 +y2 + z2 )
versor de Um vetor
Agora falaremos em particular de um vetor. Esse a que me refiroé chamado de
VERSOR. Não está escrito errado é versor mesmo. Este cara é tão conhecido na comunidade científica, 
mas o meu editor de texto não o reconhece!
Só faz sentido falar de versor de um vetor. Então o versor de um certo vetor não nulo é um vetor unitário 
que possui a mesma direção e mesmo sentido do vetor considerado.
A expressão analítica que permite encontrar o versor de certo vetor é:
Onde u → é o versor do vetor v →.
aplicação 2 - Verifique que o vetor é unitário.
Solução: Para verificarmos se o vetor (AB) → é, de fato, unitário teremos que mostrar que o seu módulo 
é igual a 1. Então vejamos.
→
→
→
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exemPlo
Aplicação 2 - Encontre o verso do vetor v = (3,-4).
Solução: Cálculo do módulo de v.
leitUra comPlementar
Leia a página 11 do seu livro texto BUP para melhor entender. Bom, agora você 
sabe o que é um versor? Se a resposta é sim, então vamos em frente.
oPerações com vetores
Neste item, estudaremos as seguintes operações com vetores:
1. Multiplicação de um vetor por um número real; também chamada de multiplicação de um vetor 
por um escalar.
2. Soma ou adição de vetores.
3. Diferença de vetores.
leitUra comPlementar
Sobre essas operações consulte as páginas 12, 13 e 14 do seu livro-texto BUP e faça 
uma leitura minuciosa sobre esse item. E então, gostaram da leitura? Entenderam as 
operações com vetores? Ótimo!
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Você viu que, quando desenhamos uma flecha para representar um vetor geométrico (conjunto dos seg-
mentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido), aquela flecha é o representante desses 
segmentos (vetor geométrico).
O que faremos agora é associar a este conjunto, ou seja, a um vetor geométrico um representante bem 
especial que esteja com a origem no sistema cartesiano de duas ou três dimensões.
Um vetor pode ser definido através de dois pontos, o ponto inicial A e o ponto final B.
Veja imagem a seguir e sua expressão analítica será:
Quando realizamos a operação AB = B - A, estamos trazendo o vetor para origem, sem alterar as suas 
características, ou seja, ficam inalterados o seu módulo, a sua direção e o sentido. E agora o vetor pode 
ser expresso apenas pela coordenada de seu ponto final.
Você compreendeu o significado geométrico da operação descrita acima? Leia o texto a seguir e reflita.
transporte de um vetor para a origem do sistema cartesiano
Transporte do vetor AB para o ponto O(0,0), origem do sistema cartesiano.
•	 Traçar uma reta que passe pela origem do sistema.
•	 Desenhar a flecha que representa o vetor com origem nas coordenadas com o mesmo comprimen-
to da flecha que representa o vetor AB. Indiquemos o vetor na origem do sistema por OP. O vetor OP 
além de estar no ponto bem definido tem os mesmos atributos que o vetor AB.
O transporte de vetor é de grande utilidade nas operações de Adição e Subtração de vetores geométricos.
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão sugiro uma leitura atenta das páginas 16 e 17 do livro-texto 
BUP, no item que fala sobre vetores definidos por dois pontos. Já leram sobre esse item? Surgiu alguma 
dúvida?
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leitUra comPlementar
Mas, se eventualmente você ainda tem dúvidas sobre esse conteúdo, sugiro que con-
sulte Steinbruch e Winterle. Para sua compreensão do conceito de ângulo entre veto-
res, leia as páginas 18 e 19 do seu livro texto PUB.
E então, leu o conteúdo que eu sugeri?
Ótimo, observou que o ângulo entre dois vetores é sempre o menor ângulo entre eles, isso é importante.
Nas próximas unidades, esse conceito será importante quando estudarmos uma operação conhecida por 
produto interno ou escalar.
O nosso próximo objetivo é a decomposição de um vetor no plano e no espaço.
decomposição de vetores
Algumas vezes, na prática, existe a necessidade de, dado um vetor em certa direção, decompomos ele 
em certas direções, isto é o que chamamos de decomposição de vetores, ou seja, encontrar as suas coor-
denadas em relação a um sistema de eixos. Se esse sistema de eixo está no plano, então, as forças são 
decompostas no plano. Caso esses vetores estejam em três dimensões, então, diz-se que a decomposição 
é espacial. Agora pegue o livro-texto PUB e faça a leitura da página 19 até a 26.
Produto de vetores
Na primeira parte desta unidade foram definidos conceitos, propriedades e operações com vetores. Duas 
operações com vetores foram apresentadas: adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar 
(número real).
Completando a explanação sobre vetores, você vai conhecer os produtos de vetores. Sabemos que as 
grandezas físicas estão divididas em dois grandes grupos, ou seja, elas são escalares ou vetoriais. As 
grandezas escalares ficam perfeitamente caracterizadas por um número e sua unidade de medida, se exis-
tir, já as grandezas vetoriais, além do número e de sua unidade de medida, necessitam de módulo, direção 
e sentido. Desta forma, as operações de produto de vetores seguem certas regras a serem cumpridas.
ProdUto interno oU ProdUto escalar
O produto interno associa dois vetores a um número real, obedecendo à seguinte expressão.
Dados os vetores:
10
Obs.: Se o produto escalar entre dois vetores é nulo, então, esses vetores são ortogonais.
O produto interno ou escalar tem importância fundamental no conteúdo que será desenvolvido na unidade 
II. Esta operação também será importante para determinarmos ângulos entre dois vetores e projeção de 
um vetor na direção de outro. Pegue o livro-texto PUB e faça a leitura das páginas 27 e 28. Fez a leitura 
sobre produto escalar? E aí, surgiu alguma dúvida?
Vejamos algumas aplicações do produto escalar.
aplicação 1 - Determine o ângulo interno relativo ao vértice A do triângulo ABC, sendo A(3,-3,3) , B(2,-1,2) 
e C(1,0,2).
Solução.
Observe que o ângulo A é ângulo entre os vetores AB e AC.
aplicação 2 - Se u = (0,2) e v = (3,3), então, determine o ângulo entre esses dois vetores.
Solução:
→ →
→ →
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ProdUto vetorial
Na unidade II da disciplina, quando estivermos estudando equação da reta, equação de um plano, esse 
conceito de produto vetorial será extremamente importante.
O produto vetorial entre dois vetores é um terceiro vetor simultaneamente perpendicular a esses dois 
vetores e o sentido dado pela regra da mão direita. 
Para melhor esclarecimento sobre produto vetorial, faça a leitura da página 28 até a 30 do seu livro-texto 
BUP.
E, então, leu a recomendação que eu pedi? Entendeu essa operação? Pois, na próxima unidade, ela será 
muito importante.
exemPlo
Considere os seguintes vetores .
Nessa ordem, chama-se produto vetorial dos vetores u e v que representaremos por u x v, ao vetor w dado 
por: 
aplicação 1 - Determine o produto vetorial entre os vetores e
.
Resolvendo o determinante acima, encontramos para o vetor . 
Este vetor encontrado é simultaneamente perpendicular aos vetores u e v.
Propriedades do Produto vetorial
1.
2.
3.
4.
5.
6.
→ → → → →
→ →
12
Produto misto
Este produto de vetores é uma combinação dos produtos escalar e vetorial.
Considere os vetores u, v e w, o produto misto destes três vetores, tomados nessa ordem, é o número real:
exemplo 1 - Determine o produto misto dos vetores u = (1, -1, 3), v = (2, 1, -2) e w = (1, 0, -1).
Solução: Encontre o valor do determinante abaixo, que tem como solução o número real -2, visto que o 
produto misto é um número real.
Para resUmir
•	 O produto misto é o produto de três vetores e tem como solução um número real.
•	 O produto vetorial é produto de dois vetores e tem como solução um vetor. (É uma operação para o R3).
•	 O produto misto é um produto ternário de vetores no R3.
Palavras do Professor
Prezado(a) estudante, chegamos ao final da nossa I unidade. Acredito que você assimilou todo o conteúdo 
explicado. Caso tenha alguma dúvida, faça uma nova leitura de seu livro-texto. 
acesse o ambiente virtUal
Caro(a)aluno(a), agora chegou o momento de colocar em prática seu aprendizado, acesse o ambiente 
virtual e responda as atividades. Caso tenha alguma dificuldade, envie uma mensagem para seu tutor.
Bons estudos e até a próxima unidade!
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