livro (2)

2 2 : 2 1 
6 6 : 2 3
= =
3 3 : 3 1 
9 9 : 3 3
= =
2
6
3
9
UNIDADE 1 | CONCEITOS INICIAIS
8
que ele gastou para realizar um determinado percurso. Ao variar uma grandeza, 
consequentemente causa variação em outra.
2.1.1 Grandeza diretamente proporcional
Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando o 
aumento de uma grandeza implica no aumento da outra grandeza. Por exemplo, 
se três pessoas consomem seis litros de água por dia, cinco pessoas consumirão dez 
litros de água no mesmo período. Portanto, grandezas diretamente proporcionais 
variam sempre na mesma razão.
Conforme a NR-24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego 
(MTE) que regula as condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, 
cada empresa deve providenciar, por colaborador, a quantidade de 60 litros de 
água para o consumo nas instalações sanitárias.
Para obedecer a essa norma, uma empresa elaborou uma tabela para 
identificar a quantidade de água necessária de acordo com o número de 
colaboradores.
Cenário Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4
Número de colaboradores 10 15 20 40
Quantidade mínima 
necessária de água (em litros)
600 900 1200 2400
QUADRO 1 - REPRESENTAÇÃO DA NR-24, SEGUNDO O MTE NA EMPRESA XYZ
FONTE: O autor
Ao analisar a tabela, podemos perceber que o número de colaboradores 
aumentou, logo, a quantidade mínima necessária de água também aumenta. 
Outro ponto que pode ser observado é que a razão entre a quantidade mínima 
de água e o número de colaboradores de todos os cenários é sempre o mesmo, ou 
seja, 60.
Podemos afirmar que as sequências de números (600, 900, 1200, 2400) 
e (10, 15, 20, 40) são diretamente proporcionais e a razão ou coeficiente de 
proporcionalidade é 60.
Vamos verificar que as sequências (2, 8, 10) e (14, 56, 70) são diretamente 
proporcionais.
600 900 1200 2400 60
10 15 20 40
= = = =
TÓPICO 1 | RAZÃO E PROPORÇÃO
9
Para realizar essa verificação é necessário obter as razões entre os números 
correspondentes e em seguida analisá-las.
Logo, as razões são: 
2 8 10 1 
14 56 70 7
e e é igual a
É possível verificar que todas as razões possuem o mesmo valor, ou seja , 
então podemos afirmar que ambas as sequências são diretamente proporcionais.
1 
7
IMPORTANT
E
Para chegarmos ao valor de realizamos a simplificação, ou seja, dividimos o 
numerador e o denominador pelo mesmo número.
1
 
7
Agora, vejamos outro exemplo, onde queremos saber qual é o coeficiente 
de proporcionalidade entre as sequências (3, 5, 7) e (18, 30, 42), sabendo que 
ambas são diretamente proporcionais. Para isso, montamos os pares formados 
pelos elementos das sequências:
3 5 7 
18 30 42
e e
Ao realizar a simplificação de todas as frações obtemos a razão, sendo ela 
sempre igual a , esse número é chamado de coeficiente de variação. 
2.1.2 Grandeza inversamente proporcional
As grandezas inversamente proporcionais são aquelas onde ocorrem 
operações inversas, isto é, se dobrarmos uma grandeza, a outra é reduzida pela 
metade. Vamos supor que em um Help Desk (suporte a sistemas), 12 analistas de 
suporte trabalham oito horas diárias para solucionar um determinado volume de 
chamados, porém, a empresa aumentou seu quadro de colaboradores nesse setor 
para 24 analistas de suporte. Quantas horas serão necessárias para solucionar o 
mesmo volume de chamados?
1
6
UNIDADE 1 | CONCEITOS INICIAIS
10
Muitas vezes nosso raciocínio lógico já nos leva ao resultado, porém, caso 
você não tenha compreendido como poderemos chegar a ele, vamos ilustrar.
Número de colaboradores 2 4
Horas trabalhadas 8 4
Aumenta
Diminui
FONTE: O autor
QUADRO 2 - EVOLUÇÃO DO NÚMERO DE COLABORADORES X HORAS NECESSÁRIAS
Podemos perceber que ao dobrar o número de colaboradores, a quantidade 
de horas trabalhadas caiu pela metade para a execução do mesmo serviço; 
enquanto uma grandeza aumenta, a outra grandeza diminui, ou seja, estão 
variando em sentidos contrários. Assim, as grandezas Número de colaboradores 
e Horas trabalhadas são inversamente proporcionais.
As sequências (12, 24) e (8, 4) são inversamente proporcionais. Nesta 
situação, a primeira sequência de números é diretamente proporcional aos 
inversos dos elementos da segunda sequência. Portanto, uma das formas de 
escrever matematicamente esta situação é: (12, 24) e , logo, essa nova 
sequência será diretamente proporcional.
1 1( )
8 4
e
Assim:
Realizando a multiplicação cruzada vamos obter: 12 * 1
4
= 24 * 1
8
12 24
4 8
=
3 = 3 
Logo, o coeficiente de proporcionalidade é 3.
2.1.3 Regra de Três
A regra de três é um processo que pode ser utilizado para resolver 
situações que envolvam grandezas diretamente proporcionais ou inversamente 
proporcionais. Geralmente, é utilizada quando temos três valores conhecidos e 
queremos encontrar uma incógnita. A regra de três ainda se subdivide em regra 
12 24 
1 1
8 4
=
TÓPICO 1 | RAZÃO E PROPORÇÃO
11
de três simples (direta ou inversa), e ainda, regra de três composta (podendo 
também ser direta ou inversa). A regra de três composta é utilizada quando temos 
mais de três valores, buscando, assim, encontrar o valor desconhecido.
2.1.3.1 Regra de três Simples
A Regra de três simples possibilita encontrar um valor desconhecido 
em um problema, sendo necessário conhecer apenas três deles. A regra de três 
simples pode se subdividir em direta e inversa. 
Regra de três simples direta
Quando nos deparamos com duas grandezas diretamente proporcionais, 
ou seja, quando a variação de uma delas é proporcional a outra, podendo 
aumentar ou diminuir.
Podemos exemplificar essa situação da seguinte forma: 
Para realizar a implantação de um determinado sistema em três empresas 
são necessárias 45 horas; caso esse sistema seja implantado em oito empresas, 
qual será a quantidade de horas necessárias?
Há duas grandezas envolvidas (número de empresas e quantidade de 
horas) e no problema há três valores conhecidos, logo, refere-se a um problema 
em que para obter a solução pode ser utilizada a regra de três simples.
Precisamos encontrar a quantidade de horas necessárias para implantar 
tal sistema, para isso, vamos retirar os dados do problema para descobrir se será 
necessário utilizar a regra de três simples direta ou inversa.
Sendo assim, vamos montar uma tabela e agrupar as grandezas de mesma 
espécie na mesma coluna, conforme segue:
Quantidade de Empresas Horas Necessárias
 3 45
 8 X
Agora, faça uma análise dos dois valores, perceba que se para três empresas 
são necessárias 45 horas, aumentando o número de empresas (utilizando somente 
essas duas grandezas envolvidas), o número de horas também aumentará, logo, 
encontramos uma regra de três direta. 
Realizado a análise, basta multiplicar os valores na forma de cruz:
UNIDADE 1 | CONCEITOS INICIAIS
12
 3 45
 8 X
Montando a equação:
3*X = 8*45
3x = 360
X = 
X = 120 horas
360
3
Portanto, serão necessárias 120 horas para a instalação deste sistema em 
oito empresas.
Regra de três simples inversa
A regra de três simples inversa ocorre quando nos deparamos com duas 
grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando uma grandeza aumenta 
e a outra diminui, proporcionalmente.
Vamos exemplificar essa situação da seguinte forma:
Imagine que um veículo realiza um determinado percurso a 60 km/h em 15 
minutos, caso a velocidade aumente para 90 km/h, qual será o tempo gasto para 
percorrer o mesmo percurso?
Para isso, vamos montar uma tabela e agrupar as grandezas de mesma 
espécie na mesma coluna, conforme segue:
Velocidade Tempo
 60 km/h 15 min
 90 km/h x min
Realizando uma análise, se o percurso é o mesmo, e com o veículo a 60