apostila-matematica-aplicada

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2 
 
 
 
1. Revisão de Álgebra e Aritmética Básica.....................................................6 
1.1 - Operações básicas com números inteiros..................................................7 
1.2 - Operações básicas com frações...............................................................15 
1.3 - Potenciação e Radiciação....................................................................... 22 
1.4 - Fatoração e Equação do 1° Grau..............................................................27 
1.5 - Equação do 2° Grau..................................................................................35 
1.6 - Sistemas de Equações com duas incógnitas............................................42 
 
2. Conjuntos......................................................................................................50 
 
3.Conjuntos e Funções....................................................................................59 
 
4. Função Polinomial de 1° Grau.................................................................. 68 
 
5.Função Polinomial de 2° Grau................................................................... 79 
5.2 - Encontrando o Vértice da Parábola......................................................... 88 
 
6. Noções básicas de Lógica Proposicional..................................................93 
6.2 - Lógica Proposicional...................................................................................94 
 
7. Noções Básicas de Estatística Descritiva................................................115 
 
Referências .....................................................................................................128 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 MIGUEL ALBUQUERQUE ORTIZ 
Mestre em Matemática pela Universidade 
Federal do ABC (UFABC) e Licenciado em 
Matemática pelo Instituto de Matemática e 
Estatística da Universidade de São Paulo (IME 
- USP). Com ampla experiência no ensino de 
Matemática na rede pública de ensino. 
Atualmente, professor de Matemática na rede 
municipal de São Paulo e docente na 
Faculdade Impacta de Tecnologia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Apresentação 
Este curso apresenta tópicos de Matemática que são 
estritamente relacionados com as aplicações que um analista e 
desenvolvedor de sistemas executa em sua profissão. Daí o 
nome do curso: Matemática Aplicada, que é voltado para o 
desenvolvimento do raciocínio lógico e analítico. Ao final, o 
estudante terá adquirido bases sólidas que fornecerão 
subsídios concretos e lógicos na resolução de problemas do 
cotidiano, dentro do seu contexto profissional. 
 
 Objetivos 
Essa disciplina tem por objetivo promover uma revisão 
qualitativa de conceitos matemáticos abordados na escola básica, 
dessa vez por um ponto de vista analítico e concreto. A partir dessa 
revisão, o objetivo é aprender tópicos da Teoria dos Conjuntos para 
que o estudante consiga resolver problemas lógicos de forma 
analítica e, a partir desses, relacioná-los com a Lógica Formal 
(Lógica Proposicional e Lógica de Predicados) e com as Funções 
Matemáticas. 
Por fim, essa disciplina fornece, como mais uma das bases, conhecimentos de Estatística 
Descritiva, assunto este, fundamental para o profissional que trabalha com a análise de dados. 
 
Competências da Disciplina 
Possibilita ao estudante ter uma base sólida em 
Fundamentos Matemáticos e de Lógica, a partir da 
representação de problemas utilizando fundamentos de 
lógica proposicional. Além disso, possibilita também, a 
capacidade de compreender e reconhecer funções 
matemáticas e, a partir disso, elaborar algoritmos 
eficientes para o desenvolvimento de um sistema. E por 
fim, a competência de realizar a análise de dados 
utilizando métodos da Estatística Descritiva. 
 
5 
 
Introdução 
 
No mundo em que vivemos estamos presenciando um forte avanço da 
tecnologia através do avanço da Ciência. A base de tudo que é desenvolvido na 
tecnologia está fundamentada na Matemática. Assim, dominá-la é um pré-requisito 
importante para qualquer estudante universitário, uma vez que, a Matemática além 
de ser uma ciência, também é uma linguagem. Esta, sofisticada e consistente, 
baseia-se numa estrutura lógica formal, sem a qual, não teríamos computadores e 
programadores. 
Este curso tem por objetivo apresentar assuntos que são estritamente 
relacionados com as aplicações que um analista de sistemas executa em sua 
profissão. Daí o nome do curso: Matemática Aplicada, que é voltado para o 
desenvolvimento do raciocínio lógico e analítico. Ao final, o estudante terá 
adquirido bases sólidas que fornecerão subsídios concretos e lógicos na resolução 
de problemas do cotidiano, dentro do seu contexto profissional. 
 No primeiro capítulo, serão apresentados assuntos relacionados à 
Matemática básica, englobando a Aritmética e a Álgebra Elementar. No segundo, 
trataremos da introdução teórica sobre a teoria ingênua dos conjuntos. No terceiro, 
o assunto será relacionado a funções matemáticas e suas aplicações. No quarto 
capítulo, apresentaremos uma introdução sobre a Lógica Proposicional e de 
Predicados. E no quinto e último capítulo, apresentaremos uma breve introdução 
sobre Estatística Descritiva. 
 Todos esses assuntos foram criteriosamente escolhidos com os objetivos de 
formar um analista preparado para enfrentar os desafios da vida acadêmica e 
formar um profissional capacitado para atuar no mercado de trabalho, uma vez 
que o mercado cobra uma qualificação cada vez mais avançada de seus 
profissionais, tanto no nível técnico quanto no nível intelectual e cultural. 
 
 
6 
 
 
Capítulo 1- Revisão de Álgebra e 
Aritmética Básica 
 
 
 
 
 
7 
 
1. Revisão de Álgebra e Aritmética Básica 
1.1 Operações básicas com números inteiros 
 
Conjuntos Numéricos: 
- Naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 … 
 
- Inteiros: 
… − 9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 … 
 
- Racionais: 
São números que podem ser escritos em forma fracionária. Onde o numerador, 
desta fração, é um número inteiro e o denominador é um número inteiro não nulo. 
Exemplos: 
2 = 
4
2
 
 
−8 = 
16
−2
 
 
0,3333 … = 
1
3
 
 
1,5 = 
3
2
 
 
45% = 0,45 = 
45
100
 
 
 
 
 
8 
 
 
- Irracionais: 
São números que não são racionais. 
 
 
Exemplos: 
√2 = 1,4142135624 … 
√𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 
𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑𝟓𝟖𝟗𝟕𝟗𝟑𝟐 … 
𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖𝟒𝟓𝟗 … 
 
 - Reais: é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos 
números irracionais. 
 
Operações Aritmética com os Inteiros 
Adição 
Exemplos: 
4 + 8 = 12 
8 + 4 = 12 
8 + (−4) = 4 
(−8) + (−4) = −12 
Subtração 
Exemplos: 
6 − 4 = 2 
−6 − (+4) = −6 − 4 = −10 
−6 − (−4) = −6 + 4 = −2 
6 − (−4) = 6 + 4 = 10 
 
 
 
 
9 
 
 
Regra de Sinais 
(+)(+) = + 
(+)(−) = − 
(−)(+) = − 
(−)(−) = + 
 
Multiplicação 
Exemplos: 
7. 3 = 21 
7. (−3) = −21 
(−7). 3 = −21 
(−7). (−3) = 21 
 
Divisão 
Exemplos: 
32: 8 = 4 
(−32): 8 = −4 
32: (−8) = −4 
(−32): (−8) = 4 
 
Hierarquia das Operações 
Os parênteses são sinais de agrupamento. Quando desejamos calcular o valor de 
uma expressão numérica e ela possui parênteses, deve-se inicialmente executar 
as operações que estão dentro deles. A barra da divisão é também um sinal de 
agrupamento. Em expressões que contêm barras de fração, como: 
6 + 12
3.2
 
As operações que estão “em cima” e “embaixo” devem ser executadas antes da 
divisão: 
6 + 12
3.2
= 
18
6
= 3 
 
10 
 
De um modo geral, quando calculamos o valor de uma expressão numérica, a 
ordem em que se devem executar as operações deve ser a seguinte: 
1°→ Efetuar os cálculos dentro dos sinais deagrupamento (parênteses e barras 
de divisão). 
2°→ Multiplicar e dividir, em ordem, da esquerda para a direita. 
3°→ Somar e subtrair, em ordem, da esquerda para a direita. 
Exemplo: 
7 + 3.5 = 7 + 15 = 22 
Outro Exemplo: 
10. (2 + 1) +
32
8
− 2.7 = 
= 10.3 + 4 − 2.7 
= 30 + 4 − 14 
= 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.1 
1. Calcule 
48 ÷ 2(9 + 3) = ? 
 
a) 36 b)2 c) 288 d) 219 e)n.d.a. 
 
2. Calcule 
3 + 4.2 − 6 ÷ 3 = ? 
 
a) −1 b) 
5
3
 c)
8
3
 d) 9 e) 12 
 
 
3. Calcule 
[(4 + 8). 3] ÷ 9 = 
 
a) 4 b) 8 c) 12 d) 24 e) 36 
 
4. Calcule 
(−3). 5 − (20 ÷ 4) =? 
 
a) −75 b) −20 c) −10 d) 
25
4
 e) 20 
 
5. Simplifique 
4+8.2
4
 
 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 12 
 
 
 
 
 
12 
 
6. Simplifique 
11.2+2
16−2.2
 
 
a) 
11
16
 b) 1 c) 2 d) 
11
3
 e) 4 
 
7. Efetuando 10 − 5. [8 + 27 ÷ 3 − 2(8 − 10)], obtemos: 
 
a) −95 b) −85 c) −45 d) 65 e) 105 
 
8. Efetue: 
 
a) 2. (−3) + 2. (−4) = 
 
b) (4 − 7). (5 − 2) = 
 
c) −4.2 + (−5). (−3) = 
 
d) ( −6 − 4). (−7 + 3) = 
 
 
9. Calcule: 
 
a) 4 + 5.8 = 
 
b) 7 + 2.6 = 
 
c) 3 + 6.1 = 
 
d) 11 + 4.3 = 
 
e) 7 + 3.5 = 
 
13 
 
 
f) 31 − 15.2 = 
 
g) 19 + 18 ÷ 2 = 
 
h) 27 − 32 ÷ 4 = 
 
i) 36 − 28 ÷ 7 = 
 
j) (6.4) + (3.7) = 
 
k) 18 ÷ 6 − 14 ÷ 7 = 
 
l) 5. (7 + 4) + 3.2 = 
 
10. Um caderno de 160 páginas tem 28 linhas por página. Quantas linhas tem 
esse caderno? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.1 
1. c 2.d 3.a 4.b 5.b 6.c 7.a 
8. 
a) −14 b) - 9 c) 7 d) 40 
9. 
a) 44 b) 19 c) 9 d) 23 e) 22 f) 1 
g) 28 h) 19 i) 32 j)45 k) 1 l) 61 m) 26 
10. O caderno possui 4.480 linhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
1.2 Operações básicas com frações 
 𝒂 
𝒃
 
𝑎: 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
 𝑏: 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 
𝑏 ≠ 0 𝑒 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℤ 
Lembrete: “Toda fração é uma divisão”. 
E toda fração possui como representação decimal: um decimal exato ou uma 
dízima periódica. Frações nada mais são do que um modo diferente de escrever 
números decimais. 
Todo número racional pode ser escrito em forma fracionária ou em forma 
decimal. 
Exemplo: 
𝟖 =
𝟔𝟒
𝟖
= 
𝟏𝟔
𝟐
=
𝟖𝟎
𝟏𝟎
= 
𝟖
𝟏
 
Neste exemplo, 8 é a representação decimal do número oito; e cada fração é a 
representação fracionária do número oito. 
Frações que são representadas pelo mesmo número decimal são ditas frações 
equivalentes. 
Assim, note que, no exemplo acima, existem infinitas frações que podem 
representar o número oito. 
E dividindo o numerador pelo denominador, nas frações acima, conseguimos obter 
como resultado apenas o oito. 
Mais exemplos: 
30 =
60
2
= 
90
3
= 
300
10
 
 
 
 
 
 
16 
 
 Transformando números decimais (“com vírgula”) em frações. 
Exemplos: 
2,25 =
225
100
 
 
1,5 = 
15
10
 
 
134,45678 = 
13.445.678
100.000
 
> Operações com frações 
-Soma e Subtração de frações com o mesmo 
denominador. 
𝒂
𝒙
+
𝒃
𝒙
= 
𝒂 + 𝒃
𝒙
 , 𝒙 ≠ 𝟎 
𝒂
𝒙
− 
𝒃
𝒙
= 
𝒂 − 𝒃
𝒙
 , 𝒙 ≠ 𝟎 
Exemplos: 
𝟐𝟎
𝟕
+ 
𝟒
𝟕
= 
𝟐𝟎 + 𝟒
𝟕
= 
𝟐𝟒
𝟕
 
𝟐𝟎
𝟕
− 
𝟒
𝟕
= 
𝟐𝟎 − 𝟒
𝟕
= 
𝟏𝟔
𝟕
 
- Soma de frações com denominadores diferentes. 
Há vários métodos para resolver este problema, veja alguns: 
1° – “Método mais comum”: encontrar o m.m.c. dos denominadores e considera-
lo denominador de ambas as frações – conhecido como: “denominador 
comum”. 
Exemplo: 
2
7
+
8
21
= 
6 + 8
21
= 
14
21
= 
2
3
 
 
17 
 
 
2° - “Método da Borboleta”: Multiplicar os numeradores e denominadores pelos 
seus denominadores opostos: 
2
7
+ 
8
21
= 
= 
2
7
 .
21
21
+ 
8
21
 .
7
7
= 
=
42
147
+ 
56
147
= 
42 + 56
147
= 
=
98
147
= 
14
21
= 
2
3
 
 
3° - “Método da Troca”: Substituição de uma das frações 
por frações equivalentes. 
2
7
+ 
8
21
= ? 
Como: 
 2
 7
= 
4
14
=
𝟔
𝟐𝟏
=
8
28
= 
10
35
 
Assim podemos escrever que 
2
7
+ 
8
21
= 
𝟔
𝟐𝟏
+ 
8
21
= 
6 + 8
21
=
14
21
= 
2
3
 
 
Multiplicação de frações. 
𝒂
𝒙
 .
𝒃
𝒚
= 
𝒂. 𝒃
𝒙. 𝒚
 
Exemplo: 
𝟑
𝟐
 .
𝟒
𝟖
= 
𝟑.𝟒
𝟐.𝟖
= 
𝟏𝟐
𝟏𝟔
 
 
 
 
 
18 
 
→ Divisão de frações. 
(
𝒂
𝒙
)
(
𝒃
𝒚
)
= 
𝒂
𝒙 
.
𝒚
𝒃
 
Exemplo: 
(
3
2
)
(
4
5
)
=
3
2
 .
5
4
= 
3.5
2.4
= 
15
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.2 
1. Calcule: 
a) (
2
3
) . (
4
6
) = 
b) 
(
8
7
)
(
3
2
)
= 
c) 
1
2
+ [
(
3
4
)
(
5
6
)
] + 
[
(
7
8)
(
9
10)
]
[
(
11
12)
(
13
14)
]
= 
 
d) 3 + 
7
9
+ 12. (
2
7
) − [
(
13
9
)
6
] = 
 
e)
1− 
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
1+ 
1
2
+ 
1
3
+ 
1
4
+ 
1
5
= 
f) 
[
(
1
2)
(
3
4)
].[
9
10
]
[
(
5
6)
(
7
8)
].
11
(
12
13)
= 
2. Efetue e dê o resultado em forma de fração irredutível. 
a) 
1
2
− 
1
3
+ 
1
4
= 
b) 2 − 
13
7
+ (1 +
5
2
) = 
c) (2 −
3
4
) + 3. (
4
5
−
5
6
) = 
 
20 
 
3. Calcular: 
a) 
1
7
+ 
2
3
= 
b) 
4
9
−
2
3
= 
c) (
3
7
) . (
2
5
) = 
d) 
5
8
 ÷ 
3
4
= 
e) 
 3 
7
2
5
= 
4. Efetue e dê o resultado em forma de fração irredutível. 
a) 
3 ÷ 
3
4
7
5
 ÷ 7
= 
b) (
1
2
+
5
3
) . (3 + 
7
4
) ÷ (
1
2
− 
5
6
) = 
 
c) 
1
3
 + 
1
2
 − 
3
7
2
3
 − 
4
7
 + 
1
6
= 
5. Calcule: 
a) 
8
15
− 
2
15
= 
b) 
10
3
− 
2
3
= 
c) 
8
13
+ 
10
13
− 
7
13
= 
d) 
19
7
− 
2
7
+ 
3
7
= 
e) 2 + 
1
4
= 
f) 3 + 
9
7
= 
g) 1 +
3
7
= 
 
 
21 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.2 
 
1. 
a) 
8
18
=
4
9
 b) 
16
21
 c) 
787
330
 d) 
2633
378
 e) 
47
137
 f) 
18144
343200
= 
189
3575
 
2. 
a) 
5
12
 b) 
51
14
 c) 
46
40
=
23
20
 
3. 
a) 
17
21
 b) −
2
9
 c) 
6
35
 d) 
20
24
= 
5
6
 e) 
15
14
 f) 
2
15
 
 
4. 
a) 20 b) −
247
8
 c) 
17
11
 
5. 
a) 
6
15
= 
2
5
 b) 
8
3
 c) 
11
13
 d) 
20
7
 e) 
9
4
 f) 
30
7
 g) 
10
7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
1.3 Potenciação e Radiciação 
 
- A potenciação consiste em uma multiplicação acelerada. 
Números muito grandes ou muito pequenos, com vários dígitos, podem ser 
escritos de maneira mais compacta, através das potências. 
Exemplos: 
3.000.000.000.000.000.000.000 = 3.1021 
0,0000000000000000004 = 4.10-19 
 
 Forma Geral 
a
n
 = a.a.a.a.a.a...a 
(multiplicamos a base por ela mesma n vezes) 
a: é chamado de base 
n: é chamado de expoente 
Exemplos: 
32 = 3.3 = 9; 24 = 2.2.2.2 = 16; 
510= 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 = 9.765.625 
 Propriedades de Potências 
𝒂𝟎 = 𝟏 
𝒂𝟏 = 𝒂 
𝒂−𝒏 = 
𝟏
𝒂𝒏
 𝒄𝒐𝒎 𝒂 ≠ 𝟎. 
𝒂𝒏. 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏+𝒎 
𝒂𝒏
𝒂𝒎
= 𝒂𝒏−𝒎 , 𝒄𝒐𝒎 𝒂 ≠ 𝟎. 
(𝒂𝒏)𝒎 = 𝒂𝒏.𝒎 
𝒂𝒏
𝒃𝒏
= (
𝒂
𝒃
)
𝒏
 , 𝒄𝒐𝒎 𝒃 ≠ 𝟎 
 
23 
 
 Potências e Raízes 
√𝒂
𝒏
= 𝒃 ↔ 𝒃𝒏 = 𝒂 
Exemplos: 
√𝟖𝟏= 𝟗 ↔ 𝟗𝟐 = 𝟖𝟏 
√𝟖 
𝟑
= 𝟐 ↔ 𝟐𝟑 = 𝟖 
√𝟕𝟕𝟕𝟔
𝟓
= 𝟔 ↔ 𝟔𝟓 = 𝟕𝟕𝟕𝟔 
 Propriedade Importante 
𝒂
𝒎
𝒏 = √𝒂𝒎
𝒏
 
Exemplos: 
𝟖𝟏
𝟏
𝟐 = √𝟖𝟏 
𝟖
𝟏
𝟑 = √𝟖
𝟑
 
𝟐
𝟒
𝟐 = √𝟐𝟒 
𝟕
𝟗
𝟕 = √𝟕𝟗
𝟕
 
 
→ Potências de base dez (“um caso especial”) 
10-4 = 0,0001 
10-3 = 0,001 
10-2 = 0,01 
10-1 = 0,1 
100 = 1 
101= 10 
102= 100 
103= 1000 
104= 10.000 
 
 
 
 
24 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.3 
1. Calcule as seguintes potências: 
a) 83= 
b) (−8)2= 
c) (−8)3 = 
d) (−10)7 = 
e) x0= 
f) y1= 
 
2. Utilize as propriedades de potências para reduzir as contas, abaixo, a uma 
única potência: 
a) 28.216.210.218 = 
b) 𝑥20. 𝑥−21 = 
c) 1616. (2.8)40 = 
d) 
10
1000
10
 998 = 
e) 
100998
1001000
 = 
3. (FATEC) Das três sentenças abaixo: 
I. 2x+3 = 2x. 23 
II. (25)x = 52x 
III. 2x + 3x = 5x 
a) somente a I é verdadeira; 
b) somente a II é verdadeira; 
c) somente a III é verdadeira; 
d) somente a II é falsa; 
e) somente a III é falsa. 
 
 
 
 
 
25 
 
4. (FUVEST) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é: 
a) 0,0264 
b) 0,0336 
c) 0,1056 
d) 0,2568 
e) 0,6256 
5. (UFSM) Números que assustam: 
* 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta. 
* 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje. 
* 90 milhões nascem a cada ano. 
* 800 milhões passam fome. 
* 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda. 
* 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres. 
* 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas três 
décadas. (Fonte: ONU) 
De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas 
que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, respectivamente: 
a) 568 . 109;9 . 106;8 . 106 
b) 5,68 . 106;9 . 106;8 . 106 
c) 568 . 107;9 . 107;80 . 107 
d) 56,8 . 109;90 . 109;8 . 109 
e) 568 . 108;90 . 106;80 . 106 
6. Transforme em uma única potência as seguintes raízes: 
a) √16 = 
b) √(82)4 = 
c) √𝑥100
50
 = 
d) (√1233
3
). (√1239
3
) 
7. Calcule o valor de: 
a) 3√16 − √25 
b) √3.16 + 1 
 
26 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.3 
1. 
a) 512 b) – 64 c) − 512 d) − 10.000.000 e) 1 f) –y 
2. 
a) 252 b) 𝑥−1 c) 1656 d) 102 e) 100−2 f) 𝑥1000 
3. e 4. b 5. c 
6. 
a) 22 b) 84 c) 𝑥2 d) 1234 
7. 
a) 7 b) 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
1.4 Fatoração e Equação do 1° Grau 
A fatoração ajuda a escrever um número ou uma expressão algébrica como 
produto de outras expressões. “A fatoração é uma ferramenta para a 
manipulação das letras e números nas equações”. 
Iniciaremos com dois tipos de fatoração: 
 1° tipo – “Fator Comum”: 
ax + bx = x(a+b) 
Exemplos: 
1) 6.5 + 4.5 = 5(6 + 4) 
2) 6m + 7m + 9m = m(6 + 7 + 9) 
Essa fatoração usa fortemente a propriedade distributiva da multiplicação: 
 a(b+c) = ab + ac 
 
Exemplo: 
10(5+4) = 10(9) = 90note que 
10.5 + 10.4 = 50 + 40 = 90 logo 
10(5+4) = 10.5 + 10.4 
(Propriedade Distributiva) 
 
 2°tipo – “Agrupamento”: 
ax + bx + ay + by = 
= x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y) 
Exemplo: 
1) 4x + 6x + 4y + 6y = (4 + 6)(x + y) 
 
 O que é uma equação? 
 
Resposta: Uma equação é uma sentença matemática formada por uma igualdade 
composta por expressões matemáticas contendo ao menos uma incógnita. 
 
 
 
28 
 
Exemplos de equações: 
1) 2x – 8 = 2 
2) 4x = 20 
3) 5x + 7 = 2x + 13 
4) 2(2x + 5) = (-14x)+ 30 
 
→ O que é uma incógnita? 
Resposta: é o valor desconhecido na equação, geralmente indicada por uma letra 
(x, y, z, etc.). 
Ver os exemplos acima. 
 
→ O que é resolver uma equação? 
Resposta: é descobrir o valor da incógnita. 
Ou melhor, responder uma pergunta. 
 
→ Para que serve resolver uma equação? 
Resposta: para descobrir algo desconhecido, para responder uma pergunta de 
algo que queremos descobrir. 
 
Na utilização da língua portuguesa quando escrevemos uma pergunta, utilizamos, 
no final da pergunta, o ponto de interrogação (?). Na linguagem matemática, as 
equações são utilizadas com o mesmo sentido. Ou seja, as equações são 
importantes para responder perguntas. A forma de se perguntar em Matemática é 
por meio de uma equação. 
Exemplos: 
- Qual é o número cujo dobro somado a 3 resulta em 15? 
2𝑥 + 3 = 15 
-Qual é o número cuja quarta parte menos cinco é igual a vinte? 
𝑥
4
− 5 = 20 
 
 
 
29 
 
 Equação geral do primeiro grau com uma incógnita: 
ax + b = 0 
- onde a e b são números conhecidos e a≠0. 
- x é a incógnita, ou seja, o número que queremos conhecer. 
 
Exemplos de equações do primeiro grau: 
1) 2x – 8 = 2 
2) 4x = 20 
3) 5x + 7 = 2x + 13 
 
Resolução de algumas equações: 
1) 𝑥 + 4 = 7 ↔ 𝑥 = 7 − 4 
↔ 𝑥 = 3 
 
2) 𝑥 − 4 = 10 ↔ 𝑥 = 10 + 4 ↔ 𝑥 = 14 
 
3) 6𝑥 = 18 ↔ 𝑥 = 18
6
↔ 𝑥 = 3 
 
4) 
𝑥
2
= 50 ↔ 𝑥 = 50 ∙ 2 ↔ 𝑥 = 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.4 
1- Fatore as seguintes expressões: 
a) 2xy + 2xz + 2xw 
b) 10my + 100mz + 20my – 80mz 
c) tx+vy+vx+ty 
d) ax – ay + by – bx 
e) a(x – y) – b(x – y) 
 
2 – Usando a propriedade distributiva da multiplicação, desenvolva as 
expressões abaixo: 
a) (x + y)(z + w) 
b) (10x + 7y)(2x + 4) 
c) (x – 4)(x + 6) 
d) (8m – n)(10n + 9) 
e) (x – 2)( x2 + 2x + 4) 
 
3. Resolva as equações, abaixo: 
a) 𝑥 + 4 = 6 
b) 𝑥 − 7 = 10 
c) 𝑥 + 10 = 3 
d) 𝑥 + 20 = −40 
e) 2𝑥 + 4 = 10 
f) 11𝑥 − 6 = 15 
g) −𝑥 − 4 = 8 
h) −3𝑥 − 4 = 0 
i) 6𝑥 − 6 = 0 
j) 9𝑥 − 10 = 17 
 
 
 
 
 
31 
 
4. Escreva uma pergunta que represente as equações a seguir: 
a) 3𝑥 + 12 = 21 
b) 
𝑥
3
− 4 = 6 
c) 2𝑥 + 1 = 9 
d) (𝑥 + 1) + 2 = 3 
e) 2. (𝑥 + 1) = 12 
f) (𝑥 − 1) + 2𝑥 = 20 
g) 
𝑥
5
+
𝑥
3
= 8 
5. Resolva as equações abaixo: 
a) 
𝑥−1
4
− 3 = 0 
b) 5. (2𝑥 + 4) = 30 
c) 5.2𝑥 + 4 = 30 
d) 
𝑥
3
− 4 = 6 
e) 2(𝑥 + 1) = 12 
f) 2𝑥 + 1 = 12 
g) 
𝑥−1
4
− 3 = 0 
6. Resolva as seguintes equações: 
a) 3𝑥 − 4 = 8 + 9𝑥 
b) 4𝑥 − 8 = 9𝑥 + 10 
c) 2𝑥 − (𝑥 − 1) = 5 − (𝑥 − 3) 
d) 2𝑥 + 6 + 8𝑥 = 4𝑥 − 6 
e) 
3𝑥
2
=
5
4
 
f) 
𝑥+2
3
= 2𝑥 
g) 3 +
𝑥
5
= 6 +
𝑥
2
 
h) 
𝑥
3
−
2𝑥−1
4
+ 2 =
𝑥+3
6
 
 
32 
 
7.Quando somamos um mesmo número ao numerador e ao denominador da 
fração 
31
27
 , obtemos 2 como resultado. Qual é esse número? 
8. Encontre um número, sabendo que seu triplo aumentado de 2 é igual ao seu 
dobro diminuído de 3. 
9. Encontra-se a metade de um número se somarmos 36 ao seu dobro. Qual é o 
número? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.4 
1. 
a) 2𝑥(𝑦 + 𝑧 + 𝑤) 
b) 10𝑚(3𝑦 + 2𝑧) 
c) (𝑥 + 𝑦). (𝑡 + 𝑣) 
d) (𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦) 
e) (𝑥 − 𝑦)(𝑎 + 𝑏) 
2. 
a) 𝑥𝑧 + 𝑥𝑤 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑤 
b) 20𝑥2 + 40𝑥 + 14𝑦𝑥 + 28𝑦 
c) 𝑥2 + 2𝑥 − 24 
d) 80𝑚𝑛 + 72𝑚 − 10𝑛2 − 9𝑛 
e) 𝑥3 − 8 
3. 
a) 𝑥 = 2 b) 𝑥 = 17 c) 𝑥 = −7 d) 𝑥 = −60 e) 𝑥 = 3 f) 
𝑥 = 21/11 
g) 𝑥 = −12 h) 𝑥 = −4/3 i) 𝑥 = 1 j) 𝑥 = 3 
4. Sugestões: 
a) O triplo de um número mais 12 resulta em 21. Qual é esse número? 
b) Um terço da minha idade menos 4 resulta em 6. Qual é a minha idade? 
c) Neste momento, na minha carteira, tenho apenas o dinheiro da passagem do 
ônibus (ida e volta) mais R$ 1,00. Ou seja, tenho apenas R$9,00 no total. Qual é o 
valor da passagem de ônibus? 
d) O sucessor de um número mais 2 resulta em 3. Qual é esse número? 
e) O dobro do sucessor de um número resulta em 12. Qual é esse número? 
 
34 
 
f) O antecessor de um número mais o seu dobro resulta em 20. Qual é esse 
número? 
g) Um quinto das minhas férias estarei na praia e um terço das minhas férias 
estarei em uma cidade com cachoeira. Se eu juntar o tempoque eu passarei na 
praia mais o tempo na cidade com cachoeira, dará 8 dias. Quanto tempo durou as 
minhas férias? 
5. 
a) 𝑥 = 13 b) 𝑥 = 1 c) 𝑥 = 13/5 d) 𝑥 = 30 
e) 𝑥 = 5 f) 𝑥 = 11/2 g) 𝑥 = 13 
6. 
a) 𝑥 = −2 b) 𝑥 = −18/5 c) 𝑥 = 7/2 d) 𝑥 = −2 
e) 𝑥 = 5/6 f) 𝑥 = 2/5 g) 𝑥 = −10 h) 𝑥 = 21/4 
7. É o número −23. 
8. É o número −5. 
9. É o número −24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
1.5 Equação do 2° Grau 
Uma equação do 2° grau, em geral, é dada pela seguinte lei de formação: 
 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 
- a, b e c são chamados de coeficientes, sendo a≠0. 
Exemplos: 
4𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 
6𝑥2 − 6 = 0 
7𝑥2 − 8𝑥 = 0 
 Métodos de Resolução 
 
1.5.1. Fórmula de Bháskara 
 
Uma maneira muito popular de se encontrar a solução de uma equação do 2° grau 
é através da fórmula de Bháskara: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝚫
𝟐𝒂
 
 
Δ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Onde Δ (lê-se delta) é chamado de discriminante da equação de 2°grau. 
- Se Δ é negativo então a equação não tem solução real. 
- Se Δ = 0 então a equação possui um único valor que satisfaz a equação, tendo 
assim uma solução única. 
- Se Δ é positivo e diferente de zero então a equação possui dois valores distintos 
que satisfazem a equação, tendo assim duas soluções. 
 
 Exemplo 
Encontre as raízes da equação: 
𝑥2 − 14𝑥 + 48 = 0 
 
 
36 
 
Solução: 
1° Passo: identifique os coeficientes da equação de segundo. 
𝑎 = 1 , 𝑏 = −14 e 𝑐 = 48 
2° Passo: Calcule o discriminante da equação. 
Δ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Δ = (−𝟏𝟒)𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟒𝟖 
Δ = 𝟒 
3° Passo: Calcule 𝒙 substituindo os valores dos coeficientes e do Δ na fórmula 
de Bháskara: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝚫
𝟐𝒂
 
 
𝑥 =
−(−14) ± √4
2.1
 
Como Δ>0, nesse caso, temos duas soluções possíveis para a equação. 
Chamamos essas soluções de 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐. 
Assim: 
𝑥1 =
14 + 2
2
=
16
2
= 8 
 
𝑥2 =
14 − 2
2
=
12
2
= 6 
Ou seja 𝒙𝟏 = 𝟖 e 𝒙𝟐 = 𝟔 são as raízes da equação 𝑥
2 − 14𝑥 + 48 = 0 . 
 
 
 
 
 
 
37 
 
1.5.2. Relações de Girard 
 
Outro método utilizado para encontrarmos as soluções de uma equação do 
2°Grau é através das relações de Girard. 
 Exemplo 
Sejam x1 e x2 as soluções de uma equação do 2°Grau do tipo 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
Segundo as relações de Girard, temos: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 =
− 𝒃 
 𝒂
 (Soma das raízes da equação) 
𝒙𝟏. 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 (Produto das raízes da equação) 
 
 Exemplo 
Encontre as raízes da equação 
𝑥2 − 14𝑥 + 48 = 0 
Por Girard, temos: 
 
𝑥1 + 𝑥2 =
− 𝑏 
 𝑎
=
−(−14)
1
= 14 
 
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
=
48
1
= 48 
Observe que, 
8 + 6 = 14 
8 × 6 = 48 
Logo, as soluções da equação são: 
𝒙𝟏 = 𝟖 e 𝒙𝟐 = 𝟔 
 
 
38 
 
1.5.3. Casos Particulares de Resolução 
 
Quando temos uma equação do 2° grau do tipo: 
𝑎𝑥2 = 𝑘 , onde 𝑎 ≠ 0 e 𝑘 ≥ 0 sendo 𝑎 e 𝑘 números reais , isolando o 𝑥 teremos 
a seguinte resolução: 
𝑎𝑥2 = 𝑘 
𝑥2 =
𝑘
𝑎
 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, obtemos: 
√𝑥2 = √
𝑘
𝑎
 
 
𝑥 = ±√
𝑘
𝑎
 
Soluções: 
𝑥1 = √
𝑘
𝑎
 e 𝑥2 = −√
𝑘
𝑎
 
 
 Exemplo 
Encontre as soluções da equação: 
2𝑥2 = 8 
𝑥2 =
8
2
 
𝑥2 = 4 
𝑥 = ±√4 
𝑥 = ±2 
Soluções: 
𝒙𝟏 = 𝟐 e 𝒙𝟐 = −𝟐 
 
 
39 
 
Quando temos uma equação do 2° grau do tipo: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 
Conseguimos fatorar essa equação colocando 𝒙 em evidência, dessa forma, 
obtemos: 
𝑥. (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
Logo, 
𝑥 = 0 ou 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
Assim, as soluções x1 e x2 serão: 
𝒙𝟏 = 𝟎 ou 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 Exemplo 
Encontre as soluções da equação: 
𝑥2 − 4𝑥 = 0 
Solução: 
𝑥. (𝑥 − 4) = 0 
Logo, 
𝑥 = 0 ou 𝑥 − 4 = 0 
Assim, as soluções x1 e x2 serão: 
 𝒙𝟏 = 𝟎 ou 𝒙𝟐 = 𝟒 
Observe que, neste caso, a fatoração ajuda a transformar uma equação do 2° 
grau em duas equações de 1° grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.5 
1. Resolva as seguintes equações: 
a) 2x2 – 5x + 2 = 0 
b) x2 – 4x + 1 = 0 
c) 9x2 + 1 = 6x 
d) 3x2 + 2x + 1 = 0 
e) x2 = 1 + x 
f) 2x2+9x = 5 
g) x2+4x+1 = 0 
h) 9x2 + 12x + 4 = 0 
i) x2 + 2x + 3 = 0 
j) x2 = 1 – x 
2. Resolva as seguintes equações utilizando as relações de Girard: 
a) x2 + 5x + 6 = 0 
b) x2 – 8x – 20 = 0 
c) 2x2 – 12x + 18 = 0 
d) 2x2 – 14x + 12 = 0 
e) x2 – x – 56 = 0 
3. Resolva as seguintes equações: 
a) x2 – 9 = 0 
b) x2 + 9 = 0 
c) 2x2 + 5x = 0 
d) x2 = 7x 
f) (x – 1)(x2 – 3x + 2) = (x – 1)(2x – 4) 
4. Qual é a soma dos quadrados das raízes inteiras da equação 
(𝑥2 − 4)(3𝑥2 + 4) − (𝑥2 − 4)(2 − 5𝑥) = 0 
 
5. (UFMG) Considere a equação: 
(𝑥2 − 14𝑥 + 38)2 = 112 
O número de raízes reais distintas dessa equação é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nenhuma 
 
41 
 
6. Resolva a equação: 
𝑥2 + 2
𝑥 − 1
= 
3𝑥
𝑥 − 1
 
 
7. Num retângulo, cuja área é 65 m2, a base é 3 m menor que o dobro da sua 
altura. Obtenha a sua base. 
8. Para pagar as despesas mensais de um condomínio, ficou combinado que 
todos contribuiriam com a mesma quantia. Num certo mês, em que as despesas 
totalizaram R$ 10.800,00, devido a inadimplência de dois condôminos, cada um 
dos demais foi obrigado a pagar, além da sua cota normal, um adicional de R$ 
32,00. Qual é o número de condôminos? 
9. (MACK – SP) Relativamente às equações da forma x2 + bx + c = 0, em x, cujas 
raízes são os reais b e c, a soma dos possíveis valores de c é: 
a) 2 b) – 2 c) 1 d) −1 e) 3 
10. (MACK – SP) Se x e y são números reais e positivos, tais que 
x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 = 0 
então x + y vale: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
11. Para que valores reais da constante m a equação 2x2 – mx + 8 = 0 admite 
raízes reais e iguais? 
12. Para que valores reais da constante m a equação x2 – 6x + m = 0 admite duas 
raízes reais e distintas? 
13. Para que valores reais da constante m a equação 2x2 – 3x + m = 0 admite 
raízes reais? 
 
 
 
 
42 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.5 
1. 
a) 𝑆 = {2,
1
2
} b) 𝑆 = {2 − √3; 2 + √3} c) 𝑆 = {
1
3
} d) 𝑆 = ∅ e) 𝑆 = {
1+√5
2
 ,
1−√5
2
} 
f) 𝑆 = {−5,
1
2
} g) 𝑆 = {−2 + √3, −2 − √3} h) 𝑆 = {−
2
3
} i) 𝑆 = ∅ 
j) 𝑆 = {
−1+√5
2
; 
−1−√5
2
} 
2. 
a) 𝑆 = {−3, −2} b) 𝑆 = {10, −2} c) 𝑆 = {3} d) 𝑆 = {6, 1} e) 𝑆 = {−7, 8} 
3. 
a) 𝑆 = {−3, 3} 
b) 𝑆 = ∅ 
c) 𝑆 = {−
5
2
, 0} 
d) 𝑆 = {0, 7} 
e) 𝑆 = {2, 3} 
4. (−2)2 + (−1)2 + 22 = 4 + 1 + 4 = 9 
5. c 
6. 𝑆 = {1, 2} 
7. A base mede 10 𝑚. 
8. 27 condôminos. 
9. b 
10. a 
11. 𝑚 = 8 ou 𝑚 = −8 
12. 𝑚 < 9 
13. 𝒎 ≤
𝟗
𝟖
 
 
 
 
43 
 
1.6 Sistemas de Equações com duas incógnitas 
Exemplo: 
{
𝑥 + 𝑦 = 25
2𝑥 + 𝑦 = 35
 
Considere o seguinte problema: 
 → A soma das idades de João e Maria é 28 anos. Qual a idade de cada um 
deles? 
𝑥: 𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐽𝑜ã𝑜 
𝑦: 𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 
𝑥 + 𝑦 = 28 
Observe que, nesse caso, temos duas incógnitas (𝑥 𝑒 𝑦) e apenas uma equação. 
Assim, podemos ter mais de uma resposta para as idades de João e Maria. Veja a 
tabela, abaixo: 
João(x) Maria(y) 
1 27 
2 26 
3 25 
4 24 
5 23 
6 22 
7 21 
8 20 
9 19 
10 18 
11 17 
12 16 
13 15 
14 14 
15 13 
16 12 
17 11 
18 10 
19 9 
20 8 
21 7 
22 6 
23 5 
24 4 
25 3 
 
44 
 
26 2 
27 1 
 
Agora, considere o seguinte problema: 
A soma das idades de João e Maria é 28. Sabendo que João é 4 anos mais velho 
que Maria. Determine a idade de cada um deles? 
 
𝑥: 𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐽𝑜ã𝑜 
𝑦: 𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 
{
𝑥 + 𝑦 = 28
𝑥 = 𝑦 + 4
 
No sistema, acima, temos que 𝑥 = 𝑦 + 4 , substituindo na primeira equação, 
temos: 
𝑥 + 𝑦 = 28 ↔ (𝑦 + 4) + 𝑦= 28 
2𝑦 + 4 = 28 ↔ 𝑦 = 12 
Como 𝑦 = 12, substituindo em uma das equações do sistema, temos: 
𝑦 = 12 ↔ 𝑥 + 𝑦 = 28 ↔ 𝑥 + 12 = 28 
𝑥 = 16 
Conclusão: 
A idade de João deve ser 16 e a idade Maria deve ser 12 anos. 
 
1.6.1. Métodos para a resolução de Sistemas Lineares com duas incógnitas 
 
Iremos aprender dois métodos para resolver um sistema linear com duas 
incógnitas. 
1°Método: “método da substituição”. 
Exemplo: 
1°Passo: Dê um nome para cada uma das equações do sistema. 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 25 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐴)
2𝑥 + 𝑦 = 35 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐵)
 
2°Passo: Escolha uma das equações e isole uma das incógnitas. 
 
45 
 
𝑥 = 25 − 𝑦 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐴) 
3°Passo: Na outra equação, substituímos a incógnita isolada (no 2° passo) pela 
expressão obtida e resolvemos a equação resultante. 
2𝑥 + 𝑦 = 35 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝐵) 
Como: 𝑥 = 25 − 𝑦 
2(25 − 𝑦) + 𝑦 = 35 
50 − 2𝑦 + 𝑦 = 35 
𝑦 = 15 
4°Passo: Calculamos a outra incógnita na expressão obtida no “2°Passo” e damos 
a resposta. 
Como: 𝑦 = 15 𝑒 𝑥 = 25 − 𝑦 
Logo: 𝑥 = 25 − 15 ↔ 𝑥 = 10. 
 
 
2° Método: “método da eliminação”. 
{
𝑥 + 𝑦 = 25 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐴)
2𝑥 + 𝑦 = 35 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐵)
 
Esse método consiste em “eliminar” umas das incógnitas através da soma ou 
subtração das equações do sistema. Segue, abaixo a resolução. 
{
𝑥 + 𝑦 = 25 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐴)
2𝑥 + 𝑦 = 35 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐵)
 
{
(−2). (𝑥 + 𝑦) = 25. (−2) 
2𝑥 + 𝑦 = 35 
 
{
−2𝑥 − 2𝑦 = −50 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐴)
 2𝑥 + 𝑦 = 35 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜𝐵)
 
Somando a equação A com a equação B, obtemos: 
−𝑦 = −15 ↔ 𝑦 = 15 
Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações do sistema, obtemos: 
𝑦 = 15 
Logo, como, 𝑥 + 𝑦 = 25 ↔ 𝑥 + 15 = 25 
Assim: 𝑥 = 10 
 
 
46 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.6 
1. Resolva os sistemas, abaixo: 
a) {
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 2𝑦 = 22
 
 
b) {
2𝑥 + 𝑦 = 0
5𝑥 − 2𝑦 = 45
 
 
c) {
𝑥 + 7𝑦 = 200
𝑥 − 11𝑦 = 2
 
 
d) {
𝑥 + 2𝑦 = −3
3𝑥 − 𝑦 = −
25
2
 
 
e) {
−3𝑥 + 𝑦 = 14
4𝑥 − 𝑦 = 8
 
 
f) {
𝑥 + 2𝑦 = 7
3𝑥 − 2𝑦 = −11
 
 
g) {
3𝑥 + 5𝑦 = 30
4𝑥 − 5𝑦 = 5
 
 
h) {
4𝑥 + 3𝑦 = 6
2𝑥 + 5𝑦 = −4
 
 
i) {
4𝑥 + 3𝑦 = 6
6𝑥 + 5𝑦 = −4
 
 
j) {
𝑥 + 𝑦 = −2
𝑥
2
+
𝑦
4
= 2
 
 
2. Dois números têm soma 111 e diferença 33. Quais são eles? 
 
47 
 
3. Numa classe há 32 alunos. Subtraindo o número de meninas do dobro do 
número de meninos o resultado é 7. Quantos são os meninos? E as meninas? 
4. Um jogo entre São Paulo e Corinthians foi visto por 60.000 pessoas e 
apresentou renda de R$1.860.000,00. Havia dois tipos de ingressos: arquibancada 
a R$20,00 cada e numerada e R$50,00 cada. Quantos torcedores compraram 
arquibancada? E numerada? 
5. No caixa da Nossa Loja havia 40 notas de R$10,00 a mais que as notas de 
R$50,00. Elas totalizavam R$2.320,00. Quantas eram as notas de cada valor? 
6. Num estacionamento há 52 veículos, entre automóveis e motos. São 134 rodas. 
Quantos são os automóveis? 
7. André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois mistos e tomou um 
refrigerante, e gastou R$6,60. Já Júlia comeu um misto e também tomou um 
refrigerante, gastando R$4,10. Qual é o preço do misto e do refrigerante? 
8. Em um sítio há cavalos e galinhas. No total, há 97 cabeças e 264 pernas. 
Quantos são os animais de cada espécie? 
9. Dispomos de 12 moedas, algumas de 5 centavos e outras de 10 centavos. A 
soma total é 95 centavos. Determine o número de moedas de cada valor. 
10. Determinar dois números cuja soma é 145 e cuja diferença é 63. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 1.6 
1. 
a) 𝒙 = 𝟖 𝒆 𝒚 = 𝟕 b) 𝒙 = 𝟓 𝒆 𝒚 = −𝟏𝟎 c) 𝒙 = 𝟏𝟐𝟑 𝒆 𝒚 = 𝟏𝟏 
d) 𝒙 = −𝟒 𝒆 𝒚 = 
𝟏
𝟐
 e) 𝒙 = 𝟐𝟐 𝒆 𝒚 = 𝟖𝟎 f) 𝒙 = −𝟏 𝒆 𝒚 = 𝟒 
g) 𝒙 = 𝟓 𝒆 𝒚 = 𝟑 h)𝒙 = 𝟑 𝒆 𝒚 = −𝟐 i) 𝒙 = 𝟐𝟏 𝒆 𝒚 = −𝟐𝟔 
j) 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒆 𝒚 = −𝟏𝟐 
2. 
São os números 13 e 19. 
3. 
13 meninos e 19 meninas 
4. 
Arquibancada: 38.000 
Numerada: 22.000 
5. 
72 notas de R$10,00 e 32 notas de R$50,00. 
6. 
15 automóveis. 
7. 
O misto custa R$2,50 e o refrigerante custa R$1,60. 
8. 
Há 62 galinhas e 35 cavalos. 
9. 
Há 5 moedas de 5 centavos e 7 moedas de 10 centavos. 
10. 
São os números 104 e 41. 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
Capítulo 2 - Conjuntos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
2. Conjuntos 
 
Conjunto – é definido como uma coleção de elementos. 
- Dados um conjunto A e um objeto qualquer a (que pode até mesmo ser outro 
conjunto), temos que se a é um elemento de A então a∈A (lê-se que o elemento a 
pertence ao conjunto A); se a não é um elemento de A então a∉A (lê-se que o 
elemento a não pertence ao conjunto A). 
- O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de conjunto vazio. E é 
indicado com o símbolo ∅. 
> Exemplo 
Seja A o conjunto que consiste nos números 1, 2 e 3. Podemos representar o 
conjunto A da seguinte forma: 
A = {1, 2, 3} #A = 3 
O número de elementos desse conjunto é representado por #A. 
 
- Os conjuntos substituem as “propriedades” e as “condições”. Assim, em vez de 
dizermos que “o objeto x possui uma propriedade P” ou o “objeto y satisfaz uma 
condição C”, podemos escrever x ∈ A e y ∈ B, onde A é o conjunto dos objetos 
que possuem a propriedade P e B é o conjunto dos objetos que satisfazem a 
condição C. 
 
Exemplos: 
 
A = {números pares} 
2∈ A porque possui a propriedade de ser um número par. 
3∉ A porque é um número ímpar. 
 
 
 
 
 
51 
 
Conjuntos Numéricos 
ℕ: 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒊𝒔. 
ℕ = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9,10 … } 
 
ℤ: 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒊𝒓𝒐𝒔. 
ℤ = { … , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎 , 𝟏, 𝟐, 𝟑, … } 
Observe que o conjunto dos números inteiros é a união do conjunto dos números 
naturais com o conjunto dos números “naturais negativos” 
 
ℚ: 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒊𝒔. 
ℚ = {
𝒂
𝒃
; 𝒂 ∈ ℤ 𝒆 𝒃 ∈ ℤ ∖ {𝟎} } 
Se conseguirmos escrever um número em forma de fração então esse número é 
racional. 
𝕀: 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒊𝒔. 
𝕀 = ℚ𝒄 
Observe que se um número não é racional então ele é um número irracional. 
-Todo número cuja escrita decimal é infinita e não periódica é um número 
irracional. Exemplos: 
√2 = 1,4142135623731 … 𝜋 = 3,1415926535898 … 
ℝ: 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐𝒔 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔. 
ℝ = ℚ ∪ 𝕀 
A união do conjunto dos números reais com o conjunto dos números irracionais 
forma o conjunto dos números reais. 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 Operações com conjuntos 
 
- Relação de inclusão 
Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um conjunto B, 
diremos que A é um subconjunto de B e escreveremos simbolicamente A ⊂ B( lê-
se: A está contido em B). 
𝐴 ⊂ 𝐵 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 
(Lê-se, na sentença acima: o elemento x pertence ao conjunto A implica que o 
elemento x pertence ao conjunto B). 
 
Exemplo: 
A: conjunto das pessoas que residem na cidade de São Paulo. 
B: conjunto das pessoas que residem no Brasil. 
 
𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 
Tradução: “Se uma pessoa reside em São Paulo implica que essa pessoa, 
também, reside no Brasil”. 
Logo𝐴 ⊂ 𝐵. 
Tradução: “Logo todas as pessoas que residem em São Paulo, também residem 
no Brasil”. 
 
 
 
 
 
 
53 
 
- O complementar de um conjunto 
Consideremos U o conjunto universo. 
Sendo A um subconjunto de U. Ou seja: 
𝐴 ⊂ 𝑈 
Chamamos de complementar o conjunto 𝐴𝑐. 
Os elementos que pertencem ao conjunto𝐴𝑐são todos os elementos que 
pertencem ao conjunto U; mas não pertencem ao conjunto A. 
Exemplo: 
U: conjunto que representa todos os times de futebol existentes. 
A: conjunto que representa todos os times brasileiros. 
Observe A ⊂ U e que 𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐴𝑐. 
𝐴𝑐:conjuntodos times que não são brasileiros. 
 
-Reunião de Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, a reunião 𝐴 ∪ 𝐵 é o conjunto formado pelos elementos 
de A mais os elementos de B. 
𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 "x∈A ou x∈B". 
-Interseção de Conjuntos 
A interseção𝐴 ∩ 𝐵 é o conjunto dos objetos que são ao mesmo tempo elementos 
de A e de B. 
𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 "𝑥 ∈ 𝐴 𝒆 𝑥 ∈ 𝐵" 
 
 
54 
 
Exemplo I: 
Observe o diagrama, abaixo: 
 
𝐴 ∪ 𝐵 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧} 
𝐴 ∩ 𝐵 = { 𝑦 } 
(𝐴𝑈𝐵)𝐶 = {w} 
 
Exemplo II: 
Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
𝐴 ∪ 𝐵 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
𝐴 ∩ 𝐵 = { 2, 4, 6} 
Exemplo III: 
A: o conjunto das cores da bandeira do Japão. 
B: o conjunto das cores da bandeira do Brasil. 
A = {branco, vermelho} 
B = {verde, amarelo, azul, branco} 
AUB = {branco, vermelho, verde, amarelo, azul}. 
A ⋂ B = {branco} 
 
 
 
 
 
55 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 2.1 
1. Classifique cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F): 
a) (___) Todo número natural é um número inteiro. 
b) (___) Todo número inteiro é um número natural. 
c) (___) Todo número racional é número real. 
d) (___) Todo número real é irracional. 
e) (___) O número zero é racional. 
f) (___) A dízima periódica 0,3333333… é um número irracional. 
g) (___) Todo número racional é um número inteiro. 
h) (___) Todo número inteiro é um número racional. 
 
2. Uma professora de Matemática faz as três seguintes afirmações: 
X > Q e Z < Y 
X > Y e Q > Y, se e somente se, Y >Z 
R ≠ Q, se e somente se, Y = X 
Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se 
corretamente que: 
a) X > Y > Q > Z 
b) X > R > Y > Z 
c) Z < Y< X < R 
d) X > Q > Z > R 
e) Q < X < Z < Y 
 
3. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol, mas não praticam vôlei, e 
há 8 alunos que praticam vôlei, mas não praticam futebol. O total dos alunos que 
praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O 
número de alunos na classe é: 
a) 30 b) 35 c) 37 d) 42 e) 44 
 
 
 
56 
 
4. Uma pesquisa de audiência relativa aos programas A, B e C de uma emissora 
de rádio constatou, num universo de 248 ouvintes pesquisados, que: 
- 57 ouvem tanto o programa A como o B 
- O programa A é ouvido por um total de 68 dos pesquisados 
- 93 dos pesquisados ouvem apenas o programa C 
- 28 dos pesquisados não ouvem nenhum dos 3 programas 
Então, dos 248 pesquisados, o número de ouvintes do programa B é: 
a) 61 b) 132 c) 116 d) 59 e)87 
5. Em uma certa cidade existem apenas 3 jornais: A, B e C. Foi realizada uma 
pesquisa com a população desta cidade sobre a preferência de leitura dos 
mesmos. Foi constatado que: 
- 150 leem o jornal A 
- 170 leem o jornal B 
- 210 leem o jornal C 
- 90 não leem nenhum jornal 
- 10 leem os 3 jornais 
- 40 leem os jornais A e B 
- 30 leem os jornais A e C 
- 50 leem os jornais B e C 
O número de pessoas entrevistadas foi: 
a) 510 b) 320 c) 420 d) 400 e) 500 
6. As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os 
funcionários de certa empresa. 
- Todo indivíduo que fuma tem bronquite. 
- Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. 
Relativamente a esses resultados, é correto concluir que: 
 
a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho. 
b) todo funcionário que tem bronquite é fumante. 
c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. 
d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte 
habitualmente ao trabalho. 
e) é possível que tenha algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite 
 
57 
 
7. Um funcionário digitou três relatórios – R1, R2 e R3 – os quais precisam ser 
reproduzidos através de fotocópias. Como os relatórios possuem algumas páginas 
em comum, visando diminuir os gastos com os originais para a reprodução das 
cópias, esses relatórios foram comparados, verificando-se que: 
- R1, R2 e R3 têm, respectivamente, 40, 35 e 30 páginas; 
- R1 e R2 têm 10 páginas em comum; 
- R1 e R3 têm 8 páginas em comum; 
- R2 e R3 têm 6 páginas em comum, das quais 4 também fazem parte de R1. 
Nessas condições, o total de originais para a reprodução das cópias será: 
a) 97 
b) 85 
c) 77 
d) 81 
e) 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 2.1 
1. 
a) V b) F c) V d) F e) V f) F g) F h) V 
2. b 
3.e 
4. c 
5.a 
6. c 
7. b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
Capítulo 3 - Conjuntos e 
Funções 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
3. Conjuntos e Funções 
Uma função é uma relação entre dois conjuntos, os quais, um é considerado o 
conjunto de partida, conhecido, também, como o conjunto domínio da função; e o 
outro é o conjunto de chegada, conhecido, também, como conjunto 
contradomínio da função. 
O conceito de função pode estar associado à relação entre grandezas. 
Por exemplo: 
O preço final que um passageiro de táxi paga pela sua viagem, depende, 
diretamente, da quilometragem rodada pelo táxi nessa viagem. Ou seja, nota-se 
que o preço da viagem está em função da quilometragem rodada. 
 
 Definição matemática 
Dados os conjuntos X, Y, uma função 𝒇: 𝑿 → 𝒀 (lê-se “uma função de X em Y”) é 
uma regra (ou conjunto de instruções) que diz como associar a cada elemento 
𝒙 ∈ 𝑿 um elemento 𝒚 = 𝒇(𝒙) ∈ 𝒀. 
De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos 
que essa relação é uma função de A em B se e somente se, para todo 𝒙 ∈ 𝑨 
existe um único 𝒚 ∈ 𝑩 de modo que x se relacione com y. 
 
Exemplo I: 
 
Considere 𝒇: ℕ → ℕ, tal que 𝒇(𝒏) = 𝒏 + 𝟏 para todo 𝑛 ∈ ℕ. Assim, temos: 
n = 1 → 𝑓(1) = 1 + 1 
Ou seja 𝑓(1) = 2 
Seguindo essa mesma regra, para outros valores, temos: 
𝑓(2) = 3; 𝑓(3) = 4; 𝑓(4) = 5; 𝑓(5) = 6 e assim por diante. 
 
 
 
 
 
61 
 
Exemplo II: 
Considere os conjuntos A e B, representados pelos diagramas, abaixo: 
 
Observe, acima, que todos os elementos do conjunto A estão associados a um 
único elemento do conjunto B, logo temos uma função dada por 𝑓: 𝐴 → 𝐵. 
- O conjunto domínio da função f é o conjunto A. 
- O conjunto contra-domínio de f é o conjunto B. 
- O conjunto {−𝟔, −𝟑, 𝟎, 𝟑, 𝟔} é chamado de conjunto imagem de f. 
Observe que: 
Valores do 
Conjunto A 
Valores do 
Conjunto 
Imagem 
Regra que estabelece 
a relação de A com B 
-2 -6 3.(-2) 
-1 -3 3.(-1) 
0 0 3.0 
1 3 3.1 
2 6 3.2 
x f(x) 3.x 
 
Conclusão a regra que estabelece a relação entre o conjunto A e o conjunto B, 
nesse exemplo, é dada por f(x) = 3x, sendo x∈A. 
Conclusão: 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {−2, −1, 0, 1, 2} 
𝐶𝐷 𝑓 = {−8, −6, −4, −3, 0, 3, 6, 7} 
𝐼𝑚 𝑓 = {−6, −3, 0, 3, 6} 
𝑓(𝑥) = 3𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ∈ 𝐴. 
 
62 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 3.1 
1. Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B? 
a) 
b) 
c) 
 d) 
 
 
63 
 
2. Dados os conjuntos 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2} e 𝐵 = {−1, 0, 1, 3, 4} e a correspondência 
entre A e B dada por 𝑦 = 𝑥2, com 𝑥 ∈ 𝐴 e y ∈ B, faça um diagrama e diga se f é 
uma função de A em B. 
3. Dados os conjuntos 𝐴 = {0, 1, 2, 3} e 𝐵 = {−1, 0, 1} e a correspondência entre A 
e B dada por 𝑦 = 𝑥 − 2, com 𝑥 ∈ 𝐴 e y ∈ B, faça um diagrama e diga se f é uma 
função de A em B. 
4. Observe a tabela abaixo: 
x 0 1 4 9 16 25 
y 0 1 2 3 4 5 
 
a) Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 
b) Se sim, escreva qual é a fórmula matemática dessafunção. Se não, justifique. 
5. Considere a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dada pelo diagrama e determine: 
 
a) Dom(f) f) x, quando f(x) = 1. 
b) Im(f) g) f(x), quando x = 6. 
c) f(4). h) y, quando x = 3. 
d) y, quando x = 5. i) x, quando y = 7. 
e) x, quando y = 3. 
Observação: os valores chamados de x pertencem ao conjunto de partida, 
os valores em y são aqueles que estão em função de x, assim indicamos que 
y=f(x). 
 
 
64 
 
6. Sendo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥, calcule: 
a) f(0) 
b) f(1) 
c) f(2) 
d) f(3) 
e) f(-1) 
 
7. É dado que p(1) = 1 e, para todo natural n, maior que 1, 𝑝(𝑛) = 𝑛. 𝑝(𝑛 − 1). 
Calcule p(2) + p(3). 
 
8. Na figura, temos o esboço do gráfico da função f. 
 
a) Dê o domínio de f. 
b) Dê o conjunto imagem de f 
c) Complete a tabela: 
 
x -1 0 2 3 
y = f(x) 
 
 
9. Dada a função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6, calcule: 
a) f(2), f(3) e f(0); 
b) o valor de x cuja imagem vale 2. 
 
 
65 
 
10. Escreva a fórmula matemática que expresse a lei de cada uma das funções 
abaixo: 
a) Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita 
mais R$ 20,00 por hora de mão-de-obra. Então o preço y que se deve pagar pelo 
conserto de um televisor é dado em função do número x de horas de trabalho 
(mão-de-obra). 
b) Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os 
por R$20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do 
número x de unidades produzidas. 
11. O lucro L (em reais) de um estabelecimento comercial pode ser estimado pela 
lei L(x) = −𝑥2 + 75𝑥 + 𝑞, sendo x o número de unidades vendidas e q uma 
constante real. Sabendo que o lucro se anula quando são vendidas 15 peças, 
determine: 
a) o valor de q; 
b) o lucro obtido na venda de 20 peças. 
 
12. O tempo t (em minutos) de desembarque de passageiros de um navio usado 
para cruzeiros marítimos é dado pela lei: 
𝒕(𝒏) = 𝟕𝟎 + 
𝒏
𝟏𝟓
 
Sendo n o número de passageiros. 
Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações seguintes: 
a) Em 2 horas desembarcam 750 passageiros. 
b) O tempo necessário para o desembarque de 600 passageiros é o dobro do 
tempo gasto por 300 passageiros. 
c) Um acréscimo de 90 passageiros aumenta em mais de 5 minutos o tempo de 
desembarque. 
 
 
 
 
 
66 
 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 3.1. 
1. 
a. é função; b. não é função; c. é função; d. não é função; 
2. 
 
Sim, é uma função de A em B. 
3. 
 
Não é uma função de A em B. 
4. 
a) 
 
b) 
𝑦 = √𝑥 
 
67 
 
5. 
a) 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {3,4,5,6} 
b) 𝐼𝑚(𝑓) = {1,3,7} 
c) 𝑓(4) = 1 
d) 𝑥 = 5 ↔ 𝑦 = 7 
e) 𝑦 = 3 ↔ 𝑥 = 6 
f) 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = 4 
g) 𝑓(6) = 3 
h) 𝑥 = 3 ↔ 𝑦 = 1 
i) 𝑦 = 7 ↔ 𝑥 = 5 
6. 
a) 𝑓(0) = 1 b) 𝑓(1) = 5 c) 𝑓(2) = 12 d) 𝑓(3) = 23 e) 𝑓(−1) = −
1
2
 
7. 
 𝑝(2) + 𝑝(3) = 8 
8. 
a) 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−1, 3] 
b) 𝐼𝑚(𝑓) = [−1, 4] 
c) 
x -1 0 2 3 
y = f(x) 
 0 -1 3 4 
 
9. 
a) 𝑓(2) = 0, 𝑓(3) = 0 𝑒 𝑓(0) = 6 
b) 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = 1 
10. 
a) 𝑦 = 20𝑥 + 40 b) 𝑦 = 8𝑥 
11. 
a) 𝑞 = − 900 b) 𝑅$ 200,00 
12. 
a) V b) F c) V 
 
68 
 
Capítulo 4 - Função 
Polinomial de 1° Grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
4. Função Polinomial de 1° Grau 
Definição: Uma função 𝒇: ℝ → ℝ chama-se afim ou polinomial de 1° grau 
quando existem constantes 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
𝒙: é 𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 
𝒚 = 𝒇(𝒙): é 𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 
O coeficiente 𝒂 é chamado de taxa de variação. 
O coeficiente b é chamado de valor inicial da função, pois 𝑏 = 𝑓(0). Isso 
porque quando temos que: 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 𝑎. 0 + 𝑏 ↔ 𝑓(0) = 𝑏. 
 
 Casos particulares da Função Polinomial de 1° Grau 
1° Caso: Sendo 𝑓 uma função no modelo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 = 0 𝑒 𝑏 ≠ 0 
temos 𝑓(𝑥) = 0. 𝑥 + 𝑏, ou seja 𝑓(𝑥) = 𝑏. Isso significa que para qualquer x a 
imagem desta função sempre será b. Nesse caso, temos uma função constante. 
2° Caso: Sendo 𝑓 uma função afim com 𝑎 ≠ 0 𝑒 𝑏 = 0 temos 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 0 , 
ou seja 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. Neste caso a função é chamada de função linear. 
 
 Exemplos de funções 
𝑓(𝑥) = 𝑥 (função identidade). 
𝑓(𝑥) = 100 (função constante). 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 (função linear) 
𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 10 
𝑓(𝑥) = −5𝑥 − 10 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 O gráfico de uma Função Polinomial de 1° Grau 
Teorema: O gráfico de uma função polinomial é uma reta. 
 
A partir de uma tabela com os valores de x e de f(x), conseguimos notar que os 
pontos, indicados pelos pares ordenados (𝑥, 𝑓(𝑥)), são colineares. 
 
Exemplo: 
Considere a tabela para a função afim 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 8, temos: 
 
x f(x) 
-4 -8 
-3 -4 
-2 0 
-1 4 
0 8 
1 12 
2 16 
3 20 
4 24 
 
Vamos repassar alguns dos pontos da tabela, acima, para um gráfico: 
 
 Observe que os pontos acima são colineares. 
 
 
71 
 
Veja, abaixo, o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 8 : 
 
 
1° Postulado de Euclides: Por dois pontos conseguimos traçar uma única 
reta. 
Assim, não precisamos montar uma tabela “imensa” para representarmos todos os 
pontos da Função Polinomial de 1° Grau. Basta encontrarmos dois pontos 
pertencentes a função, pois a reta que passa por esses dois pontos é única. 
Considere então a função 𝑓: ℝ → ℝ onde 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 𝑎. 0 + 𝑏 = 𝑏 
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ↔ 𝑥 = 
−𝑏
𝑎
 
Acabamos de determinar dois pontos: 
(𝟎, 𝒃) 𝒆 (
−𝒃
𝒂
 , 𝟎) 
(𝟎, 𝒃) é o ponto onde a reta do gráfico da função afim corta o eixo y. 
(
−𝒃
𝒂
 , 𝟎) é o ponto onde o gráfico da função afim corta o eixo x. 
𝒙 =
−𝒃
𝒂
: é chamado de raiz da função. 
 
 
 
72 
 
 
Observações: 
𝑎 > 0 → 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒. 
 𝑎 < 0 → 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒. 
Função crescente é aquela em que, aumentando o valor de x, o valor de y 
aumenta. 
Função decrescente é aquela em que, aumentando o valor de x, o valor de y 
diminui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 4.1. 
1. Dada a função 𝒇(𝒙) = 
𝟑
𝟐
𝒙 +
𝟔
𝟕
 Responda: 
a) Qual é o valor da taxa de variação de 𝑓? 
b) Qual é o valor inicial de 𝑓? 
 
2. Construa uma tabela de valores que represente a função f(x) = 6x – 10. 
 
3. Construa um gráfico da função f(x) = 6x – 10, a partir da tabela que você fez no 
exercício anterior. 
 
4. Qual é o valor da raiz da função f(x) = 6x – 10? 
 
5. Determine o gráfico da função f(x) = 3x + 6, determinando o ponto onde o 
gráfico corta o eixo x e o ponto onde a reta corta o eixo y. 
 
6. Determine o gráfico da função f(x) = -3x + 3 
 
7. Em cada um dos gráficos, abaixo, determine a função: 
a) 
 
 
74 
 
b) 
 
8. Determine a função afim f cujo gráfico passa por A = (−2, 10) e B = (1, 4). 
9. Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Se 
f(–1) = 3 e f(1) = –1, determine o valor de f(3). 
10. (FGV - SP) Num determinado país, o gasto governamental com instrução por 
aluno em escola pública foi de 3000 dólares no ano de 1985, e de 3600 dólares 
em 1993. Admitindo que o gráfico do gasto por aluno em função do tempo seja 
constituído de pontos de uma reta: 
a) Obtenha a expressão do gasto por aluno (y) em função do tempo (x), 
considerando x = 0 a representação do ano de 1985, x = 1 a do ano de 1986, x = 2 
a do ano de 1987 e assim por diante. 
b) Em que ano o gasto por aluno será o dobro de que era em 1985? 
 
 
 
 
 
 
75 
 
11. (UNESP) Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de 
sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C. 
 
Baseado nos dados do gráficoanterior, determine: 
a) A lei da função apresentada no gráfico. 
b) Qual é a massa (em gramas) de 30 cm3 de álcool. 
12. (UNESP) Duas pequenas fábricas de calçados A e B têm fabricado, 
respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a 
fábrica A aumentar sucessivamente a produção de 70 pares por mês e a fábrica B 
aumentar sucessivamente a produção de 290 pares por mês, a produção da 
fábrica B superará a produção de A a partir de: 
a) março b) maio c) julho d) setembro e) novembro 
13. (UEMA) Um fabricante de jarros vende por R$ 0,80 a unidade. O custo total de 
produção consiste de uma taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de 
R$ 0,30 por unidade. O número mínimo de jarros fabricados e vendidos, para que 
o fabricante obtenha lucro, é: 
a) 125 b) 80 c) 79 d) 81 e) 
119 
 
 
 
76 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 4.1. 
1. 
a) 
3
2
 b) 
6
7
 
2. 
x f(x)=6x-10 
-3 -28 
-2 -22 
-1 -16 
0 -10 
1 -4 
2 2 
3 8 
3. 
 
4. 
𝑓(𝑥) = 0 ↔ 𝑥 =
5
3
 
 
77 
 
5. 
 
6. 
 
7. 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2 b) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 − 1 
8. 
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 6 
9. 
𝑓(3) = −5 
 
 
78 
 
10. 
a) 𝑦 = 75𝑥 + 3000 
b) Ocorrerá no ano de 2025. 
11. 
a) 𝑓(𝑥) =
5
4
𝑥 
b) Massa de 24 gramas. 
12. d 
13. d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
Capítulo 5 - Função 
Polinomial de 2° Grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
5. Função Polinomial de 2° Grau 
Definição: uma função 𝑓: ℝ → ℝ chama-se polinomial de 2° grau quando 
existem números reais 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 para 
todo 𝑥 ∈ ℝ. 
 
Exemplos: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 
𝑓(𝑥) = 20𝑥2 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 100𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 
 
Gráfico 
O gráfico de uma função quadrática descreve uma curva chamada de parábola. 
Exemplo: 
 
 
1.1.1. Análise Gráfica 
 
1.1.1.1. Ponto onde o gráfico corta o eixo y: 
 
Considere 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, quando 𝑥 = 0 , 𝑓(0) = 𝑎. 02 + 𝑏. 0 + 𝑐, ou 
seja𝒇(𝟎) = 𝒄. 
 
Logo, o ponto (0, 𝑓(0)) onde a parábola intercepta o eixo y é indicado pelo 
coeficiente 𝒄 . 
 
 
 
 
81 
 
1.1.1.2. Concavidade da Parábola: 
 
 
- Se 𝑎 > 0 então a parábola tem concavidade voltada para cima. 
 
 
- Se 𝑎 < 0 então a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
1.1.1.3. Ponto onde o gráfico corta o eixo x: 
A parábola pode tocar em dois pontos distintos do eixo x, pode tocar em um único 
ponto ou não tocar em nenhum ponto. 
O ponto (ou os pontos) onde a parábola toca o eixo x é chamado de raiz da 
função. 
Esses pontos são indicados quando 𝑓(𝑥) = 0. 
Note que 𝑓(𝑥) = 0 → 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Ou seja, para descobrirmos se a parábola toca o eixo x, basta descobrirmos as 
raízes reais da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
 
82 
 
 
Relembrando: 
Para calcular as raízes de equação de 2° grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
Fórmula de Bháskara: 
𝒙 = 
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
onde ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
Δ: é chamado de discriminante. 
∆ > 0 →a equação possui duas raízes reais distintas. 
∆ = 0 →a equação possui uma única raiz real. 
∆ < 0 → a equação não possui raiz real. 
 Para relembrar como resolver equações do 2° grau, veja o capítulo 1 
seção 1.5. 
 
Conclusões: 
Se a equação que representa f(x)=0 possuir duas raízes reais (Δ > 0), isso indica 
que a parábola toca o eixo x em dois pontos distintos. 
 
Se a equação que representa f(x) = 0 possuir apenas uma única raiz (Δ = 0), isso 
indica que a parábola toca o eixo x em um único ponto. 
 
83 
 
 
Se a equação que representa f(x) = 0 não possuir raiz real (Δ < 0), isso indica que 
a parábola não toca o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 5.1. 
1. Em cada uma das afirmações, abaixo, assinale V para as afirmações 
verdadeiras e F para as afirmações falsas: 
a) (___) O gráfico da função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 é uma parábola que têm 
concavidade voltada para baixo. 
b) (___) O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4 + 5 é uma parábola e intersecta o 
eixo y no ponto (0, 5). 
c) (___) O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 4 é uma parábola decrescente. 
d) (___) O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 é uma parábola com concavidade 
voltada para baixo. 
e) (___) A função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 intersecta o eixo x em dois pontos 
distintos. 
f) (___) A função 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 𝑥 − 6 possui uma única raiz real. 
 
2. (PUC-RJ) Dada a função 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1). (𝑥2 − 𝑥 + 1), determine: 
a) 𝑓(1) e 𝑓(0); 
b) em ℝ , as soluções da equação 𝑓(𝑥) = 9. 
 
3. (Vunesp-SP) O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), 
em que m ∈ℝ, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. 
Determine y associado ao valor de x = 2. 
 
4.(UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando 
coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes 
dos gráficos da parábola 𝑦 = −𝑥2 + 10𝑥 e da reta y = 4x + 5, com 2 ≤ x ≤ 8. Qual a 
soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas? 
5. Obtenha f(x), sabendo que o gráfico de f é a parábola que passa pelos pontos 
(0, -2), (-1, 0) e (1, -2). 
 
 
85 
 
 
 
6. O gráfico abaixo 
 
é representado pela função: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 9 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 8 
c)𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 8 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 8 
e) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 − 8 
7. (UEMA) O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥2 − (𝑚2 − 3)𝑥 + 𝑚3 intercepta o eixo x 
em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é: 
a) – 3 b) − 4 c) − 2 d) 2 e) −1 
8.(UNIFESP) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém 
os pontos (-1, -1), (0, -3) e (1, -1). 
O valor de b é: 
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 
 
 
86 
 
 
9. (UFMG) Observe a figura, que representa o gráfico de y=ax2+bx+c. 
 
Assinale a única afirmativa FALSA em relação a esse gráfico. 
 
a) ac é negativo. 
b) b2 - 4ac é positivo. 
c) b é positivo. 
d) c é negativo. 
e) é gráfico de uma função quadrática. 
 
10. (U.E. Feira de Santana – BA) O gráfico da função real 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2: 
 
a) intercepta o eixo x no ponto (0 ,1) 
b) intercepta o eixo x no ponto (0,- 2) 
c) intercepta o eixo x no ponto (1, 0) 
d) intercepta o eixo x no ponto (2, 0) 
e) não intercepta o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 5.1. 
1. 
a) V b) V c) F d) F e) V f) F 
2. 
a) 𝑓(1) = 2 e 𝑓(0) = 1 
b) 𝑆 = {2} 
3. 𝑦 = 1 
4. O ponto (5, 25) representa o ponto de interseção das curvas 𝑦 = 4𝑥 + 5 e 
𝑦 = −𝑥2 + 10𝑥. Portanto, a soma das coordenadas do ponto indicado é 
5 + 25 = 30. 
5. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 
6. c 
7. e 
8. c 
9. c 
10. e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
5.2 Encontrando o Vértice da Parábola 
 
O vértice da parábola 
 
O vértice é o ponto mínimo da parábola se a parábola tem concavidade voltada 
para cima. 
 
 
O vértice é o ponto máximo da parábola se a parábola tem concavidade voltada 
para baixo. 
 
O ponto que possui as coordenadas do vértice da parábola é indicado por: 
(𝒙𝒗 , 𝒚𝒗) 
𝒙𝒗: x do vértice. 
𝒚𝒗: y do vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
Segue o exemplo, abaixo: 
 
Sendo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, para calcular as coordenadas do vértice, podemos 
utilizar as seguintes fórmulas: 
 
𝒙𝒗 =
−𝒃
 𝟐𝒂
 
 
Observação: o x do vértice é encontrado a partir da média aritmética das raízes da 
função f. 
 
𝒚𝒗 =
−∆
 𝟒𝒂
 
 
Lembrando que: 
∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
 
Exemplo:- Sendo𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 12𝑥 + 30, determine a coordenada do vértice. 
 
𝑎 = 1 𝑏 = −12 𝑐 = 30 
 
𝑥𝑣 = 
−𝑏
 2𝑎
 ↔ 𝑥𝑣 = 
−(−12)
2.1
 ↔ 𝑥𝑣 = 6 
 
𝑦𝑣 =
−∆
 4𝑎
 ↔ 𝑦𝑣 = 
−[(−12)2 − 4.1.30]
4.1
 
 
𝑦𝑣 = −6 
 
O vértice está localizado no ponto (6, −6). 
 
 
90 
 
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 5.2. 
1. Obtenha o vértice de cada uma das parábolas representativas das funções 
quadráticas: 
a) 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 4 
b) 𝑦 = −2𝑥2 − 𝑥 + 3 
c) 𝑦 = 𝑥2 − 9 
 
2. Qual é o valor mínimo (ou máximo) assumido por cada uma das funções 
quadráticas dadas pelas leis abaixo? 
a) 𝑦 = −2𝑥2 + 60𝑥 
b) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 8 
c) 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 − 5 
d) 𝑦 = 3𝑥2 + 2 
 
3. Sendo 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 40𝑥, com 𝑥 ∈ ℝ, obtenha: 
a) um esboço do gráfico de 𝑓; 
b) o valor de 𝑥 para o qual𝑓(𝑥) é máximo; 
c) o valor máximo de 𝑓(𝑥). 
 
4. O gráfico de f é a parábola que passa pelos pontos ( 2, 0 ), ( 8, 0) e (10, −8 ). 
Obtenha f(x). 
 
 
 
5. O lucro mensal (ou prejuízo) L, obtido com a venda de x camisetas, era dado 
por 𝐿(𝑥) = −0,005𝑥2 + 13𝑥 − 1250. Use os conhecimentos adquiridos até aqui 
para encontrar o número de camisetas que devem ser vendidas para que o lucro 
obtido seja máximo. 
 
91 
 
6.Considere todos os retângulos de base x, perímetro 25 – x e área f(x). 
a) Obtenha o domínio da função f. 
b) O valor de x para o qual f(x) é máximo. 
c) O valor máximo de f(x). 
 
7. (PUC – SP) Se x e y são números reais tais que 2x + y = 8, o valor máximo do 
produto x.y é: 
a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 8 
8. (FGV - SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por 𝐿 = −𝑥2 + 30𝑥 − 5, em 
que x é a quantidade mensal vendida. 
a) Qual o lucro mensal máximo possível? 
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 
195? 
 
9. (UNESP) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um 
determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares 
estão ocupados, o preço de cada passagem é R$20,00. Caso contrário, para cada 
lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. 
Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função 
𝒇(𝒙) = (𝟒𝟎 − 𝒙)(𝟐𝟎 + 𝒙), em que x indica o número de lugares vagos 
(0 ≤ x ≤ 40). Determine: 
 
a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a 
empresa obtenha faturamento máximo? 
b) qual é o faturamento máximo em cada viagem? 
 
10. (FUVEST)Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática 
f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = 
−𝟏
 𝟒
. Logo, o valor de f(1) é: 
a) 1/10 
b) 2/10 
c) 3/10 
d) 4/10 
e) 5/10 
 
 
 
92 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 5.2. 
1. 
a) 𝑉 = (3, −5) b) 𝑉 = (−
1
4
 ,
25
8
) c) 𝑉 = (0, −9) 
2. 
a) Valor máximo 450. b) Valor mínimo 4. c) Valor máximo −4. d) Valor mínimo 
2. 
3. 
a) 
 
b) 𝑥 = 10 c) O valor máximo de 𝑓(𝑥) é 200. 
4. 𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 + 5𝑥 − 8 
5. Precisam ser vendidas 1300 camisetas para obter o lucro máximo. 
6. 
a) 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ]0,
25
3
[ b) 𝑥 =
25
6
 c) O valor máximo de f(x) é 
625
24
≅ 26. 
7.e 
8. 
a) O lucro máximo possível é de 220. b) 10 < 𝑥 < 20 
9. 
a) 10 lugares vagos. b) O faturamento máximo será de R$900,00. 
10. c 
 
93 
 
Capítulo 6 - Noções 
básicas de Lógica 
Proposicional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
6. Lógica Proposicional 
A Lógica Proposicional estuda proposições. E o objetivo desse estudo consiste em 
saber se uma determinada proposição é verdadeira ou falsa. 
 O que é uma proposição? 
Uma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não 
simultaneamente ambas. 
1.1.2. Princípios Básicos 
 Princípio da não contradição 
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
 
 Princípio do terceiro excluído 
Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um dos 
casos e nunca um terceiro. 
 
 Exemplos de sentenças que são proposições: 
 2 + 5 = 7 
 1 + 3 = 9 
 A lua é redonda. 
 Os políticos brasileiros são honestos. 
 Vasco da Gama descobriu o Brasil. 
 
 Exemplos de sentenças que não são proposições: 
 Vamos dançar! 
 Como você está? 
 Esta sentença é falsa. 
 
 
 
 
 
95 
 
1.1.3. Proposições Compostas 
As proposições indicadas anteriormente são consideradas proposições simples. 
No entanto, há proposições que são compostas por uma união de duas ou mais 
proposições simples, formando uma nova proposição, a qual chamamos de 
proposição composta. Essa união de proposições simples acontece com o uso de 
conectivos lógicos (e, ou, se ... então, se, e somente se, ...). 
 
 Exemplos: 
 Rosas são vermelhas e violetas são azuis. 
 João é inteligente ou estuda toda noite. 
 Se o Miguel é professor então ele sabe ler. 
 Roma fica na Europa se, e somente se, a neve é branca. 
 
1.1.3.1. Conectivos Lógicos 
Na Lógica Proposicional é habitual transformar uma proposição escrita em 
linguagem corrente para a linguagem simbólica e vice-versa. Para isso, utilizamos 
os seguintes símbolos para os conectivos: 
 
Conectivos Símbolos 
e ∧ 
ou ⋁ 
Se ... então ... → 
... se, e somente se, ... ↔ 
 
1.1.4. Notação 
Para analisarmos as proposições utilizamos letras minúsculas para definir cada 
proposição simples. E no lugar dos conectivos, utilizamos os seus respectivos 
símbolos. 
 
 
 
96 
 
 Exemplos 
1) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. 
𝑝: Rosas são vermelhas 
𝑞: Violetas são azuis 
Assim, a proposição “Rosas são vermelhas e violetas são azuis”, na linguagem 
simbólica, pode ser representada como: 
𝒑 ∧ 𝒒 
 
2) Rosas são vermelhas ou violetas são azuis. 
𝒑 ∨ 𝒒 
 
3) Se as rosas são vermelhas então as violetas são azuis. 
𝒑 → 𝒒 
 
4) As rosas são vermelhas se, e somente se, as violetas são azuis. 
𝒑 ↔ 𝒒 
 
1.1.4.1. Negação 
Negar uma proposição é inverter o seu valor lógico. Isto é, se a proposição for 
verdadeira, para realizar a negação, é necessário torna-la falsa. Se a proposição 
for falsa, para fazer a negação, será necessário torna-la verdadeira. 
 
Se 𝒑 é uma proposição então a sua negação será indicada pela notação ¬ 𝒑. 
 
 Exemplo 
 
𝑝: Rosas são vermelhas 
¬ 𝑝: Rosas não são vermelhas 
 
 
 Exemplo 
 
Considere a proposição composta: “É falso que Marcos não é alto ou não é 
elegante”. 
Definindo as proposições simples, temos: 
 
𝑝: Marcos é alto 
 
𝑞: Marcos é elegante 
 
97 
 
Assim, a proposição “É falso que Marcos não é alto ou não é elegante” quando 
escrita em linguagem simbólica, pode ser representada da seguinte maneira: 
 
¬(¬𝑝 ∨ ¬𝑞) 
 
 
Agora, considere a proposição simbólica (¬𝑝 ∨ 𝑞 ) → 𝑝 , qual será a tradução 
dessa proposição em linguagem corrente? 
 
Linguagem Simbólica: 
𝑝: Marcos é alto 
 
𝑞: Marcos é elegante 
 
(¬𝑝 ∨ 𝑞 ) → 𝑝 
 
 
Linguagem corrente: 
 
Se Marcos não é alto ou elegante então Marcos é alto 
 
 
1.1.5. Tabelas-Verdade 
Segundo o “Princípio do Terceiro Excluído”, toda proposição p é verdadeira ou é 
falsa. Isto é, p admite dois valores lógicos possíveis: 
 
V: quando a proposição simples 𝑝 é uma proposição verdadeira. 
 
F: quando a proposição simples 𝑝 é uma proposição falsa. 
 
Assim, a Tabela-Verdade dessa proposição simples 𝑝 será: 
 
𝑝 
V 
F 
 
Considerando o estudo de duas proposições simples 𝑝 e 𝑞, teremos: 
 
𝑝 𝑞 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 
98 
 
Quanto mais proposições simples, maior será a quantidade será a quantidade de 
linhas e colunas da tabela-verdade, uma vez que precisamos considerar nessa 
tabela o estudode todas as possibilidades de resultados lógicos possíveis entre 
as proposições. Veja a Tabela-Verdade para três proposições simples, 𝑝, 𝑞 e 𝑟 : 
 
𝑝 𝑞 𝑟 
V V V 
V V F 
V F V 
F V V 
F F V 
F V F 
V F F 
F F F 
 
1.1.5.1. Negação de uma proposição na Tabela-Verdade 
 Exemplos: 
𝑝 ¬𝑝 
V F 
F V 
 
𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 
V V F F 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
 
1.1.5.2. Estudo de proposições compostas na 
Tabela-Verdade 
 Conjunção 
Considere duas proposições simples 𝑝 e 𝑞. Se 𝑝 e 𝑞 são verdadeiras então 
proposição composta 𝑝 ∧ 𝑞 é verdadeira; caso contrário, 𝑝 ∧ 𝑞 é uma proposição 
falsa. 
Esse resultado sobre a proposição composta 𝑝 ∧ 𝑞 pode ser representado pela 
tabela: 
 
99 
 
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 Disjunção 
 
Considere duas proposições simples 𝑝 e 𝑞. Se 𝑝 e 𝑞 são falsas então proposição 
composta 𝑝 ∨ 𝑞 é falsa; caso contrário, 𝑝 ∨ 𝑞 é uma proposição verdadeira. 
Esse resultado sobre a proposição composta 𝑝 ∨ 𝑞 pode ser representado pela 
tabela: 
𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 Condicional 
Considere duas proposições simples 𝑝 e 𝑞. A proposição condicional 𝑝 → 𝑞 é falsa 
apenas quando a proposição 𝑝 é falsa e a proposição 𝑞 é verdadeira; caso 
contrário, 𝑝 → 𝑞 é uma proposição verdadeira. 
Esse resultado sobre a proposição composta 𝑝 → 𝑞 pode ser representado pela 
tabela: 
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
 
 
 
100 
 
 Bicondicional 
Considere duas proposições simples 𝑝 e 𝑞. A proposição bicondicional 𝑝 ↔ 𝑞 é 
verdadeira quando 𝑝 e 𝑞 são ambas verdadeiras ou ambas falsas; caso contrário 
𝑝 ↔ 𝑞 é uma proposição falsa. 
𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 Tabela Resumo 
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 
V V V V V V 
V F F V F F 
F V F V V F 
F F F F V V 
 
 Exemplo 
Construa a Tabela-Verdade da proposição (𝑝 ∧ ¬𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑞). 
 
𝑝 𝑞 ¬𝑞 𝑝 ∧ ¬𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 ∧ ¬𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑞). 
V V F F V F 
V F V V F F 
F V F F V F 
F F V F V F 
 
 
 
 
 
 
 
101 
 
1.1.5.3. Proposições Equivalentes 
 
Quando temos na tabela-verdade duas proposições distintas que apresentam 
exatamente o mesmo resultado, dizemos que essas proposições são equivalentes. 
 Exemplo 
Construa as Tabelas-Verdade das proposições 𝑝 → 𝑞 e ¬𝑞 → ¬𝑝 e mostre que 
essas proposições são equivalentes. 
 
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
𝑝 𝑞 ¬𝑝 ¬𝑞 ¬𝑞 → ¬𝑝 
V V F F V 
V F F V F 
F V V F V 
F F V V V 
 
Embora as duas tabelas sejam distintas, observando a última coluna de ambas, 
notamos que as proposições 𝑝 → 𝑞 e ¬𝑞 → ¬𝑝 apresentam os mesmos 
resultados lógicos na última coluna. Portanto, as proposições citadas são 
equivalentes. 
 
 Exemplo 
Considere a proposição composta: 
𝑟: Se o Palmeiras tem Mundial então a seleção brasileira é pentacampeã 
mundial. 
Encontre uma proposição equivalente à proposição 𝑟. 
 
 
 
 
102 
 
 
Resolução: 
𝑝: O Palmeiras tem Mundial 
𝑞: A seleção brasileira é pentacampeã mundial 
Logo, 𝑟 = 𝑝 → 𝑞. Dessa forma, como 𝑝 → 𝑞 é equivalente à proposição 
¬𝑞 → ¬𝑝, portanto uma proposição equivalente será: 
 
Se a seleção brasileira não é pentacampeã mundial então o Palmeiras não 
tem Mundial. 
 
1.1.5.4. Ordem de Precedência dos Conectivos Lógicos 
Os conectivos lógicos apresentam uma certa ordem de precedência. Conhecer 
esta ordem nos ajuda a entender quando há necessidade ou não do uso de 
parênteses em proposições 
compostas. A ordem é a 
seguinte: 
¬ 
∧ OU ∨ 
→ 
↔ 
 
 
 
 
Acima, a negação ¬ é o conectivo mais “fraco” e a bicondicional ↔ é o conectivo 
mais “forte”. Usamos os parênteses nas proposições compostas, deixando o 
conectivo mais “forte” para “fora” dos parênteses. 
 
 
103 
 
Observação: Os conectivos ∧ e ∨ tem a mesma “força”, no entanto, numa 
proposição composta apenas por esses dois conectivos, o mais “fraco” será aquele 
que aparece primeiro da esquerda para a direita. 
 
 
 Exemplo 
- A proposição ¬𝑝 ∨ 𝑝 ∧ ¬𝑞 é equivalente à proposição (¬𝑝 ∨ 𝑝) ∧ ¬𝑞. 
- A proposição ¬𝑝 ∨ 𝑝 ∧ ¬𝑞 não é equivalente à proposição ¬𝑝 ∨ (𝑝 ∧ ¬𝑞). 
 
 Exemplo 
Proposição Proposição Equivalente com o sinal 
de Parênteses 
𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟 (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟 
𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑟 ∧ 𝑠 (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑟 ∧ 𝑠) 
𝑝 → 𝑞 ↔ 𝑟 ∨ 𝑠 (𝑝 → 𝑞) ↔ (𝑟 ∨ 𝑠) 
 
1.1.5.5. Tautologia, Contradição e Contingência 
 Tautologia 
Quando a última coluna da tabela-verdade é preenchida apenas com a letra V 
obtemos uma proposição tautológica. 
 
 Contradição 
Quando a última coluna da tabela-verdade é preenchida apenas com a letra F. 
 
 Contingência 
Quando aparece tanto a letra F como a letra V na última coluna da tabela-verdade. 
 
 Exemplo 
 
Sendo 𝑝 e 𝑞 proposições simples, verifique se a proposição 𝒑 ∧ 𝒒 → 𝒑 ∨ 𝒒 é uma 
proposição tautológica. 
 
 Resolução: 
 
Construindo a tabela verdade da proposição 𝒑 ∧ 𝒒 → 𝒑 ∨ 𝒒 , temos: 
 
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝒑 ∧ 𝒒 → 𝒑 ∨ 𝒒 
V V V V V 
V F F V V 
 
104 
 
F V F V V 
F F F F V 
 
 
Portanto, a proposição 𝒑 ∧ 𝒒 → 𝒑 ∨ 𝒒 é uma proposição tautológica. 
 Exemplo 
 
Sendo 𝑝 e 𝑞 proposições simples, verifique se a proposição ¬(𝑝 ∨ ¬(𝑝 ∧ 𝑞)) é uma 
Contradição. 
 
 Resolução: 
 
Construindo a tabela verdade da proposição ¬(𝑝 ∨ ¬(𝑝 ∧ 𝑞)) , temos: 
 
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ¬(𝑝 ∧ 𝑞) 𝑝 ∨ ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ¬(𝑝 ∨ ¬(𝑝 ∧ 𝑞)) 
V V V F V F 
V F F V V F 
F V F V V F 
F F F V V F 
 
 
Portanto, nota-se, de acordo com a tabela acima, que a proposição ¬(𝑝 ∨ ¬(𝑝 ∧ 𝑞)) 
é uma Contradição. 
 
Quando a proposição composta não apresenta um caso de tautologia ou um caso 
de contradição, temos assim uma contingência. Deixamos para o leitor encontrar 
e analisar quando esses casos ocorrem. 
 
 
1.1.5.6. Regras de Negação 
O símbolo ⇔ é usado para indicar equivalência entre proposições compostas. Já 
vimos na seção 6.1.4.3. que as proposições 𝑝 → 𝑞 e ¬𝑞 → ¬𝑝 são equivalentes. 
Assim, podemos indicar essa equivalência da seguinte forma: 
𝑝 → 𝑞 ⇔ ¬𝑞 → ¬𝑝 
De forma análoga, encontramos as seguintes equivalências lógicas: 
𝑝 ⇔ ¬(¬𝑝) 
 
¬(𝑝 ∧ 𝑞) ⇔ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 
 
¬(𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 
 
¬(𝑝 → 𝑞) ⇔ 𝑝 ∧ ¬𝑞 
 
¬(𝑝 ↔ 𝑞) ⇔ (𝑝 ∧ ¬𝑞 ) ∨ (¬𝑝 ∧ 𝑞 ) 
 
 
105 
 
Essas equivalências acima apresentam regras para reescrevermos as proposições 
que representam as negações dos conectivos e, ou, se...então... e ...se, e somente 
se, ... 
 
 
Considere a seguinte tabela: 
 
Proposições Negação Equivalência 
𝑝 ∧ 𝑞 ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 
𝑝 ∨ 𝑞 ¬(𝑝 ∨ 𝑞) ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 
𝑝 → 𝑞 ¬(𝑝 → 𝑞) 𝑝 ∧ ¬𝑞 
𝑝 ↔ 𝑞 ¬(𝑝 ↔ 𝑞) (𝑝 ∧ ¬𝑞 ) ∨ (¬𝑝 ∧ 𝑞 ) 
 
 
 Exemplo 
 
Faça a negação da proposição composta: 
 
Miguel gosta de Rock e Matemática 
 
 Resolução: 
 
Considere as proposições simples 𝑝 e 𝑞 tais que 
 
𝑝: Miguel gosta de Rock 
 
𝑞: Miguel gosta de Matemática 
 
Assim, temos 
 
𝑝 ∧ 𝑞: Miguel gosta de Rock e Matemática 
 
A negação poderá ser representada de duas maneiras distintas: 
 
 ¬(𝑝 ∧ 𝑞): É falso que Miguel gosta de Rock e Matemática. 
 
¬𝑝 ∨ ¬𝑞: Miguel não gosta de Rock ou não gosta de Matemática. 
 
Isso ocorre porque as proposições ¬(𝑝 ∧ 𝑞) e ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 são equivalentes. 
 
 
 Exemplo 
 
Prove que a proposição “Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo 
está em Paris” é uma proposição equivalente à “É falso que, se Pedro está em 
Roma, então Paulo está em Paris”. 
 
 Resolução: 
 
 
106 
 
Considere as proposições simples, 𝑝 e 𝑞, tais que: 
 
𝑝: Pedro está em Roma 
 
𝑞: Paulo está em Paris 
 
Assim, 
 
¬(¬𝑝 ∨ 𝑞): Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris 
 
¬(𝑝 → 𝑞): É falso que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris 
 
Utilizando as regras de negação, temos: 
 
¬(¬𝑝 ∨ 𝑞) ⇔