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AP03 - resposta - 1/2010 Cálculo I Resposta da AP03 - Cálculo I 1aQuestão. [1, 5 pontos] Calcule os seguintes limites de funções: (a) lim x→0 1− cos (x) sen2 (x) (b) lim x→1 x2 + 2x− 3 x2 − 3x + 2 Solução: (a) Como lim x→0 1−cos (x) = 0 e lim x→0 sen2 (x) = 0, podemos aplicar a regra de L’Hôpital: lim x→0 1− cos (x) sen2 (x) = lim x→0 sen (x) 2 sen (x) cos (x) = lim x→0 1 2 cos (x) = 1 2 . (b) lim x→1 x2 + 2x− 3 x2 − 3x + 2 = lim x→1 (x− 1)(x + 3) (x− 1)(x− 2) = lim x→1 x + 3 x− 2 = 4 −1 = −4. 2aQuestão. [2, 0 pontos] Seja f(x) = x2 − 4x + 1 x + 1 , se x ≤ 1 5x− 6, se x > 1 . (a) f é cont́ınua em x = 1? Justifique sua resposta. (b) f é diferenciável em x = 1? Justifique sua resposta. Solução: (a) Para que a função f seja cont́ınua em x = 1, devemos ter: lim x→1+ f(x) = lim x→1− f(x) = f(1). Temos que: (i) f(1) = −1 (ii) lim x→1+ f(x) = lim x→1+ 5x− 6 = −1 (iii) lim x→1− f(x) = lim x→1− x2 − 4x + 1 x + 1 = −1 Como (i) = (ii) = (iii), temos que f cont́ınua em x = 1. 1 AP03 - resposta - 1/2010 Cálculo I (b) Para que f seja diferenciável em x = 1, devemos ter: f ′+(1) = f ′ −(1) = f ′(1). Como f ′+(1) = 5 e f ′ −(1) = − 1 2 , segue que f não é diferenciável em x = 1. 3aQuestão. [2, 0 pontos] Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação y2 − 4xy + x2 = 1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (1, 4). Solução: Derivando implicitamente, obtemos dy dx = 4y − 2x 2y − 4x . Logo, dy dx ∣∣∣ x=1 = 4(4)− 2(1) 2(4)− 4(1) = 14 4 = 7 2 . Segue que a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (1, 4) é: y = 4 + 7 2 (x− 1) = 7 2 x + 1 2 . 4aQuestão. [1, 5 pontos] Considere a função f(x) = x2 − 4x + 1. Determine os valores de máximo e mı́nimo absolutos de f no intervalo [1, 4]. Solução: Temos que f ′(x) = 2x− 4, para todo x ∈ R. Dáı, f ′(x) = 0 ⇔ 2x− 4 = 0 ⇔ x = 2. Logo, x = 2 é o único ponto cŕıtico de f . Ainda, f(2) = −3, f(1) = −2 e f(4) = 1. Portanto, f possui um máximo absoluto em x = 4 e um mı́nimo absoluto em x = 2. 5aQuestão. [3, 0 pontos] Considere a função f(x) = x3 − 3x2. Determine: (a) os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente; 2 AP03 - resposta - 1/2010 Cálculo I (b) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo; (c) os pontos de inflexão, se existirem, do gráfico de f . Solução: (a) Temos que f ′(x) = 3x2 − 6x, para todo x ∈ R. Logo, • f ′(x) > 0 ⇔ 3x2 − 6x > 0 ⇔ x < 0 ou x > 2; • f ′(x) < 0 ⇔ 3x2 − 6x < 0 ⇔ 0 < x < 2. Assim, f é crescente nos intervalos (−∞, 0) e (2,+∞) e é decrescente no intervalo (0, 2). (b) Temos que f ′′(x) = 6x− 6, para todo x ∈ R. Dáı, • f ′′(x) > 0 ⇔ 6x− 6 > 0 ⇔ x > 1; • f ′′(x) < 0 ⇔ 6x− 6 < 0 ⇔ x < 1. Portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo (1,+∞) e tem concavidade voltada para baixo no intervalo (−∞, 1). (c) De (a), temos que f ′(1) = −3 e, dáı, o gráfico de f possui reta tangente em (1, f(1)); de (b), temos que f ′′(x) < 0 se x ∈ (−∞, 1) e f ′′(x) > 0 se x ∈ (1,+∞). Portanto, o ponto (1, f(1)) = (1,−2) é o único ponto de inflexão do gráfico de f . 3
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