Estatística Moda

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Curso: Administração
Disciplina: Estatística Fase: 4ª 
Prof.: Altair Altamiro da Silva
MEDIDAS ESTATÍSTICAS
	
3. MODA
Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico.
		Defini-se a moda como o valor que ocorre com maior freqüência em conjunto de dados, ou seja, a Moda é simplesmente o valor que mais se repete em uma sequência de dados. 
Exemplo: Se o salário modal dos empregados de uma empresa é igual a mil reais, este é o salário recebido pela maioria dos empregados dessa empresa.
		A moda é utilizada freqüentemente quando os dados estão registrados na escala nominal.
Exemplo:
 Sexo dos alunos – Turma A – Escola Z
	Sexo
	Freqüência
	Masculino
	40
	Feminino
	60
	Total
	100
		
		A moda é sexo feminino porque tem maior freqüência.
Seja X um conjunto de dados estatísticos. Define-se Moda de X, denotada por Mo como sendo o elemento mais freqüente no conjunto.
Um conjunto de dados pode ter:
· Nenhuma moda (amodal);
· Uma moda (unimodal);
· Duas ou mais modas (multimodal).
3.1. Moda – para dados não agrupados
		Primeiramente os dados devem ser ordenados para, em seguida, observar o valor que tem maior freqüência.
Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:
1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) Mo = 6 (valor mais frequente )
	Esse conjunto é unimodal pois apresenta apenas uma moda.
2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais frequentes)
	Esse conjunto é Multimodal, pois apresenta duas modas.
3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) Mo = 2 , Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais freqüentes)
	Esse conjunto é Multimodal, pois apresenta mais de duas modas.
4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6) Mo = 0 .Esse conjunto é amodal porque não apresenta um valor predominante.
3.2. Moda – para dados agrupados sem classes
		Basta observar, na tabela, o valor que apresenta maior freqüência.
1º) Cálculo da moda pelo ROL
Na Tabela, o resultado 1 aparece mais vezes Mo = 1
Número de filhos de um grupo de 50 casais
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	2
	2
	2
	2
	2
	2
	2
	2
	2
	3
	3
	3
	3
	3
	3
	3
	3
	4
	4
	4
	5
	5
	5
	6
	6
	6
	7
	7
2º) Cálculo da moda pela distribuição de freqüências sem classes
Número de filhos de um grupo de 50 casais
	Número de filhos
( xi )
	Numero
de casais
( fi )
	
 O valor 1 apresenta a maior freqüência.
 Mo = 1
 Esse resultado indica que casais com um filho foi o resultado mais observado.
	0
	6
	
	1
	16
	
	2
	9
	
	3
	8
	
	4
	3
	
	5
	3
	
	6
	3
	
	7
	2
	
	Total ()
	50
	
3.3. Moda – para dados agrupados com classes:
No cálculo da Moda para dados agrupados com classes é utilizado dois Processos.
Vamos utilizar a tabela de freqüência abaixo para calcular os dois processos.
	Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.
	 
	
Taxas (em %)
	Número de
Municípios
( fi )
	
	6 --- 16
	29
24
16
13
4
3
2
2
1
	
	16 --- 26
	
	
	26 --- 36
	
	
	36 --- 46
	
	
	46 --- 56
	
	
	56 --- 66
	
	
	66 --- 76
	
	
	76 --- 86
	
	
	86 --- 96
	
	
	Total ()
	94
	
 
 1º Processo: Formula da Moda Bruta;
	 
 li + ls
 Mo = --------
 2
 Sendo:
 li: limite inferior da classe modal = 6
 ls: limite superior da classe modal = 16 
 
 1º Passo: Identifica-se a classe (a de maior frequência):
 
 Na Tabela é a 1ª classe: 6 --- 16
 
 2º passo: Aplica-se a fórmula da Moda Bruta;
 
	 
 li + ls
 Mo = -------- => 11
 2
 
 
 
2º processo: Fórmula de Czuber ( Este é o método mais elaborado); 
	
 D1
 Mo = LMo + -------------- x h
 D1 + D2
Sendo:
LMo: limite inferior da classe
h: intervalo da classe modal
D1: freqüência simples da classe modal (menos) freqüência simples anterior à da classe modal 
D2: freqüência simples da classe modal (menos) freqüência simples posterior à da classe modal
 1º Passo: Identifica-se a classe (a de maior freqüência):
 
 Na Tabela é a 1ª classe: 6 --- 16
 
 2º passo: Aplica-se a fórmula da Moda Czuber;
Na Tabela, temos: 
LMo = 6 
h= 10 
D1 = 29-0= 29 
D2 = 29-24= 5
 29
 Mo = 6 + -------------- x 10 => 14,53
 34
 Resp.: A taxa de urbanização mais freqüente ficou em torno de 14,53%.
 
EXERCÍCIOS
1. 	Média, Mediana e Moda são medidas de:
a) ( ) Dispersão	b) ( x ) posição	
c) ( ) assimetria	d) ( ) curtose
2. Considere a seguinte série:
 1, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 32
Moda – 4
Unimodal
3. Calcule a moda:
a) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10 
Moda – 7 
Unimodal
b) (
x
i
) (
2
,5
3
,5
4
,5
6
,5
fi
7
17
10
5
) 
	Xi
	fi
	2,5
	7
	3,5
4,5
	17
10
	6,5
	5
	
	
	
	39
Moda – 3,5 Unimodal
c) (
Classes
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
fi
7
19
28
32
) 
	Classes
	fi
	 10 - 20
	7
	20 - 30
30 - 40
40 - 50
	19
28
32
	
	86
 40 + 50
 Mo = -------- => 45
 2
LMo = 40
h= 10 
D1 = 32 – 28 = 4
D2 = 32 – 0 = 32
 4
 Mo = 40 + -------------- x 10 => 41,11
 36
4. Uma escola deseja verificar o aproveitamento de 6 de seus alunos da 5ª série. Calcule
a média, a mediana e a moda, e classifique a série conforme a moda.
Notas: 7,0   3,5   2,5   6,5   9,0   3,5
{2,5 3,5 3,5 6,5 7,0 9,0}
Moda= 3,5 Unimodal
Media = 
P(md) = Mediana = 
5. Calcule a moda para os conjuntos abaixo:
a. X= {2, 3, 4, 3, 7, 8, 9, 14}. ( 2, 3, 3, 4, 7, 8, 9, 14) Mo = 3 Unimodal
b. Y= {2, 4, 6, 2, 8, 4, 10}. ( 2, 2, 4, 4, 6, 8, 10) Mo = 2, 4 Multimodal
c. Z= {32, 56, 76, 4, 8, 97}. ( 4 8 32 56 76 97) Mo = Amodal
6. Dados os conjuntos abaixo calcule a moda.
A = {3, 5, 2, 1, 4, 7, 9}.
{1 2 3 4 5 7 9} Amodal
B = {6, 12, 15, 7, 6, 10}.
{6 6 7 10 12 15} Unimodal
C = {10, 5, 11, 8, 15, 4, 16, 5, 20, 6, 13}.
{4 5 5 6 8 10 11 13 15 16 20} Unimodal
D = {4, 4, 10, 5, 8, 5, 10, 8}.
{4 4 5 5 8 8 10 10} Multimodal
7. Calcular a moda para os salários dos habitantes do município A: R$ 780,00, R$ 1.200,00,
R$ 550,00, R$ 600,00, R$ 1.500,00, R$ 750,00, R$ 980,00.
{550,00 600,00 750,00 780,00 980,00 1.200,00 1.500,00} Amodal
8. Calcular a moda para os salários dos habitantes do município F: R$ 780,00, R$ 1.200,00,
R$ 550,00, R$ 780,00, R$ 1.500,00, R$ 750,00, R$ 980,00.
{550,00 750,00 780,00 780,00 980,00 1.200,00 1.500,00} Unimodal
9. Calcular a moda para os salários dos habitantes do município G: R$ 780,00, R$ 1.200,00,
R$ 550,00, R$ 780,00, R$ 1.200,00, R$ 750,00, R$ 980,00.
{550,00 750,00 780,00 780,00 980,00 1.200,00 1.200,00} Multimodal
10. Calcular a moda para os salários dos habitantes do município G: R$ 780,00, R$ 1.200,00,
R$ 550,00, R$ 780,00, R$ 1.200,00, R$ 750,00, R$ 780,00.
{550,00 750,00 780,00 780,00 780,00 1.200,00 1.200,00} Unimodal
11. Calcule a Média, Mediana e Moda para dados agrupados sem classes:
	
	xi
	 ( fi )
	
	4
	9
	
	6
	5
	
	8
	2
	
	9
	10
	
	10
	1
	
	12
	7
	
	Total ()
	34
	
Média:
	( xi )
	( fi )
	xi . ƒi
	
	 
 
	4
6
	9
5
	36
30
	
	
	8
9
	2
10
	16
90
	
	
	10
12
	1
7
	10
84
	
	
	Total ()
	34
	 266X = 
Mediana:
	 ( xi )
	 ( fi )
	Fi
	
	4
6
	9
5
	9
14
	
	8
9
	2
10
	16
26
	
	10
12
	1
7
	27
34
	
	Total ()
	34
	
	
P(md) = 
Mediana = 9
Moda:
	
	xi
	 ( fi )
	
	4
6
	9
5
	
	8
9
	2
10
	
	10
12
	1
7
	
	Total ()
	34
	
Moda = 9 Unimodal
12. Calcule a Média, Mediana e Moda para dados agrupados com classes:
	
	xi
	 ( fi )
	
	4--14
	2
	
	14--24
	8
	
	24--34
	16
	
	34--44
	9
	
	44--54
	7
	
	Total ()
	42
	
Média:
	xi
	( fi )
	xi
	xi . ƒi
	4--14
	2
	9
	18
	14--24
	8
	19
	152
	24--34
	16
	29
	464
	34--44
	9
	39
	351
	44--54
	7
	49
	343
	Total ()
	42
	145
	1.328
Media = 
Mediana:
	( xi )
	 ( fi )
	Fi
	
	4--14
	2
	2
	
	14--24
	8
	10
	
	24--34
	16
	26
	
	34--44
	9
	35
	
	44--54
	7
	42
	
	Total ()
	42
	
	
P(md) = 
Mediana 24 – 34
Mediana= 24 + . 10 = 24 + . 10 = 24 + 6,875 = 32,875
Moda:
	
	xi
	 ( fi )
	
	4--14
	2
	
	14--24
	8
	
	24--34
	16
	
	34--44
	9
	
	44--54
	7
	
	Total ()
	42
	
MO = 
D1= 16 – 8 = 8
D2= 16 – 9 = 7 
 D1
 Mo = LMo + -------------- x h =>
 D1 + D2
 8
 Mo = 24 + -------------- x 10 => 29,33
 8 + 7