Apostila Fundamentos da matemática

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FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA 
Luciana Maria Margoti 
Araujo
Porcentagem
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar sobre porcentagem.
 � Transformar razões em taxas percentuais.
 � Utilizar porcentagem em situações-problema.
Introdução
Neste capítulo, você aprenderá sobre porcentagem e verificará como 
contas simples, baseadas em frações, podem auxiliar na resolução de 
muitos problemas. 
Embora muito utilizada em problemas financeiros, outras aplicações 
úteis e relevantes são apresentadas com o uso da porcentagem.
Porcentagem
Utiliza-se porcentagem com muita frequência no dia a dia: para determinar 
descontos, juros, rendimentos e impostos, por exemplo. Por esse motivo, ela 
é muito usada em relações e operações financeiras, além de sua aplicação em 
situações mais simples, como na menção de proporção de ingredientes em 
uma receita de bolo.
Antes de iniciar com a sua utilização propriamente dita, você deve saber 
o que é uma razão centesimal. Sempre que uma fração é representada pela 
razão que tem o denominador igual a 100, ela é dita centesimal.
5
100
39
100
84
100; ;
Sendo assim, pensando em "metade" representada por uma fração cente-
simal, se denominador da razão precisa ser 100, metade disto é 50:
50
100
Assim, tem-se uma razão centesimal que representa metade. Para com-
provar, basta simplificar a fração e verificar que, ao final, restará 1/2, que é 
igual a 0,5.
Todas as frações representadas por razões centesimais são lidas de maneira 
que o número presente no numerador esteja "sobre cem", "centésimos" ou 
"dividido por cem". Assim:
11
100
Pode-se ler a razão acima como: onze sobre cem, onze centésimos ou 
onze dividido por cem. Da relação de 100 com um inteiro, na fração acima, 
entendemos que foram tomadas 11 partes de 100 disponíveis. E assim surge 
a ideia de porcentagem, indicando a fração tomada de 100.
Agora, considere a fração:
20
100
Lê-se "vinte dividido por cem", que pode ser representada por: 
0,20
ou vinte centésimos.
Ao multiplicar este número por 100, teremos a expressão de porcentagem, 
representada pelo símbolo %. Assim:
0,20 × 100 = 20%
onde lemos "vinte por cento" (vinte por cem).
Porcentagem2
Vamos a mais alguns exemplos!
Três por cento:
3
100 = 0,03 ou 3%
Quinze por cento:
15
100 = 0,15 ou 15%
Trinta e dois por cento:
32
100 = 0,32 ou 32%
Cento e sessenta por cento:
160
100 = 1,6 ou 160%
Ana e Flávio possuíam 100 bolinhas de gude, cada um. Ana ganhou mais 20 bolinhas 
de gude de seu avô. Qual foi a porcentagem de aumento do número de bolinhas de 
gude de Ana em relação ao de Flávio?
Como os dois possuíam a mesma quantidade, a comparação será realizada somente 
determinando a porcentagem que Ana possui a mais, após o presente de seu avô. Assim:
20
100 = 0,20 ou 20%
Ana possui, agora, 20% de bolinhas de gude a mais que Flávio.
3Porcentagem
Transformação de razões em taxas percentuais
Nem sempre as frações a serem definidas nas porcentagens estarão em uma 
razão centesimal.
Para uma pizza grande, dividida em oito pedaços, qual seria a porcentagem 
equivalente a um pedaço?
Utilizando as noções de frações, faremos a relação (razão) entre um pedaço 
de um total de oito pedaços:
1
8 = 0,125
Agora que já sabemos a representação decimal da fração, para transformar 
0,125 em porcentagem, basta multiplicar por 100 e acrescentar o símbolo "%".
0,125 × 100 = 12,5%
Logo, um pedaço de pizza, de um total de oito pedaços, representa 12,5% 
(doze e meio por cento) da pizza. De fato, se cada pedaço representar 12,5% 
ou 0,125, a soma dos oito pedaços é:
0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 + 0,125 = 1
ou,
0,125 × 8 = 1
onde "1" representa o inteiro ou 100% da pizza.
Imagine, agora, que uma biblioteca possui 5630 livros e pretende aumentar 
esta quantidade em 30%. Depois de novas aquisições, quantos livros essa 
biblioteca possuirá.
Primeiramente, é necessário determinar a quantidade de livros correspon-
dentes a 30% de um total de 5.630. Ou seja, certa quantidade de livros (x), 
dividida por 5630, deverá resultar em 30% ou 0,30:
x
5630 = 0,30
Porcentagem4
Assim, multiplicando 0,30 por 5630, você saberá a quantidade de livros 
correspondentes a esse percentual:
5.630 × 0,30 = 1.689
A biblioteca fará a aquisição de 1.689 livros, resultando um total de:
5.630 + 1.689 = 7.319 livros
Ao comprar uma camisa que custa R$ 69,50 à vista, a loja dará 15% de 
desconto. Qual será o valor pago nessa compra?
Novamente, você precisa descobrir o valor referente a 15% de R$ 69,50. 
Como você viu no exemplo anterior, para descobrir essa quantidade, basta 
multiplicar o valor total pela porcentagem (em número decimal) correspondente. 
Após, realizar a subtração:
69,50 × 0,15 = 10,425
Calculado o valor do desconto, para saber quanto será pago, basta diminuir 
este desconto do valor total:
69,50 – 10,425 = 59,075
Provavelmente, o valor pago nessa compra será, aproximadamente, de 
R$ 59,10. Por ser tratar de um valor em dinheiro, o preço cobrado precisa ser 
compatível com o troco a ser entregue ao comprador. Dessa maneira, o valor 
de R$ 59,075 foi arredondado para R$ 59,10.
Ao atrasar por um mês o pagamento de sua conta de telefone, você foi 
informado de que ao valor dela, que era de R$ 46,00, seriam acrescidos 5% 
de juros. Qual é o valor, em dinheiro, correspondente aos juros? Quanto você 
deverá pagar nessa conta?
5% de 46 = × 46 ou 0,05 × 46
5
100
5Porcentagem
resultando em R$ 2,30 de juros que serão cobrados. Portanto, o valor a 
ser pago na conta será de:
46 + 2,30 = 48,30
Pensando ainda no problema acima, se sua conta fosse considerada como 
100%, o valor que era devido, ao acrescentar 5% de juros, seriam pagos 105% 
do valor total ou:
105% ÷ 100 = 1,05
Assim:
46 × 1,05 = 48,30
Já indicando o total a ser pago, somando-se os juros.
Imaginamos, agora, que, em uma gincana da escola, três equipes foram 
divididas e receberam a tarefa de arrecadar dinheiro para ajudar o asilo da 
cidade. Ao final da apuração, a equipe azul havia arrecadado 40% a mais que a 
equipe laranja; e a equipe laranja, 15% a mais que a equipe verde. Sabendo-se 
que a equipe verde conseguiu arrecadar R$ 485,00, quais foram os valores 
conseguidos pelas equipes azul e laranja.
Como foi apresentado o valor arrecadado pela equipe verde, e o valor 
arrecadado pela equipe laranja está relacionado a ele, você pode verificar 
que a equipe laranja, tendo arrecadado 15% a mais que a verde, conseguiu 
115% do valor daquela equipe. Assim, a equipe laranja arrecadou R$557,15:
115% ÷ 100 = 1,15
1,15 × 485 = 557,75
Já o valor conseguido pela equipe azul está relacionado ao valor da equipe 
laranja. Assim, a partir de agora, o valor arrecadado pela equipe laranja passa 
a ser o inteiro, ou 100%. Logo, como a equipe azul conseguiu 40% a mais que 
a laranja, chegou, então, a 140% do valor desta equipe:
140% ÷ 100 = 1,4
Porcentagem6
Ou seja:1,4 × 557,75 = 780,85
A equipe azul conseguiu arrecadar R$780,85.
Como você viu até aqui, a porcentagem dá solução a inúmeras situações, sejam elas 
financeiras ou não. É preciso atenção ao operar com porcentagens, uma vez que, para 
realizar as operações, você deverá tirar o símbolo de %, dividindo o número por 100. 
Por exemplo, 3% é igual a 3/100, que resulta em 0,03.
Porcentagem em situações-problema
Verificaremos como podem ser aplicados os conceitos de porcentagem em 
variadas situações. Como você já percebeu, todas as vezes que a quantidade 
referida for menor que o inteiro (100%), em números decimais, ela assumirá 
um valor entre zero e um, ou menor que 100%.
Uma sala de aula com 40 alunos tem 25% de meninas. Qual é a quantidade 
de meninas nessa sala?
25
100 = 0,25
40 × 0,25 = 10 alunas
Na compra de uma geladeira com valor de R$ 2.500,00, a loja informou 
que cobra 3% de juros (simples) ao mês, independentemente de quantas vezes 
o pagamento será parcelado. Você decidiu dividir o pagamento da geladeira 
em6 parcelas. Qual será o valor total de juros cobrados? Qual será o valor 
de cada parcela?
Como o pagamento será dividido em 6 parcelas a juros simples, os juros 
serão calculados pela quantidade de meses a serem divididas as parcelas, 
sobre o valor total da geladeira. Ou seja, 3% vezes as 6 parcelas que você 
pretende pagar:
7Porcentagem
3
100 × 6 = 0,18 ou 18% de juros no total
Assim, 18% de R$ 2.500,00 indicará o valor a ser acrescido no preço da 
geladeira com o pagamento parcelado:
18
100 × 2.500 = 450
O valor total da geladeira, parcelado, será de R$ 2.500,00 + R$ 450,00 = 
R$ 2.950,00. Divido em 6 parcelas:
2.950 ÷ 6 ≅ 491,67
Cada parcela será de, aproximadamente, R$ 491,67.
Para vender uma maior quantidade de produtos, uma loja resolve conceder 
30% de desconto para todos os clientes que fizerem suas compras à vista. Ana 
deseja comprar um conjunto de moletom, cujo valor é R$ 129,00, uma calça 
jeans de R$ 89,90 e uma camiseta de R$ 56,00. Pagando à vista, qual será o 
valor de desconto obtido por Ana?
Antes de determinar o desconto, você precisa verificar o valor total da 
compra de Ana:
129 + 89,90 + 56 = 274,90
A partir daí, verificar o desconto que é de 30% ou 30/100 = 0,30:
0,30 × 274,90 = 82,47
O desconto de Ana será de R$ 82,47.
Em janeiro deste ano, um pacote de arroz custava R$ 18,50. Em dezembro, 
essa mesma marca de arroz passou a ser vendida por R$ 21,30. Qual foi o 
aumento, em porcentagem, ocorrido?
Porcentagem8
Você precisa determinar qual é a proporção entre os dois valores. Como 
houve um aumento, espera-se um resultado acima de 100%. Assim:
21,30
18,50 = 1,1513
O arroz passou a ser vendido por 1,1513 vezes mais que o preço do início 
do ano ou: 
1,1513 × 100 = 115,13
Houve um aumento de 15,13% acima do valor oferecido em janeiro.
LIMA, D. M.; GONZALEZ, L. E. F. Matemática aplicada à informática. Porto Alegre: Book-
man, 2015. (Série Tekne).
ZOT, W. D.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015.
9Porcentagem
FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA
Rafael Stefani
Equação do primeiro grau
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir uma equação do primeiro grau.
 � Identificar os termos da equação do primeiro grau.
 � Resolver problemas envolvendo equação do primeiro grau.
Introdução
Neste capítulo, trataremos de outro tema importante para a matemática: 
a utilização de letras no lugar de números. Mas, afinal, do que estamos 
falando?
Imaginamos a seguinte situação: Fernando é encanador e vive às 
voltas com vazamentos, canos furados, paredes com infiltrações, etc. Ele 
cobra 15 reais para fazer o orçamento (ou seja, para analisar o problema) 
e mais 12 reais por hora de trabalho. Em determinado dia, Fernando foi 
chamado para reparar uma pia que estava vazando. Na visita de orça-
mento, ele calculou que gastaria duas horas para consertá-la. Assim, o 
preço cobrado foi 39 reais. Qual a relação que existe entre os valores 
cobrados por Fernando e a equação do primeiro grau?
Equação do primeiro grau
Conforme Giovanni e Parente (1999), primeiramente, é preciso compreender 
que toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual exista uma 
ou mais letras que representem números, é denominado equação. Cada letra 
é chamada de variável ou incógnita.
Um exemplo numérico do que foi dito acima é a seguinte equação: 
–4x + 10 = 3x – 1
A expressão situada à esquerda do sinal de igual é chamada de primeiro 
membro da equação (–4x + 10), e a expressão à direita do sinal é chamada 
segundo membro da equação (3x – 1).
Antes de voltarmos para o problema do encanador, precisamos percorrer, 
ainda, outros conceitos que envolvem a ideia de equação. Primeiramente, 
consideraremos o seguinte problema.
Quais são os elementos do conjunto U = {–4, 1, 2, 4} que tornam a equação 
x2 = 16 uma sentença verdadeira?
Se x =–4, temos que (–4)2 = 16 ou 16 = 16, o que é uma afirmação 
verdadeira.
Se x = 1, temos que (1)2 = 16 ou 1 = 16, o que é uma afirmação falsa.
Se x = 2, temos que (2)2 = 16 ou 4 = 16, o que é uma afirmação falsa.
Se x = 4, temos que (4)2 = 16 ou 16 = 16, o que é uma afirmação 
verdadeira.
Dessa forma, os números –4 e 4 são chamados de raízes ou solução de 
uma equação. Para Giovanni e Parente (1999), raízes de uma equação são os 
elementos do conjunto universo que, substituídos na incógnita (nesse caso, o 
x2), tornam essa equação uma sentença verdadeira.
Já o conjunto solução da equação é formado pelas raízes da equação (caso 
existam). No problema acima, o conjunto solução é S = {–4, 4}. Mas, por que 
isso ocorre? Ora, porque –4 e 4 são os números do conjunto universo U {–4, 
1, 2, 4} que tornam x2 = 16 uma sentença verdadeira. Em outras palavras, não 
podemos dizer que 12 = 16, assim como não podemos dizer que 22 = 16 — são 
afirmações falsas. A afirmação verdadeira para o conjunto universo U = {–4, 
1, 2, 4} é que apenas (–4)2 e 42 são valores iguais a 16 e, portanto, consideradas 
a solução da equação.
Agora, considere um conjunto universo U = {2, 4}. 
Qual elemento tornará a sentença 3x – 1 = 5 verdadeira?
Vejamos o número 2, substituindo-o na sentença:
3 · (2) – 1 = 5 6 – 1 = 5 5 = 5
Teremos como resultado que 5 = 5, portanto sabemos de antemão que 2 
está inserido no conjunto solução.
Vamos ao segundo elemento, o número 4:
3 · (4) – 1 = 5 12 – 1 = 5 11 ≠ 5
Equação do primeiro grau2
Substituindo a incógnita, agora, pelo número 4, para verificar se a sentença 
é verdadeira, chegamos à conclusão que 11 ≠ 5. Portanto, o conjunto solução 
nesse caso é S = {2}.
Agora que já entendemos como se resolve uma equação, mergulharemos 
no mundo da equação do primeiro grau.
Segundo Pesco e Arnaut (2010), equação do primeiro grau é toda sentença 
aberta em uma variável real x, que pode ser expressa na forma ax + b = 0, onde 
a e b são o números reais e a ≠ 0. Comprovar essa afirmação determinando o 
conjunto-solução da equação ax + b = 0:
ax + b = 0 ⇔ ax = –b ⇔ x = –b/a, a ≠ 0.
Agora, podemos voltar ao nosso amigo Fernando e entender de que forma 
a equação do primeiro grau entra no nosso cotidiano.
Vamos ao problema sob o viés matemático.
A visita de orçamento é igual a R$ 15,00.
Fernando diagnosticou que gastaria duas horas para realizar o trabalho.
Então, como chegamos ao valor de R$ 39,00?
15 + 12 × 2 = 39
visita
de
orçamento
preço
por
hora
horas
de
trabalho
Utilizaremos a letra x, por exemplo, para representar a quantidade de horas 
trabalhadas. Logo, a expressão algébrica ficará da seguinte maneira:
15 + 12 × X = 39
visita
de
orçamento
preço
por
hora
horas
de
trabalho
Ou, de forma habitualmente aceita, 15 + 12x.
A letra x é chamada de variável de expressão. Ainda, essa expressão algé-
brica permite-nos calcular o custo de qualquer serviço realizado por Fernando. 
Vamos a outro exemplo prático: quanto custaria um serviço a ser realizado 
em 14 horas de trabalho? Se soubermos que x representa a quantidade de horas 
de trabalho, basta substituí-lo na expressão algébrica:
3Equação do primeiro grau
15 + 12x = ?
15 + 12 · 14= 183
Logo, Fernando cobraria R$ 183,00 por esse serviço.
Uma das mais importantes ferramentas de que a matemática dispõe para a resolução 
de problemas ligados a situações concretas são as equações. O inglês Isaac Newton, 
um dos maiores cientistas que a humanidade conheceu, escreveu: “para resolver 
problemas referente a números, ou relações entre quantidades, basta traduzir tal 
problema da linguagem corrente para a linguagem da álgebra, isto é, a linguagem 
das equações” (GIOVANNI; PARENTE, 1999). E foi exatamente isso que fizemos no caso 
do encanador Fernando. 
Termos da equação do primeiro grau 
Já mencionamos, na seção anterior, que uma equação é dividida em membros. 
Compreenderemos um pouco melhor esta característica.
De forma resumida, na seguinte equação, a incógnita é x; tudo que antecede 
o sinal de igualdade denomina-se 1° membro da equação, e o que sucede, 2°membro. 
2x – 8 = 3x – 10
Portanto, 2x – 8 caracteriza o primeiro membro da equação, e 3x – 10 
apresenta-se como segundo membro da equação.
Ademais, cada uma das parcelas que compõem o membro de uma equação 
é chamada de termo da equação.
No exemplo acima, é possível observar os seguintes termos:
2x – 8 = 3x – 10
> termos da equação.
Logo, é possível afirmar que essa equação contém quarto termos.
Observe o Quadro 1, a seguir.
Equação do primeiro grau4
Incógnitas 1° membro
2° 
membro
termos
4x – 3 = 5 x 4x - 3 5 4x | -3 | 5
a – 3b = 5 - a a e b a – 3b 5 - a a | -3b | 5 | -a
5x – 3y = 2x – 1 x e y 5x – 3y 2x – 1 5x | – 3y | 
2x | – 1
5a – 2b + 3c = 0 a, b e c 5a – 2b + 3c 0 5a | – 2b | 3c | 0
 x – = x(y – 1)1
3
x e y
X – 1
3
x(y – 1) x | – | x(y – 1)
1
3
Quadro 1. Incógnitas, membros e termos da equação do primeiro grau
Passaremos a resolver problemas usando equação do primeiro grau com 
uma incógnita, mas traduziremos da linguagem corrente para a algébrica. Em 
seguida, “armaremos” a equação que representa o problema, para, por fim, 
resolvê-la. Além disso, destacaremos as incógnitas, seus membros e termos. 
Veja o Quadro 2, a seguir.
Linguagem corrente Linguagem das equações
Uma pessoa tinha certa 
quantia em dinheiro.
X
No primeiro dia, gastou 
1
3
x
3
No segundo dia, gastou 1
5
 
do que ainda dispunha.
x
3
x –
5
E verificou que ainda lhe 
sobraram R$ 48,00. x – – = 48x
3
x
3
x –
5
Qual era a quantia inicial 
que a pessoa tinha?
X = ?
Quadro 2. Problemas usando equação do primeiro grau
5Equação do primeiro grau
Para encontrar a quantia procurada, basta resolver a equação obtida:
x – x3
x – x3– = 485
Desta equação, podemos inferir que:
 � há apenas uma incógnita x;
 � o primeiro membro apresenta-se como: x – x3
x – x3– 5 
 � o segundo membro apresenta-se como: 48;
 � a equação contém quatro termos: 
x – x3
x – x3– = 485
são os quatro termos da equação.
Finalmente, vamos à resolução.
Primeiro, partimos da equação que foi “armada”, considerando o problema 
proposto: 
x – x3
x – x3– = 485
Iniciamos resolvendo a fração x – x3 da equação. Partimos do MMC de 1 e 3:
1 3 | 3
1 1 | 
Portanto, o MMC (1, 3) = 3.
Aplicando o MMC, teremos uma nova equação que toma a seguinte forma:
3x – x
3
2x
3= ⇔
Equação do primeiro grau6
Agora, podemos resolver a equação principal, que toma outra forma:
x – x3 – = 48
2x
15
Novamente, temos uma operação (subtração) envolvendo frações com 
denominadores diferentes. O primeiro passo, como fizemos anteriormente, 
será realizar a redução ao mesmo numerador.
Aplicando a técnica do MMC, teremos:
1, 3, 15 | 3
1, 1, 5 | 5
1, 1, 1 | 3 x 5 = 15
Portanto, o MMC (1, 3, 5) = 15.
Após acharmos o MMC entre os denominadores diferentes, utilizamos 
o resultado do novo denominador (nesse caso = 15) para dividir pelo antigo 
e multiplicar pelo numerador correspondente. A nova equação fica assim:
15x
15
5x
15
2x
15 =
720
15– –
Agora, temos uma nova equação em que os denominadores são iguais (15). 
Quando isso ocorre, para achar o resultado, basta conservar o denominador 
e adicionar ou subtrair os numeradores de acordo com a operação indicada. 
Portanto, temos outra equação que se constitui da seguinte maneira:
15x –5x –2x = 720
O próximo passo será fatorar os termos da equação. Teremos, então:
8x = 720
Finalmente, um último, porém importante, passo. A constante (8) está 
multiplicando a incógnita (x). De acordo com as regras matemáticas, quando 
existe uma multiplicação que apresenta essa característica (8x), a constante 
passa para o outro lado do sinal de igual, dividindo (se, ao contrário, a cons-
tante estiver dividindo, ela deverá passar para o outro lado do sinal de igual, 
multiplicando): x = 7208
x = 90
7Equação do primeiro grau
Como esse valor satisfaz as condições do problema, temos que a quantidade 
inicial era de R$ 90,00.
Há muito tempo, as equações vêm sendo empregadas para resolver problemas. A 
primeira referência ao uso das equações está no papiro de Rhind, um documento 
egípcio escrito há mais ou menos 4.000 anos. As equações ganharam importância 
a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e 
letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XV. Para 
saber mais, acesse:
https://goo.gl/4WgTWt
Problemas envolvendo equação do primeiro 
grau
Com o conhecimento adquirido até aqui resolvermos alguns exercícios. Ini-
ciamos com as equações equivalentes, as quais apresentam o mesmo conjunto 
de solução S = {6}.
2x – 4 = 8 x = 6
2x = 12 x = 6
Duas ou mais equações que tenham o mesmo conjunto de solução, relativo ao 
mesmo conjunto de universo, são chamadas de equações equivalentes.
As equações podem ser racionais ou irracionais:
2x – 16 = 0 equação racional
2 + = 5 equação irracional
Equação do primeiro grau8
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos em forma de 
fração, por exemplo, a/b, onde a e b são números inteiros e b é diferente de 
zero. Portanto, uma equação racional é qualquer uma que envolva pelo menos 
uma equação racional.
Os números irracionais, por outro lado, não podem ser expressos em forma 
de fração. São números cuja expressão decimal tem um número infinito de 
algarismos que não se repetem de forma periódica.
Podem ser, ainda, inteiras ou fracionárias:
2x – 16 = 0 ⇔ equação racional inteira
2
x + 1 = 5, x ⇔ equação fracionária
Equações inteiras possuem um conjunto de solução contido no conjunto 
dos inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2…), ou seja, um conjunto que não contém casas 
decimais. Já a equação fracionária é aquela que ao menos uma incógnita 
aparece no denominador de uma fração.
Há, ainda, as equações numéricas e literais:
x – 5 = -2x + 22 equação numérica
3ax – 5 = ax + 4 equação literal com variável x
A equação numérica é uma expressão matemática que possui números, 
uma incógnita e uma igualdade. Já a equação literal possui como característica 
alguns coeficientes ou termos independentes indicados por outras letras. 
Equações possíveis e determinadas:
X – 2(x + 1) = –3 (admite apenas o número 1 como solução, e seu conjunto 
de solução é unitário (possui apenas um elemento S = {1})
Equações possíveis e indeterminadas:
5x – 2y = 105 admite infinitas soluções
9Equação do primeiro grau
Por fim, há as equações impossíveis:
x + 2 = x + 3 x – x = -2 + 3 0 = 1 (não há igualdade, e o conjunto-solução 
será S = {} ou conjunto vazio)
Para resolver uma equação do primeiro grau, deve-se levar em consideração 
que, ao mudar as variáveis (incógnitas) e os valores numéricos de posição na 
equação, a igualdade deve continuar sendo verdadeira. Também devemos ficar 
atentos ao sinal de cada variável ou valor numérico, pois, para que a igualdade 
continue valendo, devemos inverter a operação ao mudar o lado da equação 
apenas quando se trata de uma adição ou subtração.
Dessa forma, uma multiplicação passa para o outro lado, dividindo, e uma 
divisão passa multiplicando. Utilizando a mesma regra, uma subtração passa 
somando e uma adição passa subtraindo. 
Buscamos encontrar o valor de x na equação 3x + 2 = x + 1.
Passo 1:
Passar os termos que são comuns para o mesmo lado da equação. Nesse 
exemplo, os valores de x ficarão separados em um membro, e os números 
ficam separados em outro membro da equação. Então, teremos:
3x – x = 1 – 2
Lembre-se de que as variáveis e valores devem mudar a operação quando 
for adição ou subtração.
Passo 2:
Operando os termos:
3x – x = 2x
e
1 – 2 = –1
Logo, 
2x = –1
Equação do primeiro grau10
Passo 3:
Após operar os termos, se for necessário mudar de membro um número que 
está multiplicando, esse necessariamente precisará transformar-se em uma 
divisão. Do contrário, caso tenhamos uma divisão que precise mudar de 
membro, essa transformar-se-á em uma multiplicação. 
2x = –1
x =
–1
2
Dessa forma, o valor da variável x que torna a equação verdadeira é –12 
Tomamos outro exemplo: –5x = –5
Passo1: 
Passar os termos comuns para o mesmo membro, o que já está definido na 
própria equação.
–5x = –5
Passo 2: 
Operar os termos, o que também já está definido nesta equação.
–5x = –5
Passo 3: 
Mudar os membros e a solução.
x = = 1
–5
–5
Note que -5 do primeiro membro estava multiplicando x e quando mudou 
de membro, não sofreu alteração no sinal.
Vamos a mais um exemplo:
6x + 3 = 4x + 5
11Equação do primeiro grau
Passo 1: 
Passar os termos comuns para o mesmo membro.
6x – 4x = 5 – 3
Passo 2: 
Operar os termos.
2x = 2
Passo 3: 
Mudar os membros e a solução.
x = = 1
2
2
Vamos a um último problema. Em um campeonato de surfe, os três primei-
ros colocados receberão prêmios em dinheiro. Da quantia total a ser distribuída, 
o primeiro colocado levará metade, o segundo colocado levará 30% e o terceiro 
colocado levará R$ 10.000. Qual é o valor total da premiação?
Nesse caso, a primeira tarefa será transformar um problema coloquial em 
linguagem matemática.
 � Sabemos que o valor total da premiação é x.
 � A partir dessa afirmação, podemos considerar que o primeiro colocado 
levará metade: 0,5x.
 � Ainda nessa linha de raciocínio, o segundo colocado levará 30% ou 0,3x.
 � Finalmente, o terceiro colocado levará R$ 10.000.
Agora, podemos “armar” a equação, que ficará da seguinte maneira:
x = 0,5x + 0,3x + 10.000
Então, resolveremos utilizando os “passos” já abordados acima. 
Equação do primeiro grau12
Passo 1: 
Passar os termos comuns para o mesmo membro. Lembre-se de que, se for 
necessário mudar de membro determinado termo, seu sinal deverá ser invertido. 
Nesse exemplo, precisamos manter as incógnitas e as constantes (números) 
em membros distintos. Portanto, quando mudamos os termos de membro, 
seus sinais deverão ser mudados para seu inverso. 
x – 0,5x – 0,3x = 10.000
Passo 2: 
Agora, será necessário operar os termos da equação. 
0,2x = 10.000
Passo 3: 
Mudar os membros e a solução.
x = = 50.000
10.000
0,2
Note que 0,2 mudou de membro. Saiu do lado esquerdo do sinal de igual 
para a sua direita. Com isso, há a necessidade de mudarmos o sinal para seu 
inverso. Do lado esquerdo da igualdade, ele estava multiplicando (0,2 · x) e, 
quando passou para o lado direito da igualdade, a operação passa a ser de 
divisão.
Então, o valor total da premiação é de R$ 50.000.
Diofante de Alexandria, matemático que viveu por volta de 250 D.C., ficou famoso por 
uma coleção de livros que escreveu, A Arithmetica, inteiramente dedicada ao estudo 
das equações. Nessa obra, foram apresentados 189 problemas e suas soluções. Por 
esse motivo, Diofante disputa com o francês Viète o título de pai da álgebra. Conta-se 
que o problema a seguir, escrito em forma de dedicatória no túmulo de Diofante, teria 
sido dedicado por um de seus alunos:
13Equação do primeiro grau
GIOVANNI, J. R.; PARENTE, E. Aprendendo matemática. São Paulo: FTD, 1999.
PESCO, D. U.; ARNAUT, T. Matemática básica. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 2010.
Leituras recomendadas
FIRMO, S. Lições de matemática básica. 2012. Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/
sergio/provas/mat/Firmo2012.pdf>. Acesso em: 03 jan. 2018.
SILVA, M. N. P. História das equações. c2019. Disponível em: <https://mundoeducacao.
bol.uol.com.br/matematica/historia-das-equacoes.htm>. Acesso em: 03 jan. 2019.
SOUSA, J. C. M. O homem que calculava. São Paulo: Círculo do Livro, 1983.
Sua formosa infância durou um sexto de sua vida; e mais doze 
avos havia transcorrido quando os pêlos lhe cobriram o rosto; casou-
-se passados mais um sétimo de sua existência; cinco anos mais 
tarde nasceu sua única filha; que viveu metade dos anos que viveu 
o pai; Diofantes morreu quarto anos após sua filha. Com quantos 
anos morreu Diofante?
Considerando a idade com que morreu Diofante por x, teremos:
x =
x
6
x
12
x
7
x
2
+ + + 5 + + 4
Logo, Diofante morreu com 84 anos.
Equação do primeiro grau14
EQUAÇÕES 
DE 2º GRAU
Fernanda Robert
Equações de 2º grau
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar os termos de uma equação de segundo grau.
 � Reconhecer a fórmula para a resolução de uma equação de se-
gundo grau.
 � Resolver problemas envolvendo equações de segundo grau.
Introdução
A equação do 2º grau, também conhecida como equação quadráti-
ca, é um método antigo e muito usado para resolução de problemas. 
Existem registros de uso desta equação pelos babilônicos, egípcios 
e gregos. Esse método pode ser utilizado, por exemplo, para a reso-
lução de problemas das áreas de engenharia, física e administração. 
Uma equação é uma composição matemática que possui em sua es-
trutura incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. 
As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. Portanto, em uma equação de segundo grau, 
pelo menos uma das incógnitas deve possuir expoente 2. 
Cada equação matemática possui uma forma de resolução. As equa-
ções de segundo grau incompletas podem ser resolvidas apenas uti-
lizando a raiz quadrada, porém, para as equações de segundo grau 
completas, devemos utilizar o método de Bhaskara. 
A denominação Bhaskara refere-se ao nome do grande matemático 
indiano que a desenvolveu. Trata-se de uma fórmula utilizada para 
encontrar as raízes reais de uma equação do segundo grau fazendo 
uso apenas de seus coeficientes. 
Neste capítulo você vai estudar a importância e a resolução de equa-
ções de segundo grau
Equação de Segundo grau
A equação de segundo grau pode ser definida como uma sentença aberta na 
qual a variável está na segunda potência e apresenta a forma ax2 + bx + c = 0 
(Figura 1), sendo a, b e c números reais e a diferente de zero (a ≠ 0).
esaito
Retângulo
Nas equações de segundo grau de uma incógnita, os números reais a, b e c 
recebem o nome de coeficientes, sendo a o coeficiente do termo x2; b o co-
eficiente do termo x e c o coeficiente ou termo independente de x (Figura 1). 
Uma equação de segundo grau é denominada incompleta quando apre-
senta um dos coeficientes, b ou c, ou até mesmo ambos, (b e c) iguais a zero.
Exemplos
(b = 0) 
 (c = 0) 
� x2 + 16 = 0
� 3x2 - 3x = 0
� 2x2 = 0 (b = c = 0)
Uma equação de segundo grau é denominada completa quando apresenta 
os três coeficientes (a, b e c) diferentes de zero.
Exemplos:
x2 – 4x + 6 = 0
2x2 + 3x – 4 = 0
Raízes de uma equação de segundo grau 
A solução de uma equação de segundo grau está na busca das suas raízes. As 
raízes são valores que, quando substituídos nas incógnitas, tornam a sentença 
verdadeira.
Figura 1. Forma de uma equação de segundo grau.
Raízes de equações de segundo grau incompletas
As equações de segundo grau incompletas que apresentam o termo b igual a 
zero podem ser resolvidas isolando o termo independente. 
Exemplos:
x2 – 16 = 0 
x2 = 16
x = ±√16
x = ± 4
x'= 4
x'' = - 4 
Portanto, as raízes 4 e – 4 satisfazem esta equação. 
2x2 – 50 = 0 
2x2 = 50
x =
x2= 25
x = ±√25
x = ± 5
x'= 5
x'' = - 5 
Portanto, as raízes 5 e – 5 satisfazem esta equação.
As equações de segundo grau incompletas que apresentam o termo c 
igual a zero podem ser resolvidas utilizando a técnica de fatoração do termo 
comum em evidência.
50
2
Exemplos:
2x2 – x = 0 
O termo x é semelhante na equação, então deve ser colocado em evidência. 
Para colocar este termo em evidência devemos dividi-lo pelos demais termos 
da equação.
x (2x – 1) = 0 
Com isso, obtemos um produto de multiplicação de dois fatores, x e 2x – 
1, sendo que a multiplicação destes fatores é igual a zero; portanto, podemos 
afirmar que um destes fatores deve ser igual a zero. Como não sabemos qual 
destes fatores é igual a zero, devemos igualar os dois a zero, obtendo, assim, 
duas equações de primeiro grau.
x = 0 
2x – 1 = 0
Assim, podemos observar que o zero é uma das raízes desta equação 
e, para descobrirmos a outra raiz, basta resolver a equação de primeiro grau.
2x – 1 = 0
2x = 1
x = 
x' = 0e x'' =
Portanto, as raízes 0 e 1/2 satisfazem esta equação. 
As equações de segundo grau incompletas que apresentam ambos os 
termos, b e c, iguais a zero, apresentam também raízes iguais a zero.
Exemplos: 
x2 = 0 
x = √0
x = 0 
x' = x'' = 0
1
2
1
2
1
2
Raízes de equações de segundo grau completas 
A forma mais utilizada para a resolução de equações de segundo grau 
completas é através da fórmula de Bhaskara, considerada como uma das prin-
cipais fórmulas matemáticas. 
O nome dado a esta fórmula foi uma homenagem ao matemático 
Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do sé-
culo XII.
A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equa-
ções do segundo grau completas da forma ax2 + bx + c + 0. 
Fórmula de Bhaskara
A fórmula geral de Bhaskara está apresentada na Figura 2. A fórmula 
permite determinar as raízes de uma equação de segundo grau a partir de seus 
coeficientes, substituindo os valores correspondentes e realizando as opera-
ções matemáticas propostas pela fórmula, a fim de determinar os valores de x 
que satisfaçam a equação. 
Figura 2. Fórmula de Bhaskara
A letra grega delta (Δ) pode ser chamada de discriminante, pois por meio 
dela é possível obter algumas informações que discriminam ou classificam as 
equações de segundo grau. Dependendo do sinal de Δ, temos:
Δ = 0 A equação tem duas raízes iguais.
Δ > 0 A equação tem duas raízes diferentes.
Δ < 0 A equação não tem raízes reais.
Para determinar o valor de Δ basta substituir os coeficientes da equação na 
fórmula do discriminante e realizar as operações matemáticas subsequentes. 
Exemplo: 
Vamos determinar as raízes que satisfazem a seguinte equação de segundo 
grau.
x2 – 4x – 5 = 0
1º passo – identificar os coeficientes da equação 
a = 1
b = - 4
c = - 5
2º passo – determinar o valor de Δ substituindo os valores dos coeficientes 
na formula discriminante 
Δ = b2 – 4 a.c
Δ = (-4)2 – 4 .1 .(- 5) 
Δ = 16 + 20
Δ = 36
3º passo – substituir o valor de Δ encontrado e os valores dos coeficientes 
na fórmula de Bhaskara
x = 
x = 
x = =
Portanto, as raízes que satisfazem esta equação são 5 e -1.
-b±√Δ
2a
- (- 4)±√36
2
 4 ± 6
2 {x' = = 5 4 + 62x'' = = - 1 4 - 62
Representação gráfica de uma função de segundo grau
Uma função de segundo grau é representada por meio de uma parábola, con-
forme representada nas Figuras 3, 4 e 5. Quando a função é positiva (a > 0), a 
concavidade da parábola é voltada para cima e quando a função é negativa (a 
< 0), a concavidade da parábola é voltada para baixo. 
O gráfico da função de segundo grau deve ser construído no plano de 
coordenadas cartesianas, atribuindo valores a x e encontrando os valores cor-
respondentes a y. Os números encontrados são denominados pares ordenados 
(x,y) e a união destes pares ordenados formam a parábola que representa a 
função de segundo grau. Os pontos da parábola que tocam o eixo das abcissas 
correspondem aos valores das raízes desta função, que devem ser calculados 
por meio da fórmula de Bhaskara. 
Contudo, o comportamento dessas parábolas também sofre influ-
ência do discriminante delta, conforme exemplificado nas Figuras 3, 4 e 5. 
Se o valor de delta for nulo (Δ = 0), uma das raízes da função apresenta o 
valor nulo e a outra raiz um valor real; portanto, a parábola intercepta o eixo 
das abcissas somente em um ponto, conforme apresentado na Figura 3.
Se o valor de delta for positivo (Δ > 0), a função apresenta duas raízes 
distintas e a parábola intercepta o eixo das abcissas em dois pontos, conforme 
apresentado na Figura 4. 
Figura 3. Representação gráfica de uma função de segundo grau com Δ = 0
Se o valor de delta for negativo (Δ < 0), a função não apresenta raízes e a 
parábola não intercepta o eixo das abcissas, conforme apresentado na Figura 5.
Figura 4. Representação gráfica de uma função de segundo grau com Δ > 0
Figura 5. Representação gráfica de uma função de segundo grau com Δ < 0
Referência
ANDRINI, A.; VASCONCELOS, M.J. Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Bra-
sil, 2002. 
BALLEW, P. Solving Quadratic Equations by analytic and graphic methods; Including 
several methods you may never have seen. 2007. Disponivel em: http://www.pballew.
net/quadsol.pdf Acesso em: 21 ago. 2017
CENTURION, M. Nova Matemática na medida certa, 8ª série. Centurión Jakubovic, 
Lellis. São Paulo: Scipione, 2003. 
DANTE, L. R. Tudo é Matemática: ensino fundamental: livro do professor/ Luiz Ro-
berto Dante; São Paulo: Ática, 2005. 
PEDROSO, H.A. Uma breve história da equação de 2º grau. Revista eletrônica de mate-
mática. N.2, 2010. Disponível em: http://www.matematicajatai.com/rematFiles/2-2010/
eq2grau.pdf. Acesso em: 21 ago. 2017
TOSATTO, C.M.; PERACCHI, E.P.; ESTEPHAN, V.M. Ideias e relações. Curitiba: Positivo, 
2002. 
Leituras recomendadas
ALVES, E. F.;MACHADO, B.B.L. Uma abordagem histórica da equação de segundo grau. 
XII Encontro Nacional de Educação Matemática, 2016. Disponível em: <http://www.
sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/7485_3724_ID.pdf>. Acesso em: 21 ago. 
KHAN ACADEMY. A fórmula de Bhaskara. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/
math/algebra/quadratics/solving-quadratics-using-the-quadratic-formula/v/using-
-the-quadratic-formula. Acesso em 21 ago. 2017
CÁLCULO: LIMITES 
DE FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL E 
DERIVADAS 
Cristiane da Silva 
Regra de derivação: 
potência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Resolver cálculos de derivadas de funções potência.
 � Aplicar as regras de linearidade na derivação de soma de funções e 
de multiplicação de escalar por uma função.
 � Escolher a regra de derivação adequada para representação gráfica 
de funções.
Introdução
Neste capítulo, você conhecerá a regra da potência e suas particularidades, 
para que, nos seguintes, possa aprofundar o estudo das demais regras 
de derivação, que permitem realizar os cálculos de maneira eficiente e 
prática, com o mesmo rigor do método por limites.
A regra da potência nos diz como calcular a derivada de expressões 
da forma xn. Além disso, juntamente com as demais regras básicas de 
derivação, possibilita o cálculo da derivada de qualquer polinômio. Você 
será capaz de calcular a derivada de expressões em que a potência é 
negativa, fracionária e radical. 
Outro ponto relevante abordado neste capítulo é a análise gráfica. 
Veremos que o sinal da derivada de uma função nos diz se a reta tangente 
tem inclinação positiva ou negativa, e o tamanho da derivada revela a 
magnitude da declividade.
Você encontrará diversos exemplos detalhados e representações 
gráficas, para facilitar a compreensão do conteúdo e a análise, além de 
demonstrações claras da regra da potência seguidas de explicações 
complementares com a finalidade de as tornar elucidativas.
Regra da potência
Essa regra é válida para qualquer expoente. Por definição, para qualquer 
expoente n natural, temos:
Vejamos a demonstração da regra da potência, conforme Rogawski (2008, 
p. 109–110).
Suponha que n seja um número natural e denotemos f(x) = xn. Então, 
. Para simplificar a razão incremental, precisamos generalizar 
as seguintes identidades:
x2 – a2 = (x – a)(x + a)
x3 – a3 = (x – a)(x2 + xa + a2)
x4 – a4 = (x – a)(x3 + x2a + xa2 + a3)
A generalização é:
xn – an = (x – a)(x (n –1) + x(n – 2)a + x(n – 3)a2 + ⋯ + xa(n – 2) + a(n – 1))
Note que o lado direito dessa equação é igual a:
x(x(n – 1) + x(n – 2) a + x(n – 3) a2 + ⋯ + xa(n – 2) + a(n – 1) ) – 
a(x(n – 1) + x(n – 2) a + x(n – 3) a2 + ⋯ + xa(n – 2) + a(n – 1))
Ao efetuarmos a multiplicação, todos os termos cancelam, exceto o primeiro 
e o último, restando xn – an. Sendo assim, a identidade xn – an = (x – a)(x(n – 1) 
+ x(n – 2)a + x(n – 3)a2 + ⋯ + xa(n – 2) + a(n – 1)) nos dá:
Regra de derivação: potência2
Portanto:
Isso prova que f ' (a) = na(n – 1), que também pode ser escrito como 
f ' (x) = nx(n – 1). Podemos pensar na regra da potência como“baixar o expoente 
e subtrair um (do expoente)”:
Segundo Rogawski (2008), é importante destacar que a regra da potência somente 
se aplica às funções potência, do tipo y = xn. Ela não pode ser usada com funções 
exponenciais, como y = 2x. A derivada de y = 2x não é x2(x – 1).
Anton, Bivens e Davis (2014) destacam que o tipo mais simples de função 
potência é f(x) = x. Como o gráfico de f é uma reta de inclinação 1, segue que 
f ' (x) = 1 para todo x, ou seja, , como demonstrado na Figura 1.
3Regra de derivação: potência
Figura 1. A reta tangente ao gráfico de 
f(x) = x tem inclinação 1 em cada x.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 156).
Embora a fórmula tenha validade somente com potências 
inteiras positivas de x, não é difícil mostrar que a mesma fórmula permanece 
válida com quaisquer potências inteiras de x, ou seja, para qualquer expoente 
real. Portanto, podemos definir a regra da potência estendida como: se r for 
qualquer número real, então . Isso significa dizer que, para 
derivar uma função potência, subtraímos uma unidade da potência constante 
e multiplicamos a função potência resultante pelo expoente original (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014).
1. Seja , encontre sua derivada.
É importante lembrar-se de que pode ser escrita como f(x) = x(–2). Então, 
a derivada é:
2. Seja f(x) = x7, encontre sua derivada.
Regra de derivação: potência4
3. Seja , encontre sua derivada.
É importante lembrar-se de que pode ser escrita como . 
Então, a derivada é:
4. Seja , encontre sua derivada.
É importante lembrar-se de que pode ser escrita como f(x) = x(–5). Então, 
a derivada é: 
f ' (x) = – 5x( –5 –1) = –5x(–6) ou 
5. Seja f(x) = x1,3, encontre sua derivada (Adaptado de HOFFMANN et al., 2015).
6. Vejamos outros exemplos de derivadas de funções potência (Adaptado de ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014):
Note que a regra da potência vale para qualquer variável, não apenas para x. 
Ou seja, pode ser de nosso interesse calcular . Além 
disso, vimos que a regra da potência vale para todos os expoentes, tanto 
negativos, fracionários ou irracionais, por exemplo: 
 (ROGAWSKI, 2008).
5Regra de derivação: potência
Regra de linearidade
Nesta seção, aplicaremos as regras de linearidade das derivadas. Para tanto, 
observe o teorema: suponha que f e g sejam funções deriváveis.
A regra da soma diz que: a função f + g 
é derivável e ( f + g)' = f ' + g'.
A regra do múltiplo constante diz que: para qualquer 
constante c, a função cf é derivável e (cf )' = cf '.
Anton, Bivens e Davis (2014) explicam a regra do múltiplo constante, 
afirmando que um fator constante pode ser movido para fora do sinal da 
derivada, como .
O mesmo vale para a diferença, ou seja:
( f – g)' = f ' – g'.
Vale destacar que essa regra é uma consequência das regras da soma e do 
múltiplo constante (ROGAWSKI, 2008):
Encontre os pontos do gráfico de f(t) = t3 – 12t + 4 nos quais a reta tangente é horizontal.
Solução:
Primeiramente, calculamos a derivada:
Regra de derivação: potência6
Note que a derivada da constante 4 é nula.
A reta tangente é horizontal nos pontos em que a inclinação f '(t) é zero, de modo 
que resolvemos:
Portanto, as retas tangentes são horizontais em (2, – 12) e (–2, 20), como mostrado 
na Figura 2, a seguir.
Figura 2. Gráfico de f(t) = t3 – 12t + 4. As retas tangentes são horizontais em t = ± 2
Fonte: Rogawski (2008, p. 111).
Acompanhe mais exemplos envolvendo a regra do múltiplo constante 
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014):
7Regra de derivação: potência
Em palavras, a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas, e 
a derivada de uma diferença é igual à diferença das derivadas (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014, p. 158). Por exemplo:
Além disso, a regra do múltiplo constante pode ser usada para derivar polinômios.
Encontre se y = 3x 8 – 2x5 + 6x + 1.
Solução:
Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis (2014).
Se , sua derivada é , o que pode ser escrito como:
Sendo assim, como a função raiz quadrada aparece com frequência, podemos usar 
direto o resultado , sem precisar transformar em expoente fracionário, 
derivar e voltar para a raiz novamente.
Regra de derivação: potência8
Na próxima seção, aprofundaremos o estudo, por meio de análises com 
auxílio gráfico no intuito de compreender o gráfico de uma função e a relação 
com sua derivada, bem como para identificar graficamente a derivada.
Representação gráfica
Nesta seção, você estudará a representação gráfica de algumas funções, com 
atenção especial às suas derivadas, observando as funções envolvidas e esco-
lhendo a regra de derivação adequada. Para tanto, vejamos alguns exemplos 
em detalhes.
1. Calcule , onde 
Solução:
Para usar a regra da potência, escrevemos .
A derivada f '(x) nos dá informação importante sobre o gráfico de f(x). Por 
exemplo, o sinal de f '(x) nos diz se a reta tangente tem inclinação positiva ou 
negativa, e o tamanho de f '(x) revela a magnitude da declividade.
9Regra de derivação: potência
2. Qual é a relação entre o gráfico de f(x) = x3 – 12x e a derivada f ' (x) = 
3x2 – 12?
Solução:
Observamos que a derivada f ' (x) = 3x2 – 12 = 3(x2 – 4) é negativa em 
– 2 < x < 2 e positiva em |x| > 2, conforme Figura 3.
Figura 3. Gráfico da derivada f '(x) = 3x2 – 12.
Fonte: Rogawski (2008, p. 112).
O Quadro 1, a seguir, resume essa informação relativa ao sinal, demons-
trado na Figura 4.
Propriedade de f '(x) Propriedade do gráfico de f(x)
f ' (x) < 0 para – 2 < x <2 A reta tangente tem inclinação 
negativa em – 2 < x < 2.
f ' (– 2) = f ' (2) = 0 A reta tangente é horizontal em x = – 2 e x = 2.
f ' (x) > 0 para x < – 2 e x > 2 A reta tangente tem inclinação 
positiva em x < – 2 e x > 2.
Quadro 1. Propriedade de f’(x)
Regra de derivação: potência10
Figura 4. Gráfico de f(x) = x3 – 12x.
Fonte: Rogawski (2008, p. 112).
Observe, também, que f'(x) → ∞ quando |x| aumenta. Isso corresponde ao 
fato de que as retas tangentes ao gráfico de f(x) ficam cada vez mais íngremes 
à medida que |x| cresce.
3. O gráfico de f(x) está representado na Figura 5. Qual é o gráfico de 
f ' (x): (A) ou (B) (ROGAWSKI, 2008)?
Figura 5. Gráfico de f(x).
Fonte: Rogawski (2008, p. 112).
11Regra de derivação: potência
Solução:
Na Figura 5, é possível visualizar a seguinte informação sobre as retas 
tangentes ao gráfico de f(x).
Inclinação da reta tangente Onde
Negativa Em (0,1) e (4,7)
Nula Em x = 1,4 e 7
Positiva Em (1,4) e (7,∞)
Quadro 2. Inclinações da reta tangente
Desse modo, o gráfico de f '(x) deve ser negativo em (0,1) e (4,7) e positivo 
em (1,4) e (7,∞). Como apenas B tem essas propriedades, então B é o gráfico 
de f '(x).
4. Em quais pontos, se existirem, o gráfico de y = x3 – 3x + 4 (Figura 6) 
tem uma reta tangente horizontal?
Figura 6. Gráfico de y = x3 – 3x + 4.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 159).
Regra de derivação: potência12
Solução:
Retas tangentes horizontais têm inclinação zero. Portanto, devemos encon-
trar aqueles valores de x nos quais y' (x) = 0. Derivando, obtemos:
Assim, as retas tangentes horizontais ocorrem naqueles valores de x com os 
quais 3x2 – 3 = 0, ou seja, tais que x = – 1 ou x = 1. Os pontos correspondentes 
da curva y = x3 – 3x + 4 são (– 1,6) e (1,2) (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).
Neste capítulo, você retomou conhecimentos sobre a definição de deriva-
das e conheceu especificamente a regra da potência. As regras de derivação 
trazem benefício ao permitir realizar cálculos de maneira eficiente e prática, 
diferentemente do que fazíamos pela definição de limites. Além disso, a 
análise gráfica forneceu informações importantes para o aprofundamento 
de nossos estudos.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v. 1352 p.
HOFFMANN, L. D. et al. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 11. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2015. 680 p.
ROGAWSKI, J. Cálculo, volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2008. 624 p.
13Regra de derivação: potência
A D M I N I S T R A Ç Ã O , E C O N O M I A
E C I Ê N C I A S S O C I A I SE B I O L Ó G I C A S
7 a e d i ç ã o
Harshbarger • Reynolds
38 Capítulo 0 Conceitos Algébricos
0.6 Fatoração
Fatores Comuns Podemos fatorar monômios em um polinômio usando a Propriedade Distributiva 
ao contrário; a expressão ab + ac = a(b + c) é um exemplo mostrando que a é 
um fator monômio do polinômio ab + ac. Mas ela é também o enunciado da 
Propriedade Distributiva (com os lados da equação trocados). O fator monômio 
do polinômio deve ser um fator de cada termo do polinômio, assim é freqüente-
mente chamado fator monômio comum.
0.6 Fatoração 39
EXEMPLO 1 Fator Monômio
Fatore –3x2t – 3x + 9xt2.
SOLUÇÃO
1. Podemos colocar 3x em evidência e obter
 –3x2t – 3x + 9xt2 = 3x(–xt – 1 + 3t2)
2. Ou colocar em evidência –3x (pôr em evidência o sinal de menos fará o pri-
meiro termo do polinômio positivo) e obter 
 –3x2t – 3x + 9xt2 = –3x(xt + 1 – 3t2).
Se um fator é comum a cada termo de um polinômio, podemos utilizar esse pro-
cedimento para colocá-lo em evidência, mesmo que ele não seja um monômio. Por 
exemplo, podemos colocar (a + b) em evidência no polinômio 2x(a + b) – 3y(a + b). 
Se fatorarmos (a + b) de ambos os termos, obteremos (a + b)(2x – 3y). O exemplo 
a seguir ilustra a técnica de fatoração por agrupamento.
EXEMPLO 2 Fatoração por Agrupamento
Fatore 5x – 5y + bx – by.
SOLUÇÃO
Podemos fatorar este polinômio utilizando agrupamento. O agrupamento é feito 
de forma que os fatores comuns (freqüentemente fatores binômios) possam ser 
removidos. Vemos que podemos fatorar cinco dos dois primeiros termos e b dos 
últimos dois, o que dá
5(x – y) + b(x – y).
Isto nos fornece dois termos com o fator x – y em comum, assim obtemos:
(x – y)(5 + b).
Fatorando Trinômios Podemos utilizar a fórmula para multiplicar dois binômios para fatorar certos 
trinômios. A fórmula
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
pode ser usada para fotorar trinômios como x2 – 7x + 6.
EXEMPLO 3 Fatorando Trinômios
Fatore x2 – 7x + 6.
SOLUÇÃO
Se este trinômio pode ser fatorado em uma expressão da forma
(x + a)(x + b)
então precisamos encontrar a e b tais que
x2 – 7x + 6 = x2 + (a + b)x + ab
Isto é, precisamos encontrar a e b tais que a + b = –7 e ab = 6. Os dois números 
cuja soma é –7 e cujo produto é 6 são –1 e –6. Assim,
x2 – 7x + 6 = (x – 1)(x – 6).
40 Capítulo 0 Conceitos Algébricos
Um método similar pode ser usado para fatorar trinômios tais como 9x2 – 31x + 12. 
Encontrar os fatores adequados para esse tipo de trinômio pode envolver uma grande 
quantidade de tentativa e erro, porque devemos encontrar fatores a, b, c e d tais que
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd.
Uma outra técnica para fatoração é usada para fatorar tais trinômios. Ela é útil 
para fatorar os trinômios mais complicados, tais como 9x2 – 31x + 12. Este procedi-
mento para fatorar trinômios do segundo grau é mostrado a seguir.
FAT O R A Ç Ã O D E U M T R I N Ô M I O
Procedimento Exemplo
Para fatorar um trinômio como produto de fatores bi-
nômios:
Fator 9x2 – 31x + 12.
1. Faça o produto do termo de segundo grau com o 
termo constante.
1. 9x2 ⋅ 12 = 108x2
2. Determine se existem quaisquer dois fatores do 
produto no passo 1 cuja soma seja o termo central 
do trinômio. (Se a resposta for não, o trinômio não 
será fatorável em dois binômios.)
2. Os fatores –27x e –4x tem a soma –31x.
3. Use a soma desses dois fatores para substituir o 
termo central do trinômio.
3. 9x2 – 31x + 12 = 9x2 – 27x – 4x + 12
4. Fatore esta expressão de quatro termos por agrupa-
mento.
4. 9x2 – 31x + 12 = (9x2 – 27x) + (–4x + 12)
 = 9x(x – 3) – 4(x – 3)
 = (x – 3)(9x – 4)
No exemplo acima, observe que escrever o termo intermediário (–31x) como 
–4x – 27x em vez de –27x – 4x (como fi zemos) também resultará na fatoração cor-
reta. (Tente fazer isto.)
EXEMPLO 4 Fatorando Trinômios
Fatore 9x2 – 9x – 10.
SOLUÇÃO
O produto do termo de segundo grau com o termo constante é–90x2. Fatores de 
–90x2 que somam –9x são –15x e 6x. Portanto,
9x2 – 9x – 10 = 9x2 – 15x + 6x – 10
 = (9x2 – 15x) + (6x – 10)
 = 3x(3x – 5) + 2(3x – 5)
 = (3x – 5)(3x + 2)
Podemos verifi car esta fatoração multiplicando
(3x – 5)(3x + 2) = 9x2 + 6x – 15x – 10
 = 9x2 – 9x – 10
Alguns dos produtos especiais que tornam a fatoração mais fácil são os seguintes. 
0.6 Fatoração 41
Fatorações Especiais O trinômio quadrado perfeito:
x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
x2 – 2ax + a2 = (x – a)2
A diferença de dois quadrados:
x2 – a2 = (x + a)(x – a)
EXEMPLO 5 Diferença de Dois Quadrados
Fatore 25x2 – 36y2.
SOLUÇÃO
O binômio 25x2 – 36y2 é a diferença de dois quadrados, assim, obtemos
25x2 – 36y2 = (5x – 6y)(5x + 6y).
Estes dois binômios são chamados binômios conjugados porque eles diferem ape-
nas em um sinal.
EXEMPLO 6 Quadrados Perfeitos
Fatore 4x2 + 12x + 9.
SOLUÇÃO
Embora possamos usar a técnica que aprendemos para fatorar trinômios, pode-
mos fatorar mais rapidamente se reconhecermos que este trinômio é um qua-
drado perfeito. Existem dois termos que são quadrados e o termo restante (12x) 
é o dobro do produto das raízes quadradas destes quadrados (12x = 2 ⋅ 2x ⋅ 3). 
Assim,
4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2.
A maioria dos polinômios que fatoramos foi de polinômios de segundo grau 
ou polinômios quadráticos. Alguns polinômios que não são quadráticos estão 
em uma forma que pode ser fatorada da mesma maneira que os quadráticos. Por 
exemplo, o polinômio x4 + 4x2 + 4 pode ser escrito como a2 + 4a + 4, onde a = x2.
EXEMPLO 7 Polinômios na Forma Quadrática
Fatore x4 + 4x2 + 4 completamente.
SOLUÇÃO
O trinômio está na forma de um quadrado perfeito, assim, fazendo a = x2 temos 
x4 + 4x2 + 4 = a2 + 4a + 4 = (a + 2)2,
portanto,
x4 + 4x2 + 4 = (x2 + 2)2.
42 Capítulo 0 Conceitos Algébricos
EXEMPLO 8 Diferença de Dois Quadrados
Fatore x4 – 16.
SOLUÇÃO
O binômio x4 – 16 pode ser tratado como a diferença de dois quadrados, (x2)2 – 42, 
assim
x4 – 16 = (x2 – 4)(x2 + 4).
Mas x2 – 4 pode ser fatorado em (x – 2)(x + 2), portanto,
x4 – 16 = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4).
PONTO DE CONTROLE 1. Fatore as seguintes expressões:
(a) 8x3 – 12x (b) 3x(x2 + 5) – 5(x2 + 5) (c) x2 – 10x – 24
(d) x2 – 5x + 6 (e) 4x2 – 20x + 25 (f) 100 – 49x2
2. Considere 10x2 – 17x – 20 e observe que (10x2)(–20) = –200x2.
(a) Encontre duas expressões cujo produto é –200x2 e cuja soma é –17x.
(b) Substitua –17x em 10x2 – 17x – 20 pelas duas expressões encontradas em (a).
(c) Fatore (b) por agrupamento.
3. Verdadeiro ou falso:
(a) 4x2 + 9 = (2x + 3)2 (b) x2 – x + 12 = (x – 4)(x + 3)
(c) 5x5 – 20x3 = 5x3(x2 – 4) = 5x3(x + 2)(x – 2)
Dizemos que um polinômio está completamente fatorado se todas as fato-
rações possíveis já tiverem sido realizadas. Por exemplo, (2x – 4)(x + 3) não está 
completamente fatorado porque o 2 ainda pode ser posto em evidência em 2x – 4. 
Se nos limitarmos a fatores com coefi cientes inteiros, podemos fatorar completa-
mente vários polinômios utilizando os procedimentos a seguir.
Procedimentos para 
Fatorar Completamente
Procure por: primeiramente monômios.
A seguir, por: diferença de dois quadrados.
A seguir, por: trinômios quadrados.
A seguir, por: outros métodos para fatorar trinômios.
EXEMPLO 9 Fatorando Completamente
Fatore completamente 12x2 – 36x + 27.
SOLUÇÃO
12x2 – 36x + 27 = 3(4x2 – 12x + 9) Monômio
 = 3(2x – 3)2 Quadrado Perfeito
EXEMPLO 10 Fatorando Completamente
Fatore completamente 16x2 – 64y2.
0.6 Fatoração 43
SOLUÇÃO
16x2 – 64y2 = 16(x2 – 4y2)
= 16(x + 2y)(x – 2y)
Fatorar imediatamente a diferença dos dois quadrados nos daria (4x + 8y)(4x – 8y), 
o que não está completamente fatorado (porque podemos ainda fatorar 4 de
4x + 8y e 4 de 4x – 8y).
SOLUÇÕES DO
PONTO DE CONTROLE
1. (a) 8x3 – 12x = 4x(2x2 – 3)
(b) 3x(x2 + 5) – 5(x2 + 5) = (x2 + 5)(3x – 5)
(c) x2 – 10x – 24 = (x – 12)(x + 2)
(d) x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)
(e) 4x2 – 20x + 25 = (2x – 5)2
(f) 100 – 49x2 = (10 + 7x)(10 – 7x)
2. (a) (–25x)(+8x) =– 200x2 e – 25x + 8x = –17x
(b) 10x2 – 17x – 20 = 10x2 – 25x + 8x – 20
(c)= (10x2 – 25x) + (8x – 20)
= 5x(2x – 5) + 4(2x – 5)
= (2x – 5)(5x + 4)
3. (a) Falso. 4x2 + 9 não pode ser fatorado. De fato, somas de quadrados não
podem ser fatoradas.
(b) Falso. x2 – x + 12 não pode ser fatorado. Não podemos encontrar dois
números cujo produto é +12 e cuja soma é –1.
(c) Verdadeiro.
A D M I N I S T R A Ç Ã O , E C O N O M I A
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Harshbarger • Reynolds
5.2 Funções Logarítmicas e Suas Propriedades 231
51. Modelagem Estudantes por computador A ta-
bela a seguir mostra o número médio de estudan-
tes por computador nas escolas públicas para os 
anos do calendário escolar que terminaram entre 
1985 e 2000.
(a) Encontre um modelo exponencial para estes 
dados. Considere x como o número de anos 
após 1980.
(b) Este modelo é uma função de crescimento ou 
decaimento exponencial? Explique como você 
sabe.
(c) Quantos estudantes por computador nas esco-
las públicas este modelo prevê para 2010?
Ano
Estudantes por 
Computador Ano
Estudantes por 
Computador
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
75
50
37
32
25
22
20
18
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
16
14
10,5
10
7,8
6,1
5,7
5,4
Fonte: Quality Education Data, Inc., Denver, Colorado
Se P dólares forem investidos a uma taxa de juros anual r, compostos continuamente, então 
o valor futuro do investimento após t anos é dado por
S = Pert
Uma questão comum com investimentos como esse é: “Quanto tempo demora para o in-
vestimento duplicar?”. Isto é, quando S = 2P? Para responder a esta questão e, conseqüente-
mente, desenvolver a fórmula do “tempo de duplicação”, será preciso resolver a equação em 
t e para isso é necessário o uso das funções logarítmicas.
PRÉ-APLICAÇÃO
5.2 Funções Logarítmicas e Suas Propriedades
OBJETIVOS
Converter equações para fun-
ções logarítmicas da forma 
logarítmica para a exponen-
cial, e vice e versa.
Calcular alguns logaritmos 
especiais.
Traçar gráfi cos das funções 
logarítmicas.
Usar as propriedades das fun-
ções logarítmicas para simpli-
fi car expressões envolvendo 
logaritmos.
Usar a fórmula de mudança 
de base.
Modelar com funções logarít-
micas.
�
�
�
�
�
�
Funções Logarítmicas e Gráfi cos
Antes do desenvolvimento e da grande disponibilidade das calculadoras e com-
putadores, certos cálculos aritméticos, tais como (1,37)13 e 3 0916 , , eram difíceis 
de fazer. Os cálculos poderiam ser feitos com relativa facilidade usando os lo-
garitmos, desenvolvidos no século XVII por John Napier, usando uma régua de 
cálculo, que, por sua vez, se baseia nos logaritmos. Atualmente, o uso dos logarit-
mos como uma técnica de cálculo praticamente desapareceu, mas o estudo das 
funções logarítmicas ainda é muito importante, em razão das muitas aplicações 
existentes dessas funções.
Por exemplo, consideremos novamente a cultura de bactérias descritas no 
início da seção anterior. Se soubermos que a cultura foi iniciada com um organis-
mo e que a cada minuto todos os microorganismos presentes se dividem em dois 
novos, então poderemos encontrar o número de minutos que demora até que eles 
sejam 1.024 organismos resolvendo
1.024 = 2y
A solução dessa equação pode ser escrita na forma 
y = log21.024
que se lê “y é igual ao logaritmo de 1.024 na base 2”.
232 Capítulo 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Em geral, podemos expressar a equação x = ay (a > 0, a ≠ 1) na forma y = f(x) 
defi nindo uma função logarítmica.
Função Logarítmica Para a > 0 e a ≠ 1, a função logarítmica
y = logax (forma logarítmica)
tem domínio x > 0, base a e é defi nida por
ay = x (forma exponencial)
Conforme a defi nição, sabemos que y = loga x signifi ca x = a
y. Isso signifi ca que 
log3 81 = 4 porque 3
4 = 81. Nesse caso, o logaritmo, 4, era o expoente ao qual temos 
que elevar a base 3 para obter 81. Em geral, se y = log x, então y é o expoente ao 
qual a base a deve ser elevada para obtermos x.
O número a é chamado de base em ambos loga x = y e a
y = x, e y é o logaritmo 
em loga x = y e o expoente em a
y = x. Desse modo, podemos afi rmar que o logaritmo 
é um expoente.
A Tabela 5.3 mostra algumas equações logarítmicas e suas formas exponen-
ciais equivalentes.
EXEMPLO 1 Formas Logarítmicas e Exponenciais
(a) Escreva 64 = 43 na forma logarítmica.
(b) Escreva log4 ( )164 3= − na forma exponencial.
(c) Se 4 = log2 x, encontre x.
SOLUÇÃO
(a) 64 = 43 é equivalente a 3 = log4 64.
(b) log4 ( )
1
64 3= − é equivalente a 4
–3 = 164.
(c) Se 4 = log2 x, então 2
4 = x e x = 16.
EXEMPLO 2 Calculando Logaritmos
Calcule:
(a) log2 8 (b) log3 9 (c) log ( )5 125
SOLUÇÃO
(a) Se y = log2 8, então 8 = 2
y. Como 23 = 8 temos log2 8 = 3.
(b) Se y = log3 9, então 9 = 3
y. Como 32 = 9 temos log3 9 = 2.
(c) Se y = log ( ),5 125 então 
1
25 5=
y. Como 5–2 = 125 , temos log5 ( ) .
1
25 2= −
EXEMPLO 3 Traçando o Gráfi co de uma Função Logarítmica
Trace o gráfi co de y = log2 x.
SOLUÇÃO
Podemos traçar o gráfi co de y = log2 x estudando o gráfi co de x = 2
y. A tabela de 
valores (encontrados substituindo valores para y e calculando x) e o gráfi co são 
mostrados na Figura 5.12
TABELA 5.3
Forma 
Logarítmica
Forma 
Exponencial
log10100 = 2
log100,1 = –1
log2x = y
loga1 = 0 (a > 0)
loga a = 1 (a > 0)
102 = 100
10–1 = 0,1
2y = x
a0 = 1
a1 = a
Gráfi cos
5.2 Funções Logarítmicas e Suas Propriedades 233
x = 2y y
1
8
1
4
1
2
1
2
4
8
 –3
 –2
 –1
 0
 1
 2
 3
Da defi nição de logaritmos, vemos que todo logaritmo tem uma base. A maio-
ria das aplicações de logaritmos envolve logaritmo na base 10 (chamado de loga-
ritmo comum) ou logaritmo na base e (chamado de logaritmo natural). De fato, 
os logaritmos na base 10 e na base e são os únicos que têm teclas de função nas 
calculadoras científi cas. Assim, é importante familiarizar-se com seus nomes e no-
tações.
Logaritmos Comuns
e Naturais
Logaritmos comuns: log x signifi ca log10 x. 
Logaritmos naturais: ln x signifi ca loge x.
Os valores das funções logarítmicas comum e natural são usualmente encontra-
dos com uma calculadora. Por exemplo, uma calculadora fornece log 2 ≈ 0,301 e 
ln 2 ≈ 0,693. Retornaremos agora à Pré-Aplicação.
EXEMPLO 4 Tempo de Duplicação para um Investimento
Na Pré-Aplicação observamos que o tempo de duplicação para um investimento 
capitalizado continuamente pode ser encontrado resolvendo a equação S = Pert 
em t, quando S = 2P. Isto é, devemos resolver 2P = Pert, ou (equivalentemente) 
2 = ert.
(a) Expresse 2 = ert na forma logarítmica e então resolva esta equação, determi-
nando t, para encontrar a fórmula do tempo de duplicação.
(b) Se um investimento rende 10% de juros anuais, compostos continuamente, em 
quanto tempo ele duplicará?
SOLUÇÃO
(a) Na forma logarítmica, 2 = ert é equivalente a loge2 = rt. Resolvendo, temos a 
fórmula para o tempo de duplicação
t
r r
e= =log ln2 2
(b) Se a taxa de juros é r = 10%, capitalizada continuamente, o tempo necessário 
para que o investimento dobre é
t = ≈ln
,
,2
0 10
6 93 anos
x
y
-2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
y = log2 x
Figura 5.12
234 Capítulo 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas
Observe que poderíamos escrever o tempo de duplicação para este problema como
t = ≈ =ln
,
,
,
,2
0 10
0 693
0 10
69 3
10
Em geral, podemos aproximar o tempo de duplicação para um investimento a 
r%, compostos continuamente, por 70r . (Em economia, isto é chamado de Regra 
do 70.)
EXEMPLO 5 Participação no Mercado
Suponha que, depois que uma companhia introduziu um novo produto, o número 
de meses m que leva até que sua participação no mercado seja s por cento, pode 
ser modelado por
m
s
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
20 40
40
ln
Quando este produto terá uma participação de 35% no mercado?
SOLUÇÃO
Uma participação de 35% no mercado signifi ca s = 35. Conseqüentemente, 
m
s
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ( )
20 40
40
20 40
40 35
20 40
5
20 8
ln
ln ln ln ≈≈ 41 6,
Assim, a participação no mercado será 35% após 41,6 meses, aproximadamente.EXEMPLO 6 Logaritmo Natural
Trace o gráfi co de y = In x.
SOLUÇÃO
Podemos traçar o gráfi co y = ln x calculando y = ln x para x > 0 (incluindo alguns 
valores no intervalo 0 < x < 1) com uma calculadora. O gráfi co é mostrado na 
Figura 5.13
x
y
-2 2 4 6 8 10
-2
2
4
y = ln x
 
x y = ln x
0,05
0,10
0,50
1
2
3
5
10
 –3,000
 –2,303
 –0,693
 0,000
 0,693
 1,099
 1,609
 2,303Figura 5.13
CÁLCULO 
(APLICADO À SAÚDE)
Claudia Abreu Paes
Exponenciais e logaritmos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir exponencial e logaritmo e suas propriedades.
 � Reconhecer as funções exponencial e logarítmica, bem como seus 
domínios.
 � Analisar situações aplicadas envolvendo crescimento e decrescimento 
exponencial.
Introdução
Relações entre variáveis distintas podem descrever diversas situações. 
A função que representa essa relação pode ser descrita de diferentes 
maneiras. Essa vinculação entre as variáveis pode ser expressa por meio 
de um polinômio de diferentes graus, de uma expressão trigonométrica 
ou, ainda, de uma função exponencial ou logarítmica. 
Neste capítulo, você vai estudar sobre exponenciais e logaritmos, bem 
como as funções expressas por essas operações. Serão apresentadas as 
características dos gráficos de ambas as funções e a forma como pode-
mos aplicar o conceito de crescimento e decrescimento exponencial.
Propriedades dos exponenciais e logaritmos
Funções exponenciais e logarítmicas são aplicadas em diversas áreas do cálculo. 
Antes de analisar as funções, devemos falar sobre as operações exponenciais 
e de logaritmos. Veremos também que essas operações são inversas uma a 
outra e, por isso, são comumente estudadas juntas.
A exponencial é aplicada quando se quer representar números grandes. 
Por exemplo, 625 pode ser escrito como 54, ou seja, 5 × 5 × 5 × 5 = 625. Dessa 
forma, estamos aplicando o conceito de potência. A potência é uma forma de 
escrever produtos de fatores que se repetem, como o caso do 54. 
Definição: seja a um número real, e n um número real inteiro positivo, deno-
mina-se potência o número de base a e expoente n que corresponde ao produto 
de n fatores iguais a a, da forma:
Observação: nos casos em que n = 1 ou n = 0, não se aplica essa definição, 
pois: a1 = a e a0 = 1. O Quadro 1 mostra as propriedades de potenciação, 
comumente aplicadas em soluções de cálculos.
Propriedade Equação
Potência de expoente negativo
Potência de expoente racional 
Multiplicação de potência 
de mesma base
am · an = am+n
Divisão de potência de mesma base
Potência de potência (am)n = am · n
Potência de produto (ab)m = am · bm
Potência de quociente
Quadro 1. Propriedades de potenciação
O logaritmo, por sua vez, é definido da seguinte maneira: dados dois nú-
meros reais positivos a e b, com a ≠ 1, o logaritmo de b na base a é o número 
real x, tal que ax = b, ou seja:
logab = x → a
x = b
Exponenciais e logaritmos2
Vamos calcular os logaritmos a seguir:
a) log6 36
log6 36 = x
6x = 36 = 62
Logo, 
x = 2
log6 36 = 2
b) 
Logo, 
Observação 1 — Condições de existência dos logaritmos
Para que o cálculo do logaritmo seja possível, há algumas condições a 
serem respeitadas. Repare nas seguintes situações:
a) log6(–36) = x → 6
x = –36
Não há solução. Não existe x real que satisfaça essa equação. Logo, o 
conceito de logaritmo não se aplica.
b) log1 10 = x → 1
x = 10
Nesse caso, também não há solução. Devido a isso, para que exista solução, 
deve-se considerar que:
b > 0, a > 0 e a ≠ 1
3Exponenciais e logaritmos
Observação 2 — Base 10 
Quando a base é omitida na equação de logaritmo, entende-se que a base 
é 10. O Quadro 2 apresenta as propriedades de operação logaritmo.
Propriedade Equação
Logaritmo de um produto loga(b · c) = loga b + loga c 
Logaritmo de um quociente 
Logaritmo de uma potência loga b
n = n · loga b 
Mudança de base
Quadro 2. Propriedades de logaritmos
Funções exponencial e logarítmica: 
domínios e gráficos 
Uma função é caracterizada pela relação de dependência entre duas ou mais 
variáveis. Uma variável (y) sempre será definida a partir de outra variável (x) 
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). A relação entre x e y pode ser descrita 
de diferentes formas: como uma função polinomial de 1° grau (função afim), 
2° grau (função quadrática) ou de grau maior; como uma função trigonomé-
trica; ou como uma função exponencial e logarítmica. Nesta seção, vamos 
determinar as funções exponencial e logarítmica.
Exponenciais e logaritmos4
Função exponencial
A função exponencial é a relação entre duas variáveis, onde a variável inde-
pendente está no expoente (SAFIER, 2011). O domínio da função exponencial 
são todos os números reais , e o conjunto imagem consiste em 
todos os reais positivos . A lei da função é dada por:
y = f(x) = ax
Onde a é um número real, sendo a > 0 e a ≠ 1.
O gráfico da função exponencial é bem característico. Como a base da 
função exponencial é a > 0 e a ≠ 1, as funções estarão determinadas para 
0 < a < 1 e a > 1. Observe a Figura 1.
Figura 1. Gráficos de uma função exponencial com (a) a > 0 e (b) 0 < a < 1. 
Fonte: Adaptada de matma/Shutterstock.com.
a) b)
Observe que o gráfico da função exponencial sempre interceptará o eixo 
vertical no ponto (0,1), pois sempre que x = 0 na função f(x) = ax, y(x) será 
igual a 1. O gráfico da função exponencial será uma curva situada totalmente 
acima do eixo horizontal.
A seguir, teremos a construção de gráfico da função no exemplo, a partir 
de uma função dada, aplicando valores quaisquer para x. 
5Exponenciais e logaritmos
Vamos calcular o gráfico da função y(x) = 2x. A construção de um gráfico é similar a 
das outras funções, utilizando o plano cartesiano.
Admitindo valores quaisquer para x e aplicando na função, temos:
x y(x) = 2x (x,y)
0 20 = 1 (0,1)
1 21 = 2 (1,2)
2 22 = 4 (2,4)
3 23 = 8 (3,8)
4 24 = 16 (4,16)
5 25 = 32 (5,32)
y(x) = 2x
32
16
8
4
2
2 3 4 5
1
10 0
Exponenciais e logaritmos6
Função logarítmica
Uma função logarítmica se dá quando há uma variável no logaritmo. Essa 
função é definida como:
y = f(x) = loga x
Onde a > 0 e a ≠ 1. Para a função logarítmica, vale a aplicação dos conceitos 
de logaritmo (ADAMI; DORNELES FILHO; LORANDI, 2015). O domínio 
da função logarítmica compreende todos os números reais positivos , e o 
conjunto imagem equivale aos reais .
A Figura 2 traz os gráficos de uma função logarítmica. Assim como na 
função exponencial, na função logarítmica estará definida para a base 0 < a 
< 1 e a > 1.
Figura 2. Gráfico de uma função logarítmica com base: (a) a > 0 e (b) 0 < a < 1.
Fonte: Adaptada de matma/Shutterstock.com.
a) b)
Observe que o gráfico da função logarítmica sempre passará no ponto (1,0), 
pois somente um número com expoente zero é igual a 1. Outra observação é 
que o gráfico dessa função sempre estará ao lado direito do eixo vertical. Veja 
o exemplo a seguir com o cálculo do gráfico da função logarítmica.
7Exponenciais e logaritmos
Vamos calcular o gráfico da função f(x) = log3 x. Admitindo qualquer valor para x, 
temos o seguinte.
Para :
Assim, calculando para , teremos:
x f(x)
–2
–1
1 0
3 1
9 2
2
1
0
0 2 4 6 8 10
–1
–2
y(x) = log3 x
Exponenciais e logaritmos8
Situações aplicadas envolvendo crescimento e 
decrescimento exponencial
Crescimento e decrescimento exponencial é uma análise muito utilizada em 
diversas situações. Podemos aplicar ao estudo do crescimento de qualquer 
população, à matemática financeira calculando os juros compostos sobre uma 
operação, pode-se obter níveis de radioatividade em um ambiente, resfriamento 
corporal, entre outras diversas aplicações.
A função exponencial é defendida como crescente ou decrescente, de 
acordo com os valores para a base a.
Na Figura 1a, podemos pegar qualquer ponto arbitrário, sendo x1 e x2, onde 
x2 > x1. Veremos, ainda, que y2 > y1, ou seja, quando o x aumenta, o y também 
aumenta. Isso se dá porque a base a é maior que 1 (a> 1), portanto, essa função 
é crescente. Analogamente, na Figura 1b, se selecionarmos pontos em que 
x2 > x1, veremos que y2 < y1, ou seja, quando o x aumenta, e os valores de y 
diminuem. Isso ocorre porque a base a está entre 0 e 1 (0 < a < 1), portanto, 
essa função é decrescente. Vamos ver algumas aplicações a seguir.
Crescimento exponencial
Um exemplo clássico de crescimento exponencial é sobre a análise do número 
de indivíduos de uma população. Um grupo de biólogos estudou o processo 
de reprodução em uma cultura de bactérias, a partir de dados coletados em 
determinado período de tempo. Foi observado que o número de indivíduos 
N, em função do tempo t em horas, é dado por:
N(t) = 50 · 20,3t
Pelo valor da base a, sendo a > 1, pode-se concluir que é uma função expo-
nencial crescente. Podemos determinar valores de tempo t para confirmar. Veja:
Para t = 0, temos:
N(0) = 50 · 20,3(0) = 50 · 1 = 50 indivíduos
9Exponenciais e logaritmos
Para t = 1, temos:
N(1) = 50 · 20,3(1) = 50 · 20,3 = 61 indivíduos*
Para t = 2, temos:
N(2) = 50 · 20,3(2) = 50 · 20,6 = 75 indivíduos*
Para t = 3, temos:
N(3) = 50 · 20,3(3) = 50 · 20,9 = 93 indivíduos*
Para t = 10, temos:
N(10) = 50 · 20,3(10) = 50 · 23 = 400 indivíduos*
*Observação — Nos cálculos do número de indivíduos para t igual a 1, 2, 3 
e 10, os resultados foram arredondados para se obter um número inteiro, pois 
não é possível existir 0,5 indivíduo. Por exemplo, em t = 1, temos N(t) = 61,55 
indivíduos, e consideramos N(t) = 61 indivíduos.
Analise que, à medida que o tempo aumenta, o número de indivíduos 
também aumenta, o que caracteriza uma função crescente. Logo, essa função 
representa um crescimento exponencial. Observe, na Figura 3, o gráfico dessa 
função. Repare que o eixo vertical representa o número de indivíduos, e o 
eixo horizontal representa o tempo t em horas.
Decrescimento exponencial
Um estudo interessante sobre decrescimento é o cálculo de meia-vida de um 
elemento radioisótopo. Alguns desses elementos são utilizados na área da 
saúde para diferentes tipos de doenças. O radioisótopo iodo-131, por exemplo, 
é comumente utilizado para tratamentos de câncer de tireoide. Esses elementos 
sofrem desintegração, e seu tempo de vida é em função disso. O tempo de 
meia-vida do iodo-131 é de 8 horas. Isso significa que, decorridas 8 horas, sua 
atividade será reduzida à metade em relação ao seu valor inicial.
Exponenciais e logaritmos10
Figura 3. Crescimento exponencial do número de indivíduos de 
bactérias.
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
0 10 20 30 40
N(t) = 50 . 20,3t
Uma dose de iodo-131 é administrada ao paciente. A função que relaciona 
porcentagem de iodo-131 após ser administrado em t dias é representada pela 
seguinte equação:
Pelo valor da base a, sendo 0 < a < 1, podemos concluir que é uma fun-
ção exponencial decrescente. Podemos determinar valores de tempo t para 
confirmar. Veja:
11Exponenciais e logaritmos
Para t = 0, temos:
Para t = 8, temos:
Para t = 16, temos:
Para t = 24, temos:
Para t = 32, temos:
Repare que, quando o tempo aumenta, a porcentagem do radioisótopo 
diminui. Isso é característico de uma função decrescente. Logo, essa fun-
ção representa um decrescimento exponencial. A Figura 4 traz o gráfico 
dessa função, onde o eixo vertical corresponde à quantidade de iodo-131 
em porcentagem presente no paciente, e o eixo horizontal corresponde ao 
tempo em dias.
Exponenciais e logaritmos12
Figura 4. Decrescimento exponencial do número de indivíduos 
de bactérias.
120
100
80
60
20
0
0 20 40 60
40
p(t) = 100 .
1
2( )
t
8
ADAMI, A. M.; DORNELES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Book-
man, 2015.
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v.1.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
Leitura recomendada
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 1.
13Exponenciais e logaritmos
MATEMÁTICA 
APLICADA À 
ARQUITETURA 
Humberto Vinício Altino Filho
Funções e limites
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir função, conjuntos de domínio, imagem e contradomínio de 
uma função nos aspectos algébricos e gráficos.
  Calcular limites de funções.
  Aplicar a continuidade de funções.
Introdução
Neste capítulo, serão abordados aspectos relacionados às funções e aos 
limites como forma de viabilizar o domínio dessas ferramentas matemá-
ticas de maneira aplicada na resolução de situações-problema.
Esses tópicos matemáticos são muito importantes, visto que existem 
multivariadas formas de empregá-los em modelos contextualizados e 
intrinsecamente ligados ao cotidiano, como em análises, relações de 
interdependência, apresentação de dados e informações, além de cálculos 
relacionados ao âmbito financeiro e estrutural.
Acrescentar dispositivos matemáticos ao repertório de estratégias 
de solução é algo essencialmente desejável nos mais diversos contextos 
acadêmicos e profissionais, dadas suas funções e usos. 
Funções e gráficos
A ideia de função está intimamente ligada a uma relação de dependência. 
Assim, dizemos que um valor y está em função de um valor x, isto é, os valores 
encontrados para y dependem dos valores que são defi nidos para x.
Matematicamente, definimos função da seguinte forma:
Dados dois conjuntos A e B ⊂ , não vazios, uma relação f de A e B recebe 
o nome de aplicação de A em B, ou função definida em A com imagem 
em B, se, e somente se, para todo x ∈ A existe um só y ∈ B, tal que (x, y) 
∈ f (IEZZI; MURAKAMI, 2013, p. 81).
Também é possível analisar as condições que uma relação deve satisfazer 
para ser uma função por meio do diagrama de flechas.
  É necessário que todo elemento de A tenha um correspondente em B.
Fonte: Adaptado de Barreto Filho e Silva (2000).
  É necessário que cada elemento de A tenha apenas um correspondente 
em B.
Fonte: Adaptado de Barreto Filho e Silva (2000).
Também é possível verificar esses critérios por meio da representação 
gráfica das funções. Para isso, precisamos observar se a reta paralela ao eixo 
y, passando por x ∈ A, corta o gráfico da função em somente um ponto.
Funções e limites2
Fonte: Adaptado de Iezzi, Murakami e Machado (1993).
Algebricamente, expressamos uma função pela seguinte notação:
f = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)}
Isto é, existe uma sentença y = f(x), que expressa uma lei de formação, a 
qual, para x ∈ A, determina-se y ∈ B, tal que o par ordenado (x, y) ∈ f.
A indicação de uma função f definida em A com imagens em B, de acordo 
com a lei de formação y = f(x), é feita pela seguinte notação:
f: A → B, tal que y = f(x)
Por exemplo:
f: A → B, tal que y = 3x é uma função que associa 
a cada x de A um y de B, tal que y = 3x.
Domínio, contradomínio e imagem
Para toda função f é possível defi nir um conjunto domínio, um conjunto 
contradomínio e um conjunto imagem.
O conjunto domínio (D) é formado pelos elementos x ∈ A, para os quais 
existe um y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f. O conjunto contradomínio (CD), por sua 
vez, é formado por todos os elementos que podem ser relacionados aos 
elementos do domínio por meio da função f. Por fim, o conjunto imagem 
3Funções e limites
(Im) é um subconjunto do contradomínio, sendo formado pelos elementos 
y ∈ B, para os quais existe x ∈ A, tal que (x, y) ∈ f.
Fonte: Adaptado de Iezzi, Murakami e Machado (1993).
Graficamente, o domínio (D) “[...] é o conjunto das abscissas dos pontos 
tais que as retas verticais conduzidas por este ponto interceptam o gráfico de 
f [...]” (IEZZI; MURAKAMI, 2013, p. 89). Isto é, do conjunto domínio fazem 
parte os valores de x que possuem correspondentes em y por meio da função f.
Já a imagem (Im) “[...] é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as 
retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f[...]” 
(IEZZI; MURAKAMI, 2013, p. 89). Isto é, do conjunto imagem fazem parte 
os valores de y que possuem