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AP3-CI-2010-1-gab

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AP03 - resposta - 1/2010 Cálculo I
Resposta da AP03 - Cálculo I
1aQuestão. [1, 5 pontos]
Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→0
1− cos (x)
sen2 (x)
(b) lim
x→1
x2 + 2x− 3
x2 − 3x + 2
Solução:
(a) Como lim
x→0
1−cos (x) = 0 e lim
x→0
sen2 (x) = 0, podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
lim
x→0
1− cos (x)
sen2 (x)
= lim
x→0
sen (x)
2 sen (x) cos (x)
= lim
x→0
1
2 cos (x)
=
1
2
.
(b) lim
x→1
x2 + 2x− 3
x2 − 3x + 2
= lim
x→1
(x− 1)(x + 3)
(x− 1)(x− 2)
= lim
x→1
x + 3
x− 2
=
4
−1
= −4.
2aQuestão. [2, 0 pontos]
Seja f(x) =

x2 − 4x + 1
x + 1
, se x ≤ 1
5x− 6, se x > 1
.
(a) f é cont́ınua em x = 1? Justifique sua resposta.
(b) f é diferenciável em x = 1? Justifique sua resposta.
Solução:
(a) Para que a função f seja cont́ınua em x = 1, devemos ter:
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = f(1).
Temos que:
(i) f(1) = −1
(ii) lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
5x− 6 = −1
(iii) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 − 4x + 1
x + 1
= −1
Como (i) = (ii) = (iii), temos que f cont́ınua em x = 1.
1
AP03 - resposta - 1/2010 Cálculo I
(b) Para que f seja diferenciável em x = 1, devemos ter:
f ′+(1) = f
′
−(1) = f
′(1).
Como f ′+(1) = 5 e f
′
−(1) = −
1
2
, segue que f não é diferenciável em x = 1.
3aQuestão. [2, 0 pontos]
Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação
y2 − 4xy + x2 = 1.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (1, 4).
Solução:
Derivando implicitamente, obtemos
dy
dx
=
4y − 2x
2y − 4x
. Logo,
dy
dx
∣∣∣
x=1
=
4(4)− 2(1)
2(4)− 4(1)
=
14
4
=
7
2
.
Segue que a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (1, 4) é:
y = 4 +
7
2
(x− 1) = 7
2
x +
1
2
.
4aQuestão. [1, 5 pontos]
Considere a função f(x) = x2 − 4x + 1. Determine os valores de máximo e mı́nimo
absolutos de f no intervalo [1, 4].
Solução:
Temos que f ′(x) = 2x− 4, para todo x ∈ R. Dáı,
f ′(x) = 0 ⇔ 2x− 4 = 0 ⇔ x = 2.
Logo, x = 2 é o único ponto cŕıtico de f . Ainda, f(2) = −3, f(1) = −2 e f(4) = 1.
Portanto, f possui um máximo absoluto em x = 4 e um mı́nimo absoluto em x = 2.
5aQuestão. [3, 0 pontos]
Considere a função f(x) = x3 − 3x2. Determine:
(a) os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente;
2
AP03 - resposta - 1/2010 Cálculo I
(b) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde o gráfico
de f tem concavidade voltada para baixo;
(c) os pontos de inflexão, se existirem, do gráfico de f .
Solução:
(a) Temos que f ′(x) = 3x2 − 6x, para todo x ∈ R. Logo,
• f ′(x) > 0 ⇔ 3x2 − 6x > 0 ⇔ x < 0 ou x > 2;
• f ′(x) < 0 ⇔ 3x2 − 6x < 0 ⇔ 0 < x < 2.
Assim, f é crescente nos intervalos (−∞, 0) e (2,+∞) e é decrescente no intervalo
(0, 2).
(b) Temos que f ′′(x) = 6x− 6, para todo x ∈ R. Dáı,
• f ′′(x) > 0 ⇔ 6x− 6 > 0 ⇔ x > 1;
• f ′′(x) < 0 ⇔ 6x− 6 < 0 ⇔ x < 1.
Portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo (1,+∞) e
tem concavidade voltada para baixo no intervalo (−∞, 1).
(c) De (a), temos que f ′(1) = −3 e, dáı, o gráfico de f possui reta tangente em (1, f(1));
de (b), temos que f ′′(x) < 0 se x ∈ (−∞, 1) e f ′′(x) > 0 se x ∈ (1,+∞). Portanto, o ponto
(1, f(1)) = (1,−2) é o único ponto de inflexão do gráfico de f .
3

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