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O limite 0,3 representa o volume no qual a substância começa a se transformar de liquido em gás. (C)lim 1 não cxiste, pois os limites laterais à direita eà esquerda em (a) e (b) são diferentes. (Em P - 100, as formas gasosa e líquida coexistem em equilíbrio, e a substância não pode ser classificada seja como gás ou como líquido.) EXERCÍCIOS 2.1 Exeres. 1-10: Ache o limite: Exercs. 25-30: Ache cada limite, se existe: 1 lim (3x - 1) 2 lim ( +2) (a) lim fx) (b lim fx) (c) lim fx) x-2 x-3 xa xa 3 lim x 4 lim (-x) 25 ft)-4 x4 x-3 a = 4 5 lim 7 6 lim 100 X+5 26 fx) +5 100 x7 a = -5 lim 8 lim (-1) x-1| 27 fx) = Vx +6 +x; a = - 6 xT 9 lim --1 2x + 1 xt4 10 lim4 28 fx) - V5-2 -*; a = x. Exeres. 11-24: Use uma simplificação algébrica para acharo limite, se existe. 29 fx)- a = 0 11 (x+3)x4) 12 lim (x+ 1)x +3) 30 fx) a = 8 11 lim .-3 x+ 3)(r + 1) x+1 x-1 2x-6x +X-3 *-3 Exeres. 31-40: Use o gráfico para determinar cada limite, quando existe 13 lim 14 lim- x3 ~2 2 (a) lim flx) (b) lim fx) () lim r) -r +2r-3 16 lim 2 15 lim -1 2+5r-7 r-3+7r+ 12 (d) lim f(x) (e) lim f(r) D lim f) K-16 17 lim k2 vx -5 x0 0 18 lim 25X-25 k4 31 19 lim h)- 2 h 20 lim+h° -x' h 0 21 lim +8 22 lim h2 h-4 h-8 h-2 h +2 23 lim -2 - 2z - 8 Z4 24 lim2 102 + 25 (b) Se n é um inteiro maior do que 1, determine: lim C(x) e lim Cx) 40 n 49 A próxima figura é um gráfico das forças-g experimentadas por um astronauta durante a de- colagem de uma nave espacial com dois lança- dores de foguete. (Uma força de 2g's é duas vezes a força da gravidade, 3g's de três vezes a força da gravidade etc.) Se F(t) denota a força-g aos minutos de vôo, determine e interpreteExercs. 41-46: Esboce o gráfico de fe ache cada limite se existe: (a) lim F() (a) lim flr) (b) lim fx) () lim flx) 1 (b) lim F(1) e lim F) x1 3,5 3,5 x<l 1 fa)= ]*-1 se (c)lim F(t) e lim F() se 5 I5* 42 fx)3-x se xs 1 F() (g's) se x>1 43 fx)= -1 se xs1 13-x se >1 10 Primeiro Foguete 8 Segundo Foguete 44 f(x) = se * 1 se X=1 Nave Espacial x+1 se 45 fu)-1 x <1 X =1 se Aterrissagem X+1 X>1 se 2 t(minutos) se X<1 50 Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um remédio. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f{t) do remédio presente na corrente sangüínea após t horas é exibida na figura. Determine e interprete lim f(t) e lim f(t). (Veja 46 flx)- 2 -2 se x>1 se x =1 47 Um país taxa em 15% a renda de um indivíduo até $20.000 e em 20% a renda acima daquele limite. t8 8 a figura a seguir) (a) Determine uma função T definida por partes para o imposto total sobre uma renda de x dólares. S) (mg) b) Ache Tu). Tx) e lim x-20.000 lim 400 x20.000 300 48 Uma companhia telefônica debita 25 centavos pelo primeiro minuto de ligação interurbana, e 15 centavos para cada minuto adicional. 200 100 (a) Determine uma função C definida por partes para o custo total de uma ligação de x minutos. 48 12 16 20 t(horas) Podem-se formular definições formais para limites laterais Para o limite à direita x a' substituímos a condição 0<- al<ò na Definição (2.4) por a <x <a+ö. Em termos na Definição (2.5) alternativa, restringimos x à metade direita (a, a + d) do intervalo (a - d, a + d). Da mesma forma, para o limite à esquerda x -a substituímos 0 < |x- a < ð em (2.4) por a - 8 <x<a. Isto equivale a restringir x à metade esquerda (a - ô, a) do intervalo (a - 8, a + ð) em (2.5). EXERCÍCIoS 2.2 13 lim 5x = 15 14 lim (-4x) = -20 Exercs. 1-2: Expressea condição de limite na forma (a) da Definição (2.4) e (b) da Definição Alternativa (2.5). x3 x5 15 lim (2x + 1) = -5 16 lim (5x - 3) = 7 x2 1 lim ) = K 2 lim ft) = M I C 17 lim (10 - 9x) = 64 18 lim (15 - 8x) = -17 x4 X -6 Exercs. 3-6: Expresse a condição de limite lateral em forma semelhante (a) à da Definição (2.4)e (b) à da Definição Alternativa (2.5). 19 lim (3-5x) -0 20 lim (9-x) 8 x6 x> 6 3 lim glx) = C 4 lim h(2) = L 21 lim 5 =5 22 lim 3 =3 x3 x5 P Z a 23 lim c=c para todos os números reais aec 5 lim fe = N 6 lim s(x) = D 24 lim (nx + b) = ma + b para todos os números reais Exercs. 7-12: Para lim fx) = Lee dados, use o gráfico de f para achar o maior ô, tal que se 0<-d< 8, então fx) -L| <e. xa m, b, e aa Exercs. 25-30: Use o método gráfico ilustrado no Exemplo 2 para verificar o limite para a > 0. 4x-9 X- lim 3/2 2r-6; e = 0,01 25 limx =a 26 lim (t+ 1) -d.l X-a 8 lim -4; = 0,1 27 lim=" 28 lim = a 9 lim x = 16; ¬ = 0,1 x4 29 lim v = Va 30 lim =va a 10 lim = 27; E = 0,011 x3 Exercs. 31-38: Use o método ilustrado nos Exem plos 3 e 4 para mostrar que o limite não existe 11 lim -4; = 0,1 x 6 31 lim -3 3- 3 2 lim +2 +2 12 lim Vx = 3; = 0,1 X27 33 lim +3 2x- 10 34 lim Exercs. 13-24: Use a Definição (2.4) para provar que o limite existe. -5 5 35 lim 7 36 lim 4 X - EXERCICIOS 2.3 4x- 6x+ 3 Exercs. 1-48: Use os teoremas so- 20 bre limites para determinar o limite, im quando existe. 1/2 16xr +8x - 7 h 0 39 limt-2 1 - 1 2x+5x 3 1 lim 15 xv2 21 lim - 1/2 6r - 7x + 2 x- 7x + 10 40 lim -64 x 2 lim 2 22 lim 2 8 1 5 x2 2 3 lim x 41 lim v2 (3v - 4)9 - v) 23 lim *-2 x-2 r-2) x-2 3 4 lim x 42 lim v3kF+4 V3k++2 2x3 . 3 k2 24 lim 5 lim (3x - 4) x-2 *+ Sx + 6 43 lim (V-25 +3) x5 X4 x+8 25 lim 6 lim (-3x + 1) -2 x* - 16 44 lim xV9-? x-2 26 lim -16 x16 Vx -4 X3 7 lim S -2 4x + 3 45 lim-3 27 limL/a)-(1/2) x-2 X3 - 3 2x 1 8 lim 3x+1 x2 46 lim X+ 10 x+3 28 x-3 lim (1/x) +(1/3) 9 lim (-2x + 5 x-10"V(x + 10) x1 47 limt V2r- 10O x+3 10 lim (3x -1 29 lim - x>-2 48 lim - 16 x4 X+4 11 lim (3x 9100 30 lim V x3 x1 12 lim (4x - 1)S0 Exercs. 49-52: Determine cada li- 31 lim 2Vx + 3/2 X165 1/2 mite, se existir: 13 lim (3x -2x+7) (a) lim fx) (b) lim flx)2 32 lim 163 -8 4-x/3 Xa 14 lim (5x - 9x - 8) (c) lim f(x) a x4 15 lim ( +3)(x - 4) 33 lim Vr-5x -4 49 fx) = VS - x; a = 5 x4 50 f(x) = V8- x"; a = 2 34 lim Vx- 4x+1I 16 lim (3 + 4(7t -9) 2 51 fl)= V-1; a = 1 I-3 35 lim 2+5-3 x-1 17 lim (x - 3,1416) 52 ftr) = ; a= -8 7 x3 Exercs. 53-56: Seja n um inteiro arbitrário. Esboce o gráfico de fe determine lim flx) e lim f{x). lim x- G) 36 lim 7 X + 19 lim s-1 S4 2s 9 4- V16+ h lim 37 53 fx) = (-1" se n sx<n+ h-0 h EXERCÍCIOS 2.4 Exercs. 1-10: Para a flx) dada, expresse cada um dos seguintes limites como o, -o ou NE (não existe): 21 lim 8+ x(x + 1) 22 lim 4x-3 --Vr+1 (a) lim fx) (b) lim fx) (c)lim f«) a xa t a 23 lim sen x 24 lim cos x 5 x 1 f)--4 a 4 x -4 Exercs. 25-26: Investigue o limite, fazendo X= 10" para n = 1, 2, 3 e 4. 2 fc)4-x a = 4 1 25 lim 1 26 lim vr sen X 3 flx) = (2+5)3 a = - Exercs. 27-36: Ache as assíntotas verticais e hori- zontais do gráfico de f. 4 fx)= 7x +3 a 27 fo)2-4 5x 28 fx) 4- 3x 5 fx)= 8 a =-8 (r+ 8) 22 29 flx) 3x 30 fx) 2+1 3ax2 9 6 Sx)- (2r-9) a- 1 31 fx) +-6x 32 f)- 2x 7 fu)=?-x-2 a =-1 33 fx)- *+3r+2 +2x -3 34 f-25 4x 8 flu)=24r+3 a = 1 V16- X+4 35 f) 16 36 flx) = 4 x 9 fx)= ( -3* a = 3 Exercs. 37-40: Uma função f satisfaz as condições indicadas. Esboce um gráfico de f, supondo que ele não corte uma assíntota horizontal. 10 fu)y+ 1? a =-1 (r+1)2 37 lim f(x) = 1; lim fr) = 1; Exercs. 11-24: Determine o limite, se existir. lim flr) = oo 52-3x+1 2x+4x-7 3a-x+ 11 12 x lim ór + 2-7 lim fr) = - o; 3 x3 11 lim x 38 lim f(x) = - 1; lim fx) = - 1; (3x+ 4) (x - 1) 14 x lim (2x + 7) (x +2) - 00 13 lim+3x 13 lim 4-7x lim f(r) = - o 2 lim flr) = o; 2x- x+3 22 3 16 lim 15 lim 39 lim f(r) = - 2; lim flu) - 2: x 4x"+ 5x +2 18 lim x - 1 -2x lim f(x) = co; lim f()= o; 17 lim x 3 x 22- 3 3+x +1 -5 lim fr) - o lim fx)- 19 lim 2- x+3 20 lim - I - I x X -- Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de fcomo removíveis,tipo salto, ou infinitas. 1 I1 fr)--1 se xe< 1 14-x se xz 1 se xsT 12 f)-3-x 13 ft)-+3 se x* -2 Se x -2 14 fx)= -se x1 se x = 1 8 A x+1 se x<1 15 fx)-1 +1 se X= 1 se x>1 se x < 1 16 fx) =1 se X = 1 x-2 se x>1 17 f)-xr" sen cos C18 fu)- sen (ré- 1) (- 1) Exercs. 19-22: Mostre que f é contínua em a. 19 fx)-v2r -5+ 3x; a=4 20 f)- VF+2: a-5 21 ft)- 3 +7- 10 22 flx)- 2+ 1 a-8 Exeres. 23-30: Explique por que f nao é continua em a. 3 23 fx)- a =-2 x2 Cap. 2 Limites de funções 109 x-9 se x3 25 f(x)=x-3 4 X-1 43 f)- 44 fl)- a3 se X3 45 fx)X + 9| X+9 46 f) +1 x-9 se x-3 26 fx)- x+3 a-3 5 47 f)-? 2 Se X = -3 4x 7 (x+ 3) (+ 2x 8) 48 f(x)= 27 f(x)= se x»3 0 se X = 3 a = 3 -3 se x3 St)- V-9 V25- 49 flx)= 28 fx)= X -3 a = 3 - 4 se x = 3 50 fx)= V9 -r -6 Sen x se X 00 C 29 fx)=. a = 0 se X = 0 51 f(x) = tan 2x 52 f(x) cot 1- coS Xse X*0 53 flx) cscx 54 f(x) = sec 3x a= 0 30 f)- Se x = 0 Exercs. 55-58: Verifique o teorema do valor inter- mediário (2.26) para f no intervalo indicado [a, b] mostrando que se f(a) s wsf(b), então flc) = w para algum c em [a, b]. Exercs. 31-34: Determine todos os múmeros para os quais fédescontínua. 5 32 f)= 2-4x 12 55 flx) = r'+1; [-1, 2] 31 f +x -6 56 fr)= [0,2] x - 1 33 fo)+x -2 x-4 34 f)2-x- 12 57 flu) x - x; [1, 31| Exercs. 35-38: Mostre que f é contínua no intervalo dado. 58 fx)- 2-x* -2,-1 59 Se f) = x' - 5x+ 7x - 9, use o teorema do va- lor intermediário (2.26) para provar que existe um número real a tal que f(a)- 100. 35 fx)-Vr-4; 14, 8]; 38 flx)-,(1,3) 36 fu)- V16-x; (-, 16) 60 Prove que a equação - 3- 2r - ttl - 0 tem uma solugão entre 0 e l. 37 fx) (0, o), Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais Jé contínua. C)61 Em modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleraçào gravitacional g constante 9,8 m/seg. Na verdade, g varia com a altitude. Se é a latitude (em graus), então: -9 3x-5 39 flx) 2-x -3 40 f)--3 g(0)-9,78049(1 +0,005264 sen e+0,000024 sen' 8). é uma formula que aproxima 8 42 fo)V-4 41 fx)= V2r -3+x 110 Cáiculo con Geometria Analítica Cap. 2 Use o teorema do valor intermediário para mos- irar que 8 - 9,8 cm algum ponto entre as lati- tudes 35° e 40°. onde h é a altitude (em metros, acima do nível do mar). Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a água ferve a 98°C a uma al- titude entre 4.000c 4.500 metros. C62 A temperatura T (em °C) na qual a água ferve é dada aproximadamente pela fórmula Th) - 100.862 0,0415 Vh + 431,03 2.6 EXERcÍCIOS DE REVISÃO Exercs. 1-26: Ache cada limite, se existir. 25 lim - 26 lim -1 IVx -1 1 lim 5x + 11 6 7x 2 lim t-3 Vx +1 x-2 (3 + 2x)* Exercs. 27-32: Esboce o gráfico da funçãof definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir. 3 lim (2x - V4+) 4 lim (x-V16-2) -2 x- 4 (a) lim fx) (b) lim f(x) (c) im fx) 2x+X-6 6 lim -x- 10 x-2 -x- 2 5 lim xa a x3/2 4x - 4x -3 27 t)- se Xs52 a = 2 x- 16 x>2 Se 7 lim 8 lim x~2 -x-2 X-5 X-3" 10 lim La)- (1/5) x - 5 se xs 2 28 fl)-4-2x se x>2 9 lim a = 2 x5 II lim `r- 1 1/2 2x - 1 12 lim 5 se x< -3 29 f)-2 x2 a = -3 se xz -3 14 im -V2 x~2 * -2 3-x 13 lim x-3|3-x| se r ss - 15 lim +h' - a4 h 0 (2+h)3-2-3 30 fr)=? 16 lim a= -5 4+ k0 se x>-3 17 lim V 18 lim (V5 - 2x - x) Se x 3 31 f)-2 5/2 Se =1 a 1 (2x-5) (3x + 1) 2a lim 2x t+ 11 se > >1 19 lim (X+ 7) (4x - 9) Vr +T 6-7x se 0 32 fr)- 2 21 lim 22 lim A-100 (3+ 2x V+100 Se =0 33 Use a Definigào (2.4) para provar que lin (Sx- 21) = 9 23 lim 24 lm 2/3 4-92 3/5x - 3
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