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1 ESTADO DE DEFORMAÇÕES Exercício Dado o estado de tensão {σ}xyz a que se encontra submetido um elemento de um material cujos módulos de elasticidade e coeficiente de Poisson são iguais a 800 MPa e 0,35, respectivamente, {σ}xyz = { 3330 422 150 422 500 44 150 44 800 } (kPa) Determinar: a) Estado de deformações {ε}x,y,z. b) Deformações principais de duas maneiras. - A partir de {ε}x,y,z. - A partir das tensões principais e da Lei de Hooke. c) Deformação Octaédricas. d) Deformação volumétrica: - A partir de {ε}x,y,z. - A partir de {ε}1,2,3. - A partir de {ε}octaédricas. e) Para este mesmo material e para o estado de tensão do Ex. 4, calcular os estados de deformação correspondentes aos tensores hidrostático e desviatório. Comentar os resultados encontrados. Parte 1 – Estado de Deformações A partir do estado de tensões proposto, podemos identificar o pseudo-vetor {σ}xyz e correlaciona-lo com as deformações através da relação constitutiva: 2 { 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑦𝑧} = [ 1 𝐸 −𝑣 𝐸 −𝑣 𝐸 1 𝐸 −𝑣 𝐸 −𝑣 𝐸 −𝑣 𝐸 −𝑣 𝐸 1 𝐸 1 𝐺 1 𝐺 1 𝐺 ] × { 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧} Onde, 𝐺 = 𝐸 2(1 + 𝑣) = 800000 2(1 + 0,35) = 296300 𝑘𝑃𝑎 Dessa forma, segue que { 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧} = [ 1 8 × 105 −0,35 8 × 105 −0,35 8 × 105 1 8 × 105 −0,35 8 × 105 −0,35 8 × 105 −0,35 8 × 105 −0,35 8 × 105 1 8 × 105 1 2,97 × 105 1 2,97 × 105 1 2,97 × 105 ] × { 3330 500 800 422 150 44 } { 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧} = { 3,59 × 10−3 −1,18 × 10−3 −6,76 × 10−4 1,42 × 10−3 5,06 × 10−4 1,49 × 10−4 } Contudo, observa-se uma relação entre as componentes de deformação angular e as componentes de deformações cisalhantes tensoriais 𝛾𝑥𝑦 = 2𝜀𝑥𝑦 { 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑦𝑧} = { 3,59 × 10−3 −1,18 × 10−3 −6,76 × 10−4 7,12 × 10−4 2,53 × 10−4 7,43 × 10−5 } Dessa forma, o estado de deformações se resume a 3 {𝛾}𝑥𝑦𝑧 = [ 3,59 × 10−3 7,12 × 10−4 2,53 × 10−4 7,12 × 10−4 −1,18 × 10−3 7,43 × 10−5 2,53 × 10−4 7,43 × 10−5 −6,76 × 10−4 ] Parte 2 – Invariantes de Deformações Do desenvolvimento do estado triplo de deformações sabe-se que os três invariantes de deformação podem ser obtidos por: 𝐼′1 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 𝐼′2 = 𝜀𝑥𝜀𝑦 + 𝜀𝑦𝜀𝑧 + 𝜀𝑥𝜀𝑧 − 𝜀𝑥𝑦 2 − 𝜀𝑦𝑧 2 − 𝜀𝑥𝑧 2 = 𝜀1𝜀2 + 𝜀2𝜀3 + 𝜀1𝜀3 𝐼′3 = 𝜀𝑥𝜀𝑦𝜀𝑧 + 2𝜀𝑥𝑦𝜀𝑦𝑧𝜀𝑥𝑧 − 𝜀𝑥𝜀𝑦𝑧 2 − 𝜀𝑦𝜀𝑥𝑧 2 − 𝜀𝑧 𝜀𝑥𝑦 2 = 𝜀1𝜀2𝜀3 Colocando 10-5 em evidência, obtemos para o tensor de deformações: 𝐼′1 = (359,4 − 118,2 − 67,6) × 10 −5 = 1,74 × 10−3 𝐼′2 = (359,4 × 118,2 + 118,2 × 67,6 + 359,4 × 67,6 − 71,2 2 − 25,32 − 7,42) × 10−5 = −6,45 × 10−6 𝐼′3 = (359,4 × 118,2 × 67,6 + 2(71,2 × 25,3 × 7,4) − 359,4 × 25,3 2 − 118,2 × 7,42 − 67,6 × 71,22) × 10−5 = 3,29 × 10−9 Parte 3 – Deformações Principais A partir das invariantes de deformação, pode-se construir a equação característica do estado triplo de deformações: 𝜀3 − 𝐼′1𝜀 2 + 𝐼′2𝜀 − 𝐼′3 = 0 𝜀3 − 1,71 × 10−3𝜀2 × −6,45 × 10−6𝜀 − 3,29 × 10−9 = 0 As raízes da equação característica (autovalores) fornecem as deformações principais atuantes no corpo. Desenvolvendo a resolução da equação cúbica, obtemos: 𝜀1 = 3,71 × 10 −2 𝜀2 = −6,89 × 10 −3 𝜀3 = −1,29 × 10 −2 Parte 4 – Deformações Principais via Estado de Tensões Podemos determinar as deformações principais a partir do estado de tensões de um corpo, pois sendo o material isotrópico, elástico e linear, os eixos de tensões e deformações principais coincidem. Sendo o estado de tensão 4 {σ}xyz = { 3330 422 150 422 500 44 150 44 800 } (kPa) As invariantes de tensões e equação característica do estado de tensão são 𝐼1 = (3330 + 500 + 800) = 4,63 × 10 3 𝑘𝑃𝑎 𝐼2 = (3330 × 500 + 800 × 500 + 3330 × 800 − 422 2 − 1502 − 442) = 4,23 × 106 𝑘𝑃𝑎² 𝐼3 = (3330 × 500 × 800 + 2(422 × 150 × 44) − 3330 × 44 2 − 500 × 1502 − 800 × 4222) = 1,77 × 10−9 𝑘𝑃𝑎³ 𝑆3 − 4,63 × 103𝑆2 + 4,23 × 106𝑆 − 1,77 × 10−9 = 0 As raízes da equação característica (autovalores) fornecem as tensões principais atuantes no corpo. Desenvolvendo a resolução da equação cúbica, obtemos: 𝜎1 = 3400,95 𝑘𝑃𝑎 𝜎2 = 792,16 𝑘𝑃𝑎 𝜎3 = 436,88 𝑘𝑃𝑎 A partir das relações constitutivas, é possível determinar as componentes de deformação correspondentes a este estado de tensão. Ressalvando que nas direções principais as tensões cisalhantes e deformações distorcionais são nulas, temos 𝜀1 = 1 𝐸 [𝜎1 − 𝑣(𝜎2 + 𝜎3)] = 1 8 × 105 [3400,95 − 0,35(792,16+ 436,88)] = 3,71 × 10−3 𝜀2 = 1 𝐸 [𝜎2 − 𝑣(𝜎1 + 𝜎3)] = 1 8 × 105 [792,16− 0,35(3400,95+ 436,88)] = −6,89 × 10−4 𝜀3 = 1 𝐸 [𝜎3 − 𝑣(𝜎1 + 𝜎2)] = 1 8 × 105 [436,88− 0,35(3400,95+ 792,16)] = −1,29 × 10−3 Parte 5 – Deformações Octaédricas As deformações octaédricas normal e cisalhante podem ser determinadas pelas expressões: 𝜀𝑚 = 𝜀𝑜𝑐𝑡 = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 3 = (37,1 + 6,89 + 12,9) × 10−4 3 = 5,79 × 10−4 𝛾𝑜𝑐𝑡 2 = 1 9 [(𝜀1 − 𝜀2) 2 + (𝜀2 − 𝜀3) 2 + (𝜀3 − 𝜀1) 2] 5 𝛾𝑜𝑐𝑡 2 = 1 9 [(3,71 × 10−3 − 6,89 × 10−4)2 + (−6,89 × 10−4 − 1,29 × 10−3)2 + (−1,29 × 10−3 + 3,71 × 10−3)2] 𝛾𝑜𝑐𝑡 = ± 2,23 × 10 −2 Parte 6 – Deformação Volumétrica Total A deformação volumétrica total do corpo pode ser obtida por algumas correlações. • A partir da deformação média do estado de deformações do corpo: {𝜀𝑣}𝑥,𝑦,𝑧 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 = (35,9 − 11,8 − 6,8) × 10 −4 = 1,74 × 10−3 • A partir da deformação octaédrica: {𝜀𝑣}𝑜𝑐𝑡 = 3𝜀𝑜𝑐𝑡 = 3 × 5,79 × 10 −4 = 1,74 × 10−3 • A partir das deformações principais do corpo: {𝜀𝑣}1,2,3 = 3𝜀𝑚 = 3 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 3 = (37,1 + 6,89 + 12,9) × 10−4 = 1,74 × 10−3 Parte 7 – Estados de Deformação Esférico e Desviatório Os estados de deformações esférico e desviatório podem ser obtidos a partir dos estados de tensões correspondentes. Para a determinação do estado de tensões hidrostático, faz-se necessário a determinação da tensão média do corpo: 𝜎𝑚 = 𝐼1 3 = 4630 3 = 1543 𝑘𝑃𝑎 O estado hidrostático de tensões é determinado por [𝜎]𝑝 = [ 𝜎𝑚 0 0 0 𝜎𝑚 0 0 0 𝜎𝑚 ] = [ 1543 0 0 0 1543 0 0 0 1543 ] 𝑘𝑃𝑎 O estado desviatório de tensões é obtido por [𝜎]𝑆𝑑 = [ 𝜎𝑥 − 𝜎𝑚 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 − 𝜎𝑚 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 − 𝜎𝑚 ] = [ 3330 − 1543 422 150 422 500 − 1543 44 150 44 800 − 1543 ] 𝑘𝑃𝑎 [𝜎]𝑆𝑑 = [ 1787,7 422 150 422 −1043,3 44 150 44 −743,3 ] 𝑘𝑃𝑎 6 A partir das relações constitutivas, pode-se determinar as deformações correspondentes aos estados hidrostáticos e desviatório: • Estado Hidrostático: 𝜀𝑥 = 1 𝐸 [𝜎𝑥 − 𝑣(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] = 1 𝐸 [𝜎𝑚 − 𝑣(𝜎𝑚 + 𝜎𝑚)] = 𝜎𝑚(1 − 2𝑣) 𝐸 𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = 1543(1 − 2 × 0,35) 8 × 105 = 5,79 × 10−4 𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 → 𝜀𝑥𝑦 = 𝜀𝑥𝑧 = 𝜀𝑦𝑧 = 0 • Estado Desviatório 𝜀𝑥 = 1 𝐸 [𝜎𝑥 − 𝑣(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] = 1 8 × 105 [1787,7 − 0,35(−1043,3 − 743,3)] = 3,02 × 10−3 𝜀𝑦 = 1 𝐸 [𝜎𝑦 − 𝑣(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] = 1 8 × 105 [−1043,3 − 0,35(1787,7 − 743,3)] = −1,76 × 10−3 𝜀𝑧 = 1 𝐸 [𝜎𝑧 − 𝑣(𝜎𝑦 + 𝜎𝑥)] = 1 8 × 105 [−743,3 − 0,35(−1043,3 + 1787,7)] = −1,25 × 10−3 𝛾𝑥𝑦 = 𝜏𝑥𝑦 𝐺 = 422 2,96 × 105 = 1,42 × 10−3 → 𝜀𝑥𝑦 = 1,42 × 10−3 2 = 7,12 × 10−4 𝛾𝑥𝑧 = 𝜏𝑥𝑧 𝐺 = 150 2,96 × 105 = 5,06 × 10−4 → 𝜀𝑥𝑧 = 5,06 × 10−4 2 = 2,53 × 10−4 𝛾𝑦𝑧 = 𝜏𝑦𝑧 𝐺 = 44 2,96 × 105 = 1,49 × 10−4 → 𝜀𝑥𝑦 = 1,49 × 10−4 2 = 7,43 × 10−5 Em notação tensorial, • Tensor de Deformação Esférica [𝜀]𝑝 = [ 5,79 × 10−4 0 0 0 5,79 × 10−4 0 0 0 5,79 × 10−4 ] • Tensor de Deformação Desviatória[𝜀]𝑆𝑑 = [ 3,02 × 10−3 7,12 × 10−4 2,53 × 10−4 7,12 × 10−4 −1,76 × 10−3 7,43 × 10−5 2,53 × 10−4 7,43 × 10−5 −1,25 × 10−3 ] Observa-se que as variações de volume estão associadas ao tensor de deformação esférico (deformações puras). O tensor desviador de deformação representa distorção pura (mudança de forma). 7
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