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ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MINAS GERAIS – UEMG FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE DIVINÓPOLIS – FUNEDI INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO E PESQUISA – INESP APOSTILA DE CÁLCULO IV EQUAÇÕES DIFERENCAIS ENGENHARIA CIVIL ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado Versão: 2010/2 ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 2 PLANO DE ENSINO CURSO DISCIPLINA ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Nº DE AULAS SEMANAIS ANO 2010 03 SEMESTRE 2º CARGA HORÁRIA PERÍODO 4º 54 UNIDADE ACADÊMICA INESP EMENTA Equações diferenciais de primeira e segunda ordem. Aplicação de equação diferencial em: cinemática, dinâmica, vibrações mecânicas, biologia, economia. OBJETIVOS Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de utilizar as técnicas de resolução das equações diferenciais para resolver problemas. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO I – Equações Diferenciais de Primeira Ordem 1.1 – Equações Lineares e Não-Lineares 1.2 – Equações de Variáreis Separadas 1.3 – Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem 1.4 – Problemas de Mecânica 1.5 – Equações Exatas e Fatores Integrantes 1.6 – Equações Homogêneas 1.7 – Problemas e Aplicações Diversos 1.8 –Teorema da Existência e Unicidade 1.9 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem II – Equações Lineares de Segunda Ordem 2.1 – Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes 2.2 – Soluções Fundamentais das Equações Homogêneas Lineares 2.3 – Independência Linear 2.4 – Raízes Complexas da Equação Característica 2.5 – Raízes Repetidas; Redução de Ordem 2.6 – Método dos Coeficientes Independentes 2.7 – Método de Variação de Parâmetros 2.8 – Oscilações Mecânicas e Oscilações Elétricas 2.9 – Oscilações Forçadas MÉTODOS E RECURSOS DIDÁTICOS Aula expositiva, seguida de debates, exercícios de sondagem e fixação; Proposição de situações problemáticas, mediante condições explicativas para as possíveis soluções, pesquisa em livros e na www. Quadro negro, giz, internet, e-mail. Atividades extra-classe: - Resolução de listas de exercícios de fixação e aprofundamento. - Resolução virtual de exercícios em editor de texto matemático. AVALIAÇÃO Serão distribuídos 100 créditos no decorrer do semestre através de trabalhos e provas. Serão distribuídos 30 pontos no primeiro bimestre letivo, 35 pontos no segundo bimestre e 35 pontos no terceiro bimestre. As recuperações das avaliações ocorrerão ao longo do semestre. BIBLIOGRAFIA BÁSICA ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3 BOYCE, W. E. & PRIMA, R. C. Di. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999 LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. ABUNAHMAN, Sergio. Equações diferenciais. 2.ed. Rio de Janeiro: Erica, 1993. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR SIMMIONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: MacGraw-Hill, 1987. STEWART, James. Cálculo. 5. São Paulo: Thomson, 2006. PISKUNOV, N.. Cálculo diferencial e integral. 7. ed. Porto: Lopes da Silva, 1984. GOLDSTEIN, Larry J.. LAY, David C. e SCHNEIDER, David I.. Matemática aplicada: economia, administração e contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. LANG, Serge. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos, 1975. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4 1 – Equações Diferenciais Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função sua variável e suas derivadas, ou seja 1.1 – Equações de Variáveis Separáveis A equação geral de primeira ordem assume a forma yxfdx dy , . (Eq.1) Se a Eq.(1) é não-linear, isto é , se f não é uma função linear da variável dependente y , não existe um método geral para resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo direto de integração pode ser usado. Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq.(1) 0,0 ,,,,, , , , yxyxyxyxyx yx yx yx N dx dyNMM dx dyN N M dx dy f dx dy 0,, dx dyNM yxyx Eq.(2) Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y , a Eq.(2) se torna 0 dx dyNM yx Eq.(3) Uma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial dxMdyN dxMdyN dyNdxM xy xy yx 0 Exemplos Ex.-1 Resolva a equação 2 2 1 y x dx dy . CxyyouCxyy dxxdyy dxxdyy y x dx dy 33 33 22 22 2 2 3 33 1 1 1 ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 5 Ex.-2 Achar a solução do problema de valor inicial 12 243 2 y xx dx dy , 10 y . Determine y em função de x . Cxxxyy Cxxxyy dxxxdyy y xx dx dy 222 2 2 4 3 3 2 2 24312 12 243 232 232 2 2 como 10 y então 321 02020121 232 CC C 3222 232 xxxyy 42214221 4221 4221 132212 23 2 23 1 23 23 232 xxxyouxxxy xxxy xxxy xxxyy Ex.-3 Resolver o problema de valor inicial 221 cos y xy dx dy , 10 y . Cxsenyy Cxsenyxdxxdyy y dxxdy y y y dxxdy y ydxxdy y y y xy dx dy 2 22 22 2 ln 2 2lncos21cos21 cos21cos21 21 cos como 1 0 y então 1010011ln 2 CCCsen 1ln 2 xsenyy Exercícios Resolva a equação diferencial proposta: E-1. y xy 2 \ E-2. 3 2 \ 1 xy xy ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 6 E-3. 0sen2\ xyy E-4. y xy 23 13 2\ E-5. yxy 2coscos 22\ E-6. 212\ 1 yxy E-7. y x ey ex dx dy E-8. 2 2 1 y x dx dy Determine a solução do problema de valor inicial dado: E-9. 2\ 21 yxy e 6 1 0 y . E-10. y xy 21\ e 21 y . E-11. 0 dyyexdx x e 10 y . E-12. 2 \ 2 y xyxseny e 3 0 y E-13. 2r d dr e 21 r . E-14. yxy xy 2 \ 2 e 20 y . E-15. 2123\ 1 xxyy e 10 y . E-16. y xy 21 2\ e 02 y . E-17. 3 2 \ 4 1 y xxy e 2 1 0 y . E-18. 52 3 2\ y exy x e 10 y . E-19. y eey xx 43 \ e 10 y . E-20. 03cos2 dyydxxsen e 32 y E-21. dxxdyxy arcsen1 2122 e 00 y Respostas R - 1 cxy 32 32 ou cxy 32 23 R - 2 cxy 3 2 1ln 3 1 2 ou cxy 32 1ln23 R - 3 cx y cos1 ou xc y cos1 ou xcy cos 1 R - 4 cxxyy 323 R - 5 Cxxsenytg 2 2 4 12 2 1 ou Kxxsenytg 2222 R - 6 ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3 R - 7 cexey xy 22 22 ou cexey xy 2222 R - 8 cxyy 33 33 ou cxyy 333 R - 9 61 2 xx y ou 61 2 xx y R - 10 2 2 2 2 xxy ou 422 22 xxy R - 11 2 1 2 2 xx exey ou 1222 xx exey R - 12 2 3ln49cos 2 ln2 2 xsenxxyy ou 69,6cos 2 ln2 2 xsenxxyy R - 13 )ln( 2 11 r R - 14 21ln 2 2 2 xy ou 41ln2 22 xy R - 15 2 31 2 1 2 1 2 2 xy ou 2 31 2 1 2 2 xy ou 2 2 123 1 x y R - 16 422 xyy R - 17 4 1 24 24 4 xxy ou 2 1 2 2 xy R - 18 35 32 xexyy R - 19 732 2 xx eeyy R - 20 2 1 2 2cos 3 3 xysen ou 32cos332 xysen R - 21 Bibliografia BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem As equações diferenciais de primeira ordem yxfdx dy , (1) onde f é uma função de duas variáveis. Qualquer função diferenciável xgy que satisfaça a esta condição para todos os valores de x em um certo intervalo é considerada como uma solução; nosso objetivo é determinar as essas soluções existem e, em caso afirmativo, desenvolver métodos para encontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária f , não existe nenhum método geral para revolver a equação em termos de funções elementares. Assim, vamos descrever vários métodos, cada um dos quais se aplica a uma subclasse das equações de primeira ordem. As subclasses mais importantes são as das equações lineares e das equações separáveis. Se a função f da Eq. (1) depende linearmente da variável dependente y , então a equação pode ser escrita na forma xxxx qypyqypdx dy \ , (2) que é chamada equação diferencial linear de primeira ordem. 2.1 – Para xp e xq constantes A equação mais geral de primeira ordem com coeficientes constantes é bya dx dy (3) onde a e b são constantes xx qbepa . temosapormembrosegundoodividindobya dx dy , 0 apara a bya dx dy . Assim temos, a byparaa aby dxdy ku ku dx dquerecordandoaaby dx d 1lnln . Então, 0ln Caxaby onde 0C é uma constante arbitrária. Tomando as exponenciais dos dois membros, axCCaxCaxaby ee a byeeabyee 000ln , para 0Cec temos: axce a by . (4) O comportamento geral da solução (3) depende principalmente do sinal do parâmetro a . Se 0a , então 0axe quando x , e os gráficos de todas as soluções tendem para a assíntota ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 5 horizontal a by . Por outro lado, se 0a , axe quando x , e os gráficos das soluções divergem da reta a by . A solução constante a by é freqüentemente chamada de solução de equilíbrio, já que dx dy é sempre zero para esta solução. Exemplo Ex.-4 Resolva a equação diferencial 62 y dx dy x xxCCxCxy key keyeeyeeyee Cxydx y dy dx y dyy dx dyy dx dyy dx dy 2 22223ln 3 333 23ln2 3 2 3 326262 Ex.-5 Resolva a equação diferencial 82 y dx dy usando a solução da Eq. (4) Escrevendo na forma da Eq. (3) 8282 y dx dyy dx dy assim temos 2a e 8b , então: xx ceycey 22 4 2 8 Ex.-6 Resolva a equação diferencial 44\ yy . a) Determine a função que passa pelo ponto 0,1 . b) Determine a função que passa pelo ponto 1,0 . c) Verifique se as funções satisfazem a equação. Exercício Resolva a equação diferencial: E-22. 0186\ yy E-23. 03\ yy E-24. 02\ yy E-25. 032\ yy ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 6 E-26. 63\ yy E-27. 342 \ yy E-28. 22 \ yy E-29. 63 \ yy E-30. 1\ yy E-31. 32\ yy Resolva a equação diferencial e determine a função que passa pelo ponto dado: E-32. 0102\ yy e 3,0 E-33. 93\ yy e 2,0 E-34. 02\ yy e 1,0 E-35. 32\ yy e 0,1 E-36. 153\ yy e 0,2 E-37. 55\ yy e 0,3 Respostas R - 22 t t key 63 R - 23 t t key 3 R - 24 t t key 2 R - 25 t t key 2 2 3 R - 26 t t key 32 R - 27 t t key 2 4 3 R - 28 22 tt key R - 29 36 tt key R - 30 t t key 1 R - 31 t t key 2 2 3 R - 32 R - 33 R - 34 R - 35 R - 36 R - 37 2.2 – Fator Integrante O objetivo é multiplicar a equação diferencial (2) por um fator integrante apropriado e assim coloca-lo em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante, primeiro multiplicamos a Eq. (2) por uma função xm , ainda indeterminada. Temos então xxxxx xxx qmypmym mqypy \ \ . (5) Devemos reconhecer o lado esquerdo da Eq.(5) como a derivada de alguma função. O fato de que existem dois termos e um dos termos é \ym x sugere que o lado esquerdo da Eq.(5) pode ser a derivada do produto ym x . Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(5), ypm xx , deve ser igual a ym x \ . Isto, por sua vez, significa que xm deve satisfazer à equação diferencial xxx pmm \ . (6) ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 2 Se admitirmos, temporariamente, que xm é positiva, podemos escrever a Eq.(6) como 0ln \ xxxx x x mparapm dx dp m m . (7) Integrando os dois termos, tem-se: 0ln 0ln Cdxpm xx xx ee Cdxpm . 0Cdxp x xem . (8) Observe que xm é positiva para todo x conforme admitido na Eq.(7). Depois de determinarmos o fator integrante xm , voltamos à Eq.(5). Como xm satisfaz à Eq.(6), a Eq.(5) se reduz a xxx qmymdx d . (9) Integrando ambos os membros da Eq.(9), obtemos: cdxqmym xxx x xx m cdxqm y . (10) Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(2), concluímos que toda solução da Eq.(2) está incluída no segundo membro da Eq.(10). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(2). Observe que para se encontrar a solução dada pela Eq.(10) são necessárias duas integrações, a primeira para ter xm pela Eq.(8) e a segunda para determinar y pela Eq.(10). Nota-se primeiramente, que antes de determinar o fator integrante xm pela Eq.(8) é necessário ter certeza de que a equação diferencial tem exatamente a forma da Eq.(2); em particular o coeficiente de \y deve ser a unidade. De outra forma, a função xp usada para o cálculo de xm será incorreta. Em segundo lugar, depois de encontrar xm e de multiplicar a Eq.(2) pelo fator integrante é preciso verificar que os termos envolvendo y e \y são, de fato, a derivada de xmcomo devem ser. Esta verificação proporciona certeza sobre a correção de xm . Como é natural, uma vez que se tenha encontrado a solução y , é possível também verificar a sua correção, substituindo-a na equação diferencial. A interpretação geométrica da Eq. (10) é a de uma família de curvas, uma para cada valor de c . Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um membro da família de curvas integrais, o que faz pela identificação de um ponto particular 00 , yx contido no gráfico da solução. Esta exigência se escreve, usualmente, como ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3 00 yy x , (11) e é conhecida como uma condição inicial. Uma equação diferencial de primeira ordem, como a Eq.(1) ou Eq. (2), e uma condição inicial, como a Eq. (11), constituem, em conjunto, um problema de valor inicial. Exemplo Ex.-7 Determine a solução geral da equação diferencial 2\ 43 tyty . ty t y t ty t y t t ttyty 43 43 43 \ 2 \ 2\ t p Ex.-8 Determine a solução do problema de valor inicial xeyy 2 \ e 10 y . Ex.-9 Achar a solução do problema de valor inicial ttyy 2\ e 00 y . Ex.-10 Achar a solução do problema de valor inicial tyy 2\ e 00 y . Exercício Determine a solução geral para a equação diferencial E-38. tetyy 2\ 3 E-39. tetyy 22\ 2 E-40. 12\ tetyy E-41. ty t y 2cos31\ , 0t E-42. teyy 32\ E-43. tyty sen2\ , 0t E-44. 2 22\ ttetyy E-45. 22\2 141 ttyyt E-46. tyy 32 \ E-47. tetyty 2\ E-48. tteyy 2\ 3 E-49. 2\ 32 tyy Ache a solução do problema de valor inicial proposto E-50. tteyy 2\ 2 , 10 y E-51. tteyy 2\ 22 , 01 y E-52. 12 2\ ttyty , 2 1 1 y , 0t E-53. 2 \ cos2 t ty t y , 0y , 0t E-54. teyy 2\ 2 , 20 y E-55. tyty sen2\ , 1 2 y ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 25 E-56. teytyt 2\3 4 , 01 y E-57. tytty 1\ , 12ln y Respostas R - 38 tt t Ceety 32 9 1 3 R - 39 t t t Ceety 2 23 3 R - 40 t tt t Ceetey 1 93 22 R - 41 t Ct t tseny t 2cos 9 42 3 2 R - 42 tt t Ceey 23 R - 43 22 1cos1 t Ctsen t t t y t R - 44 tt e Cty 2 3 R - 45 221 t Ctarctgy t R - 46 2 63 tt e Cty R - 47 Ctteety tt t 2 R - 48 ttt t Ceetey 322 R - 49 tt te C t ty 22 R - 50 R - 51 R - 52 R - 53 R - 54 R - 55 R - 56 R - 57 2.3 – Discussão sobre as Equações Lineares Já foi visto que achar soluções dos problemas de valor inicial, com equações lineares de primeira ordem, é possível mediante o fator integrante para transformar a equação diferencial numa forma integrável. Agora vamos analisar algumas questões de natureza geral que são: a) Os problemas de valor inicial mencionados têm sempre uma solução? b) Podem ter mais de uma solução? c) A solução vale para todos os t , ou somente para um intervalo restrito nas vizinhanças do ponto inicial? Teorema: Se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto I : t , que contém o ponto 0tt , então existe uma única função ty que satisfaz à equação diferencial tt qypy \ para cada t em I e que também satisfaz à condição inicial 00 yy t , onde 0y é um valor inicial arbitrário. O teorema afirma que dado um problema de valor inicial tem uma solução e também que a problema tem somente uma solução. Em outra palavras, teorema assegura a existência e a unicidade da ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 2 solução do problema de valor inicial tt qypy \ e 00 yy t . Além disso, o teorema afirma que a solução existe em algum intervalo I que contenha o ponto inicial 0t , no qual os coeficientes p e q sejam contínuos. Isto é, a solução pode ser descontínua ou pode não existir, somente nos pontos onde pelo menos uma das funções p e q seja descontínua. Estes pontos podem ser identificados, muitas vezes, por simples inspeção. Exemplo Ex.-11 Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial 2\ 42 tyty e 21 y , tem uma solução única. Determine essa solução. Ex.-12 Achar a solução do problema de valor inicial 12\ tyy e 5,00 y . Obs.: t s t dseref 0 22 é a função erro, que foi extensamente tabelada e é considerada uma função conhecida, dado um valor t , podem consultar uma tabela de valores de função erro, ou então lançar mão de um procedimento numérico. A seguir temos algumas das mais importantes propriedades das equações diferenciais lineares de primeira ordem e respectivas soluções. a) Há uma solução geral, com uma constante arbitrária, que inclui todas as soluções da equação diferencial. Uma solução particular, que satisfaz a uma certa condição inicial, pode ser determinada pela escolha conveniente do valor da constante arbitrária. b) Há uma expressão fechada para a solução, a equação x xx m cdxqm y ou a equação x t t ss m ydsqm y 0 0 . Além disso, embora a expressão envolva duas integrações, é uma solução explícita para ty e não uma equação defina implicitamente. c) Os possíveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solução podem ser identificados (sem a resolução do problema) pela determinação dos pontos de descontinuidade dos coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contínuos para todos os t , então a solução também existe e é contínua para todos os t Exercício Achar a solução geral da equação diferencial: E-58. ty t y sen1\ , 0t E-59. t ttyyt sen3\2 , 0t ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 25 E-60. teyy t 22\ E-61. 12 \ tyy RESPOSTAS R - 58 t Ct t tseny t 2cos4 32 2 3 R - 59 R - 60 R - 61 Bibliografia BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 24 Capítulo 3 – Equações Lineares de Segunda Ordem 3.1 Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem tem a forma dt dyyt f dt yd ,,2 2 , onde f é uma função conhecida. Dizemos que esta equação é linear quando a função f é linear em y e suas derivadas, isto é, quando yqdt dypgf ttt dt dyyt ,, . Neste caso a equação fica ttt gyqypy \\\ . Uma equação diferencial linear de segunda ordem é homogênea se o termo tg for nulo para todo t . Vamos dirigir a atenção para as equações nas quais as funções P , Q e R são constantes. Neste caso a equação fica 0\\\ cybyay . A equação 02 crbrar é a equação característica da equação diferencial 0\\\ cybyay , trtr ececy 21 21 é uma solução esta equação diferencial. Exemplo Ex.-13 Achar a solução geral da equação 067 \\\ yyy . Ex.-14 Dado 065 \\\ yyy , 2 0 ye 3 \ 0 y . a) Ache a solução do problema de valor inicial. b) Faça o gráfico da função. c) Determine o ponto crítico. d) Descreva seu comportamento quando t aumenta indefinidamente. Ex.-15 Achar a solução do problema de valor inicial 0384 \\\ yyy , 2 0 y e 2 1\ 0 y . Faça o gráfico da função e determine o ponto crítico. Descreva seu comportamento quando t aumenta. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 24 Exercícios Achar a solução geral da equação diferencial proposta: E-62. 032 \\\ yyy E-63. 023 \\\ yyy E-64. 06 \\\ yyy E-65. 032 \\\ yyy E-66. 05 \\\ yy E-67. 094 \\\ yy E-68. 099 \\\ yyy E-69. 022 \\\ yyy Determine a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta. E-70. Corrigir E-71. 034 \\\ yyy , 2 0 y e 1 \ 0 y . E-72. 056 \\\ yyy , 4 0 y e 0 \ 0 y . E-73. 03 \\\ yy , 2 0 y e 3 \ 0 y . E-74. 035 \\\ yyy , 1 0 y e 0 \ 0 y . E-75. 042 \\\ yyy , 0 0 y e 1 \ 0 y . E-76. 098 \\\ yyy , 1 1 y e 0 \ 1 y . E-77. 04 \\ yy , 1 2 y e 1 \ 2 y . E-78. 025 \\\ yyy , 1 0 y e 1 \ 0 y . Respostas ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 17 R - 62 tt t ececy 3 21 R - 63 tt t ececy 2 21 R - 64 3 2 2 1 tt t ececy R - 65 t t t ececy 2 2 1 R - 66 t t eccy 5 21 R - 67 2 3 2 2 3 1 tt t ececy R - 68 tt t ececy 2 539 2 2 539 1 R - 69 tt t ececy 31 2 31 1 R - 70 t t ey ; quando t temos que y . R - 71 tt t eey 3 2 1 2 5 ; quando t temos que 0y . R - 72 23 812 tt t eey ; quando t temos que y . R - 73 t t ey 31 ; quando t temos que 1y . R - 74 tt t eey 2 135 2 135 26 13513 26 13513 . R - 75 tt t eey 4 331 4 331 33 2 33 2 . R - 76 199 10 9 10 1 tt t eey ; quando t temos que y . R - 77 2 2 2 2 2 3 2 1 tt t eey ; quando t temos que y . R - 78 tt t eey 2 333 2 333 332 337 332 337 ; quando t temos que y . ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 18 3.2 – Raízes complexas da equação característica A equação 0\\\ cybyay onde a , b e c são números reais. Se procurarmos soluções de y como combinação de rtce , então r deve ser raiz da equação característica 02 crbrar . Se as raízes 1 r e 2 r foram complexas temos que ir 1 e ir 2 onde e são reais. As expressões correspondentes de y são ti t ey 1 e ti t ey 2 . Pelo cálculo direto, podemos mostrar que o wronskiano de u e v é t tvu eW 2 , . Assim, desde que 0 , o wronskiano W não é zero, e assim u e v formam um conjunto fundamental de soluções. Portanto, se as raízes da equação forem números complexos i ,então a solução geral da equação 0\\\ cybyay é tsenectecy tt t 21 cos , onde 1 c e 2 c são constantes arbitrárias. Se 0 a função t y é decrescente, se 0 a função t y é crescente e se 0 a função t y oscila de forma permanente. Exemplo Ex.-16 Achar a solução geral de 0\\\ yyy . Ex.-17 Achar a solução geral de 09 \\ yy . Ex.-18 Achar a solução do problema de valor inicial 0145816 \\\ yyy 2 0 y e 1 \ 0 y . Exercícios Achar a solução geral da equação diferencial: E-79. 022 \\\ yyy E-80. 062 \\\ yyy E-81. 082 \\\ yyy E-82. 022 \\\ yyy E-83. 0136 \\\ yyy E-84. 094 \\ yy E-85. 025,12 \\\ yyy E-86. 0499 \\\ yyy E-87. 025,1\\\ yyy E-88. 025,64 \\\ yyy ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Achar a solução do problema de valor inicial proposto: E-89. 04\\ yy , 0 0 y e 1 \ 0 y E-90. 054 \\\ yyy , 1 0 y e 0 \ 0 y E-91. 052 \\\ yyy , 0 2 y e 2\ 2 y E-92. 0\\ yy , 2 3 y e 4\ 3 y E-93. 025,12 \\\ yyy , 3 0 y e 1 \ 0 y E-94. 022 \\\ yyy , 2 4 y e 2\ 4 y Respostas R - 79 tsenectecy tt t 21 cos R - 80 tsenectecy tt t 55cos 21 R - 81 tsenectecy tt t 77cos 21 R - 82 tsenectecy tt t 21 cos R - 83 tsenectecy tt t 22cos 3 2 3 1 R - 84 2 3 2 3cos 21 tsenctcy t R - 85 22 cos 21 tsenectecy tt t R - 86 3 4 2 3 1 tt t ececy R - 87 tsenectecy tt t 2 2 2 1 cos R - 88 2 3 2 3cos 2 2 2 1 tsenectecy tt t R - 89 tseny t 2 2 1 a oscilação é estacionária. R - 90 tsenetey tt t 22 2cos a oscilação é amortecida. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS R - 91 tseney t t 22 a oscilação é crescente. R - 92 tsenty t 321cos321 a oscilação é estacionária. R - 93 tsenetey tt t 22 2 5cos3 a oscilação é amortecida. R - 94 tsenetey tt t 44 2cos2 a oscilação é amortecida. 1.7 Bibliografia BOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICAÇÃO Oscilações Mecânicas Equação do movimento da massa è tttt FPkPPm \\\ onde m é a massa em kg é a viscosidade do meio sm N k é a constante elástica da mola m N t F força externa Condições iniciais 00 PP posição inicial \ 0 \ 0 PP velocidade inicial Exemplo Ex.-19 Um corpo de massa 4 kg estica uma mola 5 cm. O corpo é deslocado 15 cm, na direção positiva e depois é solto. O corpo está em um meio que exerce uma resistência viscosa de 60N quando a sua velocidade é 0,5m/s. Determine a função que modela o movimento. Resolução a) Coeficiente elástico da mola kdF m kdmg mcmd 05,05 210 smg kgm 4 05,0104 k k05,040 mNk 800 b) Coeficiente de viscosidade do meio vF v NF v 60 smv 5,0 5,060 605,0 msN120 c) Equação diferencial tttt FPkPPm \\\ ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 08001204 \\\ ttt PPP 408001204 \\\ ttt PPP 020030 \\\ ttt PPP d) Equaçãocaracterística 020030 \\\ ttt PPP 10 1 r e 20 2 r e) Equação posição trtr t ececP 21 21 tt t ececP 20 2 10 1 d) Condições “O corpo é deslocado 15 cm” mcmP 15,015 0 Ex.-20 Um corpo de massa 10 kg provoca um deslocamento de 5cm em uma mola. Se o corpo for deslocado de 5cm e depois posto em movimento, com velocidade inicial, de 0,2m/s, determine a posição do corpo nos instantes posteriores. Exercícios E-95. Um corpo de 2kg de massa estica 15cm uma mola. Se o corpo for puxado mais 10cm e depois liberado, se não houver resistência do ar, determine a sua posição em qualquer instante t . E-96. Um corpo de massa 100g estica 5cm uma mola. Se o corpo for impulsionada, a partir do equilíbrio, com uma velocidade para baixo de 10cm/s, e se não houver resistência do ar, determinar a posição em qualquer instante t . E-97. Um corpo, pesa 30N, estica em 8cm uma mola. Se o corpo for empurrado para cima, contraindo 3cm a mola, e depois for impulsionado para baixo,com velocidade de 0,8m/s, e se não houver resistência do ar, achar a sua posição em qualquer instante t . E-98. Um corpo pesando 16N estica 10cm uma mola. O corpo está ligado a um amortecedor viscoso, com constante de amortecimento 2Ns/m. Se o corpo for movimentado, da posição de equilíbrio, com velocidade para baixo de 0,6m/s, achar a sua posição em qualquer instante t . E-99. Uma mola é esticada 10cm por uma força de 3N. Um corpo com massa de 2kg é pendurado na mola e também é ligado a um amortecedor viscoso que exerce uma força de 3N quando a velocidade for 5m/s. Se o corpo for puxado para baixo 5cm além da posição de equilíbrio, e receber uma velocidade inicial para baixo de 10m/s, determinar a sua posição em qualquer instante t . ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Respostas R - 95 tP t 16,8cos1,0 R - 96 tsenP t 14,140071,0 R - 97 tsentP t 18,11072,018,11cos03,0 R - 98 R - 99 Bibliografia BOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6.e. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p.
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