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APOSTILA - CÁLCULO IV - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - 2010-2

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ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado 
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 1
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MINAS GERAIS – UEMG 
FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE DIVINÓPOLIS – FUNEDI 
INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO E PESQUISA – INESP 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE CÁLCULO IV 
 
EQUAÇÕES DIFERENCAIS 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado 
Versão: 2010/2 
ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado 
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 2
PLANO DE ENSINO 
 
CURSO DISCIPLINA 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Nº DE AULAS SEMANAIS ANO 2010 
03 SEMESTRE 2º 
CARGA HORÁRIA PERÍODO 4º 
54 UNIDADE ACADÊMICA INESP 
EMENTA 
Equações diferenciais de primeira e segunda ordem. Aplicação de equação diferencial 
em: cinemática, dinâmica, vibrações mecânicas, biologia, economia. 
 
OBJETIVOS 
Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de utilizar as técnicas de resolução das 
equações diferenciais para resolver problemas. 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
I – Equações Diferenciais de Primeira Ordem 
1.1 – Equações Lineares e Não-Lineares 
1.2 – Equações de Variáreis Separadas 
1.3 – Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem 
1.4 – Problemas de Mecânica 
1.5 – Equações Exatas e Fatores Integrantes 
1.6 – Equações Homogêneas 
1.7 – Problemas e Aplicações Diversos 
1.8 –Teorema da Existência e Unicidade 
1.9 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem 
II – Equações Lineares de Segunda Ordem 
2.1 – Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes 
2.2 – Soluções Fundamentais das Equações Homogêneas Lineares 
2.3 – Independência Linear 
2.4 – Raízes Complexas da Equação Característica 
2.5 – Raízes Repetidas; Redução de Ordem 
2.6 – Método dos Coeficientes Independentes 
2.7 – Método de Variação de Parâmetros 
2.8 – Oscilações Mecânicas e Oscilações Elétricas 
2.9 – Oscilações Forçadas 
MÉTODOS E RECURSOS DIDÁTICOS 
Aula expositiva, seguida de debates, exercícios de sondagem e fixação; Proposição de 
situações problemáticas, mediante condições explicativas para as possíveis soluções, 
pesquisa em livros e na www. 
Quadro negro, giz, internet, e-mail. 
 
Atividades extra-classe: 
- Resolução de listas de exercícios de fixação e aprofundamento. 
- Resolução virtual de exercícios em editor de texto matemático. 
 
AVALIAÇÃO 
Serão distribuídos 100 créditos no decorrer do semestre através de trabalhos e provas. 
Serão distribuídos 30 pontos no primeiro bimestre letivo, 35 pontos no segundo bimestre 
e 35 pontos no terceiro bimestre. 
As recuperações das avaliações ocorrerão ao longo do semestre. 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado 
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 3
BOYCE, W. E. & PRIMA, R. C. Di. Equações diferenciais elementares e problemas de 
valores de contorno. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. 
ABUNAHMAN, Sergio. Equações diferenciais. 2.ed. Rio de Janeiro: Erica, 1993. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
SIMMIONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: MacGraw-Hill, 1987. 
STEWART, James. Cálculo. 5. São Paulo: Thomson, 2006. 
PISKUNOV, N.. Cálculo diferencial e integral. 7. ed. Porto: Lopes da Silva, 1984. 
GOLDSTEIN, Larry J.. LAY, David C. e SCHNEIDER, David I.. Matemática aplicada: 
economia, administração e contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
LANG, Serge. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos, 1975. 
 
 
 
ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado 
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 4
 
1 – Equações Diferenciais 
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função sua variável e suas derivadas, ou seja 
1.1 – Equações de Variáveis Separáveis 
A equação geral de primeira ordem assume a forma 
 yxfdx
dy
, . (Eq.1) 
Se a Eq.(1) é não-linear, isto é , se f não é uma função linear da variável dependente y , não existe um método geral 
para resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo 
direto de integração pode ser usado. 
Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq.(1) 
 
 
 
          0,0 ,,,,,
,
,
,


yxyxyxyxyx
yx
yx
yx
N
dx
dyNMM
dx
dyN
N
M
dx
dy
f
dx
dy
 
    0,,  dx
dyNM yxyx Eq.(2) 
Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y , a Eq.(2) se torna 
    0 dx
dyNM yx Eq.(3) 
Uma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial 
   
   
    


dxMdyN
dxMdyN
dyNdxM
xy
xy
yx 0
 
Exemplos 
Ex.-1 Resolva a equação 2
2
1 y
x
dx
dy

 . 
 
 
CxyyouCxyy
dxxdyy
dxxdyy
y
x
dx
dy






33
33
22
22
2
2
3
33
1
1
1
 
ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado 
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 5
Ex.-2 Achar a solução do problema de valor inicial  12
243 2



y
xx
dx
dy
,   10 y . Determine y em função de 
x . 
 
   
Cxxxyy
Cxxxyy
dxxxdyy
y
xx
dx
dy















222
2
2
4
3
3
2
2
24312
12
243
232
232
2
2
 
como   10 y então 
         
321
02020121 232


CC
C
 
3222 232  xxxyy 
 
42214221
4221
4221
132212
23
2
23
1
23
23
232




xxxyouxxxy
xxxy
xxxy
xxxyy
 
Ex.-3 Resolver o problema de valor inicial 
 
221
cos
y
xy
dx
dy

 ,   10 y . 
     
     
  Cxsenyy
Cxsenyxdxxdyy
y
dxxdy
y
y
y
dxxdy
y
ydxxdy
y
y
y
xy
dx
dy

























2
22
22
2
ln
2
2lncos21cos21
cos21cos21
21
cos
 
como 
 
1
0
y então     1010011ln 2  CCCsen 
  1ln 2  xsenyy 
Exercícios 
Resolva a equação diferencial proposta: 
 
E-1. 
y
xy
2
\  E-2.  3
2
\
1 xy
xy

 
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 6
E-3.   0sen2\  xyy 
E-4. 
y
xy
23
13 2\


 
E-5.    yxy 2coscos 22\  
E-6.   212\ 1 yxy  
E-7. y
x
ey
ex
dx
dy




 
E-8. 2
2
1 y
x
dx
dy


Determine a solução do problema de valor inicial dado: 
 
E-9.   2\ 21 yxy  e   6
1
0 y . 
E-10. 
 
y
xy 21\  e   21 y . 
E-11. 0  dyyexdx x e   10 y . 
E-12. 
 
2
\
2 y
xyxseny

 e 
 
3
0
y 
E-13. 

2r
d
dr
 e   21 r . 
E-14. 
yxy
xy 2
\ 2

 e   20 y . 
E-15.   2123\ 1  xxyy e   10 y . 
E-16. 
y
xy
21
2\

 e   02 y . 
E-17. 
 
3
2
\
4
1
y
xxy  e   2
1
0 y . 
E-18. 
52
3 2\



y
exy
x
 e   10 y . 
E-19. 
y
eey
xx
43
\




 e   10 y . 
E-20.     03cos2  dyydxxsen e 
32

 





y 
E-21.    dxxdyxy arcsen1 2122  e 
  00 y 
Respostas 
R - 1 cxy 
32
32
 ou cxy  32 23 
R - 2 cxy  3
2
1ln
3
1
2
 ou cxy  32 1ln23 
R - 3   cx
y
 cos1 ou  xc
y
cos1  ou  xcy cos
1

 
R - 4 cxxyy  323 
R - 5     Cxxsenytg 
2
2
4
12
2
1
 ou     Kxxsenytg  2222 
R - 6 
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 3
R - 7 cexey xy  
22
22
 ou cexey xy  2222 
R - 8 cxyy 
33
33
 ou cxyy  333 
R - 9 61 2  xx
y
 ou 61 2  xx
y
 
R - 10 2
2
2
2
 xxy ou 422 22  xxy 
R - 11 
2
1
2
2

xx exey ou 1222  xx exey 
R - 12      
2
3ln49cos
2
ln2
2

 xsenxxyy ou 
    69,6cos
2
ln2
2
 xsenxxyy 
R - 13 )ln(
2
11

r
 
R - 14   21ln
2
2
2
 xy ou   41ln2 22  xy 
R - 15  
2
31
2
1 2
1
2
2  xy
 ou 
2
31
2
1 2
2  xy
 ou 
2
2 123
1 x
y
 
R - 16 422  xyy 
R - 17 
4
1
24
24
4

xxy ou 
2
1
2
2 

xy 
R - 18 35
32

xexyy 
R - 19 732 2   xx eeyy 
R - 20 
   
2
1
2
2cos
3
3

xysen
 ou     32cos332  xysen 
R - 21 
Bibliografia 
BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p. 
 
 
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 4
2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem 
As equações diferenciais de primeira ordem 
 yxfdx
dy
, (1) 
onde f é uma função de duas variáveis. Qualquer função diferenciável  xgy  que satisfaça a esta 
condição para todos os valores de x em um certo intervalo é considerada como uma solução; nosso 
objetivo é determinar as essas soluções existem e, em caso afirmativo, desenvolver métodos para 
encontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária f , não existe nenhum método geral para revolver 
a equação em termos de funções elementares. Assim, vamos descrever vários métodos, cada um dos 
quais se aplica a uma subclasse das equações de primeira ordem. As subclasses mais importantes são 
as das equações lineares e das equações separáveis. 
Se a função f da Eq. (1) depende linearmente da variável dependente y , então a equação 
pode ser escrita na forma 
       xxxx qypyqypdx
dy
 \ , (2) 
que é chamada equação diferencial linear de primeira ordem. 
2.1 – Para  xp e  xq constantes 
A equação mais geral de primeira ordem com coeficientes constantes é 
bya
dx
dy
 (3) 
onde a e b são constantes     xx qbepa  . 
temosapormembrosegundoodividindobya
dx
dy ,


 
0








  apara
a
bya
dx
dy
. Assim temos, 
a
byparaa
aby
dxdy






 
    
ku
ku
dx
dquerecordandoaaby
dx
d





1lnln . Então, 0ln Caxaby  
onde 0C é uma constante arbitrária. Tomando as exponenciais dos dois membros, 
axCCaxCaxaby ee
a
byeeabyee 000ln   , para 0Cec  temos: 
axce
a
by  . (4) 
O comportamento geral da solução (3) depende principalmente do sinal do parâmetro a . Se 
0a , então 0axe quando x , e os gráficos de todas as soluções tendem para a assíntota 
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 5
horizontal 
a
by  . Por outro lado, se 0a , axe quando x , e os gráficos das soluções 
divergem da reta 
a
by  . 
A solução constante 
a
by  é freqüentemente chamada de solução de equilíbrio, já que 
dx
dy
 é sempre zero para esta solução. 
Exemplo 
Ex.-4 Resolva a equação diferencial 62  y
dx
dy
 
   
 
x
xxCCxCxy
key
keyeeyeeyee
Cxydx
y
dy
dx
y
dyy
dx
dyy
dx
dyy
dx
dy
2
22223ln
3
333
23ln2
3
2
3
326262









 
Ex.-5 Resolva a equação diferencial 82  y
dx
dy
 usando a solução da Eq. (4) 
Escrevendo na forma da Eq. (3) 8282  y
dx
dyy
dx
dy
 assim temos 2a e 
8b , então: 
xx ceycey 22 4
2
8  

 
Ex.-6 Resolva a equação diferencial 44\  yy . 
a) Determine a função que passa pelo ponto  0,1 . 
b) Determine a função que passa pelo ponto  1,0 . 
c) Verifique se as funções satisfazem a equação. 
 
Exercício 
Resolva a equação diferencial: 
E-22. 0186\  yy 
E-23. 03\  yy 
E-24. 02\  yy 
E-25. 032\  yy 
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 6
E-26. 63\  yy 
E-27. 342 \  yy 
E-28. 22 \  yy 
E-29. 63 \  yy 
E-30. 1\  yy 
E-31. 32\  yy 
Resolva a equação diferencial e determine a função que passa pelo ponto dado: 
E-32. 0102\  yy e  3,0 
E-33. 93\  yy e  2,0 
E-34. 02\  yy e  1,0 
E-35. 32\  yy e  0,1 
E-36. 153\  yy e  0,2 
E-37. 55\  yy e  0,3 
Respostas 
R - 22  
t
t key
63 
R - 23  
t
t key  3 
R - 24  
t
t key  2 
R - 25  
t
t key
2
2
3  
R - 26  
t
t key
32  
R - 27  
t
t key
2
4
3  
R - 28  
22 tt key
 
R - 29  
36 tt key  
R - 30  
t
t key 1 
R - 31  
t
t key
2
2
3  
R - 32 
R - 33 
R - 34 
R - 35 
R - 36 
R - 37 
2.2 – Fator Integrante 
O objetivo é multiplicar a equação diferencial (2) por um fator integrante apropriado e assim 
coloca-lo em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante, primeiro multiplicamos a Eq. (2) 
por uma função  xm , ainda indeterminada. Temos então 
      
         xxxxx
xxx
qmypmym
mqypy


\
\
. (5) 
Devemos reconhecer o lado esquerdo da Eq.(5) como a derivada de alguma função. O fato de 
que existem dois termos e um dos termos é  
\ym x sugere que o lado esquerdo da Eq.(5) pode ser a 
derivada do produto  ym x . Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(5), 
   ypm xx , deve ser igual a  ym x
\ . Isto, por sua vez, significa que  xm deve satisfazer à equação 
diferencial 
      xxx pmm 
\ . (6) 
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 2
Se admitirmos, temporariamente, que  xm é positiva, podemos escrever a Eq.(6) como 
 
 
         0ln
\





 xxxx
x
x mparapm
dx
dp
m
m
. (7) 
Integrando os dois termos, tem-se: 
   
    0ln
0ln
Cdxpm
xx
xx ee
Cdxpm

  . 
 
  0Cdxp
x
xem  . (8) 
Observe que  xm é positiva para todo x conforme admitido na Eq.(7). 
Depois de determinarmos o fator integrante  xm , voltamos à Eq.(5). Como  xm satisfaz à 
Eq.(6), a Eq.(5) se reduz a 
      xxx qmymdx
d
 . (9) 
Integrando ambos os membros da Eq.(9), obtemos: 
      cdxqmym xxx   
   
 x
xx
m
cdxqm
y

  . (10) 
Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(2), concluímos que toda solução da Eq.(2) 
está incluída no segundo membro da Eq.(10). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(2). 
Observe que para se encontrar a solução dada pela Eq.(10) são necessárias duas integrações, a primeira 
para ter  xm pela Eq.(8) e a segunda para determinar y pela Eq.(10). 
Nota-se primeiramente, que antes de determinar o fator integrante  xm pela Eq.(8) é 
necessário ter certeza de que a equação diferencial tem exatamente a forma da Eq.(2); em particular o 
coeficiente de \y deve ser a unidade. De outra forma, a função  xp usada para o cálculo de  xm será 
incorreta. Em segundo lugar, depois de encontrar  xm e de multiplicar a Eq.(2) pelo fator integrante é 
preciso verificar que os termos envolvendo y e \y são, de fato, a derivada de  xmcomo devem ser. 
Esta verificação proporciona certeza sobre a correção de  xm . Como é natural, uma vez que se tenha 
encontrado a solução y , é possível também verificar a sua correção, substituindo-a na equação 
diferencial. 
A interpretação geométrica da Eq. (10) é a de uma família de curvas, uma para cada valor de c . 
Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um 
membro da família de curvas integrais, o que faz pela identificação de um ponto particular  00 , yx 
contido no gráfico da solução. Esta exigência se escreve, usualmente, como 
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 3
  00 yy x  , (11) 
e é conhecida como uma condição inicial. Uma equação diferencial de primeira ordem, como a Eq.(1) ou 
Eq. (2), e uma condição inicial, como a Eq. (11), constituem, em conjunto, um problema de valor inicial. 
Exemplo 
Ex.-7 Determine a solução geral da equação diferencial 2\ 43 tyty  . 
ty
t
y
t
ty
t
y
t
t
ttyty
43
43
43
\
2
\
2\



 
 

t
p 
Ex.-8 Determine a solução do problema de valor inicial xeyy 
2
\ e   10 y . 
Ex.-9 Achar a solução do problema de valor inicial ttyy  2\ e   00 y . 
Ex.-10 Achar a solução do problema de valor inicial tyy  2\ e   00 y . 
Exercício 
Determine a solução geral para a equação diferencial 
E-38. tetyy 2\ 3  
E-39. tetyy 22\ 2  
E-40. 12\  tetyy 
E-41.  ty
t
y 2cos31\  , 0t 
E-42. teyy 32\  
E-43.  tyty sen2\  , 0t 
E-44. 
2
22\ ttetyy  
E-45.     22\2 141  ttyyt 
E-46. tyy 32 \  
E-47. tetyty  2\ 
E-48. 
tteyy 2\ 3  
E-49. 2\ 32 tyy  
Ache a solução do problema de valor inicial proposto 
E-50. tteyy 2\ 2 ,   10 y 
E-51. tteyy 2\ 22  ,   01 y 
E-52. 12 2\  ttyty ,   2
1
1 y , 
0t 
E-53. 
 
2
\ cos2
t
ty
t
y  ,   0y , 0t 
E-54. teyy 2\ 2  ,   20 y 
E-55.  tyty sen2\  , 1
2






 y 
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 25
E-56. teytyt  2\3 4 ,   01 y E-57.   tytty  1\ ,   12ln y 
Respostas 
R - 38 
 
tt
t
Ceety 32
9
1
3

 
R - 39 
 
t
t
t
Ceety 2
23
3
 
R - 40 
 
t
tt
t
Ceetey  1
93
22
 
R - 41 
 
   
t
Ct
t
tseny
t
 2cos
9
42
3
2
 
R - 42 
 
tt
t
Ceey 23  
R - 43 
 
    22
1cos1
t
Ctsen
t
t
t
y
t
 
R - 44 
  tt e
Cty 2
3

 
R - 45 
 
 
 221 t
Ctarctgy
t 

 
R - 46 
  2
63 tt e
Cty  
R - 47 
 
Ctteety tt
t

2
 
R - 48 
 
ttt
t
Ceetey 322   
R - 49 
  tt te
C
t
ty  22 
R - 50 
R - 51 
R - 52 
R - 53 
R - 54 
R - 55 
R - 56 
R - 57 
 
2.3 – Discussão sobre as Equações Lineares 
Já foi visto que achar soluções dos problemas de valor inicial, com equações lineares de primeira 
ordem, é possível mediante o fator integrante para transformar a equação diferencial numa forma 
integrável. Agora vamos analisar algumas questões de natureza geral que são: 
a) Os problemas de valor inicial mencionados têm sempre uma solução? 
b) Podem ter mais de uma solução? 
c) A solução vale para todos os t , ou somente para um intervalo restrito nas vizinhanças do ponto 
inicial? 
Teorema: Se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto I :   t , que contém o 
ponto 0tt  , então existe uma única função  ty  que satisfaz à equação diferencial 
   tt qypy 
\ para cada t em I e que também satisfaz à condição inicial   00 yy t  , onde 0y é 
um valor inicial arbitrário. 
O teorema afirma que dado um problema de valor inicial tem uma solução e também que a 
problema tem somente uma solução. Em outra palavras, teorema assegura a existência e a unicidade da 
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 2
solução do problema de valor inicial    tt qypy 
\ e   00 yy t  . Além disso, o teorema afirma que 
a solução existe em algum intervalo I que contenha o ponto inicial 0t , no qual os coeficientes p e q 
sejam contínuos. Isto é, a solução pode ser descontínua ou pode não existir, somente nos pontos onde 
pelo menos uma das funções p e q seja descontínua. Estes pontos podem ser identificados, muitas 
vezes, por simples inspeção. 
Exemplo 
Ex.-11 Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial 2\ 42 tyty  e   21 y , tem uma 
solução única. Determine essa solução. 
Ex.-12 Achar a solução do problema de valor inicial 12\  tyy e   5,00 y . 
Obs.:    
t s
t dseref 0
22

 é a função erro, que foi extensamente tabelada e é considerada 
uma função conhecida, dado um valor t , podem consultar uma tabela de valores de função erro, 
ou então lançar mão de um procedimento numérico. 
 
A seguir temos algumas das mais importantes propriedades das equações diferenciais lineares 
de primeira ordem e respectivas soluções. 
a) Há uma solução geral, com uma constante arbitrária, que inclui todas as soluções da equação 
diferencial. Uma solução particular, que satisfaz a uma certa condição inicial, pode ser 
determinada pela escolha conveniente do valor da constante arbitrária. 
b) Há uma expressão fechada para a solução, a equação 
   
 x
xx
m
cdxqm
y

  ou a equação 
   
 x
t
t ss
m
ydsqm
y
0
0



. Além disso, embora a expressão envolva duas integrações, é uma 
solução explícita para  ty  e não uma equação defina  implicitamente. 
c) Os possíveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solução podem ser identificados 
(sem a resolução do problema) pela determinação dos pontos de descontinuidade dos 
coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contínuos para todos os t , então a solução 
também existe e é contínua para todos os t 
Exercício 
Achar a solução geral da equação diferencial: 
E-58.  ty
t
y sen1\  , 0t E-59.  
t
ttyyt sen3\2  , 0t 
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 25
E-60. teyy t  22\ E-61. 12 \  tyy 
RESPOSTAS 
R - 58       t
Ct
t
tseny t  2cos4
32
2
3
 
R - 59 
R - 60 
R - 61 
Bibliografia 
BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p. 
 
 
 
 
 
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24 
Capítulo 3 – Equações Lineares de Segunda Ordem 
3.1 Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes 
Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem tem a forma 






dt
dyyt
f
dt
yd
,,2
2
, onde f é 
uma função conhecida. Dizemos que esta equação é linear quando a função f é linear em y e suas 
derivadas, isto é, quando      yqdt
dypgf ttt
dt
dyyt






 ,,
. Neste caso a equação fica 
     ttt gyqypy 
\\\ . Uma equação diferencial linear de segunda ordem é homogênea se o termo 
 tg for nulo para todo t . 
Vamos dirigir a atenção para as equações nas quais as funções P , Q e R são constantes. Neste 
caso a equação fica 0\\\  cybyay . 
A equação 02  crbrar é a equação característica da equação diferencial 
0\\\  cybyay , trtr ececy 21 21  é uma solução esta equação diferencial. 
Exemplo 
Ex.-13 Achar a solução geral da equação 067 \\\  yyy . 
Ex.-14 Dado 065
\\\
 yyy , 
 
2
0
ye 
 
3
\
0
y . 
a) Ache a solução do problema de valor inicial. 
b) Faça o gráfico da função. 
 
c) Determine o ponto crítico. 
d) Descreva seu comportamento quando t aumenta indefinidamente. 
Ex.-15 Achar a solução do problema de valor inicial 0384
\\\
 yyy , 
 
2
0
y e 
  2
1\
0
y . Faça o gráfico da 
função e determine o ponto crítico. Descreva seu comportamento quando t aumenta. 
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24 
 
Exercícios 
Achar a solução geral da equação diferencial proposta: 
E-62. 032 \\\  yyy 
E-63. 023
\\\
 yyy 
E-64. 06 \\\  yyy 
E-65. 032
\\\
 yyy 
E-66. 05 \\\  yy 
E-67. 094
\\\
 yy 
E-68. 099 \\\  yyy 
E-69. 022
\\\
 yyy
Determine a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe o gráfico da solução e descreva 
seu comportamento quando t aumenta. 
E-70. Corrigir 
E-71. 034 \\\  yyy , 
 
2
0
y e 
 
1
\
0
y . 
E-72. 056 \\\  yyy , 
 
4
0
y e 
 
0
\
0
y . 
E-73. 03 \\\  yy , 
 
2
0
y e 
 
3
\
0
y . 
E-74. 035 \\\  yyy , 
 
1
0
y e 
 
0
\
0
y . 
E-75. 042 \\\  yyy , 
 
0
0
y e 
 
1
\
0
y . 
E-76. 098 \\\  yyy , 
 
1
1
y e 
 
0
\
1
y . 
E-77. 04 \\  yy , 
 
1
2


y e 
 
1
\
2


y . 
E-78. 025
\\\
 yyy , 
 
1
0
y e 
 
1
\
0
y . 
 
Respostas 
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17
R - 62 
 
tt
t
ececy 3
21

 
R - 63 
 
tt
t
ececy 2
21

 
R - 64 
 
3
2
2
1
tt
t
ececy

 
R - 65 
 
t
t
t
ececy
2
2
1
 
R - 66 
 
t
t
eccy 5
21

 
R - 67 
 
2
3
2
2
3
1
tt
t
ececy

 
R - 68 
 
tt
t
ececy 2
539
2
2
539
1

 
R - 69 
 
    tt
t
ececy 31
2
31
1

 
R - 70 
 
t
t
ey  ; quando t temos que y . 
R - 71 
 
tt
t
eey 3
2
1
2
5 
 ; quando t temos que 0y . 
R - 72 
 
23 812
tt
t
eey  ; quando t temos que y . 
R - 73 
 
t
t
ey 31  ; quando t temos que 1y . 
R - 74 
 
tt
t
eey 2
135
2
135
26
13513
26
13513




 . 
R - 75 
 
tt
t
eey 4
331
4
331
33
2
33
2

 . 
R - 76 
 
199
10
9
10
1 

tt
t
eey ; quando t temos que y . 
R - 77 
 
2
2
2
2
2
3
2
1




tt
t
eey ; quando t temos que y . 
R - 78 
 
tt
t
eey 2
333
2
333
332
337
332
337




 ; quando t temos que y . 
 
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18
3.2 – Raízes complexas da equação característica 
A equação 0\\\  cybyay onde a , b e c são números reais. Se procurarmos 
soluções de y como combinação de rtce , então r deve ser raiz da equação característica 
02  crbrar . Se as raízes 
1
r e 
2
r foram complexas temos que  ir 
1
 e  ir 
2
 
onde  e  são reais. As expressões correspondentes de y são 
 
  ti
t
ey 
1
 e 
 
  ti
t
ey 
2
. 
Pelo cálculo direto, podemos mostrar que o wronskiano de u e v é 
  
t
tvu
eW  2
,
 . 
Assim, desde que 0 , o wronskiano W não é zero, e assim u e v formam um conjunto 
fundamental de soluções. Portanto, se as raízes da equação forem números complexos  i ,então a 
solução geral da equação 0\\\  cybyay é 
 
   tsenectecy tt
t


21
cos  , onde 
1
c e 
2
c são constantes arbitrárias. 
Se 0 a função 
 t
y é decrescente, se 0 a função 
 t
y é crescente e se 0 a 
função 
 t
y oscila de forma permanente. 
Exemplo 
Ex.-16 Achar a solução geral de 0\\\  yyy . 
Ex.-17 Achar a solução geral de 09
\\
 yy . 
Ex.-18 Achar a solução do problema de valor inicial 0145816 \\\  yyy 
 
2
0
y e 
 
1
\
0
y . 
Exercícios 
Achar a solução geral da equação diferencial: 
E-79. 022
\\\
 yyy 
E-80. 062 \\\  yyy 
E-81. 082
\\\
 yyy 
E-82. 022 \\\  yyy 
E-83. 0136 \\\  yyy 
E-84. 094
\\
 yy 
E-85. 025,12 \\\  yyy 
E-86. 0499
\\\
 yyy 
E-87. 025,1\\\  yyy 
E-88. 025,64 \\\  yyy 
 
 
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Achar a solução do problema de valor inicial proposto: 
E-89. 04\\  yy , 
 
0
0
y e 
 
1
\
0
y 
E-90. 054 \\\  yyy , 
 
1
0
y e 
 
0
\
0
y 
E-91. 052 \\\  yyy , 0
2






 
y e 2\
2






 
y 
E-92. 0\\  yy , 2
3






 
y e 4\
3






 
y 
E-93. 025,12 \\\  yyy , 
 
3
0
y e 
 
1
\
0
y 
E-94. 022 \\\  yyy , 2
4






 
y e 2\
4






 
y 
Respostas 
R - 79 
 
   tsenectecy tt
t 21
cos  
R - 80 
 
   tsenectecy tt
t
55cos
21
 
R - 81 
 
   tsenectecy tt
t
77cos
21

 
R - 82 
 
   tsenectecy tt
t


21
cos 
R - 83 
 
   tsenectecy tt
t
22cos
3
2
3
1

 
R - 84 
 











2
3
2
3cos
21
tsenctcy
t
 
R - 85 
 












22
cos
21
tsenectecy tt
t
 
R - 86 
 
3
4
2
3
1
tt
t
ececy  
R - 87 
 
   tsenectecy
tt
t
2
2
2
1
cos

 
R - 88 
 












2
3
2
3cos 2
2
2
1
tsenectecy tt
t
 
R - 89 
 
 tseny
t
2
2
1
 a oscilação é estacionária. 
R - 90 
 
   tsenetey tt
t
22
2cos

 a oscilação é amortecida. 
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
R - 91 
 
 tseney
t
t
22


 a oscilação é crescente. 
R - 92 
 
       tsenty
t
321cos321  a oscilação é estacionária. 
R - 93 
 
   tsenetey
tt
t
22
2
5cos3

 a oscilação é amortecida. 
R - 94 
 
   tsenetey
tt
t
44 2cos2


 a oscilação é amortecida. 
1.7 Bibliografia 
BOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p. 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
 
APLICAÇÃO 
Oscilações Mecânicas 
Equação do movimento da massa è 
       tttt
FPkPPm  \\\  
onde 
m é a massa em kg 
 é a viscosidade do meio 
sm
N
 
k é a constante elástica da mola 
m
N
 
 t
F força externa 
Condições iniciais 
  00
PP  posição inicial 
 
\
0
\
0
PP  velocidade inicial 
Exemplo 
Ex.-19 Um corpo de massa 4 kg estica uma mola 5 cm. O corpo é deslocado 15 cm, na direção positiva e depois é 
solto. O corpo está em um meio que exerce uma resistência viscosa de 60N quando a sua velocidade é 
0,5m/s. Determine a função que modela o movimento. 
Resolução 
a) Coeficiente elástico da mola 
kdF
m
 
kdmg  mcmd 05,05  210 smg  kgm 4 
05,0104  k 
k05,040  
mNk 800 
b) Coeficiente de viscosidade do meio 
vF
v
 NF
v
60 smv 5,0 
5,060   
605,0  
msN120 
c) Equação diferencial 
       tttt
FPkPPm  \\\  
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     
08001204
\\\

ttt
PPP 
     
408001204
\\\

ttt
PPP 
     
020030
\\\

ttt
PPP 
d) Equaçãocaracterística 
     
020030 \\\ 
ttt
PPP 
10
1
r e 20
2
r 
e) Equação posição 
 
trtr
t
ececP 21
21
 
 
tt
t
ececP 20
2
10
1

 
d) Condições 
“O corpo é deslocado 15 cm” 
 
mcmP 15,015
0
 
 
 
 
Ex.-20 Um corpo de massa 10 kg provoca um deslocamento de 5cm em uma mola. Se o corpo for deslocado de 5cm 
e depois posto em movimento, com velocidade inicial, de 0,2m/s, determine a posição do corpo nos instantes 
posteriores. 
 
Exercícios 
E-95. Um corpo de 2kg de massa estica 15cm uma mola. Se o corpo for puxado mais 10cm e depois liberado, se não 
houver resistência do ar, determine a sua posição em qualquer instante t . 
E-96. Um corpo de massa 100g estica 5cm uma mola. Se o corpo for impulsionada, a partir do equilíbrio, com uma 
velocidade para baixo de 10cm/s, e se não houver resistência do ar, determinar a posição em qualquer instante 
t . 
E-97. Um corpo, pesa 30N, estica em 8cm uma mola. Se o corpo for empurrado para cima, contraindo 3cm a mola, e 
depois for impulsionado para baixo,com velocidade de 0,8m/s, e se não houver resistência do ar, achar a sua 
posição em qualquer instante t . 
E-98. Um corpo pesando 16N estica 10cm uma mola. O corpo está ligado a um amortecedor viscoso, com constante 
de amortecimento 2Ns/m. Se o corpo for movimentado, da posição de equilíbrio, com velocidade para baixo de 
0,6m/s, achar a sua posição em qualquer instante t . 
E-99. Uma mola é esticada 10cm por uma força de 3N. Um corpo com massa de 2kg é pendurado na mola e também 
é ligado a um amortecedor viscoso que exerce uma força de 3N quando a velocidade for 5m/s. Se o corpo for 
puxado para baixo 5cm além da posição de equilíbrio, e receber uma velocidade inicial para baixo de 10m/s, 
determinar a sua posição em qualquer instante t . 
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Respostas 
R - 95 
 
 tP
t
16,8cos1,0 
R - 96 
 
 tsenP
t
14,140071,0 
R - 97 
 
   tsentP
t
18,11072,018,11cos03,0  
R - 98 
R - 99 
Bibliografia 
BOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 
6.e. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p.

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