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Estado triplo de deformações 2

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1 
ESTADO DE DEFORMAÇÕES 
 
Exercício 
Dado o estado de tensão {σ}xyz a que se encontra submetido um elemento de um material cujos 
módulos de elasticidade e coeficiente de Poisson são iguais a 800 MPa e 0,35, respectivamente, 
 
 
{σ}xyz = {
3330 422 150
422 500 44
150 44 800
} (kPa) 
Determinar: 
a) Estado de deformações {ε}x,y,z. 
b) Deformações principais de duas maneiras. 
 - A partir de {ε}x,y,z. 
 - A partir das tensões principais e da Lei de Hooke. 
c) Deformação Octaédricas. 
d) Deformação volumétrica: 
 - A partir de {ε}x,y,z. 
 - A partir de {ε}1,2,3. 
 - A partir de {ε}octaédricas. 
e) Para este mesmo material e para o estado de tensão do Ex. 4, calcular os estados de 
deformação correspondentes aos tensores hidrostático e desviatório. Comentar os resultados 
encontrados. 
 
Parte 1 – Estado de Deformações 
A partir do estado de tensões proposto, podemos identificar o pseudo-vetor {σ}xyz e 
correlaciona-lo com as deformações através da relação constitutiva: 
 
2 
{
 
 
 
 
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝜀𝑥𝑦
𝜀𝑥𝑧
𝜀𝑦𝑧}
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
𝐸
−𝑣
𝐸
−𝑣
𝐸
1
𝐸
−𝑣
𝐸
−𝑣
𝐸
−𝑣
𝐸
−𝑣
𝐸
1
𝐸
1
𝐺
1
𝐺 1
𝐺 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
×
{
 
 
 
 
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧}
 
 
 
 
 
Onde, 
𝐺 = 
𝐸
2(1 + 𝑣)
=
800000
2(1 + 0,35)
= 296300 𝑘𝑃𝑎 
Dessa forma, segue que 
{
 
 
 
 
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝛾𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑧}
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
8 × 105
−0,35
8 × 105
−0,35
8 × 105
1
8 × 105
−0,35
8 × 105
−0,35
8 × 105
−0,35
8 × 105
−0,35
8 × 105
1
8 × 105
1
2,97 × 105
1
2,97 × 105 1
2,97 × 105
]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
×
{
 
 
 
 
3330
500
800
422
150
44 }
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝛾𝑥𝑦
𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑧}
 
 
 
 
=
{
 
 
 
 
3,59 × 10−3
−1,18 × 10−3
−6,76 × 10−4
1,42 × 10−3
5,06 × 10−4
1,49 × 10−4 }
 
 
 
 
 
Contudo, observa-se uma relação entre as componentes de deformação angular e as 
componentes de deformações cisalhantes tensoriais 
𝛾𝑥𝑦 = 2𝜀𝑥𝑦 
{
 
 
 
 
𝜀𝑥
𝜀𝑦
𝜀𝑧
𝜀𝑥𝑦
𝜀𝑥𝑧
𝜀𝑦𝑧}
 
 
 
 
=
{
 
 
 
 
3,59 × 10−3
−1,18 × 10−3
−6,76 × 10−4
7,12 × 10−4
2,53 × 10−4
7,43 × 10−5 }
 
 
 
 
 
Dessa forma, o estado de deformações se resume a 
 
3 
{𝛾}𝑥𝑦𝑧 = [
3,59 × 10−3 7,12 × 10−4 2,53 × 10−4
7,12 × 10−4 −1,18 × 10−3 7,43 × 10−5
2,53 × 10−4 7,43 × 10−5 −6,76 × 10−4
] 
 
Parte 2 – Invariantes de Deformações 
Do desenvolvimento do estado triplo de deformações sabe-se que os três invariantes 
de deformação podem ser obtidos por: 
𝐼′1 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 
𝐼′2 = 𝜀𝑥𝜀𝑦 + 𝜀𝑦𝜀𝑧 + 𝜀𝑥𝜀𝑧 − 𝜀𝑥𝑦
2 − 𝜀𝑦𝑧
2 − 𝜀𝑥𝑧
2 = 𝜀1𝜀2 + 𝜀2𝜀3 + 𝜀1𝜀3 
𝐼′3 = 𝜀𝑥𝜀𝑦𝜀𝑧 + 2𝜀𝑥𝑦𝜀𝑦𝑧𝜀𝑥𝑧 − 𝜀𝑥𝜀𝑦𝑧
2 − 𝜀𝑦𝜀𝑥𝑧
2 − 𝜀𝑧 𝜀𝑥𝑦
2 = 𝜀1𝜀2𝜀3 
Colocando 10-5 em evidência, obtemos para o tensor de deformações: 
𝐼′1 = (359,4 − 118,2 − 67,6) × 10
−5 = 1,74 × 10−3 
𝐼′2 = (359,4 × 118,2 + 118,2 × 67,6 + 359,4 × 67,6 − 71,2
2 − 25,32 − 7,42) × 10−5
= −6,45 × 10−6 
𝐼′3 = (359,4 × 118,2 × 67,6 + 2(71,2 × 25,3 × 7,4) − 359,4 × 25,3
2 − 118,2 × 7,42
− 67,6 × 71,22) × 10−5 = 3,29 × 10−9 
 
Parte 3 – Deformações Principais 
A partir das invariantes de deformação, pode-se construir a equação característica do 
estado triplo de deformações: 
𝜀3 − 𝐼′1𝜀
2 + 𝐼′2𝜀 − 𝐼′3 = 0 
𝜀3 − 1,71 × 10−3𝜀2 × −6,45 × 10−6𝜀 − 3,29 × 10−9 = 0 
As raízes da equação característica (autovalores) fornecem as deformações principais 
atuantes no corpo. Desenvolvendo a resolução da equação cúbica, obtemos: 
𝜀1 = 3,71 × 10
−2 
𝜀2 = −6,89 × 10
−3 
𝜀3 = −1,29 × 10
−2 
 
Parte 4 – Deformações Principais via Estado de Tensões 
Podemos determinar as deformações principais a partir do estado de tensões de um 
corpo, pois sendo o material isotrópico, elástico e linear, os eixos de tensões e deformações 
principais coincidem. Sendo o estado de tensão 
 
4 
{σ}xyz = {
3330 422 150
422 500 44
150 44 800
} (kPa) 
As invariantes de tensões e equação característica do estado de tensão são 
𝐼1 = (3330 + 500 + 800) = 4,63 × 10
3 𝑘𝑃𝑎 
𝐼2 = (3330 × 500 + 800 × 500 + 3330 × 800 − 422
2 − 1502 − 442) = 4,23 × 106 𝑘𝑃𝑎² 
𝐼3 = (3330 × 500 × 800 + 2(422 × 150 × 44) − 3330 × 44
2 − 500 × 1502
− 800 × 4222) = 1,77 × 10−9 𝑘𝑃𝑎³ 
 
𝑆3 − 4,63 × 103𝑆2 + 4,23 × 106𝑆 − 1,77 × 10−9 = 0 
As raízes da equação característica (autovalores) fornecem as tensões principais 
atuantes no corpo. Desenvolvendo a resolução da equação cúbica, obtemos: 
𝜎1 = 3400,95 𝑘𝑃𝑎 
𝜎2 = 792,16 𝑘𝑃𝑎 
𝜎3 = 436,88 𝑘𝑃𝑎 
A partir das relações constitutivas, é possível determinar as componentes de 
deformação correspondentes a este estado de tensão. Ressalvando que nas direções 
principais as tensões cisalhantes e deformações distorcionais são nulas, temos 
𝜀1 = 
1
𝐸
[𝜎1 − 𝑣(𝜎2 + 𝜎3)] = 
1
8 × 105
[3400,95 − 0,35(792,16+ 436,88)] = 3,71 × 10−3 
𝜀2 = 
1
𝐸
[𝜎2 − 𝑣(𝜎1 + 𝜎3)] = 
1
8 × 105
[792,16− 0,35(3400,95+ 436,88)] = −6,89 × 10−4 
𝜀3 = 
1
𝐸
[𝜎3 − 𝑣(𝜎1 + 𝜎2)] = 
1
8 × 105
[436,88− 0,35(3400,95+ 792,16)] = −1,29 × 10−3 
 
Parte 5 – Deformações Octaédricas 
As deformações octaédricas normal e cisalhante podem ser determinadas pelas 
expressões: 
𝜀𝑚 = 𝜀𝑜𝑐𝑡 =
𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3
3
=
(37,1 + 6,89 + 12,9) × 10−4
3
= 5,79 × 10−4 
 
𝛾𝑜𝑐𝑡
2 =
1
9
[(𝜀1 − 𝜀2)
2 + (𝜀2 − 𝜀3)
2 + (𝜀3 − 𝜀1)
2] 
 
5 
𝛾𝑜𝑐𝑡
2 =
1
9
[(3,71 × 10−3 − 6,89 × 10−4)2 + (−6,89 × 10−4 − 1,29 × 10−3)2
+ (−1,29 × 10−3 + 3,71 × 10−3)2] 
𝛾𝑜𝑐𝑡 = ± 2,23 × 10
−2 
 
Parte 6 – Deformação Volumétrica Total 
A deformação volumétrica total do corpo pode ser obtida por algumas correlações. 
• A partir da deformação média do estado de deformações do corpo: 
{𝜀𝑣}𝑥,𝑦,𝑧 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = (35,9 − 11,8 − 6,8) × 10
−4 = 1,74 × 10−3 
 
• A partir da deformação octaédrica: 
{𝜀𝑣}𝑜𝑐𝑡 = 3𝜀𝑜𝑐𝑡 = 3 × 5,79 × 10
−4 = 1,74 × 10−3 
 
• A partir das deformações principais do corpo: 
{𝜀𝑣}1,2,3 = 3𝜀𝑚 = 3
𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3
3
= (37,1 + 6,89 + 12,9) × 10−4 = 1,74 × 10−3 
 
Parte 7 – Estados de Deformação Esférico e Desviatório 
Os estados de deformações esférico e desviatório podem ser obtidos a partir dos 
estados de tensões correspondentes. Para a determinação do estado de tensões hidrostático, 
faz-se necessário a determinação da tensão média do corpo: 
𝜎𝑚 = 
𝐼1
3
=
4630
3
= 1543 𝑘𝑃𝑎 
O estado hidrostático de tensões é determinado por 
[𝜎]𝑝 = [
𝜎𝑚 0 0
0 𝜎𝑚 0
0 0 𝜎𝑚
] = [
1543 0 0
0 1543 0
0 0 1543
] 𝑘𝑃𝑎 
O estado desviatório de tensões é obtido por 
[𝜎]𝑆𝑑 = [
𝜎𝑥 − 𝜎𝑚 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 − 𝜎𝑚 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 − 𝜎𝑚
] = [
3330 − 1543 422 150
422 500 − 1543 44
150 44 800 − 1543
] 𝑘𝑃𝑎 
[𝜎]𝑆𝑑 = [
1787,7 422 150
422 −1043,3 44
150 44 −743,3
] 𝑘𝑃𝑎 
 
 
6 
A partir das relações constitutivas, pode-se determinar as deformações 
correspondentes aos estados hidrostáticos e desviatório: 
• Estado Hidrostático: 
𝜀𝑥 = 
1
𝐸
[𝜎𝑥 − 𝑣(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] =
1
𝐸
[𝜎𝑚 − 𝑣(𝜎𝑚 + 𝜎𝑚)] =
𝜎𝑚(1 − 2𝑣)
𝐸
 
𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 =
1543(1 − 2 × 0,35)
8 × 105
= 5,79 × 10−4 
 
𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 → 𝜀𝑥𝑦 = 𝜀𝑥𝑧 = 𝜀𝑦𝑧 = 0 
 
• Estado Desviatório 
𝜀𝑥 = 
1
𝐸
[𝜎𝑥 − 𝑣(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] =
1
8 × 105
[1787,7 − 0,35(−1043,3 − 743,3)] = 3,02 × 10−3 
𝜀𝑦 = 
1
𝐸
[𝜎𝑦 − 𝑣(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] =
1
8 × 105
[−1043,3 − 0,35(1787,7 − 743,3)] = −1,76 × 10−3 
𝜀𝑧 = 
1
𝐸
[𝜎𝑧 − 𝑣(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥)] =
1
8 × 105
[−743,3 − 0,35(−1043,3 + 1787,7)] = −1,25 × 10−3 
 
𝛾𝑥𝑦 =
𝜏𝑥𝑦
𝐺
=
422
2,96 × 105
= 1,42 × 10−3 → 𝜀𝑥𝑦 =
1,42 × 10−3
2
= 7,12 × 10−4 
𝛾𝑥𝑧 =
𝜏𝑥𝑧
𝐺
=
150
2,96 × 105
= 5,06 × 10−4 → 𝜀𝑥𝑧 =
5,06 × 10−4
2
= 2,53 × 10−4 
𝛾𝑦𝑧 =
𝜏𝑦𝑧
𝐺
=
44
2,96 × 105
= 1,49 × 10−4 → 𝜀𝑥𝑦 =
1,49 × 10−4
2
= 7,43 × 10−5 
 
Em notação tensorial, 
• Tensor de Deformação Esférica 
[𝜀]𝑝 = [
5,79 × 10−4 0 0
0 5,79 × 10−4 0
0 0 5,79 × 10−4
] 
 
• Tensor de Deformação Desviatória[𝜀]𝑆𝑑 = [
3,02 × 10−3 7,12 × 10−4 2,53 × 10−4
7,12 × 10−4 −1,76 × 10−3 7,43 × 10−5
2,53 × 10−4 7,43 × 10−5 −1,25 × 10−3
] 
 
Observa-se que as variações de volume estão associadas ao tensor de deformação 
esférico (deformações puras). O tensor desviador de deformação representa distorção pura 
(mudança de forma). 
 
7

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