Gabarito provas Analise matematica

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Acadêmico:
	
	
	Disciplina:
	Análise Matemática (MAT27)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:649882) ( peso.:1,50)
	Prova:
	22197425
	Nota da Prova:
	10,00
	
	
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
Parte superior do formulário
	1.
	Observe as sequências a seguir e associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Limitadas.
II- Ilimitadas.
Depois, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	 a)
	I - II - I - I.
	 b)
	I - II - I - II.
	 c)
	I - II - II - II.
	 d)
	II - I - I - II.
	2.
	O avanço no estudo de séries infinitas teve um papel importante no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Muitos matemáticos eram fascinados pelos resultados impressionantes que vinham das somas infinitas, mas ficavam confusos ao tentar definir esses conceitos. Para eles, o infinito era alguma coisa para admirar, porém impossível de entender. Uma série numérica é a soma dos termos de uma sequência numérica. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	A soma dos termos de uma PA (Progressão Aritmética) é uma sequência.
	 b)
	Apenas as PAs (Progressão Aritmética) são séries.
	 c)
	A soma dos termos de uma PA (Progressão Aritmética) é uma série.
	 d)
	Toda PA (Progressão Aritmética) é uma série.
	3.
	Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. Baseado nisto, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 c)
	Somente a sentença III está correta.
	 d)
	Somente a sentença I está correta.
	4.
	A ideia de sequência e sucessão aparece no cotidiano em muitas situações, nas quais podemos utilizar processos mais usuais como a progressão aritmética e a progressão geométrica. Como exemplos disso, podemos citar a sequência dos três primeiros meses do ano (janeiro, fevereiro, março), a sequência dos anos, a partir de 1988, nos quais são realizadas as Olimpíadas (1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008 ...), entre outros. Observe as sequências a seguir e assinale alternativa CORRETA que apresenta aquela que está em Progressão Geométrica:
	 a)
	(1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ... )
	 b)
	(1 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... )
	 c)
	(9 ; 0,9 ; 0,09 ; 0,009 ; ... )
	 d)
	(8 ; 6 ; 4 ; 2 ; ... )
	5.
	Uma sequência de números reais pode ser classificada quanto à sua monotonicidade, crescimento e convergência. Observe a sequência a seguir e assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua classificação:
	
	 a)
	Não monótona, decrescente e divergente.
	 b)
	Monótona, não crescente e convergente.
	 c)
	Oscilante, decrescente e divergente.
	 d)
	Monótona, decrescente e convergente.
	6.
	Analise o exposto a seguir:
	
	 a)
	(1,2,4,8,...)
	 b)
	(1, 1/2 , 1/4 , 1/8 ,...)
	 c)
	(1/2 , 1/4 , 1/8 ,...)
	 d)
	(2,4,8,16,...)
	7.
	Normalmente, a convergência ou divergência de uma sequência não depende do comportamento de seus termos iniciais mas de seu comportamento a partir de um certo termo. Ainda mais, devemos claramente analisar os casos de sua monotonicidade para aferir tais conclusões. Baseado nisto, verifique os casos de monotonicidade de sequencias dados a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	As sentenças II e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 d)
	As sentenças III e IV estão corretas.
	8.
	O limite de uma sequência numérica pode ser o infinito ou algum valor específico dentro do conjunto dos números reais. Observe o termo geral da sequência numérica a seguir e assinale a alternativa CORRETA que apresenta o seu limite:
	
	 a)
	Seu limite é 2.
	 b)
	Seu limite é 0 (zero).
	 c)
	Seu limite é infinito.
	 d)
	Seu limite é 1.
	9.
	O limite da sequência numérica a seguir não é o infinito, mas, sim, um número real. Observe o termo geral da sequência a seguir e assinale a alternativa CORRETA que apresenta o seu limite:
	
	 a)
	Seu limite é 6.
	 b)
	Seu limite é 0 (zero).
	 c)
	Seu limite é 2.
	 d)
	Seu limite é 4.
	10.
	Além de suas aplicações na matemática teórica, o famoso número "e", o número de Euler, permitiu a resolução de diversos problemas práticos de diversas áreas do conhecimento. Tratando-se de análise, este número pode ser representado pela sequência Xn, que está indicada a seguir. Sobre esta sequência, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) É divergente e seu limite está entre 2 e 3.
(    ) É convergente e seu limite está entre 2 e 3.
(    ) É divergente e seu limite está entre 0 e 1.
(    ) É convergente e seu limite está entre 0 e 1.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - F - F.
	 b)
	F - F - V - F.
	 c)
	F - F - F - V.
	 d)
	V - F - F - F.
Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.
Parte inferior do formulário
	Acadêmico:
	
	
	Disciplina:
	Análise Matemática (MAT27)
	Avaliação:
	Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:649880) ( peso.:1,50)
	Prova:
	22009987
	Nota da Prova:
	10,00
	
	
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
Parte superior do formulário
	1.
	Os Números Naturais são apresentados de forma axiomática pelos postulados de Peano. Isto significa que, ao invés de considerar a existência dos números naturais, Peano considerou a existência dos postulados e, a partir daí, construiu o conjunto dos números naturais. De uma forma coloquial, podemos apresentar os três postulados de que forma?
	 a)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 b)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não possui sucessor.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 c)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não é sucessor de nenhum outro.
III- Se o elemento 1 pertence ao conjunto X e se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 d)
	I- Se dois elementos possuem dois sucessores diferentes, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	2.
	No dia a dia nos deparamos com situações diversas, onde temos que contar, enumerar objetos etc. No cotidiano você dispõe de um ambiente e objetos inseridos nele, na matemática temos conjuntos e elementos pertencentes a este conjunto. Desta forma, podemos definir um conjunto enumerável se:
	 a)
	Existir uma função bijetora entre ele e o conjunto dos números naturais.
	 b)
	Ser o conjunto de partida de uma função linear.
	 c)
	Se ele for obrigatoriamente apenas finito.
	 d)
	Ser um subconjunto dos números reais.
	3.
	Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva, porém a prática pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo, você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação seja falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica, analise as sentenças que podem ser provadas por redução ao absurdo:
I) Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
II) Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
III) Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
IV) Provar que raiz de 3 é irracional.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 b)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças II e III estão corretas.4.
	Analisando a matemática, as operações realizadas são pautadas em conjuntos numéricos. Verifique as sentenças a seguir: 
I- {-1, 0, 1} pertence ao conjunto dos números naturais.
II- {1, 2, 3, 4} pertence ao conjunto dos números inteiros.
III- {-2; -1/2; 0; 0,5; 1} pertence ao conjunto dos números reais.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Apenas II e IV estão corretas.
	 b)
	Apenas I está correta.
	 c)
	Apenas I e II estão corretas.
	 d)
	Apenas II e III estão corretas.
	5.
	Na matemática, toda e qualquer afirmação precisa ser provada a partir de fatos considerados válidos ou verdadeiros. Uma vez provada a afirmação, ela vale para sempre. Basicamente existem três tipos de provas matemáticas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os três tipos de provas:
	 a)
	Prova direta, prova por indução e prova por absurdo.
	 b)
	Prova indireta, prova por indução e prova por comparação.
	 c)
	Prova concreta, prova por comparação e prova por contradição.
	 d)
	Prova direta, prova por comparação e prova por absurdo.
	6.
	Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Contudo, na analise matemática, podem ser provadas várias propriedades da adição dos números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre as propriedades da adição dos números naturais, analise as opções a seguir:
I- Comutatividade.
II- Associatividade.
III- Elemento inverso.
IV- Lei do corte.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças III e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças II e III estão corretas.
	7.
	Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função que associe cada um dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida provamos que esta função é injetora e assim concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das seguintes funções dos naturais em X é a função que prova que o conjunto X={1, 5, 14, 30, ...} é enumerável?
	 a)
	(n+1)n(2n²+1)/6
	 b)
	(n+1)n(2n+1)/6
	 c)
	(n+1)n²(2n+1)/6
	 d)
	(n²+1)n(2n+1)/6
	8.
	Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, faz-se necessário construir os raciocícios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 2 é irracional, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por:
	 a)
	Contradição.
	 b)
	Absurdo.
	 c)
	Prova direta.
	 d)
	Indução.
	
9.
	
Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente concluir o termo geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo geral da série gerada pela soma dos números naturais:
	 a)
	n(n²+2)/2n
	 b)
	(n²+n)/2n
	 c)
	n(n+2)/2
	 d)
	(n²+n)/2
	10.
	Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Prova por Absurdo.
II- Prova Direta.
III- Prova por Indução.
(    ) Prove que:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
i - para n = 1
2 = 1(1+1) = 2
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
(    ) Prove que existem infinitos números primos.
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número primo, o maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos entre si e somarmos 1 ao resultado, teremos um número Q, que não é divisível por nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível por nenhum número primo, deve ser primo também e maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e último número primo. Conclui-se que existem infinitos números primos.
(    ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b².
(a + b)² = (a + b) (a + b)
  = a(a + b) + b(a + b)
  = a² + ab + ab + b²
  = a² +2ab + b²
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	II - I - III.
	 b)
	III - II - I.
	 c)
	III - I - II.
	 d)
	I - III - II.
Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.
Parte inferior do formulário
	Acadêmico:
	
	
	Disciplina:
	Análise Matemática (MAT27)
	Avaliação:
	Avaliação Final (Objetiva) - Individual FLEX ( Cod.:649881) ( peso.:3,00)
	Prova:
	22492388
	Nota da Prova:
	10,00
	
	
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
Parte superior do formulário
	1.
	De uma maneira bem intuitiva, a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Utilizando as propriedades da multiplicação sobre os números naturais, assinale a alternativa que apresenta o conjunto correto de propriedades:
	 a)
	A multiplicação é associativa, comutativa, monotônica e distributiva em relação à soma.
	 b)
	A multiplicação é monotônica, tricotômica e invertível.
	 c)
	A multiplicação é invertível, fechada e distributiva em relação à soma.
	 d)
	A multiplicação é associativa, comutativa, tricotômica e distributiva em relação à soma.
	2.
	O conceito de conjunto fechado está ligado fortemente ao conceito de ponto aderente, pois para que um conjunto seja fechado ele deve ser igual ao seu "Fecho" que por sua vez é composto apenas por pontos aderentes. A respeito dos conjuntos fechados, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto.
(    ) O conjunto dos números racionais é fechado.
(    ) O conjunto (a,b) é fechado.
(    ) A união finita de conjuntos fechados é fechado.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - F - V.
	 b)
	V - V - F - F.
	 c)
	F - F - F - V.
	 d)
	V - V - F - V.
	3.
	Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente concluir o termo geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo geral da série gerada pela soma dos números naturais ímpares:
	 a)
	n(n²+2)/2n
	 b)
	n²
	 c)
	n(n+2)/2
	 d)
	(n²+n)/2n
	4.
	O conceito de conjunto aberto está ligado fortemente ao conceito de ponto interior, pois para que um conjunto seja aberto ele deve ser composto apenas por pontos interiores. A respeito dos conjuntos abertos, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
(    ) A união de conjuntos abertos é aberto.
(    ) O conjunto (a,b] é aberto.
(    ) O conjunto dos números reais é aberto.
(    ) O conjunto (a,b) é aberto.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - V - V.
	 b)
	V - V - F - F.
	 c)
	F - V - V - F.
	 d)
	F - F - V - V.
	5.
	O teste da razão é utilizado para avaliar a convergência de uma série numérica. Utilize este teste e verifique se a série a seguir é convergente. Depois, assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	Como o limite calculado no teste é maior que 0 (zero), então a série é convergente.
	 b)
	Como o limite calculado no teste é maior que 1, então a série é divergente.
	 c)
	Como o limite calculado no teste é igual a 1, então nada podemos afirmar quanto à convergência da série.
	 d)
	Como o limite calculado no teste é menor que 1, então a série é convergente.
	6.
	Um corpo em matemática é um conjunto de elementos os quais podemos realizar operações cujos resultados possuem algumas propriedades. Esta definição é fundamental para a demonstração de diversas outras propriedades numéricas. As operações que são definidas pelo conceito de corpo, são a adição e a multiplicação. A partir das propriedades da adição a serem provadas para definir um corpo, assinale a alternativa INCORRETA:a)
	Existência de Elemento Neutro.
	 b)
	Comutatividade.
	 c)
	Existência de elemento inverso.
	 d)
	Associatividade.
	7.
	Acerca do conhecimento sobre sequências de números reais, avalie as afirmações a seguir:
I- Toda sequência limitada de números reais é convergente.
II- Toda sequência convergente de números reais é limitada e monótona.
III- Ao tomarmos todas as sequências de números racionais que possuem um número finito de elementos diferentes de zero garante-se que serão enumeráveis.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Apenas I e II.
	 b)
	Apenas I.
	 c)
	Apenas III.
	 d)
	Apenas II e III.
	8.
	.
	
	 a)
	Zero.
	 b)
	O primeiro termo.
	 c)
	Infinito.
	 d)
	1.
	9.
	Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função que associe cada um dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida, provamos que esta função é injetora e assim concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das seguintes funções dos naturais em X é a função que prova que o conjunto X={1, 2, 6, 24, 120, ...} é enumerável?
	 a)
	(n-1)n
	 b)
	(n-1)n!
	 c)
	(n+1)!
	 d)
	n!
	10.
	Acerca da propriedade da monotonicidade da adição, analise as sentenças:
I- É uma implicação da propriedade da comutatividade.
II- Sejam u e v dois elementos de um corpo ordenado K tais que u < v. Então, para todo w pertencente a K, u + w < v + w.
III- É premissa necessária o conjunto estudado conter a propriedade de corpo ordenado.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 c)
	Somente a sentença I está correta.
	 d)
	Somente a sentença III está correta.
	11.
	(ENADE, 2008) Considere a progressão geométrica:
	
	 a)
	4.
	 b)
	6.
	 c)
	5.
	 d)
	7.
	12.
	(ENADE, 2014).
	
	 a)
	infinito.
	 b)
	1.
	 c)
	0.
	 d)
	e.
Prova finalizada com 12 acertos e 0 questões erradas.
Parte inferior do formulário
	1.
	O valor absoluto ou módulo de um número real é normalmente associado à distância desse número à origem da reta numérica. Usualmente, define-se o valor absoluto de um número como sendo o seu valor numérico desconsiderando-se o seu sinal. Porém, esta é uma definição arbitrária. O valor absoluto de um número possui uma definição matemática mais rigorosa.
	
	Resposta Esperada:
Resolução esperada:
	2.
	Intuitivamente, conjunto enumerável é aquele conjunto em que é possível contar os seus elementos. No entanto, alguns métodos matemáticos nos permitem mostrar com maior rigor se um conjunto é ou não enumerável. Usando esses métodos, mostre que o conjunto I dos números inteiros positivos ímpares é enumerável.
	Resposta Esperada:
Resolução esperada: