Artigo Collective Dinamycs of small-worlds networks em português

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cartas para a natureza
normalmente mais lento do que, 1 kms - 1) pode diferir significativamente do que é assumido pelos esforços de modelagem atuais 27 As diferenças de equação 
de estado esperadas entre pequenos corpos (gelo versus rocha, Dinâmica coletiva de
por exemplo) apresenta outra dimensão de estudo; tendo recentemente adaptado nosso 
código para arquiteturas massivamente paralelas (KM Olson e EA, manuscrito em 
preparação), agora estamos prontos para realizar uma análise mais abrangente.
As simulações exploratórias apresentadas aqui sugerem que quando um asteróide jovem 
e não poroso (se houver) sofre extensos danos de impacto, o padrão de fratura resultante 
define em grande parte a resposta do asteróide a impactos futuros. A natureza estocástica 
das colisões implica que pequenos interiores de asteróides podem ser tão diversos quanto 
suas formas e estados de spin. Simulações numéricas detalhadas de impactos,
como a resposta colisional do asteróide depende da configuração interna
redes de 'mundo pequeno'
Duncan J. Watts * e Steven H. Strogatz
Departamento de Mecânica Teórica e Aplicada, Kimball Hall, Cornell University, 
Ithaca, New York 14853, EUA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Redes de sistemas dinâmicos acoplados têm sido usadas para modelar osciladores 
biológicos. 1–4, Matrizes de junção Josephson 5,6, mídia excitável 7, redes neurais 8-10, jogos 
espaciais 11, redes de controle genético 12 e muitos outros sistemas de auto-organização. 
Normalmente, a topologia de conexão é considerada completamente regular ou 
completamente aleatória. Mas muitas redes biológicas, tecnológicas e sociais estão em 
algum lugar entre esses dois extremos. Aqui, exploramos modelos simples de redes que 
podem ser sintonizadas por meio desse meio-termo: redes regulares 'religadas' para 
introduzir quantidades crescentes de desordem. Descobrimos que esses sistemas podem 
ser altamente agrupados, como redes regulares, mas ainda assim ter pequenos 
comprimentos de caminho característicos, como gráficos aleatórios. Nós as chamamos de 
redes de 'mundo pequeno', por analogia com o fenômeno do mundo pequeno 13,14 ( popularmente 
conhecido como seis graus de separação 15).
A rede neural do worm Caenorhabditis elegans, a rede elétrica do oeste dos Estados 
Unidos e o gráfico de colaboração dos atores do cinema são mostrados como redes de 
pequeno mundo. Modelos de sistemas dinâmicos com acoplamento de mundo pequeno 
exibem velocidade aprimorada de propagação de sinal, poder computacional e 
sincronizabilidade. Em particular, as doenças infecciosas se espalham mais facilmente 
em redes de pequeno mundo do que em redes regulares.
Para interpolar entre redes regulares e aleatórias, consideramos o seguinte 
procedimento de religação aleatória (Fig. 1). A partir de uma estrutura de anel com n vértices 
e k arestas por vértice, reconfiguramos cada aresta aleatoriamente com probabilidade p. 
Esta construção nos permite 'ajustar' o gráfico entre regularidade ( p ¼ 0) e desordem ( p 
¼ 1) e, assim, sondar a região intermediária 0, p, 1, sobre o qual pouco se sabe.
Nós quantificamos as propriedades estruturais desses gráficos por seu comprimento de 
caminho característico L (p) e coeficiente de agrupamento C (p), conforme definido na legenda 
da Fig. 2. Aqui L (p) mede a separação típica entre dois vértices no gráfico (uma propriedade 
global), enquanto C (p)
mede o cliquismo de um bairro típico (uma propriedade local). As redes que 
nos interessam têm muitos vértices com conexões esparsas, mas não tão 
esparsas que o gráfico corre o risco de se desconectar. Especificamente, 
exigimos
n q k q em ð n º q 1, onde k q em ð n º garante que um gráfico aleatório será 
conectado 16 Neste regime, descobrimos que
L, n = 2 k q 1 e C, 3 = 4 como p → 0, enquanto L <L aleatória, em ð n Þ = em ð k º
e C <C aleatória, k = n p 1 como p → 1. Assim, a rede regular em p ¼ 0 é um grande mundo 
altamente agrupado onde eu cresce linearmente com n,
Considerando que a rede aleatória em p ¼ 1 é um mundo pequeno e mal agrupado, onde eu cresce 
apenas logaritmicamente com n. Esses casos limitantes podem levar alguém a suspeitar que grande C 
está sempre associado a grande EU, e pequeno C com pequeno EU.
Pelo contrário, a Fig. 2 revela que há um amplo intervalo de p
sobre as quais L (p) é quase tão pequeno quanto eu aleatória ainda C ð p º q C aleatória.
Essas redes de mundo pequeno resultam da queda imediata em L (p)
causado pela introdução de algumas arestas de longo alcance. Esses 'atalhos' conectam 
vértices que de outra forma seriam muito mais distantes
do que eu aleatória. Para pequeno p, cada atalho tem um efeito altamente não linear sobre EU, contraindo 
a distância não apenas entre o par de vértices
que conecta, mas entre seus bairros imediatos, bairros de bairros e assim por 
diante. Em contraste, uma vantagem
usando modelos de forma precisos e reologias, pode lançar luz sobre
e a forma e, portanto, como os planetesimais evoluem. Simulações detalhadas 
também são necessárias antes que se possa prever os efeitos quantitativos das 
explosões nucleares em cometas e asteróides que cruzam a Terra, seja para 
mitigação de riscos 28 por meio de interrupção e deflexão, ou para exploração de 
recursos 29 Tais previsões exigiriam reconhecimento detalhado sobre a composição 
e estrutura interna do objeto alvo.
M
Recebido em 4 de fevereiro; aceito em 18 de março de 1998.
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3 -
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Reconhecimentos. Este trabalho foi apoiado pelo Programa de Geologia e Geofísica Planetária da NASA.
A correspondência e os pedidos de materiais devem ser endereçados à EA (e-mail: asphaug@earthsci.ucsc. Edu).
* Endereço atual: Centro Paul F. Lazarsfeld de Ciências Sociais, Universidade de Columbia, 812 SIPA Building, 420 W118 St, New York, 
New York 10027, EUA.
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removido de uma vizinhança aglomerada para um atalho tem, no máximo, um efeito linear 
sobre C; conseqüentemente C (p) permanece praticamente inalterado para pequenas p Apesar 
de L (p) cai rapidamente. A implicação importante aqui é que a nível local (conforme refletido 
por C (p)), a transição para um mundo pequeno é quase indetectável. Para verificar a 
robustez desses resultados, testamos muitos tipos diferentes de gráficos regulares iniciais, 
bem como diferentes algoritmos para religação aleatória, e todos fornecem resultados 
qualitativamente semelhantes. O único requisito é que as arestas reconectadas devem 
conectar vértices que, de outra forma,
estar muito mais distante do que eu aleatória.
A construção idealizada acima revela o papel fundamental do short
cortes. Isso sugere que o fenômeno do mundo pequeno pode ser comum em redes 
esparsas com muitos vértices, já que até mesmo uma pequena fração de atalhos seria 
suficiente. Para testar essa ideia, calculamos eu e C para o gráfico de colaboração de 
atores em longas-metragens (gerado a partir de dados disponíveis em 
http://us.imdb.com), a rede de energia elétrica do oeste dos Estados Unidos e a rede 
neural do verme nematóide C. elegans 17 Todos os três gráficos são de interesse 
científico. O gráfico dos atores do filme é um substituto para uma rede social 18, com a 
vantagem de ser muito mais facilmente especi fi cado. É também semelhante ao 
gráfico de colaborações matemáticas centradas, tradicionalmente, em P. Erdös (dados 
parciais disponíveis em http: // www.acs.oakland.edu/,grossman/erdoshp.html). O 
gráfico da rede elétrica é relevante para a eficiência e robustez das redes elétricas 19 E C. 
elegans é o único exemplo de uma rede neural completamente mapeada.
A Tabela 1 mostra que todos os três gráficos são redes de pequeno mundo. Esses 
exemplos não foram escolhidos a dedo; eles foram escolhidos devido ao seu interesse 
inerente e porque diagramas de fiação completos estavam disponíveis. Assim, o fenômeno 
do pequeno mundo não é apenas uma curiosidade das redes sociais 13,14 nem um artefato de 
um idealizado
modelo - é provavelmente genérico para muitas redes grandes e esparsas encontradas na natureza.
Agora investigamos o significado funcional da conectividade de mundo pequeno 
para sistemas dinâmicos. Nosso caso de teste é um modelo deliberadamente 
simplificado para a propagação de uma doença infecciosa. A estrutura da população é 
modelada pela família de gráficos descritos na Fig. 1. No momento t ¼ 0, um único 
indivíduo infectante é introduzido em uma população saudável. Os indivíduos infectados 
são removidos permanentemente (por imunidade ou morte) após um período de doença 
que dura uma unidade de tempo adimensional. Durante este tempo, cada indivíduo 
infectante pode infectar cada um de seus vizinhos saudáveis com probabilidade r. Em 
etapas de tempo subsequentes, a doença se espalha ao longo das bordas do gráfico 
até que infecte toda a população ou morra, tendo infectado uma fração da população no 
processo.
Tabela 1 Exemplos empíricos de redes de pequeno mundo
eu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
real............................
eu correu C
. .
d..o..m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ac.tu.a..l ............................. ra.nd.o..m
. . .
C
0,79
0,080
0,28
Atores de cinema
Malha energética
C. elegans
3,65
18,7
2,65
2,99
12,4
2,25
0,00027
0,005
0,05
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comprimento característico do caminho eu e coeficiente de agrupamento C para três redes reais, em comparação com gráficos aleatórios 
com o mesmo número de vértices ( n) e o número médio de arestas por vértice ( k). ( Atores: n ¼ 225; 226, k ¼ 61. Rede elétrica: n ¼ 4; 941, k 
¼ 2:67. C. elegans: n ¼ 282,
k ¼ 14.) Os gráficos são definidos como segue. Dois atores são unidos por uma borda se eles atuaram juntos em um filme. Restringimos a 
atenção ao gigante componente conectado 16 desse gráfico, que inclui 90% de todos os atores listados no Internet Movie Database 
(disponível em http://us.imdb.com), a partir de abril de 1997. Para a rede elétrica, os vértices representam geradores, transformadores e 
subestações, e as bordas representam as linhas de transmissão de alta tensão entre eles. Para C. elegans, uma borda une dois neurônios 
se eles estiverem conectados por uma sinapse ou por uma junção de lacuna. Tratamos todas as arestas como não direcionadas e não 
ponderadas, e todos os vértices como idênticos, reconhecendo que essas são aproximações grosseiras. Todas as três redes
mostre o fenômeno do mundo pequeno: L) L aleatória mas C q C aleatória.
1
Regular Mundo pequeno Aleatória
0,8
C (p) / C ( 0)
0,6
0,4
L (p) / L ( 0)
0,2
0
0,0001p = 0 p = 1 0,001 0,01 0,1 1
Aumento da aleatoriedade
p
figura 1 Procedimento de religação aleatória para interpolação entre uma rede de anel regular e uma rede aleatória, 
sem alterar o número de vértices ou arestas no gráfico. Começamos com um anel de n vértices, cada um conectado 
ao seu k vizinhos mais próximos por bordas não direcionadas. (Para maior clareza, n ¼ 20 e k ¼ 4 nos exemplos 
esquemáticos mostrados aqui, mas muito maiores n e k são usados no restante desta Carta.) Escolhemos um 
vértice e a aresta que o conecta a seu vizinho mais próximo no sentido horário. Com probabilidade p, nós 
reconectamos esta aresta a um vértice escolhido uniformemente ao acaso em todo o anel, com arestas duplicadas 
proibidas; caso contrário, deixamos a borda no lugar. Repetimos esse processo movendo-nos no sentido horário ao 
redor do anel, considerando cada vértice por vez até que uma volta seja concluída. Em seguida, consideramos as 
arestas que conectamos vértices aos seus vizinhos mais próximos no sentido horário. Como antes, religamos 
aleatoriamente cada uma dessas arestas com probabilidade p,
e continue este processo, circulando ao redor do anel e prosseguindo para os vizinhos mais distantes após cada 
volta, até que cada aresta na rede original tenha sido considerada uma vez. (Como existem nk / 2 arestas em todo o 
gráfico, o processo de religação para após k / 2 voltas.) Três realizações deste processo são mostradas, para 
diferentes valores de p. Para p ¼ 0, o anel original permanece inalterado; Como p aumenta, o gráfico fica cada vez 
mais desordenado até que por p ¼ 1, todas as arestas são religadas aleatoriamente. Um dos nossos principais 
resultados é que para valores intermediários de p, o gráfico é uma rede de mundo pequeno: altamente agrupada 
como um gráfico regular, mas com pequeno comprimento de caminho característico, como um gráfico aleatório. (Ver 
Fig. 2.)
Figura 2 Comprimento característico do caminho L (p) e coeficiente de agrupamento C (p) para a família de gráficos 
reconectados aleatoriamente descritos na Fig. 1. Aqui eu é definido como o número de arestas no caminho mais curto 
entre dois vértices, calculada a média de todos os pares de vértices. O coeficiente de agrupamento C (p) é definido 
como segue. Suponha
aquele vértice v tem k v vizinhos; então no máximo k v ð k v 2 1 Þ = 2 arestas podem existir entre eles (isso ocorre quando 
cada vizinho de v está conectado a todos
vizinho de v). Deixei C v denotam a fração dessas bordas permitidas que realmente
existir. Definir C como a média de C v No geral v. Para redes de amizade, essas estatísticas têm significados 
intuitivos: eu é o número médio de amizades no
corrente mais curta conectando duas pessoas; C v reflete a extensão em que amigos de v
também são amigos um do outro; e assim C mede o cliquismo de um típico
círculo de amizade. Os dados mostrados na figura são médias de 20 realizações aleatórias do processo de religação 
descrito na Fig.1, e foram normalizados pelos valores EU( 0), C ( 0) para uma rede regular. Todos os gráficos têm n ¼ 1; 
000 vértices e um grau médio de k ¼ 10 arestas por vértice. Notamos que uma escala horizontal logarítmica foi 
usada para resolver a queda rápida em L (p), correspondendo ao início do fenômeno do mundo pequeno. Durante 
esta queda, C (p) permanece quase constante em seu valor para a rede regular, indicando que a transição para um 
mundo pequeno é quase indetectável no nível local.
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Dois resultados emergem. Primeiro, a infecciosidade crítica r metade, em que a doença infecta 
metade da população, diminui rapidamente para pequenas p
(Fig. 3a). Em segundo lugar, para uma doença que é suficientemente infecciosa para infectar toda a 
população, independentemente de sua estrutura, o tempo T (p)
necessário para a infecção global assemelha-se ao L (p) curva (Fig. 3b). Assim, prevê-se que as 
doenças infecciosas se espalhem com muito mais facilidade e rapidez em um mundo pequeno; o 
ponto alarmante e menos óbvio é como poucos atalhos são necessários para tornar o mundo 
pequeno.
Nosso modelo difere de algumas maneiras signi fi cativas de outros modelos de rede de 
disseminação de doenças 20–24. Todos os modelos indicam que a estrutura da rede influencia 
a velocidade e extensão da transmissão da doença, mas nosso modelo ilumina a dinâmica 
como uma função explícita da estrutura (Fig. 3), ao invés de algumas topologias 
particulares, como gráficos aleatórios, estrelas e cadeias 20–23. No trabalho mais próximo ao 
nosso, Kretschmar e Morris 24 mostraram que o aumento no número de parcerias 
simultâneas pode acelerar significativamente a propagação de uma doença sexualmente 
transmissível que se espalha ao longo das bordas de um gráfico. Todos os seus gráficos 
estão desconectados porque fixam o número médio de parceiros por pessoa em k ¼ 1. Um 
aumento no número de parcerias simultâneas causa uma propagação mais rápida, 
aumentando o número de vértices no maior componente conectado do gráfico. Em 
contraste, todos os nossos gráficos estão conectados; portanto, as mudanças previstas na 
dinâmica de propagação são devidas a características estruturais mais sutis do que 
mudanças na conexão. Além disso,
mudanças no número de parceiros simultâneos são óbvias para um indivíduo, ao passo que as 
transições que levam a um mundo menor não são. Também examinamos o efeito da 
conectividade de mundo pequeno em três outros sistemas dinâmicos. Em cada caso, os 
elementos foram acoplados de acordo com a família de gráficos descritos na Fig. 1. (1) Para 
autômatos celulares encarregados da tarefa computacional de classificação de densidade 25, descobrimos 
que uma simples 'regra da maioria' rodando em um gráfico de mundo pequeno pode superar 
todas as regras conhecidas geradas por algoritmos humanos e genéticos rodando em uma 
rede de anel. (2) Para o 'dilema do prisioneiro' iterativo e multijogador 11 jogado em um gráfico, 
descobrimos que à medida que a fração de atalhos aumenta, é menos provável que a 
cooperação surja em uma população de jogadores usando um 'titfor-tat' generalizado 26 estratégia. 
A probabilidade de estratégias cooperativas evoluindo de uma combinação inicial cooperativa / 
não cooperativa também diminui com o aumento p. ( 3) Redes de mundo pequeno de 
osciladores de fase acoplados sincronizam quase tão prontamente quanto no modelo de 
campo médio 2, apesar de ter ordens de magnitude menos arestas. Este resultado pode ser 
relevante para a sincronização observada de neurônios amplamente separados no córtex 
visual 27 se, como parece plausível, o cérebro tem uma arquitetura de mundo pequeno.
Esperamos que nosso trabalho estimule mais estudos sobre redes de pequenos 
mundos. Sua combinação distinta de alto agrupamento com comprimento de caminho 
característico curto não pode ser capturada por aproximações tradicionais, como aquelas 
baseadas em redes regulares ou gráficos aleatórios. Embora a arquitetura de mundo 
pequeno não tenha recebido muita atenção, sugerimos que provavelmente será 
amplamente difundida em sistemas biológicos, sociais e feitos pelo homem, muitas vezes 
com importantes consequências dinâmicas.
M
uma
Recebido em 27 de novembro de 1997; aceito em 6 de abril de 1998.
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4 -
5
6
7
8
9
0,35
0,3
r
0,25
metade
0,2
0,15
0,0001 0,001 0,01 0,1 1
p
b
1
T (p) / T ( 0)
L (p) / L ( 0)0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,0001 0,001 0,01 0,1 1
p
Figura 3 Resultados da simulação para um modelo simples de propagação de doenças. A estrutura da comunidade 
é dada por uma realização da família de religados aleatoriamente
gráficos usados na Fig. 1. uma, Infecciosidade crítica r metade, em que a doença infecta metade da população, diminui 
com p. b, A Hora T (p) necessário para um máximo
doença infecciosa ( r ¼ 1) para se espalhar por toda a população tem essencialmente as mesmas formas funcionais 
do comprimento do caminho característico L (p). Mesmo que apenas alguns por cento das arestas na rede original 
sejam religadas aleatoriamente, o tempo para a infecção global é quase tão curto quanto para um gráfico aleatório.
Reconhecimentos. Agradecemos a B. Tjaden por fornecer os dados do fi lmactor e a J. Thorp e K. Bae pelos dados do Western States 
Power Grid. Este trabalho foi financiado pela US National Science Foundation (Divisão de Ciências Matemáticas).
A correspondência e os formulários de pedidos devem ser dirigidos a D.JW (e-mail: djw24@columbia.edu ).
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Nature © Macmillan Publishers Ltd 1998
NATUREZA | VOL 393 | 4 de junho de 1998
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