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30 6 – Mudança de variável em integrais duplas Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida numa região fechada e limitada R do plano xy. Através de uma mudança de variáveis x = x (u, v) y = y (u, v) a integral dupla sobre uma região R do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região R’ no plano uv. A integral pode então ser escrita como: ∫∫∫∫ ∂ ∂ = RR dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf ),( ),()),(),,((),( onde ),( ),( vu yx ∂ ∂ é o chamado determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, dado por v y u y v x u x vu yx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ),( ),( . O número jacobiano acima pode ser interpretado como uma medida de quanto a mudança de variáveis modifica a área da região. 6.1 – Coordenadas Polares As equações θcosrx = e θsenry = , são as coordenadas polares das coordenadas cartesianas (x, y). O determinante jacobiano neste caso, é dado por: r r r r yx = − = ∂ ∂ θθ θθ θ cossen sencos ),( ),( e a integral dupla sobre a região como ∫∫∫∫ = RR rdrdrrfdxdyyxf θθθ )sen,cos(),( 6.2 – Exemplos e Exercícios: 1) Calcular ∫∫ += R dxdyyxI 22 , sendo R o círculo de centro na origem e raio 2. 2) Calcular ∫∫ += R yx dxdyeI 22 , sendo R é a região do plano xy delimitada por x 2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9 31 3) Calcular ∫∫ + R dxdyyx 222 )( , onde R é a região da figura 1. 4) Calcular ∫∫ + R dxdyyx )sen( 22 , onde R é a região da figura 2. 5) Calcular ∫∫ ++R yx dxdy 221 , onde R é a região da figura 3. 6) Calcular ∫∫ ++R yx dxdy 2 3 22 )1( , onde R é a região da figura 4. 7) Calcular ∫∫ += R dxdyyxI 22 , sendo R a região delimitada por x2 + y2 = 1 e x 2 + y2 = 9. 8) Calcular ∫∫ + R yx dxdye )(2 22 , sendo R o círculo x2 + y2 < 4. 9) Calcular ∫∫ −−= R dxdyyxI )8( , sendo R delimitada por x2 + y2 = 1. Interpretar geometricamente. Respostas: 3) 3 32pi 4) )4cos1( 2 − pi 5) 5ln 8 5pi 6) ) 1 11( 2 2a+ − pi 7) 3 52pi 8) )1( 2 8 −e pi 9) pi8 32 6.2 – Aplicações Conforme já discutido, a integral dupla nos permite o cálculo do volume de um sólido. Além disso pode ser utilizada para calcular áreas de regiões planas e massas de superfícies, entre outras aplicações. Se na expressão ∫∫ R dxdyyxf ),( , fazemos f(x,y) = 1, obtemos ∫∫ R dA que nos dá a área da região de integração R. 6.3 – Exemplo 1) Calcular a área da região R delimitada por x = y 2 + 1 e x + y = 3. 2) Calcular o volume do sólido do tetraedro dado na figura ao lado: 3) Calcular a massa da chapa delimitada por ≤≤ ≤≤ = 30 50 y x R sabendo que a densidade de um ponto qualquer ),( yx dessa região, é dado por 1),( ++= yxyxf . 6.4 – Exercícios 1) Expresse através de uma integral dupla a área da região do primeiro quadrante do plano xy delimitada por 2xy = e 4=y . Calcule-a. 2) Seja A a região limitada pelas curvas y = x, y = 4x e xy = 36. a) indique como você calcularia A usando integral simples b) indique como você calcularia A usando integral dupla c) calcule A 3) Seja V o volume de um sólido delimitado por x = 0, x = 8, z = 8 – 2y2, z=0 a) indique como você calcularia V usando integral simples b) indique como você calcularia V usando integral dupla c) calcule V 4) Calcular os volumes dos sólidos delimitados pelas superfícies abaixo: a) y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4 b) x2 + y2 = 1, z = 0 e z = x2 + y2 33 c) x2 + y2 = 4, y + z = 8 e z = 0 5) Calcular o volume do sólido com uma base triangular no plano xy de vértices O(0, 0), A(1, 1), e B(0, 2); limitado superiormente por z = 2x e lateralmente pelo contorno da base dada. 6) Calcular o volume do sólido obtido no 1º octante, delimitado por z = 1 – 2x – 3y e os planos coordenados. 7) Determinar a área da região plana R delimitada pelas curvas y = x3, x + y = 2 e y = 0. 8) Calcule a massa da chapa indicada na figura abaixo sabendo que a densidade superficial de um ponto ),( yx é 1),( 22 ++= yxyxf . Respostas: 1) 16/3 2) 36 ln2 3)96 4) a) 3 128 b) 2 pi c) pi32 5) 3 2 6) 36 1 7) 4 3 8) 26 24 aa +
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