1 prova C3

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PUC-Minas 1ª Prova Cálculo III Eng. Civil 
Aluno(a)_____________________________________6/5/2020 
Resolva todas as questões abaixo mostrando todos os cálculos e 
passagens algébricas e dê a resposta correta. Cada questão 
correta vale 5 pontos. 
1ªQ da 1ªP CIII-Aluno(a)_______________________Nº_________ 
 Faça um esboço do sólido limitado pelo paraboloide 
𝑧 = 3 − 𝑥2 − 𝑦2 e os planos 𝑥 = 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, 𝑦 = 0 e 
𝑧 = 0. E determine as coordenadas de seus vértices e indique-os 
no esboço. Use o centímetro como unidade de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
2ªQ da 1ªP CIII-Aluno(a)_______________________Nº_________ 
Determine a taxa de variação da função 
𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
√𝑥+2𝑦 
 no 𝑃(2,1) na direção do vetor �⃗�=1𝑖+2𝑗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 3ªQ da 1ªP CIII-Aluno(a)_______________________Nº________ 
O ponto P(1,1,1) está sobre o paraboloide 2𝑧 − 𝑥2 − 𝑦2 = 0 
a) Determine as equações paramétricas da reta normal ao 
paraboloide passando pelo ponto P. 
b) Determine o outro ponto Q segundo qual a reta normal fura o 
paraboloide pela segunda vez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
4ªQ da 1ªP CIII-Aluno(a)_______________________Nº_________ 
 Determine os valores de máximos e mínimos locais e os pontos de 
sela da função 𝑧 = 𝑥3 − 6𝑥𝑦 + 8𝑦3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
5ªQ da 1ªP CIII-Aluno(a)_______________________Nº_________ 
Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), onde é 𝑥 = 𝑠 + 𝑡 e 𝑦 = 𝑠 − 𝑡 mostre que 
𝜕𝑧
𝜕𝑠
𝜕𝑧
𝜕𝑡
= (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)
2
+ (
𝜕𝑧
𝜕𝑦
)
2
.