Cálculo Numérico - A02

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Cálculo Numérico - A02 
Em matemática, denomina-se interpolação linear o método de interpolação que se utiliza de 
uma função linear f(x) (um polinômio de primeiro grau) para representar, por aproximação, uma 
suposta função f(x), que originalmente representaria as imagens de um intervalo descontínuo 
contido no domínio de f(x). Portanto, pela interpolação linear é possível determinar o valor da 
função para um ponto intermediário entre dois pontos distintos. Assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta um enunciado coerente com este contexto: 
 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (0,1) e (1,2). Determine aproximadamente o valor de f(7). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (0,1) e (2,9). Determine aproximadamente o valor de f(1). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (1,3) e (2,9). Determine aproximadamente o valor de f(3). 
Seja y = f(x) definida pelos pontos (2,4) e (4,5). Determine aproximadamente o valor de f(5). 
 
Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de 
Lagrange) é o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos. Com os dados no quadro a 
seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o polinômio interpolador obtido via 
método de Lagrange para a função a seguir: 
 
 
0,9845x² + 0,6125x + 1. 
0,9845x² + x + 0,6125. 
x² + 0,9845x + 0,6125. 
0,6125x² + 0,9845x + 1. 
 
O método de Lagrange é um dos métodos de interpolação linear que estudamos. Com base 
neste método e utilizando os dados a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
polinômio: 
 
 
A opção II está correta. 
A opção I está correta. 
A opção IV está correta. 
A opção III está correta. 
No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria à 
prática, os logaritmos são trabalhados em diversas áreas do conhecimento. O trabalho com 
uma função logarítmica tem como objetivo facilitar os cálculos, bem como ampliar os 
conhecimentos em assuntos específicos, como: a) na Química, quando o trabalho envolve 
radioatividade, para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa é 
utilizada a fórmula: Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q representa a massa da substância, qº a 
massa inicial, r a taxa de redução da radioatividade e a variável t o tempo. Equações com essa 
tipologia podem ser resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos; b) no ano de 1935, os 
sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram uma escala para 
quantificar o nível de energia liberada por um sismo. A escala Richter, que também é conhecida 
por escala de magnitude local, é uma função logarítmica. Assim, é possível quantificar em 
Joules a quantidade de energia liberada por um movimento tectônico; c) na Medicina, quando é 
ministrado um tratamento, o paciente recebe o medicamento, que entra na corrente sanguínea, 
que passa por órgãos como fígado e rins. Neste caso, é possível obter o tempo necessário para 
que a quantidade desse medicamento presente no corpo do paciente seja menor ou maior que 
uma determinada quantidade, e para isso é necessário trabalhar com uma equação 
logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma margem de erro menor ou igual a (0,1), 
calcule o valor aproximado da função: f(x) = x.log(x+1) - 2, sabendo que a função tem apenas 
uma raiz real, que está contida no intervalo. 
 
 
A função tem sua raiz real em 3,2. 
A função tem sua raiz real em 3,5. 
A função tem sua raiz real em 3,25. 
A função tem sua raiz real em 3,3. 
 
 
 
 
 
 
A matemática fornece métodos formais que permitem a determinação exata das raízes de uma 
função em diversos casos. Os métodos mais conhecidos permitem a determinação das raízes 
de polinômios de até quarto grau, ou grau maior em certas condições. Em muitas situações, a 
resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas em casos 
resolvíveis através dos métodos conhecidos. Sobre zeros de funções, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Chamamos de zero de uma função f ao ponto f(0). 
( ) Zero de uma função e raiz de uma função são nomes diferentes para o mesmo conceito. 
( ) Toda função real possui pelo menos um zero. 
( ) Toda função polinomial real tem, pelo menos, um zero. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - F - F. 
F - F - V - F. 
V - F - V - V. 
V - V - F - V. 
 
Raiz de uma função consiste em determinar pontos de intersecção da função com o eixo das 
abscissas. Para determinarmos as raízes de uma função f, além do método gráfico, podemos 
aplicar algum método numérico. Neste contexto, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Os métodos numéricos nos fornecem com exatidão a raiz da função f pertencente a um dado 
intervalo, desde que ela exista. 
II- Antes de aplicar um método numérico, precisamos definir o erro máximo que estamos 
dispostos a aceitar. 
III- O valor que o método numérico escolhido retornar é uma aproximação para a raiz da função 
f. 
IV- O valor encontrado para a raiz de f independe do método numérico escolhido. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As sentenças II e III estão corretas. 
As sentenças I e IV estão corretas. 
As sentenças III e IV estão corretas. 
As sentenças I e II estão corretas. 
 
Um dos métodos de resolver um sistema linear é por meio da interpolação de Lagrange. De 
acordo com os dados no quadro a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
polinômio interpolador obtido via método de Lagrange para a função f(x) = ln x: 
 
 
 
- 0,1438x² + 1,1245x - 0,9807. 
- 0,9807x² + 1,1245x - 0,1438. 
1,1245x² - 0,9807x - 0,1438. 
1,1245x² - 0,1438x - 0,9807. 
 
 
Existem várias formas de interpolar uma função. Cada uma delas requer habilidades de 
reconhecimento dos dados oferecidos, para em seguida obter-se o método mais adequado. 
Uma das formas mais rápidas de obtermos uma interpolação polinomial é o método de 
Newton. Com base na interpolação polinomial de Newton, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Utiliza um número menor de operações em relação ao método de Lagrange. 
II- Depende da construção de uma tabela de diferenças divididas finitas (DDF). 
III- É eficiente quando, para o mesmo conjunto de valores de x, queremos interpolar duas 
funções distintas. 
IV- É utilizado quando estamos interessados no valor de f em apenas um ponto x. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As sentenças I e II estão corretas. 
As sentenças III e IV estão corretas. 
As sentenças II e IV estão corretas. 
As sentenças I e III estão corretas. 
 
Às vezes, torna-se difícil encontrar graficamente os zeros de uma função f. Nesses casos, 
vimos que uma alternativa é tentar separar f em duas funções, g e h, mais simples, sob certas 
condições, cujos gráficos conseguimos traçar. Os zeros de f são exatamente os pontos em 
que: 
 
As funções g e h se anulam. 
As funções g e h interceptam o eixo Y. 
As funções g e h se interceptam. 
As funções g e h interceptam o eixo X. 
 
As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e 
constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem 
o nome de polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,6x² + 0,9x + 1, determine seu valor para x = 
0,4 e assinale a alternativa CORRETA: 
 
2,104. 
1,6. 
1,456. 
1,324.