Produto escalar

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VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 
@luishenrinascimento 
 
Produto Escalar 
Definição: Chama-se produto escalar de dois vetores u = x1, y1, z1 e v = 
x2, y2, z2 , que nos determina um número real 
 
~u . ~v = (x1,y1,z1).(x2,y2,z2) = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2 
 
Observação: O produto escalar de u por v também é indicado por < u, v > e 
se lê “u escalar v”. 
Exemplos: 
 
1. Dados os vetores ~u = 3i – 5j + 8k e ~v = 4i – 2j – k, Calcule: 
~u . ~v = (3,-5,8) . (4,-2,-1) 
= 3 . 4 + (-5) . (-2) + 8 . (-1) 
= 12 + 10 -8 
= 14 
 
Propriedades: Para quaisquer vetores u, v e w e o número real α, tem-se: 
I) ~u ⋅ ~v = ~v ⋅ ~u; 
 
II) ~u ⋅ (~v + ~w) = ~u ⋅ ~v + ~u ⋅ ~w 
 
III) α (u ⋅ v) = (αu) ⋅ v = u ⋅ (αv); 
 
IV) ~u ⋅ ~u > 0, se ~u ≠ 0 e ~u ⋅ ~u = 0, se ~u = (0,0,0) 
 
V) ~u ⋅ ~u = |~𝑢|2 
 
Exemplos: 
|~u| = 4, |~v| = 2 e ~u ⋅ ~v = 3. Determine (3u − 2v) ⋅ (−u + 4v) 
 
(3u – 2v) . (-u) + (3u – 2v) . (4v) = -[(3u-2v). u) + 4 [(3u-2v).v] 
= - (3u.u-2v.u) + 4 (3u.v-2v.v) = -[3|~𝑢|2-2v.u] + 4 [3u.v-2|~𝑣|2 
= -3|~𝑢|2+ 2v.u - 4 . (3u.v-2|~𝑣|2) = -3|~𝑢|2 + 2𝑣. 𝑢 + 12 𝑢. 𝑣 − 8 |~𝑣|2 
= -3. |4|2 + 14u.v – 8 |2|2 = -3.16 + 14.3 – 8.4 
= -48 + 42 – 32 = -38 
 
Definição Geométrica 
Lei dos cossenos = |~𝑢. ~𝑣|2=|~𝑢|2+ |~𝑣|2- 2 . |~u| . |~v| . cosθ 
Além disso: 
|~𝑢. ~𝑣|2=|~𝑢|2+ |~𝑣|2- 2 . |~u| . |~v| 
 
Observação: 
(i) Para quaisquer dois vetores ~u e ~v as desigualdades são validas: 
(a) |~u ⋅ ~v| ≤ |~u|.|~v| ( desigualdade Schwarz) 
(b) |~u + ~v| ≤ |~u| + |~v| (desigualdade triangular) 
(ii) ~u ⋅ ~v > O ⇔ cos θ > 0 ⇔ 0 ≤ θ < 90° 
~u ⋅ ~v < O ⇔ cos θ < 0 ⇔ 900 < θ ≤ 1800 
~u ⋅ ~v = O ⇔ cos θ = 0 ⇔ θ = 900 
(iii) Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, u ⋅ v = O. 
 
Ângulo entre dois vetores 
Da igualdade ~u ⋅ ~v = ~u ⋅ ~v cosθ, concluímos que cosθ = 
~𝑢.~𝑣
|~𝑢||~𝑣|
 
Exemplos: 
1. Calcular o ângulo entre os vetores u = 1,1,4 e v = −1,2,2 
~u . ~v = 1.(-1)+1.2+4.2 = -1+2+8 = 9 
|~u| = √12 + 12 + 42 = √18 = √2.9 = √2. √9 = 3√2 
|~v| = √(−1)2 + 22 + 22 = √9 = 3 
Logo, 
~𝑢.~𝑣
|~𝑢||~𝑣|
 = 
9
3√2 . 3
 = 
9
9√2
 = 
1
√2 
⋅
√2
√2 
 = 
√2
2
 
ou seja, cosθ = cos45° = 
√2
2