AP3 CI 2009 2 gabarito

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Gabarito da AP3 de Ca´lculo I- 1/2009
1a Questa˜o (1,5 pontos)
Determine os valores de a e b tais que a func¸a˜o f , definida por
f(x) =

x3 + x2 − 2x
x− 1 se x < 1
ax+ b se x ≥ 1,
(a) seja cont´ınua; (b) seja diferencia´vel.
Soluc¸a˜o:
a) Para ser diferencia´vel, a func¸a˜o deve ser cont´ınua. Assim, para que f seja uma func¸a˜o
cont´ınua, devemos impor a condic¸a˜o
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1).
Logo,
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
ax+ b = a+ b = f(1).
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x3 + x2 − 2x
x− 1 = limx→1−
x(x− 1)(x+ 2)
x− 1 = limx→1− x(x+ 2) = 3.
assim, obtemos uma primeira condic¸a˜o em termos de a e b: a+ b = f(1) = 3, donde
a = 3− b.
b) Agora, se x < 1, f(x) =
x(x− 1)(x− 2)
x− 1 = x(x − 2). Portanto, se x < 1,
f ′(x) = 2x+ 2, e lim
x→1−
2x+ 2 = 4.
Se x > 1, f(x) = ax+ b e, portanto, f ′(x) = a.
Ou seja, para f ser diferencia´vel, a deve ser igual a 4 e b igual a −1.
A func¸a˜o pode, enta˜o ser definida por
f(x) =

x2 + 2x se x < 1
4x− 1 se x ≥ 1,
1
Soluc¸a˜o alternativa:
Usando o fato de que f deve ser cont´ınua e, portanto, f(1) = a+ b = 3, calculamos a
derivada de f diretamente, pela definic¸a˜o:
f ′(1)− = lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1 = limx→1−
x3 + x2 − 2x
x− 1 − 3
x− 1 = limx→1−
x3 + x2 − 2x− 3x+ 3
(x− 1)2 =
= lim
x→1−
x3 + x2 − 5x+ 3
(x− 1)2 = limx→1−
(x− 1)2(x+ 3)
(x− 1)2 = limx→1− x+ 3 = 4.
f ′(1)+ = lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1 = a.
Portanto, a = 4 e b = 3− a = −1.
2a Questa˜o (3,0 pontos) Considere a func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 − 4.
(i) Determine as regio˜es de crescimento e decrescimento do seu gra´fico, assim como os
pontos de ma´ximo e de mı´nimo locais, caso existam.
(ii) Determine as regio˜es onde o gra´fico de func¸a˜o f e´ coˆncavo para baixo e onde o gra´fico
e´ coˆncavo para cima, assim como seus pontos de inflexa˜o, caso existam.
(iii) Esboce o gra´fico desta func¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 3x2 + 6x = 0 =⇒ x = 0 ou x = −2
f ′′(x) = 6x+ 6 = 0 =⇒ x = −1
A ana´lise dos sinais dessas func¸o˜es indicam que:
f cresce nos intervalos (−∞,− 2] e [0,∞) e decresce no intervalo [− 2, 0).
A func¸a˜o tem concavidade voltada para baixo para x < − 1 e a concavidade voltada
para cima para x > − 1.
Portanto, o ponto f(− 2) = 0 e´ um ma´ximo local de f e f(0) = − 4 e´ um ponto de
ma´ximo local de f .
O ponto (− 1,− 2) e´ ponto de inflexa˜o.
Gra´fico de f :
2
–4
–2
2
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
3a Questa˜o (2,0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
x2 + x
x3 + 1
b) g(x) = x
√
8− x2
Soluc¸a˜o:
a) f(x) =
x2 + x
x3 + 1
f ′(x) =
1− x2
(x2 − x+ 1)2
b) g(x) = x
√
8− x2
g′(x) =
√
8− x2 − 2x2 1
2
√
8− x2 =
√
8− x2 − x
2
√
8− x2 = − 2
x2 − 4√
8− x2
4a Questa˜o (2,0 pontos) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→−∞
x2 − 5
(x− 1) (4− x) b) limx→0
2 cos x− 5− 2x
x2
Soluc¸a˜o:
a) lim
x→−∞
x2 − 5
(x− 1) (4− x) = limx→−∞
x2 − 5
−x2 + 5x− 4 = limx→−∞
x2
x2
− 5
x2
−x2
x2
+ 5x
x2
− 4
x2
=
= lim
x→−∞
1− 5
x2
−1 + 5
x
− 4
x2
= −1
b) lim
x→0
2 cosx− 5− 2x
x2
= lim
x→0
2 senx− 2
2x
= −∞
5a Questa˜o (1,5 pontos) Um bala˜o esta´ subindo verticalmente a uma velocidade de 1 m/seg.
No instante em que o bala˜o esta´ a 57 m de altura, uma pessoa passa, exatamente, sob o
bala˜o, em uma motocicleta, a uma velocidade de 15 m/seg (54 km/h). Determine a que taxa
a distaˆncia entre a motocicleta e o bala˜o aumentara´ 3 segundos depois.
Soluc¸a˜o:
3
Vamos denotar por y a altura do bala˜o e por x a distaˆncia percorrida pela motocicleta a
partir do ponto sob o bala˜o.
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
y
x
L
l
ggc c
Sabemos que
dy
dt
= 1 m/seg,
dx
dt
= 15 m/seg e L2 = x2 + y2.
Derivando essa u´ltima equac¸a˜o, em relac¸a˜o a varia´vel t, obtemos uma relac¸a˜o entre as
taxas
dx
dt
,
dy
dt
e
dL
dt
:
2L
dL
dt
= 2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
.
Queremos calcular
dL
dt
no instante t = 3. Neste instante, y = 57 + 3 × 1 = 60 e
x = 15× 3 = 45. Assim,
dL
dt
=
1√
x2 + y2
(
x
dx
dt
+ y
dy
dt
)
e no instante t = 3,
dL
dt
=
1√
452 + 602
(
45× 15 + 60) = 735
75
=
49
5
=
4
5
m/seg.
Soluc¸a˜o alternativa:
Sabemos que y(t) = 57 + t e x = 15t. Assim, L =
√
(57 + t)2 + (15t)2. Derivando esta
equac¸a˜o em relac¸a˜o a t, obtemos:
dL
dt
=
2 (57 + t) + 2(15t) 15
2
√
(57 + t)2 + (15t)2
=
57 + 226t√
(57 + t)2 + (15t)2
.
Calculando esta derivada em t = 3, obtemos o mesmo resultado que antes.
4