EP4-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP4 – Gabarito – Métodos Determińısticos I
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aulas 4 e 5 do Caderno Didático.
Exerćıcio 1 Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições compostas a seguir. Jus-
tifique.
a) Se a Amazônia é uma floresta então há praias no Rio de Janeiro.
b) Se respiramos oxigênio, então temos guelras.
c) Se o Snoopy era um gato, então o Garfield era um cachorro.
d) Se Salvador é a capital do Brasil, então o Rio de Janeiro fica na região Sudeste.
e) Se existe chuva de canivete, então os canivetes evaporam quando deixados no Sol.
Solução: Este exerćıcio é sobre a análise do valor-verdade de proposições condicionais. Neste
caso, sabemos que a proposição condicional só poderá ser considerada falsa se a primeira proposição
elementar do condicional for verdadeira e a proposição elementar que ela implica for falsa. Em todos
os outros casos, a proposição condicional será verdadeira. Confira abaixo.
a) Verdadeira. A primeira proposição elementar é verdadeira e a proposição elementar que ela
implica também é verdadeira.
b) Falsa. A primeira proposição elementar é verdadeira, porém aparece implicando uma proposição
que é falsa.
c) Verdadeira. A primeira proposição elementar é falsa, logo qualquer que seja a segunda pro-
posição o resultado é verdadeiro. (Veja que a proposição não faz nenhuma afirmação sobre a
espécie de Garfield, caso Snoopy não seja um gato).
d) Verdadeira. Como no item anterior, aqui também a primeira proposição do condicional é falsa.
Logo, o resultado é verdadeiro qualquer que seja a segunda proposição (Se Salvador não é a
capital do Brasil, a frase não representa nenhum comprometimento quanto à localização do
Rio de Janeiro.)
e) Verdadeira. Vale o mesmo que nos dois itens anteriores, como a primeira afirmativa é falsa,
não importa o absurdo que venha depois, o resultado não representa uma mentira.
Exerćıcio 2 Em uma sala de aula, estudam:
• Ana, que não usa óculos e é loira.
• João, que não usa óculos e é ruivo.
• Maria, que não usa óculos e tem cabelos castanhos.
Métodos Determińısticos I EP4 2
• Matheus Reis, que usa óculos e tem cabelos azuis.
• Matheus Vieira, que não usa óculos e também tem cabelos azuis.
• Pedro, que usa óculos e tem cabelos castanhos.
• Zulmira, que não usa óculos e é ruiva.
Sobre esta turma, são feitas as seguintes afirmações.
p: Se usa óculos, então é homem.
q: Se é homem, então usa óculos.
r: Se tem cabelos azuis, então se chama Matheus
s: Se se chama Matheus, então tem cabelos azuis
t: Se tem cabelos azuis, então é homem.
u: Se não usa óculos, então é mulher
v: Se aluno é mulher, então não usa óculos
w: Se é ruivo, então não usa óculos
Preencha as lacunas abaixo com V (verdadeiro) ou F (falso), justificando minuciosamente:
( ) r e s
( ) u e v
( ) v ou t
( ) q ou w
( ) (∼t e q) ou u
Solução:
(V) r e s
Precisamos verificar se r e s são ambas verdadeiras.
A afirmação
r: Se tem cabelos azuis, então se chama Matheus
diz que todo aluno de cabelos azuis se chama Matheus. Ela será falsa se existir algum aluno
que tenha cabelos azuis e não se chame Matheus (hipótese verdadeira e tese falsa), o que não
é o caso. Assim, r é verdadeira.
A afirmação
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s: Se se chama Matheus, então tem cabelos azuis
diz que todo aluno que se chama Matheus tem cabelos azuis. Ela será falsa se existir algum
aluno que se chame Matheus e não tenha cabelos azuis (hipótese verdadeira e tese falsa), o
que não é o caso. Assim, s é verdadeira.
Com isso, “r e s”é verdadeira!
(F) u e v
Precisamos verificar se u e v são ambas verdadeiras.
A afirmação
u: Se não usa óculos, então é mulher
diz que todo aluno que não usa óculos é mulher. Ela será falsa se existir algum aluno que não
use óculos e não seja mulher (hipótese verdadeira e tese falsa). Tal aluno existe, veja o João
e o Matheus. Com isso, u é falsa.
Com isso, a afirmação “u e v”é falsa, não sendo necessário avaliar v. Avaliaremos v, porém,
por diversão e também porque pode ser útil mais tarde.
A afirmação
v: Se aluno é mulher, então não usa óculos
diz que todo aluno que é mulher não usa óculos. Ela será falsa se existir algum aluno mulher
e que use óculos (hipótese verdadeira e tese falsa), o que não é o caso. Assim, v é verdadeira.
(V) v ou t
Precisamos verificar se pelo menos uma das duas afirmações v e t é verdadeira.
Como vimos acima, v é verdadeira, logo “v ou t”é verdadeira. Não precisamos avaliar t, mas
faremos!
A afirmação
t: Se tem cabelos azuis, então é homem.
diz que todo aluno de cabelos azuis é homem. Ela será falsa se existir algum aluno que tenha
cabelos azuis e não seja homem (hipótese verdadeira e tese falsa), o que não é o caso. Assim,
t é verdadeira.
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(V) q ou w
Precisamos verificar se pelo menos uma das duas afirmações q e w é verdadeira.
A afirmação
q: Se é homem, então usa óculos.
diz que todo aluno que é homem usa óculos. Ela será falsa se existir algum aluno homem e que
não use óculos (hipótese verdadeira e tese falsa). Tal aluno existe, veja o João e o Matheus.
Com isso, q é falsa.
A afirmação
w: Se é ruivo, então não usa óculos
diz que todo aluno ruivo não usa óculos. Ela será falsa se existir algum aluno ruivo e que use
óculos (hipótese verdadeira e tese falsa), o que não é o caso. Assim, w é verdadeira.
Com isso, “q ou w”é verdadeira!
(F) (∼t e q) ou u
Já vimos que t é verdadeira, q é falsa e u é falsa. Com isso,
(∼t e q) ou u = (∼V e F) ou F = (F e F) ou F = F ou F = F.
Exerćıcio 3 Determine se as proposições compostas abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) Bananas são vermelhas se e somente se existem maçãs verdes.
b) A bandeira brasileira é lilás se e somente se há peixes no mar.
c) Os peixes sabem respirar sob a água se e somente se há elefantes que voam.
d) As bananeiras dão maçãs se e somente se os golfinhos têm asas.
Solução: Este exerćıcio é sobre a análise do valor-verdade de proposições bicondicionais. Neste caso,
sabemos que a proposição bicondicional só poderá ser considerada falsa se as proposições elementares
possúırem valores-verdade opostos. Confira abaixo.
a) Falsa. A primeira proposição elementar é falsa, mas a segunda é verdadeira, logo o resultado
do bicondicional é falso.
b) Falsa. Vale o mesmo do item anterior.
c) Falsa. A primeira proposição elementar é verdadeira, mas a segunda é falsa, logo o resultado
do bicondicional é falso.
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d) Verdadeira. A primeira proposição elementar é falsa, mas a segunda também é falsa, logo o
resultado do bicondicional é verdadeiro (as duas proposições elementares têm o mesmo valor
lógico).
Exerćıcio 4 Complete a tabela verdade a seguir.
p q p⇒ q p ∨ q p∨ ∼ p q∧ ∼ q p ∧ q ∼ p⇒ q ∼ q ⇒∼ p
V V
V F
F V
F F
Solução:
p q p⇒ q p ∨ q p∨ ∼ p q∧ ∼ q p ∧ q ∼ p⇒ q ∼ q ⇒∼ p
V V V V V F V V V
V F F V V F F V F
F V V V V F F V V
F F V F V F F F V
Observação: Se você resolveu o exerćıcio acima, descobriu que o resultado da primeira proposição
composta é igual ao da última em todas as linhas da tabela. Quando isso ocorre dizemos que as
duas proposições são equivalentes. Já a terceira proposição composta, você deve ter visto que é
sempre verdadeira. Isso é o que chamamos de tautologia. Ao contrário desta, há a quarta proposição
composta, que é sempre falsa, é o que chamamos de contradição.
Exerćıcio 5 André é inocente ou Beto é inocente. Se Betoé inocente, então Caio é culpado. Caio
é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo,
(A) Caio e Beto são inocentes.
(B) Caio e André são inocentes.
(C) André e Beto são inocentes.
(D) Caio e Dênis são culpados.
(E) André e Dênis são culpados.
Observação: Essa questão foi desenvolvida pela Escola de Administração Fazendária (ESAF) – (Fiscal Recife/2003/Esaf).
Solução:
a) Proposições simples:
a: André é inocente
b: Beto é inocente
c: Caio é inocente
d: Dênis é inocente
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Métodos Determińısticos I EP4 6
b) Premissas:
1) a ∨ b
2) b⇒∼ c
3) c⇔∼ d
4) ∼ d
c) Vamos analisar as premissas. Já sabemos pela 4 que d é falsa, isto é, Dênis é culpado. Logo,
pela premissa 3, seque que c é verdadeira, ou seja, Caio é inocente. Mas isso significa que ∼ c é
falsa, logo como a premissa 2 tem que ser verdadeira, podemos concluir que b é falsa (caso contrário
teŕıamos uma afirmativa verdadeira implicando uma falsa, o que resultaria na falsidade da premissa
2). Dáı sabemos que Beto é culpado. Mas se b é falsa, pela premissa 1 a é verdadeira, isto é, André
é inocente.
Conclusão: André é inocente, Beto é culpado, Caio é inocente e Dênis é culpado. A resposta correta
na questão da Esaf é a letra B.
Exerćıcio 6 Considere a afirmação P: “A ou B”, onde A e B, por sua vez, são as seguintes
afirmações:
A: “Carlos é dentista.”
B:“Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto.”
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo,
(A) Carlos não é dentista, Ênio não é economista, Juca não é arquiteto.
(B) Carlos não é dentista, Ênio é economista, Juca não é arquiteto.
(C) Carlos não é dentista, Ênio é economista, Juca é arquiteto.
(D) Carlos é dentista, Ênio não é economista, Juca não é arquiteto.
(E) Carlos é dentista, Ênio é economista, Juca não é arquiteto.
Observação: A questão a seguir foi desenvolvida pela Escola de Administração Fazendária (ESAF) para um concurso
de gestor fazendário em 2005.
Solução: Para que uma disjunção, isto é, uma proposição tipo “A ou B” seja falsa, é necessário
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, a premissa diz que A é falsa e B também é falsa.
Dizer que A é falsa é dizer que Carlos não é dentista.
Por outro lado, a proposição B é uma condicional, logo, se ela é falsa, significa que Ênio é economista
mas Juca não é arquiteto. A resposta correta é a letra B.
Exerćıcio 7 (Esaf/2002) O Rei ir a caça é condição necessária para o duque sair do castelo e é
condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é
condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao
jardim. O barão não sorriu. Logo:
(A) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
(B) se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.
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(C) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
(D) o rei foi a caça e a duquesa não foi ao jardim.
(E) o duque saiu do castelo e o rei não foi a caça.
Solução: Vamos usar a mesma estratégia que já usamos antes. Primeiro vamos escrever as pro-
posições elementares e representá-las por letras:
r: Rei ir a caça;
d: duque sair do castelo;
j: duquesa ir ao jardim;
c: conde encontrar a princesa;
b: barão sorrir.
Agora vamos escrever as premissas usando os śımbolos lógicos:
d⇒ r (o rei ir a caça é condição necessária para o duque sair do castelo);
r ⇒ j (o rei ir a caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim);
c⇔ b (o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir);
j ⇒ c (o conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim);
∼ b (o barão não sorriu).
Falta apenas analisar as premissas que temos.
Pela última já sabemos que b é falsa.
Pela terceira premissa, se b é falsa, c também tem que ser falsa.
Pela quarta premissa, se c é falsa, j também tem que ser falsa.
Pela segunda premissa, se j é falsa, r também tem que ser falsa.
Pela primeira premissa, se r é falsa, d também tem que ser falsa.
Logo, todas as proposições elementares que consideramos são falsas:
O rei não foi a caça, o duque não saiu do castelo, a duquesa não foi ao jardim, o conde não
encontrou a princesa e o barão não sorriu.
A resposta correta é a letra C.
Exerćıcio 8 Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. Escreva por extenso as proposições abaixo e
decida se são falsas ou verdadeiras justificando sua resposta. A primeira está resolvida como exemplo.
a) x ∈ A⇒ x < 5
Por extenso: se x pertence a A, então x é menor que 5.
É verdadeira: veja que quando a primeira proposição elementar é verdadeira, isto é, x ∈ A,
também temos a segunda verdadeira, pois todos os elementos de A são menores que 5. Observe
ainda que, quando usamos variáveis como x para que uma proposição como essa seja verdadeira,
ela deve ser verdadeira para todos os valores de x posśıveis. Basta que um valor de x falhe
para que a proposição seja considerada falsa. Assim, se a questão fosse x ∈ A ⇒ x ≤ 3, ela
seria falsa, pois um dos valores posśıveis para x é o 4 (veja que 4 ∈ A), mas 4 não é menor
ou igual a 3.
b) x ∈ A⇒ x+ 2 ∈ B.
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Métodos Determińısticos I EP4 8
c) x ∈ A⇔ x+ 2 ∈ B.
d) y ∈ B ⇒ (y − 2 ∈ A ou y é ı́mpar)
e) ∀x ∈ N, x é par ⇒ x+ 1 é ı́mpar
f) ∀x ∈ R, x2 > 1⇔ x > 1
Solução:
b) Se x pertence a A então x+ 2 pertence a B
A proposição é verdadeira, pois a primeira proposição elementar será verdadeira quando x for
1, 2, 3 ou 4, e nesses casos, x+2 será 3, 4, 5 ou 6, todos pertencentes a B, logo, sempre que
a primeira proposição for verdadeira a segunda também será.
c) x pertence a A se e somente se x+ 2 pertence a B
A proposição é falsa. Já vimos que sempre que x pertence a A, x+2 pertence a B, entretanto
há casos em que x+2 pertence a B e x não pertence a A: basta tomar x = 5 (5 /∈ A, porém
7 ∈ B). Logo, as duas proposições não são equivalentes (para que elas fossem equivalentes,
sempre que uma delas fosse verdadeira a outra também deveria ser).
d) Se y pertence a B, então: y − 2 pertence a A ou y é ı́mpar.
Verdadeira: Para que a primeira afirmativa seja verdadeira, y deve valer 3, 4, 5, 6 ou 7. Se
y for 3, 4, 5 ou 6, y − 2 será 1, 2, 3 ou 4, e portanto pertencerá a A. Falta apenas pensar
no caso em que y = 7. Mas, nesse caso, y é ı́mpar. Logo, em qualquer caso, se y pertence a
B é verdadeira a proposição y − 2 ∈ A ou y é ı́mpar, o que garante que nossa implicação é
verdadeira.
e) Para todo x pertencente aos naturais, se x é par então x+ 1 é ı́mpar.
Verdadeira: sempre que a primeira proposição for verdadeira, isto é, x for par, sabemos que a
segunda também será verdadeira, isto é, x+ 1 será ı́mpar.
f) Para todo x real, x2 > 1 se e somente se x > 1.
Falso: como vimos, basta mostrar um x real para o qual uma das duas proposições elementares
seja verdadeira e a outra não. Tomemos, por exemplo, x = −2 (é um número real). Então a
proposição x2 > 1 é verdadeira pois (−2)2 = 4 > 1, porém a proposição x > 1 é falsa (pois
−2 < 1).
Exerćıcio 9 Classifique em válido ou inválido cada um dos argumentos abaixo. Justifique.
a) Premissas:
Se eu estudo, eu aprendo.
Se eu aprendo, eu passo de ano.
Eu estudo.
Conclusão:
Eu passo de ano.
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b) Premissas:
Se eu tenho sede, bebo água.
Se eu bebo água, não me desidrato.
Conclusão:
Se eu tenho sede, não me desidrato.
c) Premissas:
Se eu estudo, não vou ao cinema.
Se não vou ao cinema, não janto fora.
Hoje janto fora.
Conclusão:
Hoje não estudo.
d) Premissas:
Se o Pedrinho não se comportasse, ficaria de castigo
Pedrinho ficou de castigo.
Conclusão:Pedrinho não se comportou.
Solução:
a) Este argumento é válido: Pela premissa 3, eu estudo. Juntando isso com a premissa 1, con-
clúımos que eu aprendo. Agora com a premissa 2, podemos concluir que passo de ano. Vamos
resolver usando a linguagem e a simbologia da lógica:
Proposições simples:
e: eu estudo;
a: eu aprendo;
p: eu passo de ano.
Premissas:
e⇒ a
a⇒ p
e
Análise:
Pela premissa 3 e é verdadeira, logo pela premissa 1 a é verdadeira, logo pela premissa 2 p é
verdadeira. Conclusão: p é verdadeira, isto é, passo de ano.
b) Este argumento é válido: Pela premissa 1, se eu tenho sede, então eu bebo água, e pela pre-
missa 2, então eu não me desidrato. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da
lógica:
Proposições simples:
s: tenho sede;
a: bebo água;
d: me desidrato.
Premissas:
s⇒ a
a⇒∼ d
Análise:
Se s é verdadeira, a é verdadeira pela premissa 1, mas se a é verdadeira, d é falsa pela premissa
2. Logo, se s é verdadeira, então d é falsa, isto é, s⇒∼ d, que é a conclusão (se tenho sede,
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então não me desidrato).
c) Este argumento é válido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lógica:
Proposições simples:
e: eu estudo;
c: vou ao cinema;
j: janto fora.
Premissas:
e⇒∼ c
∼ c⇒∼ j
j
Análise:
Pela premissa 3 j é verdadeira, logo a única forma de que a premissa 2 seja verdadeira, é
tendo ∼ c falso, isto é, c verdadeiro. Dáı, sabendo que c é verdadeiro, a única forma de ter a
primeira premissa verdadeira é tendo e falso. Logo conclúımos que e é falso, isto é, não estudo.
d) O argumento não é válido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lógica:
Proposições simples:
p: Pedrinho se comporta;
c: Pedrinho fica de castigo.;
Premissas:
∼ p⇒ c
c
Análise:
Sendo c verdadeiro (pela premissa 2), a premissa 1 não nos permite concluir que p é falso,
pois como sabemos, quando o lado direito de uma implicação é verdaderio, nada podemos
afirmar sobre a proposição do lado esquerdo. Assim, não é posśıvel concluir que Pedrinho não
se comportou, o que torna o argumento inválido.
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Exerćıcio 10 Determine se o argumento abaixo é válido ou inválido.
Premissas:
Desempregados não trabalham.
Se uma pessoa precisa de dinheiro, então ela trabalha.
Conclusão
Desempregados não precisam de dinheiro.
Solução: O argumento é válido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lógica:
Proposições simples:
d: está desempregado;
p: precisa de dinheiro;
t: trabalha.
Premissas:
d⇒∼ t
p⇒ t
Análise: Se d é verdadeiro, pela premissa 1, t é falso. Mas se t é falso, a premissa 2 não nos permite
concluir que p é falso, pois, como sabemos, quando o lado direito de uma implicação é falso, para
que a proposição composta seja verdadeira, o lado esquerdo também tem que ser falso. Assim, se d é
verdadeiro, então p deve ser falso, isto é, matematicamente, d⇒∼ p, e literalmente, desempregados
não precisam de dinheiro.
É claro que do ponto de vista do senso comum a conclusão acima é um absurdo. Na verdade, chega-
mos a isso porque o argumento inclúıa uma premissa que também é falsa em nossas vidas, sabemos
que há muita gente que precisa de dinheiro, mas não trabalha porque não consegue emprego, o que
equivale a dizer que a segunda premissa era falsa. Porém, do ponto de vista da resolução de uma
questão de lógica matemática, tudo isso é irrelevante.
Exerćıcio 11 Determine se o argumento abaixo é válido ou inválido.
Premissas:
João sabe f́ısica quântica.
João é doutor em matemática.
João é formado em filosofia.
João ganhou o prêmio Nobel da literatura.
Conclusão:
João é inteligente.
Solução: O argumento não é válido. Não há nas premissas nada que nos permita concluir através
da lógica matemática que João é inteligente. O que nos faz pensar que João é inteligente, neste
caso, não é a lógica matemática, mas sim nossa própria experiência de vida.
Proposições simples:
q: João sabe f́ısica quântica.
m: João é doutor em matemática.
f : João é formado em filosofia.
n: ganhou o prêmio Nobel da literatura.
i: João é inteligente.
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Premissas:
q
m
f
n
Análise:
Como podemos ver nas premissas acima, nenhuma delas faz qualquer referência à proposição i que
está nas conclusões. Logo não podemos concluir i a partir das premissas, o argumento não é válido.
Exerćıcio 12 Determine se o argumento abaixo é válido ou inválido.
Premissas:
João sabe f́ısica quântica.
João é doutor em matemática.
João é formado em filosofia.
João ganhou o prêmio Nobel da literatura.
Qualquer pessoa que saiba f́ısica quântica e seja doutor em matemática e seja
formado em filosofia e tenha ganho o prêmio Nobel da literatura é inteligente.
Conclusão:
João é inteligente.
Solução: A única diferença entre esta questão e a anterior é que temos a última premissa que diz
que se uma pessoa satisfaz todas as outras premissas, então ela é inteligente. Então nosso conjunto
de premissas pode ser reescrito assim (considerando as letras que usamos na questão anterior):
Premissas:
q
m
f
n
(q ∧m ∧ f ∧ n)⇒ i
Análise:
Agora sim, as quatro primeiras premissas nos dizem que são verdadeiras q, m, f e n e a quinta
premissa nos diz que se todas essas são verdadeiras, então também é verdadeira i. Portanto agora
o argumento é válido e podemos matematicamente concluir que João é inteligente.
Exerćıcio 13 Decida se cada um dos argumentos abaixo é ou não válido e justifique sua resposta:
a) Premissas: Se o dólar cai os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional; Se
os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional, caem as nossas exportações;
Em 2012 o dólar não caiu.
Conclusão: Nossas exportações não cáıram em 2012.
b) Premissas: Se as vendas da empresa ABC cáırem, a empresa se endividará com empréstimos
ou demitirá empregados; A diretoria da ABC não permitirá que a empresa contraia d́ıvidas com
empréstimos.
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Métodos Determińısticos I EP4 13
Conclusão: Se a empresa ABC não demitir, é porque suas vendas não cáıram.
Solução:
a) O argumento não é válido. As premissas nos permitem concluir que se o dólar cair as ex-
portações também cairão, mas as premissas não nos fornecem as rećıprocas das implicações,
não sendo posśıvel concluir que se o dólar não cai as exportações também não caem. Podemos
ter dólar subindo e exportações caindo sem violar nenhuma das premissas.
b) O argumento é válido. Se as vendas cairem a primeira premissa nos garante que haverá d́ıvidas
ou demissões. Contudo a segunda premissa nos garante que não haverá d́ıvidas. Logo, se as
vendas cairem, necessariamente haverá demissões. O que equivale a dizer que se a empresa
não demitir é porque as vendas não cáıram (forma contrapositiva da proposição anterior).
Exerćıcio 14 Sobre o clima na praia de Icaráı, costuma-se dizer que está chovendo sempre que o
vento sudoeste está soprando.
Considerando as proposições
p: ”O vento sudoeste está soprando em Icaráı”
q: ”Está chovendo em Icaráı”
(a) Escreva a frase do enunciado utilizando p, q e o conectivo lógico adequado.
(b) Minha tia acredita que a regra do enunciado nunca falha. Desta forma, em um dia em que o
vento sudoeste não estava soprando, ela afirmou: “Como o vento não está soprando, não está
chovendo, logo não vou levar o meu guarda-chuva”. Há algum erro na argumentação de minha
querida tia? Justifique.
(c) Se o ditado “Em Icaráı, está chovendo sempre que o vento sudoeste está soprando”for verdadeiro,
e, em um certo mês, o vento sudoeste tiver soprado em 10 dias, é correto dizer que:
( ) choveu em Icaráı em, no máximo, 10 dias.
() choveu em Icaráı em, no ḿınimo, 10 dias.
( ) choveu em Icaráı em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
Justifique.
(d) Supondo novamente que o ditado é verdadeiro, se, em um certo mês, em Icaráı, tiver chovido
em 10 dias, é correto dizer que:
( ) o sudoeste soprou em Icaráı em, no máximo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em Icaráı em, no ḿınimo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
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Solução:
(a) A afirmação pode ser escrita como
“está chovendo em Icaráı”(q)
sempre que
“O vento sudoeste está soprando em Icaráı”(p),
isto é, sempre que p acontece, q acontece. Isto significa que p implica q, ou que se “está
chovendo em Icaráı”, então “o vento sudoeste está soprando em Icaráı”. Assim,
p⇒ q.
(b) Uma posśıvel solução:
Como visto acima, o ditado diz que p ⇒ q. A contrapositiva deste ditado é ∼ q ⇒∼ p (Se
“não está chovendo em Icaráı”então “o sudoeste não está soprando”). Estas afirmações são
logicamente equivalentes, ou seja, se assumimos que o ditado é correto, temos que ∼ q⇒∼ p.
Porém, a argumentação de minha tia é “O sudoeste não está ventando, logo não está chovendo”,
que pode ser escrita como ∼ p⇒∼ q, que não é o ditado (é sua conversão, na verdade).
Veremos na solução seguinte que, mesmo que o ditado seja verdadeiro e que não esteja ventando,
pode estar chovendo.
Outra posśıvel solução:
Acreditando que o ditado é verdadeiro, ele pode ser tomado como uma premissa. Assim, no dia
em questão, a primeira argumentação de minha tia (”Como o vento não está soprando, não está
chovendo”) tem as seguintes premissas em sua argumentação:
premissa 1: p ⇒ q (“Se o vento sudoeste está soprando em Icaráı”então “está chovendo
em Icaráı.”)
premissa 2: ∼ p (O vento sudoeste não está soprando.)
Sua conclusão é
conclusão: ∼ q (Não está chovendo)
Este argumento é falho! Vamos listar todas as possibilidades de valores para p e q e verificar
que as premissas podem ser verdadeiras sem que a conclusão o seja.
premissas conclusão
p q p⇒ q ∼ p ∼ q
V V V F F
V F F F V
F V V V F
F F V V V
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A terceira linha nos mostra que o ditado (p ⇒ q) pode ser verdadeiro e não estar ventando
(∼ p), sem que a conclusão (∼ q) seja válida.
(c) Assumindo que o ditado p⇒ q (Se “o sudoeste está soprando em Icaráı”então “está chovendo”)
é verdadeiro, em todos os dias que o sudoeste ventar (p for verdadeiro), também deverá chover
(q também terá de ser verdade). Assim, para cada dia de vento haverá pelo menos um dia de
chuva. Com isso, como foram 10 dias de vento, teremos no ḿınimo 10 dias de chuva, logo a
opção “choveu em Icaráı em, no ḿınimo, 10 dias”é correta.
A opção “choveu em Icaráı em, no máximo, 10 dias”não é correta, visto que, além de chover nos
dez dias de vento, pode ter chovido em algum outro dia. Em outras palavras, podemos ter q
verdadeiro com p falso, e ainda continuará sendo verdade que p⇒ q (relembre a tabela verdade
de ⇒). Podeŕıamos ter tido, por exemplo, 15 dias de chuva, com vento em apenas 10 deles.
Pelo mesmo motivo, a afirmação “choveu em Icaráı em exatamente 10 dias”não é correta.
(d) Como vimos acima, em todos os dias que o sudoeste ventar, também deverá chover, logo o
número de dias de chuva será menor ou igual ao número de dias de vento. Equivalentemente, o
número de dias de vento é maior ou igual ao número de dias de chuva.
Com isso, se choveu em 10 dias, terá ventado em 10 ou menos dias. Logo a opção “o sudoeste
soprou em Icaráı em, no máximo, 10 dias”é correta.
As opções “o sudoeste soprou em Icaráı em, no ḿınimo, 10 dias”e “o sudoeste soprou em
exatamente 10 dias”não estão corretas, pois podeŕıamos ter tido, por exemplo, 10 dias de chuva
com vento em apenas 5 deles.
Qual é a moral desta questão?!?!
Além de fazer argumentações (incorretas!) sobre o clima em Icaráı, minha tia costuma diz (correta-
mente, neste caso!) que toda boa história tem uma moral.
A moral desta questão é que uma implicação p⇒ q jamais deve ser confundida com sua conversão
p⇒ q. Elas representam relações de causa e consequência muito diferentes.
Vamos a um exemplo muito claro disso: é verdade que “se a > b então a + 1 > b”. Isto pode ser
provado de forma muito simples; assumindo a > b, temos a+ 1 > a > b, logo a+ 1 > b. Por outro
lado, não é verdade que “se a + 1 > b então a > b”. Tome, por exemplo, a = 0 e b = 0; teremos
a+ 1 > b, pois 0 + 1 > 0, mas não é verdade que 0 > 0 (a > b). Outro contraexemplo é a = 0, 5 e
b = 1.
Temos uma tendência muito forte a confundir implicações (⇒) com equivalências (⇔), o que pode
nos conduzir a inúmeros mal-entendidos, ou nos fazer utilizar argumentações falaciosas.
Exerćıcio 15 Considere verdadeiras as premissas abaixo, sobre uma determinada questão de Ma-
temática:
(1) Se eu me dediquei a resolver a questão quando eu a vi anteriormente, então aprendi
a resolver a questão ou decorei a solução da questão.
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(2) Por outro lado, se eu decorei a solução da questão, então certamente eu me dediquei a
resolver a questão quando eu a vi anteriormente
(3) Se eu aprendi a resolver a questão, então acertei integralmente a questão quando ela
caiu novamente em uma prova.
(4) Se eu decorei a solução da questão, então acertei pelo menos metade da questão
quando ela caiu novamente em uma prova.
(5) Se acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em uma prova, então,
obviamente, acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente em
uma prova.
Denote as proposições das sentenças anteriores da seguinte forma:
m: eu me dediquei a resolver a questão quando eu a vi anteriormente
a: aprendi a resolver a questão
d: decorei a solução da questão
i: acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em uma prova
p: acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente em uma prova
a) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribúıdas acima a cada sentença
(m, a, d, i e p) e os śımbolos da lógica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”).
b) Se não acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente em uma
prova, baseado nas premissas dadas, é verdadeiro ou falso que eu me dediquei a resolver a
questão quando eu a vi anteriormente?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para
cada questão, para encurtar sua solução.
c) Se acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em uma prova, baseado
nas premissas dadas, pode-se afirmar que eu aprendi a resolver a
questão ?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para
cada questão, para encurtar sua solução
Solução:
a) Escrevendo as premissas com a notação dada, temos
(1) m⇒ a ∨ d
(2) d⇒ m
(3) a⇒ i
(4) d⇒ p
(5) i⇒ p.
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b) Partindo da premissa de que não acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu
novamente em uma prova, temos que p é falsa. Logo, pela premissa (4), temos que d é falsa.
Pela premissa (5), temos também que i é falsa, logo por (3), a é falsa.
Até aqui, conclúımos que a e d são falsas, logo a∨d é falsa. Assim, pela premissa (1), conclui-se
que m é falsa.
Assim, é falso que eu me dediquei a resolver a questão quando eu a vi anteriormente.
c) Não se pode concluir.
Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposições i e p, e todas as demais falsas. Isto não
tornará falsas as premissas dadas, pois teremos
(1) F ⇒ F ∨ F
(2) F ⇒ F
(3) F ⇒ V
(4) F ⇒ V
(5) V ⇒ V ,
que são implicações válidas (o que não seria válido seria V ⇒ F ).Por outro lado, podem todas as proposições serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam
sendo respeitadas, pois
(1) V ⇒ V ∨ V
(2) V ⇒ V
(3) V ⇒ V
(4) V ⇒ V
(5) V ⇒ V .
Assim, é posśıvel i ser verdadeiro tanto em casos em que a é verdadeira como em casos em que
a é falsa.
Exerćıcio 16 Um empresa aceita pagamentos em cheque, boletos bancários de diversos bancos e
cartão de crédito. Avaliando os pagamento feitos pelos clientes e recebidos pela empresa, o diretor
percebeu, hoje, que:
(i) Se um pagamento foi feito com cheque, então o pagamento foi recebido.
(ii) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto era do Banco iTatu, então o pagamento não
foi recebido.
(iii) Se um pagamento foi com cartão de crédito e o pagamento foi feito semana passada, então ele
não foi recebido.
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a) Diga se é posśıvel concluir ou se não é posśıvel concluir cada uma das afirmações abaixo,
baseando-se apenas nas afirmações acima.
1. Todo pagamento feito com cheque foi recebido.
2. Se um pagamento foi recebido e foi feito com boleto, então este pagamento não é do Banco
iTatu.
3. Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto não era do Banco iTatu, então ele foi
recebido.
4. Se um pagamento foi recebido, então ele foi feito com cheque.
5. Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento foi recebido, então ele não foi feito
semana passada.
6. Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento não foi recebido, então ele foi feito
semana passada.
b) Se foram recebidos 25 pagamentos, quantos pagamentos, no máximo, foram feitos com cheque?
Se foram feitos 10 pagamentos com boleto, mas apenas 5 foram recebidos, pode-se dizer que 5
boletos eram do Banco iTatu? Em caso negativo, o que se pode garantir?
Justifique como chegou à conclusão.
Solução:
a) 1. É posśıvel concluir que todo pagamento feito com cheque foi recebido, pois um pagamento
feito com cheque e não recebido seria um contraexemplo para (i).
2. Se o pagamento foi recebido, é posśıvel concluir que o pagamento não é do Banco iTatu.
Se o pagamento com boleto fosse do Banco iTatu, então, por (ii), ele não teria sido recebido.
3. Não se pode concluir. A afirmação diz apenas que se o boleto é do iTatu, então ele não
foi recebido. A afirmação não diz nada sobre os boletos dos outros bancos. Por exemplo,
um pagamento feito com um boleto do Banco Santo André, e não recebido, não seria um
contraexemplo para a afirmação, pois não satisfaria a hipótese.
4. Não se pode concluir, ele pode ter sido feito com boleto de algum banco que não o iTatu,
ou pode ter sido feito com cartão de crédito antes da semana passada.
5. É posśıvel concluir! Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento foi recebido,
ele não pode ter sido feito na semana passada pois neste caso, por (ii), ele não teria sido
recebido.
6. Não é posśıvel concluir. A afirmação (iii) diz apenas que todo pagamento feito com cartão
na semana passada não foi recebido, mas nada impede que um pagamento feito antes disso,
por exemplo, também não tenha sido recebido.
b) Foram feitos, no máximo, 25 pagamentos com cheques. Por (i), todo pagamento com cheque foi
recebido, logo, se tivessem sido feitos mais de 25 pagamentos com cheque, haveria mais de 25
pagamentos recebidos.
Não se pode garantir que 5 boletos eram do iTatu, apenas que 5 pagamentos feitos com boleto
não foram recebidos. A afirmação (ii) garante que pagamentos de boletos do iTatu não foram
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recebido, mas não que apenas pagamentos deste banco não foram recebidos, como vimos no item
3. da questão anterior. O que pode ser garantido é que, no máximo, 5 boletos eram do iTatu
pois, se houvesse 6 ou mais boletos deste banco, haveria 6 ou mais pagamentos por boleto não
recebidos.
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